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13.2 与三角形有关的线段
题型一 构成三角形的条件
1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，8，4
C．10，6，5 D．2，4，2
【答案】C
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴长为1，2，3的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、∵ ，
∴长为3，8，4的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、∵ ，
∴长为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意；
D、∵ ，
∴长为2，4，2的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4，4，10 B．6，8，10 C．5，6，11 D．3，4，8【答案】B
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三
边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴长为4，4，10的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、∵ ，
∴长为6，8，10的三条线段能组成三角形，符合题意；
C、∵ ，
∴长为5，6，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、∵ ，
∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级上·北京·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，6，6 B．6，6，12 C．6，7，14 D．5，6，11
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是
解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即
可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案.
【详解】解：A、 ，以6，6，6为边能组成三角形，故A符合题意；
B、 ，以6，6，12为边不能组成三角形，故B不符合题意；
C、 ，以6，7，14为边不能组成三角形，故C不符合题意；
D、 ，以5，6，11为边不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：A.
4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列各组数中，不可能是一个三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，6 C．5，7，12 D．4，4，5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，能构成三角形，不符合题意；
B、 ，能构成三角形，不符合题意；
C、 ，不能构成三角形，符合题意；
D、 ，能构成三角形，不符合题意；故选：C
题型二 确定第三边的取值范围
1．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9， ，则 的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可．
本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·广东中山·期中）已知 的三条边长为2， ，7，则x的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式组，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边列出不等式是解题的关键．
根据题意，得出 ，解不等式组即可．
【详解】解：根据题意得， ，
解得： ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在 中， ， ，D为 中点，则线段 的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边”， 延长 至点E，使 ，连接 ，通过证明 ，得出 ，
再根据三角形三边之间的关系，得出 ，即可求解．
【详解】解：延长 至点E，使 ，连接 ，
∵D为 中点，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（22-23八年级上·吉林白城·期中）若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足 ，则
第三边的取值范围是
【答案】 /
【分析】由 可得 ， ，再利用三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的理解，利用非
负数的性质求解 是解本题的关键．题型三 三角形三边关系的应用
1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末） 为三角形三边长，化简
的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根
据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长，
所以 ，
，
，
．
故答案为：0．
2．（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数 ， 满足 ，则以 ， 的值为两边长的
等腰三角形的周长是 ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关
知识是解题的关键．
根据非负数的性质得到 则 ，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的
条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7，
∵ ，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7，
∵ ，∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为：17．
故答案为17．
3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长
为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键．
根据等腰三角形的定义分类讨论即可．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10，
当腰长是 ，底边长为 时，
∵ ，
∴不能构成等腰三角形；
当腰长是 ，底边长是 时，
∵ ，
∴符合等腰三角形的定义，
∴这个等腰三角形的周长为 ，
故答案为：24 ．
4．（24-25八年级上·全国·期中）用一根长 的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位： ）
分别为整数 、 、 ，且 ，则 最大可取 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长 和三角形的三
边关系即可得到结论．
【详解】解：∵细铁丝的长度为 ，即三角形的周长为 ，
∵ ，
∴a是这个三角形最长的边，
由三角形三边的关系，得 ，而 ，
∴ ，
解得， ，
∵a、b、c为整数，
∴a最大可取6．
故答案为：6．题型四 三角形的稳定性及四边形的不稳定性
1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形
的形状，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．
根据三角形具有稳定性求解即可．
【详解】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方
向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．美观性 C．不稳定性 D．稳定性
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．
【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用
三角形的稳定性，
故选：D．
3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳
定性解答即可．
【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩
功能，不运用三角形的稳定性，
故选：D．
4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（ ）
A． 太阳能热水器 B． 活动衣架
C． 三脚架 D． 篮球架
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可．
【详解】A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意；
C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
题型五 三角形中线的有关应用
1．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图， 是 的中线， ，若 的周长比
的周长大 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出 ，根据 的周长比
的周长大 ，得出 ，则 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ 的周长比 的周长大 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（阴影部分）的面积是4，则 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．
根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．
【详解】解：∵ 是 中点，
∴ ，∵ 是 中点，
∴ ， ，
∴
，
∴ ，
故选：C．
3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， 于点E， 为 边上的中线， 为
