文档内容
专题 01 与三角形有关的线和角的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................3
类型一、利用三角形的三边关系化简................................................................................................................3
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题..........................................................................4
类型三、三角形折叠中的角度问题..................................................................................................................14
类型四、与三角形的外角有关的问题..............................................................................................................21
类型五、多边形的内角和与外角和综合问题...................................................................................................30
压轴能力测评（12题）....................................................................................................................................35
解题知识必备
1.三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
2.三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
三角形一个内角的平分线
从三角形的一个顶点向它的 三角形中，连接一个顶
文字 与它的对边相交，这个角
对边所在的直线作垂线，顶 点和它对边中点的线
语言 的顶点与交点之间的线
点和垂足之间的线段． 段．
段．
图形
语言
作图 过点A作AD⊥BC于点D． 取 BC 边的中点 D，连 作∠BAC 的平分线 AD，
语言 接AD． 交BC于点D．
标示
图形1．AD是△ABC的高． 1．AD 是△ABC 的中
1．AD是△ABC的角平分
2．AD是△ABC中BC边上 线．
线．
的高． 2．AD 是△ABC 中 BC
2．AD 平分∠BAC，交
符号 3．AD⊥BC于点D． 边上的中线．
BC于点D．
语言 4．∠ADC＝90°，∠ADB
＝90°． 3．BD＝DC＝ BC
3 ． ∠ 1 ＝ ∠ 2 ＝
(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 4．点 D 是 BC 边的中
∠BAC．
点．
因为AD是△ABC的高，所 因为 AD 是△ABC 的中 因为 AD 平分∠BAC，所
推理 以AD⊥BC．
语言 (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 线，所以BD＝DC＝ 以∠1＝∠2＝ ∠BAC．
BC．
用途 1．线段垂直． 1．线段相等．
角度相等．
举例 2．角度相等． 2．面积相等．
注意 1．与边的垂线不同．
— 与角的平分线不同．
事项 2．不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的 一个三角形有三条中 一个三角形有三条角平分
重要
延长线)交于一点． 线，它们交于三角形内 线，它们交于三角形内一
特征
一点． 点．
3.三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
4.三角形的外角
1．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
2.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
压轴题型讲练
类型一、利用三角形的三边关系化简
例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若 ， ， 是 的三边，试化简：
．
【变式训练1】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简
.
【变式训练2】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知 的三边分别为a,b,c．
(1)若 为整数，求 的周长．(2)化简： ．
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
例题1：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图， 是 的中线， 是 的高， ，
， ， ．
(1)求高 的长；
(2)求 的面积．
例题2：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把 的三边 、 和 分别向外延长一倍，将得
到的点 顺次连接成 ，若 的面积是5，则 的面积是 ．
例题3：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)当 ， ， 时，求点 到直线 的距离．
【变式训练1】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角 中，两条高线 相交于点O．(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图2， ， ， 与 的角平分线交于点M，求 的度数；
(3)如图3，对任意的锐角 ， 与 的角平分线交于点M，直接写出 的度数是
__________．
【变式训练2】（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在 和 中， 和 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
则 ，
∵
∴ ．
【性质应用】
(1)如图②， 是 的边 上的一点．若 ，则 __________；
(2)如图③，在 中， 分别是 和 边上的点．若 ， ，求
和 的面积．【变式训练3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在 中， ，D为直线 上任意一点，
连结 ， 于点E， 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 上时，请画出 中 边上的高 ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 之间的数量关系为__________；为了说明
