文档内容
13.2 垂直平分线的性质和应用
【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】
知识点1 ：线段垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂
线。
2.线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
3.线段垂直平分线性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【典例1】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分
AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）A．5 B．8 C．9 D．10
【变式1-1】（2024春•五华县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC
于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 ．
【变式1-2】（2024春•新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，作边
BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若AD＝3，则DE的长为 3 ．
【变式1-3】（2024•中山区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别
以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直
线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【典例2】（2023秋•浑江区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于
点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
【变式2-1】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂
足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【变式2-2】（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交
BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（
）
A．25° B．45° C．50° D．70°
【变式2-3】（2023秋•成都期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂
足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【变式2-4】（2023春•福田区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和
边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝5，则△CMN的周长为 ；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【典例3】（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在 A，B，C三个村庄附近建立一所
小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条中线的交点
【变式3-1】（2023秋•阿荣旗期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的
三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁
获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】
【典例4】（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l 交BC于点D，AC的
1
垂直平分线l 交BC于点E，l 与l 相交于点O，△ADE的周长为6．
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（1）AD与BD的数量关系为 AD ＝ BD ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【变式4-1】（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直
平分线，连接AD，CD．
（1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数；
（2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
【变式4-2】（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点
D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．【变式4-3】（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC
于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】
【典例5】（2023•胶州市模拟）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l 、l 表
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示直路，而l 表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l 和l 的距离相等，
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且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置．
【变式5-1】（2023秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，
建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的
距离相等．【变式5-2】（2022秋•黄埔区期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该
超市的位置P．
【变式5-3】（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公
路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离
也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
一、单选题
1．如图，D为BC上一点，CE垂直平分AD交AD于点E，已知AC=5，BC=8，则BD的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
2．如图，在△ABC中，AB=8，BC=12，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，则
△ABD的周长为（ ）
A．14 B．20 C．28 D．32
3．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢
凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应
放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点
4．如图，有甲、乙两种作图方式，根据圆规作图的痕迹，再利用直尺能够作出线段垂直平
分线的是（ ）
A．只有乙可以 B．甲、乙都不可以
C．只有甲可以 D．甲、 乙都可以
5．如图，在△ABC中，∠B=34°，∠ACB=78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α=（
）A．66° B．77° C．78° D．101°
6．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则
△PAQ的周长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周
长为50cm，则AC+BC=（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
8．如图，在长方形ABCD中，在AD、AC上分别截取AE、AF，使AE=AF，分别以
1
E、F为圆心、以大于 EF长为半径作弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG；又分
2
1
别以A、C为圆心，以大于 AC长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN；射线
2
AG和直线MN交于点P，则∠α的度数为（ ）A．68° B．56° C．54° D．45°
9．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点
1
B，点D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接MN交
2
AB于点E，已知AC=5，AB=9，则△ADE的周长为（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
二、填空题
10．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DE，分别交BC，AC于点D，E两点，连接
AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数是 °．
11．如图，在△ABC中，∠C=56°，利用尺规作图，得到直线DE和射线AF．若
∠EAF=22°，则∠B= °．
12．如图，已知线段AB，分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相交于点C,D．连接CD，
点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为．
13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，DM⊥CM，AD=2，BC=4，CD
长为 ．
三、解答题
14．如图，利用尺规在∠ABC内部求作一点P，使P到∠ABC两边的距离相等，且
PG=PH．（保留作图痕迹，不写作法）
15．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，
交AC于点D．连接DE．
(1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长．
(2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数．16．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点
D，DE∥AB，交BC于点E．
(1)请作出△BDE中BE边上的高
(2)求∠BDE的度数．
17．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分
别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
(1)若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
(2)若，求的度数．
