文档内容
第十三章 轴对称压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形..............................................................................................1
压轴题型二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形..............................................................................................7
压轴题型三 利用倍角关系构造新等腰三角形......................................................................................................15
压轴题型四 等腰三角形中底边有中点时，连中线..............................................................................................21
压轴题型五 等腰三角形中底边无中点时，作高..................................................................................................26
压轴题型六 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形................................................................................32
压轴题型七 共顶点的等边三角形手拉手模型......................................................................................................40
压轴题型八 共顶点的等腰直角三角形手拉手模型..............................................................................................46
压轴题型九 共顶点的一般等腰三角形手拉手模型..............................................................................................51
02 压轴题型
压轴题型一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形
例题：（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在 中， ， 与 的角平分线交于点
O，过点O作 ，分别交 于点M，N．
(1)证明： 是等腰三角形；
(2) 与 相等吗？对你的结论说明理由．
巩固训练1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在 中， 的平分线 交 于点 ， ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若 平分 交 于 ， ，在 边上取点 使 ，若 ，求
的长．
2．（2024·江西南昌·模拟预测）课本再现
（1）如图1， 是 的外角， 平分 ， ，则 ________ ．（填“>”“=”
或“<”）
类比迁移
（2）如图2，在 中， 是 的一条角平分线，过点 作 交 于点 ，求证：
．
拓展运用
（3）如图3，在 中， ， 是 角平分线 上一点，延长 至点 ，使 ，
过点 作 交 于点 ，猜想 与 的数量关系，并进行证明．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1， ， 平分 ，则 的形状
是 三角形；（2）如图2， 平分 ， ， ，则 ．
（3）如图3，有 中， 是角平分线， 交 于点D．若 ，则 ．
（4）如图4，在 中， 与 的平分线交于点F，过点F作 ，分别交 ， 于
点D，E．若 ，则 的周长为 ．
（5）如图，在 中， cm， 分别是 和 的平分线，且 ，
则 的周长是 ．
压轴题型二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
例题：（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形 中，点O在 上，点P在 的
延长线上，且 ．
(1)如图1，当点O为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论；
(2)如图2，当点O为 边上任意一点，确定线段 与 的大小关系，请你写出结论，并说明理由；
(3)在等边三角形 中，点O在直线 上，点P在直线 上，且 ，若 的边长为2，
，求 的长．巩固训练
1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线 ， 相交于点 ，点 ， 分别为直线 ， 上的
点， ，且 ，点 是直线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，运动过程
中始终满足 ．
(1)如图1，当点 运动到线段 的中点，点 在线段 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，当点 在线段 上运动，点 在线段 的延长线上时，试确定线段 与 的数量关系，
并说明理由．
2．（23-24八年级下·广东茂名·期中）（综合与实践）已知，在等边三角形 中，点E在 上，点D
在 的延长线上，且 ．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，请你直接写
出结论： ______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为 边上任意一点时，确定线段 与DB的大小关系，请你
直接写出结论， ______ （填“ ”、“ ”或“ ”）；理由如下，过点E作 ，交 于
点F．（请你完成以下解答过程）：
(3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在线段 的延长线上，且 ，若 的边长为1， ，求 的长（直接写出结果）．
压轴题型三 利用倍角关系构造新等腰三角形
例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的
添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另
一长边相等，解答下列问题：如图1，在 中，交 于点D， 平分 ，且 ．
(1)为了证明结论“ ”，小亮在AC上截取 ，使得 ，解答了这个问题，请按照小亮
的思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形 中，已知 ， ， ， ， ，
，求 的长．
巩固训练
1．在 中， ，点 在边 上， ，点 在线段 上， ．
(1)如图 ，若点 与点 重合，则 ______ ；
(2)如图 ，若点 与点 不重合，试说明 与 的数量关系；
(3)在（1）的情况下，试判断 ， 与 的数量关系，并说明你的理由．2．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在 中，点 是 边上一点，
点 是 延长线上一点， 交 于点 ，点 是 上一点，连接
于点 ．
(1)写出图1中与 相等的角， ______；
(2)如图1，若 ，在图中找出与 相等的线段并证明；
(3)如图2，若 ，求 的长度．
压轴题型四 等腰三角形中底边有中点时，连中线
例题：（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，D为 的中
点， 于E．
(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
巩固训练1．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交
于点F，D为线段 的中点，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
2．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知 中， ， ，点D为 的中点，
点 、 分别在直线 上运动，且始终保持 ．
(1)如图①，若点 分别在线段 上， 与 相等且 与 垂直吗？请说明理由；
(2)如图②，若点 分别在线段 的延长线上，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．
压轴题型五 等腰三角形中底边无中点时，作高
