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专题 14.3 全等三角形的判定（二）（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 数全等三角形的对数】..............................................................................................................................1
【题型2 全等三角形的动态问题】..........................................................................................................................3
【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】.....................................................................4
【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】.....................................................................5
【题型5 结合尺规作图的全等问题】......................................................................................................................7
【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】.........................................................................................8
【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】.....................................................................................9
【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】...............................................................................11
【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】.......................................................................................12
【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】...............................................................................13
知识点 判定两个三角形全等的常用思路
（1）找第三边——利用“SSS”；
已知两边 （2）找夹角——利用“SAS”；
（3）找直角——利用“HL”
（1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”；
已知一角与 （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”；
邻边 （3）找这边的对角——利用“AAS”；
已知一边一角
（4）若是直角找对边——利用“HL”
已知一角与 （1）找一角——利用“AAS”；
对边 （2）若是直角找一边——利用“HL”
（1）找夹边——利用“ASA”；
已知两角
（2）找夹边外任意一边——利用“AAS”
【题型1 数全等三角形的对数】
【例1】（上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷）如图，在△ABC中，线段AB=AC，
BD,CE都是△ABC的角平分线，连接DE，则图中的全等三角形的对数是（ ）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【变式1-1】如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，则图中的全等三角形的对数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】如图，点C，D分别在线段OA，OB上，AD与BC相交于点E，若OC=OD，∠A=∠B，
则图中全等三角形的对数为（）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【变式1-3】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一
点，连接BD、CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、
CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、
CF；…，依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
n(n−1) n(n+1)
A．2n−1 B．3(n+1) C． D．
2 2【题型2 全等三角形的动态问题】
【例2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC三条边的长都为10cm，三个内角都相等，点P、
Q同时从点A出发，点P以每秒1cm速度沿AB向点B运动，点Q以每秒4cm速度沿折线A−C−B运动，当
点Q到达点B时，点P也同时停止运动．如果点Q在边BC上，且以A、B、C中的两点和点Q为顶点构成的
三角形与△PAC全等，那么运动的时间为 秒．
【变式2-1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为
AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A
点运动，当点Q的运动时间为 秒时，△BPD与△CQP全等．
【变式2-2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）题目：“如图，已知△ABD≌△CDB，AD=8cm，
BD=10cm，动点P以1cm/s的速度从点A出发沿边AD向终点D移动，动点Q以2cm/s的速度从点B出发
沿边BC向终点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线BD向终点D移动，三点同时出发，当其中一点到
达终点时，其余两点也停止运动．连接PM、QM，求动点M的速度为多少时，存在某个时刻，使得以
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P、D、M为顶点的三角形与△QBM全等（点B与点D是对应点）．”甲答：3cm/s，乙答： cm/s，
8
10
丙答： cm/s，则正确的是（ ）
3
A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整
【变式2-3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在△ABC中，
∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm，直线l经过点C且与边AB相交，动点P从点A出发沿A→C→B路
径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为2cm/s和
3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l
于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为ts，则△PEC与△QFC全等时，t的值为 ．
【题型3 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的数量关系】
【例3】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）题目：“如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点
B作BC⊥BA交AN于点C，且BC=AB．动点E从点A出发，沿射线AN运动，作BD⊥BE，交直线
AM于点D．关于BD和BE的关系，下列说法正确的是（ ）
A．点E只有在线段AC上运动时，BD和BE才相等
B．点E只有在线段AC的延长线上时，BD和BE才相等
C．点E在运动过程中，BD和BE一直相等
D．无法判断
【变式3-1】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，∠F=∠M，EF∥NM，EF=NM
(1)试判断线段FG与MH的关系，并说明理由．
(2)证明EH=NG．
【变式3-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图1，等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D是射线AB上的一动点，△DCE是等腰直角三角形，
∠DCE=90°,CD=CE，连接BE．
(1)如图2，点D是AB的延长线上的一点，猜想AD、BE的关系，并证明你的结论；
(2)探究AB,BE,BD的数量关系，直接写出你的结论 ．
【变式3-3】（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE
是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
(1)求证：①△ABD≌△CAE；②BD=DE+CE；
(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？
