文档内容
专题 01 与三角形有关的线和角的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、利用三角形的三边关系化简................................................................................................................3
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题..........................................................................4
类型三、三角形折叠中的角度问题..................................................................................................................14
类型四、与三角形的外角有关的问题..............................................................................................................21
类型五、多边形的内角和与外角和综合问题...................................................................................................30
压轴能力测评（12题）....................................................................................................................................35
解题知识必备
1.三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
2.三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连 作∠BAC 的平分线 AD，
语言 接AD． 交BC于点D．
标示
图形1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
1．AD是△ABC的角平分
2．AD是△ABC中BC边上 线．
线．
的高． 2．AD 是△ABC 中 BC
2．AD 平分∠BAC，交
符号 3．AD⊥BC于点D． 边上的中线．
BC于点D．
语言 4．∠ADC＝90°，∠ADB
＝90°． 3．BD＝DC＝ BC
3 ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 ＝
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中
∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为 AD 平分∠BAC，所
推理 以AD⊥BC．
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以BD＝DC＝ 以∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
用途 1．线段垂直． 1．线段相等．
角度相等．
举例 2．角度相等． 2．面积相等．
注意 1．与边的垂线不同．
— 与角的平分线不同．
事项 2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要
延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征
一点． 点．
3.三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
4.三角形的外角
1．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
压轴题型讲练
类型一、利用三角形的三边关系化简
例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若 ， ， 是 的三边，试化简：
．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到
， ，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边
之和大于第三边．
【详解】解：∵ ， ， 是 的三边，∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为： ．
【变式训练1】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简
.
【答案】
【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系
化简绝对值，再进行整式加减即可.
【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴ ，
∴ ，
∴
【变式训练2】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知 的三边分别为a,b,c．
(1)若 为整数，求 的周长．
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边
关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定 、 、 的正负，再化简绝对值，然后再合并同类
项即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
，即 ，
∵c为整数，
∴ ， 的周长为 ．
（2）解： 的三边长为a，b，c，，
．
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
例题1：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图， 是 的中线， 是 的高， ，
， ， ．
(1)求高 的长；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的高，中线：
（1）根据 ，即可求解；
（2）根据三角形中线的定义可得 ，再由三角形的面积公式计算，即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的高， ．
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ 是 的中线， ，
∴ ，∴ 的面积 ．
例题2：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把 的三边 、 和 分别向外延长一倍，将得
到的点 顺次连接成 ，若 的面积是5，则 的面积是 ．
【答案】35
【分析】连接 ，由题意得： ，由三角形的中线性质即可得
出 的面积．
【详解】解：连接 ，如图所示：
由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两
部分是解题的关键．
例题3：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)当 ， ， 时，求点 到直线 的距离．
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正