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．巩固训练
1．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在 中，点 是边 上的两点．
(1)如图1，若 ， ．求证： ；
(2)如图2，若 ， ，设 ， ．
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下， ，请直接写出 的度数．
2．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在 中， ，过点C作射线 ，使
（点 与点B在直线 的异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线
段 上，且 ．(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式
子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
压轴题型六 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， 是 的中点，过点
作 交 的延长线于 ，交 于 ，交 的延长线于 ．
求证：
(1) ；
(2) ．巩固训练
1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）
(1)【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点A为 上一点，过点A作
，垂足为C，延长 交 于点B，可根据 证明 ，则 ，
（即点C为 的中点）．
(2)【类比解答】
如图2，在 中， 平分 ， 于E，若 ， ，通过上述构造全等
的办法，可求得 ．
(3)【拓展延伸】
如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足E在 的延长线上，试
探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地
进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取 的角平分线 ；②过点A作 于D．已知
， ， 面积为20，则划出的 的面积是多少？请直接写出答案．
2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
如图1，点 在 的角平分线上，过点 作 的垂线分别交 、 于点 、 ．求证：
．请你帮助完成此证明．
【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（1）将图1沿着过点 的直线 折叠，得到图2，使点 正好与边 上的点 重合，此时测得
．求 的度数．
（2）如图3， ， 平分 交 于 ，若 ， ，求边 的长度．
【拓展提升】
（3） 如图4， 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 ， 米， 米．
该绿化带中修建了健身步道 、 、 、 、 ，其中入口 、 分别在 、 上，步道 、
分别平分 和 ， ， ．现要用围栏完全封闭 区域，修建地下排水
和地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）压轴题型七 共顶点的等边三角形手拉手模型
例题：（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1，
条件：（1） 和 都是等腰三角形；
（2） （顶角相等）
结论： ．
解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证： ，利用边角边证得
．
解决问题：如图2， 和 都是等边三角形．B，C，D三点共线， 与 相交于点O， 与
交于点F， 与 交于点G．
(1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
(2)求 的度数．
巩固训练
1．（2024·四川内江·一模）如图，点P在等边 内，点 在 外，分别连结接
， ．(1)求证： ；
(2)连接 ，求证： 是等边三角形．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， ，其中
．
(1)求证： ；
(2)如图2，当点 在一条直线上时， 交 于点 ， 交 于点 ，求证： ；
(3)利用备用图补全图形，直线 ， 交于点 ，连接 ，若 ， ，直接写出 的长．
3．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．
教材再现：如图， ， 都是等边三角形．求证： ．(1)请写出证明过程；
继续研究：
(2)如图，在图 的基础上若 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ，求
证： 平分 ；
(3)在（ ）的条件下再探索 ， ， 之间的数量关系，并证明．
压轴题型八 共顶点的等腰直角三角形手拉手模型
例题：（2023春·全国·八年级专题练习） 和△ADE都是等腰直角三角形， ．
(1)如图1，点D、E在 ， 上，则 ， 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证
明）
(2)如图2，点D在 内部，点E在 外部，连接 ， ，则 ， 满足怎样的数量关系和位
置关系？请说明理由．
巩固训练
1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1， 与 均为等腰直角三角形，
，则线段 、 的数量关系为_______， 、 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上， 为 中 边上的高，请判断
的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC
上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．
（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；
（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，
CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在
的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．
压轴题型九 共顶点的一般等腰三角形手拉手模型例题：（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知 中， ； 中， ；
，
(1)如图1，当 时，①求证： ；②求出 的度数；
(2)如图2，当 时，求∶
① 的度数；
②若 ， ，求 的长．
巩固训练
1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）【发现】如图①， ，求证：
；
【拓展】如图②， 和 均为等边三角形，点D、B、C在同一直线上，连结 ，则
______ ，若 ，则 _______．
【应用】如图③， 和 均为等腰直角三角形， ，点D、B、C在同一直线
上， 为 中 边上的高，连结 ，则 ______ ，若 ，则 ______．2．（23-24七年级下·河南开封·期末）（1）问题发现：
如图①，点D为等边 边 上一动点，以 为边作等边 ，连接 ．请猜想BD与CE的数量
关系为______， ______°．
（2）类比探究：
与 均为等腰直角三角形， ．如图②，若点D为线段 上一动点，则
BD与CE的数量关系为______， ______°，并写出证明的过程．
（3）拓展延伸
在（2）的基础上，若点D为线段 延长线上一动点，如图③，当 ， ，请直接写出四边形
的面积．
3．（23-24七年级下·山东济南·期末）【阅读材料】
小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，
始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1， 与 都是等腰三角形， ， ，且 ，则有 ；线段 和 的数量关系是 ．
【深入研究】（2）如图2， 与 都是等腰三角形， ， ，且
，请判断线段 和 的数量关系和位置关系，并说明理由；
【深化模型】（3）如图3， ， ，求证：
4．（2024八年级下·全国·专题练习）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角
形”．
(1)如图①，在 与 中， ，当 、满足条件____时， 与
互为“兄弟三角形”；
(2)如图②，在 与 互为“兄弟三角形”， ， 相交于点M，连 ，求证：
平分
(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，求 的度数．