中 边上的中线．已知 ， ， 的面积为6．
（1） 与 的周长之差为 ；
（2） 的面积为 ；
（3） 的面积为 ．
【答案】 2 3 1.5
【分析】本题考查三角形的面积及三角形的中线性质，熟知以上知识是解题的关键．
（1）根据三角形的中线的定义，得到 ，再根据三角形周长的公式，代入化简，即可求得答案；
（2）根据三角形的中线的性质，中线 将 的面积平分，可得到 ，据此即可求解；
（3）根据三角形中线的性质，得到中线 将 的面积平分，进而得到 ，据此即可得
到答案．
【详解】解：（1）∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的周长之差为2．故答案为：2；
（2）∵ 为 边上的中线，
∴ ．
∴ ，
故答案为：3；
（3）∵ 为 边上的中线，
∴ ．
∴ ．
故答案为：1.5．
4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中， 是 边上的中线， ， 与
交于点F，若 的面积等于16．
（1） 的面积为 ；
（2）设 的面积为m， 的面积为n，则 ．
【答案】 4 /
【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键．
（1）设 边上的高为h，根据题意，得 ， ，结合 得
，代入计算即可．
（2）根据 是 边上的中线， 的面积等于16，得到 ，结合 的
面积为m， 的面积为n，得到 即 ，连接 ，根据 ，得到，根据 是 边上的中线， ，继而得到 ，得到 ，
代入解答即可．
【详解】（1）解：设 边上的高为h，根据题意，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4．
（2）解：根据 是 边上的中线， 的面积等于16，得到 ，
又 的面积为m， 的面积为n，得到 即 ，
如图，连接 ，根据 ，
得到 ，
又 是 边上的中线， ，
故 ，
解得 ，
故 ．
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图， 是 的中线， 是 的中线，已知
，则 的面积是 ．【答案】
【分析】本题主要考查三角形的中线把三角形面积平分的性质．由于 是 的中线，那么 和
的面积相等，又因为 是 的中线，由此得到 和 面积相等，而 ，由
此即可求出 的面积．
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，在 中 ， ， 边上的中线 把
的周长分成70和50两部分，求 和 的长．
【答案】 ，
【分析】先根据 和三角形的中线列出方程求解，分类讨论① ，② ，
注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．
【详解】解：设 ，则 ，边上的中线 把 的周长分成70和50两部分， ，
①当 ， 时，
，
解得： ，
，
，
，
，满足条件
，满足三边关系，
， ；
②当 ， 时，
，
解得： ，
，
，
，
，
不满足三角形的三边关系，
不合题意，舍去，
， ．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
题型六 三角形角平分线的定义
1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中线．则下
列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
【详解】∵ 是 的中线，
∴ ，A说法正确，不符合题意；
∵ 是角平分线，
∴ ，B说法正确，不符合题意；
∵ 是高，
∴ ，
∴ ，C说法正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，D说法错误，符合题意．
故选：D．
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图， 的中线 、角平分线 交于点O，则下列结论中正
确的是（ ）
A． 是 的角平分线 B． 是 的角平分线
C． 是 的中线 D． 是 的角平分线
【答案】D
【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得 ， ，逐项判断即可
判定 是 的角平分线．
【详解】解：A∵ 的角平分线 、中线 相交于点O，
∴ ， ，
在 中， 不一定等于 ，
∴ 不一定是 的角平分线，A错误；
B∵ 不一定等于 ，那么 不一定是 的角平分线，B错误；
C在 中， ， 不一定是 的中线，C错误；
D∵ ，
∴ 是 的角平分线，D正确；故选：D．
3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图， ， ， 分别是 的高、角平分线、中线，则下
列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，
中线，角平分线的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，A选项正确，不符合题意；
∵ 是 的角平分线，、
∴ ，B选项正确，不符合题意；
∵ 是 的中线，
∴ ，C选项错误，符合题意；
∵ 是 的高，
∴ ，D选项正确，不符合题意；
故选D．
4．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知 ， 平分 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵ ， 平分 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
5．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示， 是 的角平分线， 是 的角平分线．
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， 是 的角平分线，得出 ，根据 是 的
角平分线，即可得出 ．
【详解】解：∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分
为两份．
6．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作
，分别交 、 于点 、 ．若 ， ，则 的周长为 ．【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相
关知识．由 与 的平分线交于点 ，可得 ， ，结合平行线的性
质可推出 ， ，得到 ， ，继而可得 的周长等于
，即可求得答案．
【详解】解： 在 中， 与 的平分线交于点 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
的周长为 ，
故答案为： ．
题型七 画三角形的高
1．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片 按下面四种方式折叠，则 是 的
高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．也考查了折叠的性质． 为三角形的高，则 ．所以 ，然后对各选项
进行判断．
【详解】
解： 是 的高的是 ．
故选：D．
2．（24-25八年级上·广西柳州·期末）画 的边 上的高，下列画法中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂
线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可．
【详解】解：根据三角形高的定义可知，边 上的高是从点C向 作垂线，顶点C与垂足形成的线段，
即如下所示：
故选：D．
3．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图， 的边 上的高是（ ）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解；
【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段 是 的边 上的高，
故选：A ．
4．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在 中，作出 边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间
的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义， 边上的高是过点B向 作垂线垂足为D，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中， 是高， 是角平分线，它们相交于点F，
，求 和 的度数．【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，
由高线可得 ，由三角形的内角和可求得 ，从而可求得 ，
再利用角平分线的定义可得 ，再次利用三角形的内角和即可求 的度数．
【详解】解：∵ 是高，
∴ .
∵ ，
∴ ， ，
∴ .
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， ， ， 是边 上的高，
是 的平分线，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先证明
，求解 ， ， ，结合角平分线的定义可得 ，
再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解： 是边 上的高，
．
， ，
， ．
．
是 的平分线，
．
．
3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在 中， ，求
的值．
【答案】
【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法，求出 的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
4．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在 和 中， 和 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②， 是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中， 分别是 和 边上的点．若 ， ，求
和 的面积．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据 和 是等高三角形和 和 是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，
从而求出面积，
【详解】（1）解：如图，过点A作 ，
则．
（2） 和 是等高三角形，
，
；
和 是等高三角形，
，
．