之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ __________ ，
∴ __________．
∵ ，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 中点时，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 的延长线上时，请直接写出 之间的数量关系．
【变式训练4】（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边 上的高 ，根据中线的定义可知 ．因为高 相同，所以
，于是 ．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在 的边 上，点P在 上．
①若 是 的中线， ______．
②若 ，则 ______．(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形 的各边，使得A，B，C，D分别为 的中点，依次连接
E，F，G，H得四边形 ．
①：直接写出 ， 与 之间的等量关系；_______
②：若 ，则 _______．
类型三、三角形折叠中的角度问题
例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片 中，点 在边 （不包含端点 ，
）上运动，连接 ，将 对折，点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ；将 对折，
点 落在直线 上的点 处，得到折痕 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)试问： 的大小是否会随着点 的运动而变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说明理由．
【变式训练1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究
过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的
研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在 中， 的角平分线交于点P，若 ．则 ______；
(2)【问题推广】如图2，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过
点B作 于点H，若 ，则 ______；
(3)如图3，如图3，在 中， 、 的角平分线交于点 ，将 沿DE折叠使得点 与点
重合．
①若 ，则 ______；
②若 ，求证： ；
(4)【拓展提升】在四边形 中， ，点F在直线 上运动（点F不与E，D两点重合），连
接 的角平分线交于点Q，若 ，直接写出∠Q和α，β之间
的数量关系．
【变式训练2】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究
(1)如图1，将 沿着 第一次折叠，顶点 落在 的内部点 处，试探究 与 之间的
数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将 沿着 第二次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，求 的度
数．
(3)如图3，将 沿着 第三次折叠，顶点 恰好与点 重合，若 ， ，用含 ， 的代
数式表示 ．【变式训练3】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠，
使点 落在边 上的 处，若 ，则 ______ ；
（2）如图 ，将一张三角形纸片 沿着 折叠 点 ， 分别在边 和 上 ，并使得点 和点
重合，若 ，则 ______ ；
（3）如图 ，将长方形纸片沿着 和 折叠成如图所示的形状， 和 重合，
① 的度数是多少？请说明理由；
②如果 ，求 的度数．
类型四、与三角形的外角有关的问题
例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线 ，直角 的直角顶点A在直线 上，边
在直线 上， 的平分线与 的外角的平分线交于点 ．
(1)如图 ， __________；(2)如图 ， 的平分线交 于点 ，请判断 与 数量关系，并说明理由；
(3)如图 ， ， 与 交于点 ，将 绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，同时
绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，当 旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋
转过程中边 与 的边平行时旋转的时间 的值．
【变式训练1】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知： ，点 在直线 上，连接 ．
(1)如图1，若 ．求证： ；
(2)若 ， 的平分线与 分别交于点 ．
①如图2，当点 在边 上（不与 重合）时，求证： ；
②当点 在 的延长线上时，“ ”是否依然成立？画出图形，并说明理由．
【变式训练2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践
在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型
加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．
【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一
半．
【结论探究】
（1）如图1，在 中，点E是 内角 平分线 与外角 的平分线 的交点，则有
，请给出证明过程．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】
（2）如图2，在 中， ．延长 至G，延长 至H，已知 、 的角平分线
与 的角平分线及其反向延长线交于E、F，求 的度数；
【变式拓展】
（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状．已知 ，
，求 的度数和是多少？
【变式训练3】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在 中， 与 的平分线相交于点
P．
(1)如图1， ， ，求 的度数．
(2)如图2，如果 ，求 的度数（用含 的代数式表示）．
(3)如图3，作 的外角 的平分线交 的延长线于点D．
①试探究 ， 之间的数量关系．
②在 中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出 的度数．
类型五、多边形的内角和与外角和综合问题
例题：（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①， 都是四边形 的外角，试探究，
与 之间的数量关系；
