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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 09 平面向量、不等式及复数
考点一 基本不等式及其应用
1．（2019•上海）若 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
【解析】 ， ；
故答案为：
2．（2020•上海）下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【解析】 ．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
． ， ， ，故 正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误；
．显然当 ， 时，不等式 不成立，故 错误．
故选： ．
3．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
4．【多选】（2020•山东）已知 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
【解析】①已知 ， ，且 ，所以 ，则 ，故
正确．
②利用分析法：要证 ，只需证明 即可，即 ，由于 ， ，
且 ，所以： ， ，故 正确．
③ ，故 错误．
④由于 ， ，且 ，
利用分析法：要证 成立，只需对关系式进行平方，整理得 ，即
，故 ，当且仅当 时，等号成立．故 正确．
故选： ．
5．（2021•上海）已知函数 的最小值为5，则 ．
【解析】 ，
所以 ，经检验， 时等号成立．
故答案为：9．
6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若 ， 满足 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】A． B． C． D．
【解析】方法一：由 可得， ，
令 ，则 ，
， ，故 错， 对，
，
，
故 对， 错，
方 法 二 ： 对 于 ， ， 由 可 得 ， ， 即
，
， ，故 错， 对，
对于 ， ，由 得， ，
，故 对；
， ，
，故 错误．
故选： ．
考点二 平面向量的线性运算
7．（2020•海南）在 中， 是 边上的中点，则
A． B． C． D．
【解析】在 中， 是 边上的中点，
则
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】故选： ．
8．（2019•浙江）已知正方形 的边长为1．当每个 ，2，3，4，5， 取遍
时， 的最小值是 ，最大值是 ．
【解析】如图，建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
，
， ，
中第一个括号中的 ， 与第二个括号中的 ， 的取值互不影响，
只需讨论 ， 的取值情况即可，
当 ， 同号时，不妨取 ， ，则 式即为 ，
， ， ， ， ，
， ， 时， 取得最小值0，
当 （如 ， ， ， 时， 式取得最大值为
，
当 ， 异号时，不妨取 ， ，则 式即为 ，
同理可得最小值为0，最大值为 ．
故答案为：0； ．
9．（2020•上海）已知 ， ， ， ， ， 是平面内两两互不相等的向量，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】满足 ，且 ， （其中 ，2， ，2， ， ，则 的最大值
是 ．
【解析】如图，设 ， ，
由 ，且 ， ，
分别以 ， 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的 的最大值为6．
故答案为：6．
考点三 平面向量的基本定理
10．（2022•新高考Ⅰ）在 中，点 在边 上， ．记 ， ，
则
A． B． C． D．
【解析】如图，
，
，即 ．
故选： ．
考点四 平面向量数量积的运算
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】11．（2023•上海）已知向量 ， ，则 ．
【解析】 向量 ， ，
．
故答案为：4．
12．（2021•浙江）已知非零向量 ， ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】当 且 ，则 ，但 与 不一定相等，
故 不能推出 ，
则“ ”是“ ”的不充分条件；
由 ，可得 ，
则 ，即 ，
所以 可以推出 ，
故“ ”是“ ”的必要条件．
综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选： ．
13．（2021•上海）如图正方形 的边长为3，求 ．
【解析】由数量积的定义，可得 ，
因为 ，所以 ．
故答案为：9．
14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量 ， ， ，则
．
【解析】方法1：由 得 或 或 ，
或 或 ，
又 ， ， ， ， ，
， ， ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】故答案为： ．
方法 ．
故答案为： ．
15．（2020•上海）三角形 中， 是 中点， ， ， ，则
．
【解析】 在 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
，且 是 的中点，
．
故答案为： ．
16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ， ，则
A． B．
C． D．
【解析】法一、 ， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ，
则 ， ，则 ，故 正确；
，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】，故 错误；
，
，
，故 正确；
，
，
，故 错误．
故选： ．
法二、如图建立平面直角坐标系，
，作出单位圆 ，并作出角 ， ， ，
使角 的始边与 重合，终边交圆 于点 ，角 的始边为 ，终边交圆 于 ，
角 的始边为 ，交圆 于 ，
于是 ， ， ， ，
由向量的模与数量积可知， 、 正确； 、 错误．
故选： ．
17．（2022•上海）若平面向量 ，且满足 ， ， ，则
．
【解析】由题意，有 ，则 ，设 ，
则 得， ，
由同角三角函数的基本关系得： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】则 ，
，
则 ．
故答案为： ．
18．（2020•山东）已知 是边长为2的正六边形 内的一点，则 的取值范
围是
A． B． C． D．
【解析】画出图形如图，
，它的几何意义是 的长度与 在 向量的投影的