确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，根据三角
形的内角和定理即可得到结论；
（3）过 作 于 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
；
（3）解：过 作 于 ，
，
，
，
，
故点 到直线 的距离为 ．
【变式训练1】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角 中，两条高线 相交于点O．(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2， ， ， 与 的角平分线交于点M，求 的度数；
(3)如图3，对任意的锐角 ， 与 的角平分线交于点M，直接写出 的度数是
__________．
【答案】(1) 的度数为 ；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高．
（1）利用垂直的性质求得 ， ，再利用三角形内角和定理即可求
解；
（2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解；
（3）同（2）计算即可求解．
【详解】（1）解：∵锐角 中，两条高线 相交于点O，
∴ ， ，
∴
，
答： 的度数为 ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 与 的角平分线交于点M，
∴ ， ，
∴ ；∴ ；
（3）解：∵锐角 中，两条高线 相交于点O，
∴ ，
，
∵ 与 的角平分线交于点M，
∴ ， ，
∴
；
∴ ．
【变式训练2】（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在 和 中， 和 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②， 是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中， 分别是 和 边上的点．若 ， ，求
和 的面积．
【答案】(1)
(2) ，【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据 和 是等高三角形和 和 是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，
从而求出面积，
【详解】（1）解：如图，过点A作 ，
则
．
（2） 和 是等高三角形，
，
；
和 是等高三角形，
，
．
【变式训练3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在 中， ，D为直线 上任意一点，
连结 ， 于点E， 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2） ， ， ， ；（3） 与 的数
量关系为 ，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．
（1）过点B作 交 于一点E，即可作答．
（2） ，根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．
（3）同理得 ，因为点D为 中点，所以 ，结合
，化简得 ，即可作答．
（4）同理结合面积之间的关系列式化简， ，即可作答．
【详解】解：（1）依题意， 边上的高 如图所示：
（2） ；
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）过点B作 交 于一点G，
∵ ，∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（4）过点B作 交 于一点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
【变式训练4】（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以
，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
①若 是 的中线， ______．
②若 ，则 ______．(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的中点，依次连接
E，F，G，H得四边形 ．
①：直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______
②：若 ，则 _______．
【答案】(1)① ②
(2)① ②30
【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的
关键．
（1）①根据中线的性质可得 ，点 为 的中点，推得 是 的中线， ，
得到 ，即可得出结果；
②设 边 上的高为 ，根据三角形的面积公式可得 ， ，即可推
得 ，同理推得 ，即可求得 ，即可证明 ；
（2）①连接 ， ， ，根据中线的判定和性质可得 ， ，
， ，推得 ， ，即
可求得 ，即可证明 ，
②由①可得 ，同理可证得 ，根据
，即可推得 ，即可求解．
【详解】（1）解：①证明：∵ 是 的中线，
∴ ，点 为 的中点，
∴ 是 的中线，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴
② ，
解：设 边 上的高为 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
同理 ，
则 ，
即 ，
∴ ．
（2）①证明：连接 ， ， ，如图：
∵点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
即 ；
②由①可得 ，同理可证得 ，
，即 ，
∵ ，
∴ ．
类型三、三角形折叠中的角度问题
例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片 中，点 在边 （不包含端点 ，
）上运动，连接 ，将 对折，点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ；将 对折，
点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试问： 的大小是否会随着点 的运动而变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．
（1）根据折叠得出 ， ，根据 ，求出
，即可求出结果；
（2）根据 ， ，得出 ，即
可得出结论．
【详解】（1）解：∵将 对折，得到折痕 ，
∴ ，
∵将 对折，得到折痕 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：不变．理由如下：∵ ， ， ，
∴ ，
即 ．
∴ 的大小不随点 的运动而变化．
【变式训练1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究
过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的
研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在 中， 的角平分线交于点P，若 ．则 ______；
(2)【问题推广】如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过
点B作 于点H，若 ，则 ______；
(3)如图3，如图3，在 中， 、 的角平分线交于点 ，将 沿DE折叠使得点 与点
重合．
①若 ，则 ______；
②若 ，求证： ；