请直接写出结果，不需证明．
【题型4 利用全等三角形的判定与性质确定线段间的位置关系】
【例4】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，
∠DAE=∠BAC．
【初步感知】（1）特殊情形：如图①，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB______EC．（填>、<或
=）
【发现证明】（2）将图①中△ADE的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请就
图②中给出的情况加以证明．
【深入研究】（3）如图③，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，则BD，CE满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【变式4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AB，CD的
延长线上，连接EF分别交AD，BC于点G，H，AB∥CD，AE=CF，EH=FG．
(1)△AEG与△CFH全等吗？为什么？
(2)判断线段AD与BC的位置关系，并说明理由．
【变式4-2】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，
∠BAC=α(0°<α<90°),D为射线BC上一动点（不与点B、C重合），在AD的右侧作△ADE，使得
AE=AD，∠DAE=∠BAC连接CE．
(1)若∠ABC=45°，则∠ADE=______．
(2)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(3)若点D运动到线段BC上某一点时，恰好有AB=CD+CE，问：线段CE与线段AB有什么位置关系并说
明理由．
【变式4-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°．点
D在AC上，点E在BC上，且CD=CE．则BE与AD的数量关系是________，直线BE与直线AD的位置关
系是________；
（2）如图2，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．则BE与AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由．
【题型5 结合尺规作图的全等问题】
【例5】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在△ABC中，以BC为一边作△BCD，使得
△ABC≌△DCB，画出所有符合条件的△BCD（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用两种不同方法作出BC边上的中点E．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【变式5-1】在课堂上，陈老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等
于两条已知线段，小明和小强两位同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．
那么小明和小
强两位同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL【变式5-2】课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
B′C′=BC
（1）画 ；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点
A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
{
B′C′=BC,
)
A′B′=_____,
A′C′=_____,
∴△A′B′C′≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【变式5-3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上
一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
CF与BE相交于点O，请探究线段BC、BF、CE之间的关系，请证明你的结论．
【题型6 构造全等三角形的常规辅助线（连接法）】
【例6】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则∠α+∠β= 度．
【变式 6-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求证：
∠B=∠E．
【变式6-2】如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（ ）
A．50∘ B．40∘ C．40∘或70∘ D．30∘
【变式6-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）D是等边三角形内一点，DB=DA，BP=AB，
∠DBP=∠DBC，则∠BPD的度数为______．【题型7 构造全等三角形的常规辅助线（作垂线法）】
【例7】如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交
DE于F.求证：EF=DF.
【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，BC⊥AC，AC=m，则△ACD的面
积等于( )
1
A. 2m2 B. m2 C. m2
2
1
D. m2
4
【变式7-2】如图，在△ABC和△≝¿中，AB=DE，BC=EF，∠B+∠E=180°.如果△ABC的面积
48cm2.那么△≝¿的面积为( )A. 48cm❑ 2 B. 24cm❑ 2 C. 54cm❑ 2 D. 96cm❑ 2
【变式7-3】如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，DE=AC，求证：
∠BAC=∠BED.
【题型8 构造全等三角形的常规辅助线（作平行线法）】
【例8】已知在等腰 ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接
DE，DE所在直线交△直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数
量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立
吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线
BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【变式8-1】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【变式8-2】如图△ABC是等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC，若AE=2，
那么BD=______
【变式8-3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，
点D在边CB的延长线上，且ED=EC．
(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；
(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
【题型9 构造全等三角形的常规辅助线（延长法）】
【例9】在四边形ABCD中，AB=1，CD=2，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，连接AE，DE，
AE⊥DE．
(1)∠AEB ______∠EDC；(填“>”“<”或“=”)
(2)AD= ______．【变式9-1】如图，∠AOB=∠EOF=90°，OA=OB，OE=OF，连结AE、BF，试着判断AE与BF的
关系，并证明你的结论．
【变式9-2】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD=180°，CD=4，则
BC的长为______．
【变式9-3】如图，已知AD//BC，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA．
(1)求：∠BEA度数．
(2)判断：AF、BG、AB之间关系，并证明．
【题型10 构造全等三角形的常规辅助线（截长补短法）】
【例10】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是
BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再
证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°，E，F分别是BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
2
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC、CD延长线上的
1
点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间
2
的数量关系，并证明．
【变式10-1】（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在
△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，垂足为D，则BD，CD，AC之间的等量关系是 ．
【变式10-2】如图，在 ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
△
【变式10-3】如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠ABC的平分线相交于点E，连接CE并延长交
AP于点D，试说明：AD+BC=AB．
