文档内容
第1讲 计数原理与概率（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】排列与组合问题............................................................................................................3
【考点二】二项式定理...................................................................................................................4
【考点三】概率.............................................................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.
2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.
3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天
从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰
有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．（2023·全国·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备
作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选
2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
二、填空题
6．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，
每次取1个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 之差
的绝对值不大于 的概率为 ．
7．（2024·全国·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
8．（2024·全国·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
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学科网（北京）股份有限公司则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
9．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选
修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
11．（2022·全国·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率
为 ．
12．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
考点突破
【考点一】排列与组合问题
核心梳理：
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
一、单选题
1．（23-24高三上·河南焦作·期末）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字
的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48 B．32 C．24 D．16
2．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､
丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（
）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排
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学科网（北京）股份有限公司成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法
C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法
D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法
4．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）正方体 的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定
一个四面体，所有这些四面体构成集合 ，则（ ）
A． 中元素的个数为58
B． 中每个四面体的体积值构成集合 ，则 中的元素个数为2
C． 中每个四面体的外接球构成集合 ，则 中只有1个元素
D． 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体
三、填空题
5．（2024·河北沧州·一模）有 位大学生要分配到 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，
每个单位至少要接收一位学生实习，已知这 位学生中的甲同学分配在 单位实习，则这 位学生实习的
不同分配方案有 种．（用数字作答）
6．（2024·江苏南通·模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲
乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有 种．
规律方法：
排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处
理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，
等价转化．
【考点二】二项式定理
核心梳理：
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将T 项写出并化简．
k＋1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式 用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024·浙江·二模） 展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
二、多选题
3．（2024·山西临汾·三模）在 的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
4．（2024·广西来宾·一模） 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0
C．含 项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16
三、填空题
5．（23-24高三上·山东滨州·期末） 的展开式中 的系数为 ．（用数字作
答）
6．（2024·云南楚雄·一模） 除以 的余数是 ．
规律方法：
二项式(a＋b)n的通项公式T ＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不
k＋1
是第k项；其中C是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第 k＋1项的系数是字
母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
【考点三】概率
核心梳理：
1．古典概型的概率公式
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学科网（北京）股份有限公司P(A)＝.
2．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝.
3．全概率公式
设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的
1 2 n 1 2 n i
事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母 个标有字母 .甲
先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有字母 的
球的概率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山西·二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外
取球（不放回），记事件 表示“第 次取出的球是黑球”， ，则下面不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（21-22高三上·江苏南通·阶段练习）已知 ， 分别为随机事件A，B的对立事件， ，
，则（ ）
A． B．
C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则
4．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全
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学科网（北京）股份有限公司相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰
有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台
加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起.已知第 台车床加工的零件数分别占总数的
.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 .
6．（2024·湖南衡阳·二模）已知有 两个盒子，其中 盒装有3个黑球和3个白球， 盒装有3个黑球
和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从 盒、乙从 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，
并将取出的2个球全部放入 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入 盒中．按上述
方法重复操作两次后， 盒中恰有7个球的概率是 ．
规律方法：
求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
专题精练
一、单选题
1．（2023·福建·模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国
际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任
务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去
B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．88 D．100
2．（2023·广东·模拟预测）如图，在两行三列的网格中放入标有数字 的六张卡片，每格只放一
张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．96种 B．64种 C．32种 D．16种
3．（2023·辽宁沈阳·一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置
之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
4．（2024·甘肃陇南·一模）已知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站
两端，则不同的排法共有（ ）
A．336 种 B．284种 C．264 种 D．186种
5．（2023·广东深圳·一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安
排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东德州·三模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·四川南充·二模）在二项式 的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有
的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．60 B．80 C．84 D．120
二、多选题
9．（2024·山西·三模）已知函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． 展开式中，二项式系数的最大值为
C． D． 的个位数字是1
10．（2023·山东·二模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶
数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
11．（2023·山东威海·一模）已知事件A，B满足 ， ，则（ ）
A．若 ，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若 ，则A与B相互独立
三、填空题
12．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有 3种题库， 题库有5000道题， 题库
有4000道题， 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成 题库的正确率是0.92， 题库的
正确率是0.86， 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
13．（2023·山东·一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零
件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随
机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批
产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占 ，则小张决定采购该
企业产品的概率为 ．
14．（2023·福建·模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，
则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 .
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