(4)【拓展提升】在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连
接 的角平分线交于点Q，若 ，直接写出∠Q和α，β之间
的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②见解析
(4)F在E左侧 ；F在 之间 ；F在D右侧 ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到 ，再由三角形外角的性质得到
，根据三角形内角和定理推出 ，再由垂线的定义得到，据此求解即可；
（3）①同（1）求得 ，由折叠的性质可得 ，据此计算即可求解；
②证明 ，同①即可证明 ；
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）解：①∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
；
当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得 ，
，∴
；
当点F在D点右侧时，如图4-3所示：
同理可得
；
综上所述，F在E左侧 ；F在 之间 ；F在D右侧 ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线
的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【变式训练2】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究
(1)如图1，将 沿着 第一次折叠，顶点 落在 的内部点 处，试探究 与 之间的
数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将 沿着 第二次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，求 的度
数．
(3)如图3，将 沿着 第三次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，用含 ， 的代
数式表示 ．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2)(3)
【分析】（1）由折叠的性质得出 ， ，由平角的定义及三角形内角和定理可
得出答案；
（2）由（1）可知 ， ，求出 ，则可得
出答案；
（3）由（2）可知 ， ，求出 ，由周角的定义
求出 ，则可得出答案．
【详解】（1） ．
理由：由折叠得： ， ，
，
，
；
（2）由（1）可知 ， ，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）可知 ， ，
，
， ，
，
又
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键．
【变式训练3】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠，使点 落在边 上的 处，若 ，则 ______ ；
（2）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠 点 ， 分别在边 和 上 ，并使得点 和点
重合，若 ，则 ______ ；
（3）如图 ，将长方形纸片沿着 和 折叠成如图所示的形状， 和 重合，
① 的度数是多少？请说明理由；
②如果 ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；②
【分析】（1）利用对折性质可知 是 角平分线，由此即可求解；
（2）根据三角形的内角和可知 ，根据折叠可知 的度数，利用两
个平角和等于 ，由此即可求解；；
（3）①根据折叠可得 ， ，且 ，代入计
算即可；
② ，代入计算即可．
【详解】解：（1）由对折性质可知， 是 角平分线，
∴ ，
故答案为： ．
（2）在 中， ， ，
∴ ，
根据折叠的性质得， ，
∴ ，
∵ ，
，
故答案为： ．
（3）①由折叠的性质可知： ， ，且 ，
，
②根据折叠的性质及上述知识可知，．
【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键．
类型四、与三角形的外角有关的问题
例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线 ，直角 的直角顶点A在直线 上，边
在直线 上， 的平分线与 的外角的平分线交于点 ．
(1)如图 ， __________；
(2)如图 ， 的平分线交 于点 ，请判断 与 数量关系，并说明理由；
(3)如图 ， ， 与 交于点 ，将 绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，同时
绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，当 旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋
转过程中边 与 的边平行时旋转的时间 的值．
【答案】(1) ；
(2) ，见解析；
(3) 秒或 秒或 秒．
【分析】（1）先根据角平分线定义得到 ，再由三角形外角的性质推
出 ，则 ；（2）过点P作 ，则 ，由平行线的性质推出 ，再由角平分
线的定义得到 ，进而可得 ，则 ；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ 分别平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
如图所示，过点P作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3所示，没有旋转时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
如图3-1所示，当 时，延长 分别交 于T、F，设 交于S，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由题意得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；如图3-2所示，当 时，延长 交 于S，设 交 于T，
由题意得， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，延长 交 于T，延长 交 于S，
由题意得， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴
∴此时 ；综上所述， 秒或 秒或 秒时，在旋转过程中边 与 的边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义
等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式训练1】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知： ，点 在直线 上，连接 ．
(1)如图1，若 ．求证： ；
(2)若 ， 的平分线与 分别交于点 ．
①如图2，当点 在边 上（不与 重合）时，求证： ；
②当点 在 的延长线上时，“ ”是否依然成立？画出图形，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 证明见解析； 成立，作图见解析，理由见解析
① ②
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角：
（1）根据同角的余角相等，即可得证；
（2）①根据角平分线的性质结合三角形的外角，即可得证；②根据题意，补全图形，根据三角形的内角
