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专题 13.2 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
【人教版2024】
题型归纳
【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】..............................................................................................................2
【题型2 利用三角形的中线求长度】......................................................................................................................3
【题型3 利用三角形的中线求面积】......................................................................................................................4
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】..............................................................................................................5
【题型5 等积法求值】..............................................................................................................................................6
【题型6 与角平分线有关的求值】..........................................................................................................................7
【题型7 与角平分线有关的证明】..........................................................................................................................8
举一反三
知识点 1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角
形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部.
知识点 2 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任
意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.
知识点 3 三角形的高
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高的特性名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位
三角形内部 直角顶点 三角形外部
置
【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】
【例1】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高
【变式1-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
【变式1-2】（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定AD是△ABC的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AD，AE，BF分
别是△ABC的高线，中线和角平分线，且AD与BF相交于点G，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAD=∠C B．∠AGF=∠AFG C．S =S D．AC−AE<DE
△ABE △AEC
【题型2 利用三角形的中线求长度】
【例2】（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24
和12的两部分，则AB的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
【变式2-1】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若
CE=9cm，则BC= ．
【变式2-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，△ABC中，AB=10,AC=8，AD为BC边上的中
线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是 ．【变式2-3】（24-25八年级上·广西·期中）如图①是一张三角形纸片ABC，将BC对折使点C与点B重
合，如图②所示，折痕与BC的交点记为D．
(1)请在图②中画出△ABC边BC上的中线；
(2)若AB=10cm，AC=15cm，求△ACD与△ABD的周长差．
【题型3 利用三角形的中线求面积】
【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知△ABC的面积为36，点D,E分别在边BC，AC
上，且BD=CD，CE=2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，AM是△ABC的中线，CN是△ACM的中线．
(1)在△CMN中作CM边上的高；
(2)若△ABC的面积为36，CM=6，则点N到BC边的距离是多少？
【变式3-2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，△ABC的面积为S，作△ABC的中线AC ，
1取AB的中点A ，连接A C 得到第一个△A BC ；作△A BC 的中线A C ，取A B的中点A ，连接
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
A C 得到第一个△A BC …；重复这样的操作，则第2024个△A BC 的面积为 ．
2 2 2 2 2024 2024
【变式3-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部
分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是边BC上的中点，连接AD．求证： S =S ．
△ABD △ACD
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵点D是边BC上的中点，
∴BD=CD，
1 1
∵S = BD⋅AE，S = CD⋅AE，
△ABD 2 △ACD 2
∴S =S ．
△ABD △ACD
【拓展探究】
（1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S =6，则S =_____；
△ABC △ABD
（2）如图3，在 中，点D是 边上的点，且 ，求S 的值；
△ABC BC CD=2BD △ABD
S
△ABC
【问题解决】
（3）现在有一块四边形土地ABCD，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形
ABCD的面积．
（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．）【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
【例4】（24-25七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在△ABC中，AD是边BC上的高，∠ABC的平
分线与边AC交于点F．若∠ABC=50°，∠CAD=20°，求∠BFA的度数．”对于其答案．甲答：
∠BFA=110°．乙答：∠BFA=95°．丙答：∠BFA=135°．则正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙
【变式4-1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求
∠BAC的度数．
【变式4-2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在△ABC中，∠B=35°，AD是BC边上的高且
∠CAD=∠B，则∠BCA的度数是
【变式4-3】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知：BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交
所成的角中有一个角为56°，则∠BAC的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°）
【题型5 等积法求值】
【例5】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8
，BC=6，点D是边AB上一动点，作直线MN经过点C、点D，分别过点A，B作AF与MN垂直，BE与
MN垂直，垂足分别为点F，E．设线段BE，AF的长度分别为d ，d ，则d +d 的最大值为 ．
1 2 1 2
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC=15，BC=20，
AB=25．P是线段AB上的任意一点，连接PC，PC的长不可能是（ ）A．11 B．12 C．13 D．16
【变式5-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°(∠A<∠ABC)，点D，P
分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E．F．若S =24，AC=8
△ABC
，则DE+DF的值 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，过点D作
DP⊥AB，DP=3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM=4.2，则EN= ．
【题型6 与角平分线有关的求值】
【例6】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD是△ABC的（ ）
A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是
【变式6-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图△ABC中，已知∠ACB=60°，CM平分∠ACB，则∠BCM的度数是（ ）
A．15° B．30° C．35° D．45°
【变式6-2】（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，
AC，BD相交于O，DF平分∠CDO与AC相交于F，BE平分∠ABO与AC相交于E，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C（ ），
∴AB∥CD（ ），
∴∠ABO=∠CDO（ ），
∵BE，DF分别是∠ABO和∠CDO的平分线，
∴∠ABO=2∠2，∠CDO=2∠1，（ ）
∴2∠2=2∠1（ ），
即∠2=∠1．
【变式 】（ 七年级下重庆期中）如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交
点，连接6-O3A,O2B4-,2O5C，作△A·OB的·一条角平分线AD．若∠BAC=α，则∠1+∠2的度数为（ ）
3 1 1
A．90°+ α B．120°+ α C．160° D．180°− α
4 2 4
【题型7 与角平分线有关的证明】
【例7】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，△ABC中，AD是角平分线，BE⊥AD，垂足为E．(1)已知∠ABC=70°，∠C=30°，求∠ADB的度数；
(2)若∠ABC=3∠C，求证：∠DBE=∠C．
【变式7-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分
∠BAC交BC于点D，点E是边AC上一点，若∠ADE=40°，求证：DE∥AB．
【变式7-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CF是
∠ACB的平分线，交AD于E，交AB于F，求证：∠AEF=∠AFE．
【变式7-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP=40°，
∠PFD=130°，求∠EPF的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P作PM∥AB．
【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，求∠EPF的度数；
【应用】（3）如图③，在（2）条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