乘积，显然， 在 处时，取得最大值， ，可得
，最大值为6，
在 处取得最小值， ，最小值为 ，
是边长为2的正六边形 内的一点，
所以 的取值范围是 ．
故选： ．
19．（2021•上海）在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在
，使得 ；②存在 ，使得 ；它们的成立情况是
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【解析】不妨设 ， ， ， ， ，
① ， ，
若 ，则 ，即 ，
满足条件的 存在，例如 ，满足上式，所以①成立；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】② 为 中点， ， 与 的交点即为重心 ，
因为 为 的三等分点， 为 中点，
所以 与 不共线，即②不成立．
故选： ．
20．（2022•浙江）设点 在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
【解析】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标
系，如图所示，
则 ， ， ， ， ， ， ，
，
设 ，
则
， ，
，
，
即 的取值范围是 ， ，
故答案为： ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】21．（2021•浙江）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
．记平面向量 在 ， 方向上的投影分别为 ， ， 在 方向上的投
影为 ，则 的最小值是 ．
【解析】令 ，
因为 ，故 ， ， ， ，令 ，
平面向量 在 ， 方向上的投影分别为 ， ，设 ，
则： ，
从而： ，故 ，
方法一：由柯西不等式可得 ，
化简得 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 ．
方法二：则 表示空间中坐标原点到平面 上的点的距离的平
方，
由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可
得：
．
故答案为： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】考点五 平面向量的数量积的应用
22．（2023•新高考Ⅰ）已知向量 ， ．若 ，则
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
， ，
由 ，得 ，
整理得： ，即 ．
故选： ．
23．（2023•新高考Ⅱ）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【解析】 ， ，
， ，
， ，
．
故答案为： ．
24．（2022•新高考Ⅱ）已知向量 ， ， ，若 ， ，
则
A． B． C．5 D．6
【解析】 向量 ， ， ，
，
， ， ，
， ，
解得实数 ．
故选： ．
25．（2020•浙江）已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ，
，向量 ， 的夹角为 ，则 的最小值是 ．
【解析】设 、 的夹角为 ，由 ， 为单位向量，满足 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】解得 ；
又 ， ，且 ， 的夹角为 ，
所以 ，
，
；
则 ，
所以 时， 取得最小值为 ．
故答案为： ．
考点六 复数的基本概念
26．（2022•浙江）已知 ， ， 为虚数单位），则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解析】 ， ， ，
， ，
故选： ．
27．（2020•浙江）已知 ，若 为虚数单位）是实数，则
A．1 B． C．2 D．
【解析】 ，若 为虚数单位）是实数，
可得 ，解得 ．
故选： ．
考点七 复数的几何意义
28．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内， 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】则在复平面内， 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．
29．（2021•新高考Ⅱ）复数 在复平面内对应点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ，
在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ， ，位于第一象限．
故选： ．
考点八 复数的运算
30．（2023•新高考Ⅰ）已知 ，则
A． B． C．0 D．1
【解析】 ，
则 ，
故 ．
故选： ．
31．（2022•新高考Ⅱ）
A． B． C． D．
【解析】 ．
故选： ．
32．（2021•浙江）已知 ， 为虚数单位），则
A． B．1 C． D．3
【解析】因为 ，即 ，
由复数相等的定义可得， ，即 ．
故选： ．
33．（2020•海南）
A． B． C． D．
【解析】 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】故选： ．
34．（2020•山东）
A．1 B． C． D．
【解析】 ，
故选： ．
35．（2023•上海）已知复数 为虚数单位），则 ．
【解析】 ，
．
故答案为： ．
36．（2021•上海）已知 ， ，求 ．
【解析】因为 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
37．（2020•上海）已知复数 为虚数单位），则 ．
【解析】由 ，得 ．
故答案为： ．
38．（2019•上海）已知 ，且满足 ，求 ．
【解析】由 ，得 ，即 ．
故答案为： ．
39．（2019•浙江）复数 为虚数单位），则 ．
【解析】 ．
．
故答案为： ．
考点九 共轭复数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】40．（2022•新高考Ⅰ）若 ，则
A． B． C．1 D．2
【解析】由 ，得 ，
，则 ，
．
故选： ．
41．（2021•新高考Ⅰ）已知 ，则
A． B． C． D．
【解析】 ，
．
故选： ．
42．（2022•上海）已知 （其中 为虚数单位），则 ．
【解析】 ，则 ，所以 ．
故答案为： ．
43．（2020•上海）已知复数 满足 ，则 的实部为 ．
【解析】设 ， ．
复数 满足 ，
，
可得： ， ，解得 ， ．
则 的实部为2．
故答案为：2．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】