和定理结合对顶角相等，即可得证．
【详解】（1）解：
．
．
．
（2）① 平分
．．
．
．
② 成立．
如图．
平分
．
．
且
．
又
．
【变式训练2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践
在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型
加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一
半．
【结论探究】
（1）如图1，在 中，点E是 内角 平分线 与外角 的平分线 的交点，则有
，请给出证明过程．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】
（2）如图2，在 中， ．延长 至G，延长 至H，已知 、 的角平分线
与 的角平分线及其反向延长线交于E、F，求 的度数；【变式拓展】
（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．已知 ，
，求 的度数和是多少？
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案
（2）先推导出 ，再推导出 ，进而可以求解
（3）延长 ， 交于点M，延长 、 交于点N，可得 ，进而即可求解
【详解】解：（1）如图，
∵点E是 内角 平分线 与外角 的平分线 的交点
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，
∵ ， 、 的角平分线与 的角平分线及其反向延长线交于E、F，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（3）延长 ， 交于点M，延长 、 交于点N，
如图所示，∵ 、 平分
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性
质，是解题关键．
【变式训练3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在 中， 与 的平分线相交于点
P．
(1)如图1， ， ，求 的度数．
(2)如图2，如果 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
(3)如图3，作 的外角 的平分线交 的延长线于点D．
①试探究 ， 之间的数量关系．
②在 中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2)(3)① ；② 或 或 或
【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分
类讨论求解是解答的关键．
（1）利用三角形内角和求出 ，再根据角平分线求出 和 ，最后再利用三角形内角
和求解；
（2）同（1）中方法计算即可；
（3）①根据角平分线的定义得到 ， ，利用外角的性质可得
，再结合 即可证明；
②分四种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：在 中，
， ，
．
∵P是 和 的平分线的交点，
，
（2）解： ，
，
∵P是 和 的平分线的交点，
，
，
．
（3）①∵ 是 的外角 的平分线，
．
∵ 平分 ，
．
，
，
即 ．
，，
即 ．
② 的度数是 或 或 或 ．
由图得
．
在 中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况：
（Ⅰ） ，
则 ， ；
（Ⅱ） ，
则 ， ， ；
（Ⅲ） ，又
则 ， ；
（Ⅳ） ，又 ，
则 ， ．
综上所述， 的度数是 或 或 或 ．
类型五、多边形的内角和与外角和综合问题
例题：（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①， 都是四边形 的外角，试探究，
与 之间的数量关系；
（2）如图②， 都是四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系；
（3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③， 分别是四边形 的外角 、 的平分
线， ，求 的度数．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据四边形的内角和等于 表示出 ，再根据平角的定义用表示出 ，即可得解；（2）从外角的定义考虑解答；
（3）根据（1）、（2）的结论求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后利
用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】（1）∵ ，
，
， ，
，
；
（2）∵ ，
，
， ，
，
，
（3） ，
根据（1）和（2）的结论有： ，
分别是 的平分线，
， ，
，
．
【变式训练1】（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后
深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1， 与 ， 之间的数量关系为______．若 ， ，则 ______．
(2)如图2， 是四边形ABCD的外角，求证： ．
(3)若n边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则x，y与n的数量关系是______．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析；(3) ．
【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式： （ 且n
为整数）．
（1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；
（2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；
（3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴
故答案为： ， ；
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵n边形的某一个外角的度数是 ，
∴与这个外角相邻的内角是 ，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是 ，
∴ ，
整理得： ，
故答案为： ．
【变式训练2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ______ ；
【应用】
（3）如图②．求 的度数；
【拓展】
（4）如图③，若 ，则 的大小为 度．【答案】（1） ， ；（2） ； ；（3） ；（4）
【分析】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键．
（1）利用三角形外角性质即可求出；
（2）根据外角性质，将 转化到一个三角形内计算即可；
（3）利用三角形外角性质将 转化到一个三角形中，再根据三角形内角和 即
可得到结果；
（4）利用外角套外角可得 ， ，根据对顶角相等，即可计
算出结果．
【详解】解：（1）∵ 是三角形的外角，
∴ ，
∵ 是三角形的外角，
∴ ．
故答案为： ， ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ； ．
（3）∵ ， ，
∴ ；
（4）如图，连接 并延长，
根据三角形外角性质可得：
