文档内容
专题 01 与三角形有关的线段与角的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用三角形的三边关系化简
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
类型三、三角形折叠中的角度问题
类型四、与三角形的内外角有关的问题
压轴专练
类型一、利用三角形的三边关系化简
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
例1．若 ， ， 是 的三边，试化简： ．
【变式1-1】已知a，b，c是三角形的三边长，化简 .
【变式1-2】已知 的三边分别为a,b,c．
(1)若 为整数，求 的周长．
(2)化简： ．
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为
我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线
段，列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连 作∠BAC 的平分线 AD，
语言 接AD． 交BC于点D．
标示
图形
1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
1．AD是△ABC的角平分
线．
2．AD是△ABC中BC边上 线．
的高． 2．AD 是△ABC 中 BC
2．AD 平分∠BAC，交
边上的中线．
符号 3．AD⊥BC于点D． BC于点D．
语言
4．∠ADC＝90°，∠ADB
＝90°． 3．BD＝DC＝ BC
3 ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 ＝
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中 ∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为 AD 平分∠BAC，所
以AD⊥BC．
推理
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以BD＝DC＝ 以∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
1．线段垂直． 1．线段相等．
用途
角度相等．
举例
2．角度相等． 2．面积相等．
1．与边的垂线不同．
注意
— 与角的平分线不同．
事项
2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要
延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征
一点． 点．
例2．如图， 是 的中线， 是 的高， ， ， ， ．
(1)求高 的长；(2)求 的面积．
【变式2-1】如图，在锐角 中，两条高线 相交于点O．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2， ， ， 与 的角平分线交于点M，求 的度数；
(3)如图3，对任意的锐角 ， 与 的角平分线交于点M，直接写出 的度数是
__________．
【变式2-2】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在 和 中， 和 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②， 是 的边 上的一点．若 ，则 __________；(2)如图③，在 中， 分别是 和 边上的点．若 ， ，求
和 的面积．
【变式2-3】在 中， ，D为直线 上任意一点，连结 ， 于点E， 于
点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，
∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
【变式2-4】【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以
，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
①若 是 的中线， ______．②若 ，则 ______．
(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的中点，依次连接
E，F，G，H得四边形 ．
①：直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______
②：若 ，则 _______．
类型三、三角形折叠中的角度问题
1. 性质运用：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴且垂直平分对应点
连线。可据此推导线段长度与角度关系，如在直角三角形折叠中，利用对应边相等结合勾股定理求边长。
2. 角度计算：通过对应角相等，结合三角形内角和 180°、外角性质等知识，推导折叠产生的新角度。如折
叠后出现的重叠角、翻折角，需分析其与原三角形内角的数量关系。
3. 辅助线与方程思想：复杂折叠常需作辅助线连接对应点，构造全等三角形或直角三角形。对于求边长、
角度等未知量，常设未知数，根据折叠性质和几何定理建立方程求解，将几何问题代数化 。
例3．如图，等边三角形纸片 中，点 在边 （不包含端点 ， ）上运动，连接 ，将
对折，点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ；将 对折，点 落在直线 上的点 处，得
到折痕 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)试问： 的大小是否会随着点 的运动而变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理由．
【变式3-1】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分
线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在 中， 的角平分线交于点P，若 ．则 ______；
(2)【问题推广】如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过
点B作 于点H，若 ，则 ______；
(3)如图3，如图3，在 中， 、 的角平分线交于点 ，将 沿DE折叠使得点 与
点 重合．
①若 ，则 ______；
②若 ，求证： ；
(4)【拓展提升】在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连
接 的角平分线交于点Q，若 ，直接写出∠Q和α，β之间
的数量关系．
【变式3-2】综合与探究
(1)如图1，将 沿着 第一次折叠，顶点 落在 的内部点 处，试探究 与 之间的
数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将 沿着 第二次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，求 的度数．