（2）如图②， 都是四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系；（3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③， 分别是四边形 的外角 、 的平分
线， ，求 的度数．
【变式训练1】（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后
深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1， 与 ， 之间的数量关系为______．若 ， ，则 ______．
(2)如图2， 是四边形ABCD的外角，求证： ．
(3)若n边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则x，y与n的数量关系是______．
【变式训练2】（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ______ ；
【应用】
（3）如图②．求 的度数；
【拓展】
（4）如图③，若 ，则 的大小为 度．【变式训练3】（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）【感知】如图1所示，在四边形 中， 分别
是边 的延长线，我们把 称为四边形 的外角，若 ，则
___________；
【探究】如图2所示，在四边形 中， 分别是边 的延长线，我们把
称为四边形 的外角，试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3所示， 分别是四边形 的外角 的平分线，若 ，
则 的度数为___________．
压轴能力测评（12题）
一、单选题
1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一台起重机的工作简图如图所示，前后两次吊杆位置 和 与吊
绳的夹角分别是 和 ，则吊杆前后两次的夹角 （ ）A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）某超市举办“618促销”活动，小明同学和爸爸去超市采购物品，当
把选好的物品放入购物车中时，小明发现购物车和物品放在一起的形状很接近于正五边形，如图所示，若
把购物车和物品的形状抽象成几何示意图，则 是正五边形，且F，E，A三点在一条直线上，连接
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·山东·期末）如图，直线 分别与直线 、 相交于点E、F两点， 的平分
线与 的平分线交于点P，与直线 交于点G，过点G作 ，交直线 于点H．若
与 互补，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中
正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题
4．（吉林省长春市经开区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，将三角形纸片 沿
直线 折叠，使点 落在四边形 的内部的 处，若 ， ，则 ．5．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图， ， 分别平分 和 ，若 ，
，则 度．
6．（23-24七年级下·山东聊城·期末）近几年，人们把亲近自然的露营作为新的出游方式，而倡导精致露
营的帐篷酒店也是备受追捧．如图 是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图 所示，若 ，
， ， ，则 的度数为 ．
三、解答题
7．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在 中， 与 的平分线相交于点P，
的外角 与 的平分线相交于点Q，延长 相交于点F．
(1)若 ，求 的度数；
(2)在 中，若 ，求∠A的度数．8．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）【观察思考】如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化
情况．
【规律发现】
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数n 3 4 5 6
α的度数 ________
（2）观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为________．
【规律应用】
（3）根据规律，当 时，求该正多边形的内角和．
9．（23-24七年级下·山东威海·期末）[实验探究]
（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板 的两条直角边分别经过点 ，点 ，且 ，则
______；
（2）在图1的基础上，三角板 保持不动，将三角板 旋转得到图2，使三角板 的两条直角边
依然分别经过点 ，点 ，则 ______．
[猜想证明]
如图3，试猜想 之间的关系，并证明．[结论应用]
请直接利用以上的结论，解决问题：如图4， 与 的角平分线交于点 ，若 ，
，求 的度数．
10．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形 中， ， ．
(1)如图1，若 ，则 ________度；
(2)如图2，若 的平分线 交 于点 ，且 ，试求出 的度数；
(3)①如图3．若 和 的平分线交于点 ，试求出 的度数；
②如图4， 为五边形 内一点： ， 分别平分 ， ，请直接写出 与
的数量关系．
11．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如图，在 中， ，点 、 是 边 、 上的
点，点 是平面内一动点．令 ， ， ．(1)若点 在线段 上，如图1所示， ，求 的值；
(2)若点 在边 上运动，如图2所示，则 、 、 之间的关系________；
(3)若点 运动到边 的延长线上，如图3所示，则 、 、 之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点 运动到 外，如图4所示，则请表示 、 、 之间的关系，并说明理由．
12．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】
如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作 边上的
高 ，根据中线的定义可知 ．
又因为高 相同，所以 ，于是 ，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角
形的面积．
【深入探究】
（1）如图2， 的面积为4平方厘米，延长 到点 ，延长 到点 ，延长边 到点 ，使
， ， ，依次连接 得到 ，求 的面积．
【拓展延伸】（2）如图3．若四边形 的面积为 ，分别延长四边形 的各边，使得 ，
， ， ，依次连接 得到四边形 ．
①若 ，求四边形 的面积；（用含 的代数式表示）
②直接写出四边形 的面积（用含 的代数式表示）