，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．【变式训练3】（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）【感知】如图1所示，在四边形 中， 分别
是边 的延长线，我们把 称为四边形 的外角，若 ，则
___________；
【探究】如图2所示，在四边形 中， 分别是边 的延长线，我们把
称为四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3所示， 分别是四边形 的外角 的平分线，若 ，
则 的度数为___________．
【答案】（感知） ；（探究） ，理由见解析；（应用）
【分析】（感知）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．
（探究）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．
（应用）根据四边形的内角和和邻补角定义可求出 的度数，结合角平分线的定义即可求出
度数，最后利用三角形内角和即可求出 的度数．
【详解】解：（感知） 四边形 的内角和为： ， ，
，
， ，
．
故答案为： ．
（探究） ，理由如下：
，
．
，
．
．
（应用） 四边形 的内角和为： ， ，
，
， ，
．．
分别是四边形 的外角 的平分线，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了四边形内角和，三角形内角和，邻补角和角平分线，解题的关键在于掌握多边形内角
和公式，以及相关知识点．
压轴能力测评（12题）
一、单选题
1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置 和 与吊
绳的夹角分别是 和 ，则吊杆前后两次的夹角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识点，找出并利用题中的隐含条件——“前后
两次吊杆位置下的吊绳互相平行”是解题的关键．
首先根据题意可知 ，由“两直线平行，内错角相等”即可求得 的度数，然后根据三角形
外角的性质，即可求得吊杆前后两次的夹角 的度数．【详解】解：如图，根据题意可知： ，
且 ， ，
，
，
，
，
故选：C．
2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）某超市举办“618促销”活动，小明同学和爸爸去超市采购物品，当
把选好的物品放入购物车中时，小明发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图所示，若
把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则 是正五边形，且F，E，A三点在一条直线上，连接
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形内角和，平行线性质，先根据正多边形内角和求出 的度数，再根据两
直线平行同位角相等即可求出结果．
【详解】解： 是正五边形，
，
，
，
故选：B．
3．（23-24七年级下·山东·期末）如图，直线 分别与直线 、 相交于点E、F两点， 的平分
线与 的平分线交于点P，与直线 交于点G，过点G作 ，交直线 于点H．若
与 互补，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关
系是解题关键．根据对顶角相等，可判断A选项；根据平行线的性质和角平分线的定义，可判断B、C选
项；根据平行线的性质和三角形内角和定理，可判断D选项．
【详解】解： ， ，且 与 互补，
，
，①结论正确；
，
平分 ，
，
，
，
，②结论错误；
平分 ，
，
，
，
， ，
，③结论正确；
，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，，
，
，
，④结论错误；
故选：B．
二、填空题
4．（吉林省长春市经开区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，将三角形纸片 沿
直线 折叠，使点 落在四边形 的内部的 处，若 ， ，则 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据平角定义和折叠的性质，得
，再利用三角形的内角和定理进行转换，得
．
【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得 ．
又 ，
，
，
故答案为： ．
5．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图， ， 分别平分 和 ，若 ，
，则 度．
【答案】34
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义得出 ，
，根据三角形内角和定理可得： ，
，从而得出 ，代入计算即可得出答案．【详解】解：∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
根据三角形内角和定理可得： ， ，
∴由 得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（23-24七年级下·山东聊城·期末）近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露
营的帐篷酒店也是备受追捧．如图 是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图 所示，若 ，
， ， ，则 的度数为 ．
【答案】 /120度
【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和定理，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，
连接 ，先根据多边形内角和定理求出 的度数，即可求出 的度数，再根据平行线的性质
得出 ， ，即可求出 度数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，
由题意得， ，
∴八边形 的内角和是： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
7．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在 中， 与 的平分线相交于点P，
的外角 与 的平分线相交于点Q，延长 相交于点F．
(1)若 ，求 的度数；
(2)在 中，若 ，求∠A的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义和性质：
（1）先根据三角形内角和为180度计算出 ，根据角平分线的定义计算出 ，最
后再次用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得 ， ，结合角平分线的定义、三
角形内角和定理可得 ，再根据 推出 ，
结合 即可求解．
【详解】（1）解： 中， ，
，
与 的平分线相交于点P，， ，
，
；
（2）解： 与 是 的外角，
， ，
与 的平分线相交于点Q，
， ，
，
；
是 的外角，
，
，
又 ，
，
，
解得 ．
8．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化
情况．
【规律发现】
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数n 3 4 5 6
α的度数 ________（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________．