(3)如图3，将 沿着 第三次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，用含 ， 的代
数式表示 ．
【变式3-3】（1）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠，使点 落在边 上的 处，若
，则 ______ ；
（2）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠 点 ， 分别在边 和 上 ，并使得点 和点
重合，若 ，则 ______ ；
（3）如图 ，将长方形纸片沿着 和 折叠成如图所示的形状， 和 重合，
① 的度数是多少？请说明理由；
②如果 ，求 的度数．
类型四、与三角形的内外角有关的问题
1.内角和定理：三角形三个内角的和恒为180°。此定理是基础，可用于已知两角求第三角，或结合方
程思想，设未知数求解含参数的三角形角度问题，如等腰三角形中已知顶角与底角关系求各角度数。
2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个与它不相邻的内角。
利用该性质可实现角的等量代换和大小比较，常用于几何证明与角度推导，如证明三角形中角的不等关
系。
3.内外角关系：三角形的一个内角与相邻外角互补，其度数之和为180°。同时，三角形外角和为
360°，无论三角形形状如何，这一规律始终成立，可用于快速检验角度计算结果的正确性或解决多边
形外角相关拓展问题。
例4．如图，在 中， 与 的平分线相交于点P， 的外角 与 的平分线
相交于点Q，延长 相交于点F．(1)若 ，求 的度数；
(2)在 中，若 ，求∠A的度数．
【变式4-1】[实验探究]
（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板 的两条直角边分别经过点 ，点 ，且 ，则
______；
（2）在图1的基础上，三角板 保持不动，将三角板 旋转得到图2，使三角板 的两条直角边
依然分别经过点 ，点 ，则 ______．
[猜想证明]
如图3，试猜想 之间的关系，并证明．
[结论应用]
请直接利用以上的结论，解决问题：如图4， 与 的角平分线交于点 ，若 ，
，求 的度数．【变式4-2】如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上的点，点 是平面内一动点．
令 ， ， ．
(1)若点 在线段 上，如图1所示， ，求 的值；
(2)若点 在边 上运动，如图2所示，则 、 、 之间的关系________；
(3)若点 运动到边 的延长线上，如图3所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点 运动到 外，如图4所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由．
【变式4-3】在 中， 与 的平分线相交于点P．
(1)如图1， ， ，求 的度数．
(2)如图2，如果 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
(3)如图3，作 的外角 的平分线交 的延长线于点D．
①试探究 ， 之间的数量关系．
②在 中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出 的度数．一、单选题
1．如图，点 是线段 延长线上的点， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在直角三角形 中， ，把三角形 沿 方向平移得到三角形 平分
分别交 于点 、 、 ．则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交
于点 ，给出以下结论： ； ； ； ；； ，⑦ ，其中结论错误的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
5．如图，在 中， 是 的高线， 是 的角平分线， ， ，则
的度数为 ．
6．已知 的三边分别为 ，化简：
7．在 中， ，E是 上的一点，且 与 相交于点F， ．若 的面积为
1，则 的面积为 ．
8．如图， ，点E在 的延长线上， 交 于点F， ， ，点P为线段
上一点，点Q为 上一点，且 ．（1） ；（用含x的代数式表示）
（2）若 平分 ，则 的度数为 ．
三、解答题
9．已知： 的三边长分别为a，b，c．
(1)化简： ；
(2)若a，b，c满足 ，试判断 的形状．
10．如图， 为 的中线， 为 的中线．
(1)已知 ， 的周长为 ，求 的周长；
(2)在 中作 边上的高；
(3)若 的面积为40， ，则点 到 边的距离为多少？
11．数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的
作品如下：
(1)小香：如图1，已知 的高 ，面积为 ，求 的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是 中点， ， ，求 ．
(3)小宇：如图3，已知 平分 ， ， ，求 ．
12．（1）如图1，在 中， ， ， ， ， 于点D，求 的
长；（2）如图2，在 中， ， ，求 的高 与 的比；
（3）如图3，在 中， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，
，垂足分别为点 ， ．若 ，求 的值．
13． 中， ，点D，E分别是 边 上的点，点P是一动点，令 ，
．
初探：
（1）如图1，若点P在线段 上，且 ，则 ________ ；
（2）如图2，若点P在线段 上运动，则 之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段 的延长线上运动，则 之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到 的内部，写出此时 之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到 的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时 之间的关系，并说
明理由．
14．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个
相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线 为 的“美丽线”．（1）如图2，在 中， ， ，请利用直尺和量角器在图2中画出 的“美丽线”
（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在 中， ， ．若 存在过点C的“美丽线”，试探究 与 的关系．
下面是对这个问题的部分探究过程：
设 为 的“美丽线”，点D在边 上，则 与 中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当 时，因为 ，所以 ________，且 为锐角，则 为钝
角，所以在 中， ．由此可以得到 与 的关系为________，其中 的取值范围为
________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出 与 的关系．