【规律应用】
（3）根据规律，当 时，求该正多边形的内角和．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角
的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用．
（1）先根据五边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据正边形的性质每条边都相等，得到等腰三
角形，求出 的度数．
（2）根据（1）中的数据总结规律．
（3）引用（2）中总结的公式求出 ，然后利用多边形内角和公式求解即可．
【详解】（1）正五边形的内角 ，
∴ ；
（2）观察（1）中结论， 时， ；
时， ；
时，
时，
总结规律，则有 ；
（3）当 时，
∴解得
∴该正多边形的内角和为 ．
9．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究]
（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板 的两条直角边分别经过点 ，点 ，且 ，则
______；
（2）在图1的基础上，三角板 保持不动，将三角板 旋转得到图2，使三角板 的两条直角边
依然分别经过点 ，点 ，则 ______．[猜想证明]
如图3，试猜想 之间的关系，并证明．
[结论应用]
请直接利用以上的结论，解决问题：如图4， 与 的角平分线交于点 ，若 ，
，求 的度数．
【答案】[实验探究] （1） ；（2） ；[猜想证明] ，证明见解析；[结
论应用]
【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键．
[实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得 ，
，即可求解；
（2）根据直角三角板的性质可得 ， ，即可求
解；
[猜想证明] 连接 ，在 和 中，根据三角形内角和定理可得 ，
，即可求解；
[结论应用] 由[猜想证明]得： ，
，再由角平分线的定义可得
，即可求解．【详解】解：[实验探究] （1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：
[猜想证明] ，证明如下：
如图，连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴
，
即 ；
[结论应用] 由[猜想证明]得： ，
，
∵ 与 的角平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
10．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形 中， ， ．(1)如图1，若 ，则 ________度；
(2)如图2，若 的平分线 交 于点 ，且 ，试求出 的度数；
(3)①如图3．若 和 的平分线交于点 ，试求出 的度数；
②如图4， 为五边形 内一点： ， 分别平分 ， ，请直接写出 与
的数量关系．
【答案】(1)65
(2)
(3)① ，② ，理由见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）根据四边形内角和为 ，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到 的度数，再根据角平分线的定义得到 的度数，进一步根据四边
形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出 ，由角平分线的定义得出
，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出
，由角平分线的定义得出 ，
即可得出答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
∴ ，
∵ 的平分线 交 于点 ，
∴ ，∴ ；
（3）解： 四边形 中，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②∵五边形 的内角和为 ，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
11．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上的
点，点 是平面内一动点．令 ， ， ．
(1)若点 在线段 上，如图1所示， ，求 的值；
(2)若点 在边 上运动，如图2所示，则 、 、 之间的关系________；
(3)若点 运动到边 的延长线上，如图3所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点 运动到 外，如图4所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)猜想 ，理由见解析
(4) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质：
（1）根据 ，可得 ，再根据平角的定义可得，则 ；
（2）同（1）求解即可；
（3）由三角形的外角的性质知： ， ，据此可得结论；
（4）由三角形的外角的性质知： ， ，再由 ，则
．
【详解】（1）解：∵在四边形 中， （四边形内角和可以看做连
接对角线后两个三角形的内角和）， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵在四边形 中， （四边形内角和可以看做连接对角线
后两个三角形的内角和）， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：猜想 ，理由如下：
设 交于M，
由三角形的外角的性质知：
， ，
，
即 ；
（4）解： ，理由如下：
设 交于M，
由三角形的外角的性质知：
， ，
，
，，
即 ，12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作 边上的
高 ，根据中线的定义可知 ．
又因为高 相同，所以 ，于是 ，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角
形的面积．
【深入探究】
（1）如图2， 的面积为4平方厘米，延长 到点 ，延长 到点 ，延长边 到点 ，使
， ， ，依次连接 得到 ，求 的面积．
【拓展延伸】（2）如图3．若四边形 的面积为 ，分别延长四边形 的各边，使得 ，
， ， ，依次连接 得到四边形 ．
①若 ，求四边形 的面积；（用含 的代数式表示）
②直接写出四边形 的面积（用含 的代数式表示）
【答案】（1）28；（2）① ；②
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确
表示出三角形面积．
（1）连接 ， ，根据三角形中线有关的面积计算出 、 、 、 ，再根据
计算即可得出答案；
（2）①连接 、 、 、 、 ，设 的面积为 、 的面积为 ，则 ，结合
题意求出 ，同理可得： ，再根据
计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，连接 ， ，，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①如图，连接 、 、 、 、 ，
，
设 的面积为 、 的面积为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ；②如图，连接 、 、 、 、 ，
，
设 的面积为 、 的面积为 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∴
