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大题优练 8 电磁感应中的动力学和能量问题
优 选 例 题
例1．如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B＝1
T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为 d＝0.5 m，现有一边长l＝0.2 m、质量m＝0.2
kg、电阻R＝0.1 Ω的正方形线框MNOP，以v＝5 m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，重力加速度g取
0
10 m/s2。求：
(1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F 和加速度a的大小；
安
(2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
(3)线框水平向右的最大位移x 。
m
【解析】(1)产生的感应电动势为
根据闭合电路的欧姆定律得
所以安培力为
根据牛顿第二定律得
解得 。
(2)设线框速度减到零时，线框下落的高度为H，根据能量守恒得
在竖直方向上，根据自由落体得
解得Q＝2.5 J。(3)在水平方向上，在磁场中运动时，根据动量定理得
所以线框在磁场中运动的距离为
每个磁场宽度为0.5m，所以线框在穿过磁场边界时才做减速运动，则穿过边界的次数为
次
一个磁场两个边界，所以线圈会穿过6个磁场，6个空白区域，第7个磁场进入的距离为
之后，速度减为零
所以线框水平向右的最大位移 。
例2．如图甲，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，足够长的光滑水平金属导轨的间距为
l，质量分别为m、2m的导体棒1、2均垂直导轨放置，计时开始，导体棒1以初速度v 水平向右运动，在运
0
动过程中导体棒始终相互平行与导轨保持良好接触，直到两棒达到稳定状态，图乙是两棒的 v－t图象。如图
丙，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑水平金属导轨M与N、P与Q的间
距分别为l、2l。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，计时开始，a、b两棒分别以v、2v 的初
0 0
速度同时水平向右运动，两棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在
宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，图丁是两棒的v－t图象。
(1)若a、b两棒在t 时刻达到相同速度，求0～t 时间内通过a、b两棒的平均感应电流；
0 0
(2)从计时开始到两棒稳定运行，求图甲、图丙两回路中生成的焦耳热之比；
(3)从计时开始到两棒稳定运行瞬间，求通过图甲、图丙两回路中某一横截面的电荷量之比。
【解析】(1)设某时刻 ， 、 两棒的速度分别为 、 ， 时间内回路的平均感应电流为 ，根
据右手定则、v－t图象以及左手定则可知，两棒达到共同速度之前， 所受安培力为动力， 所受安培力为
阻力，对 棒由动量定理有：对 棒由动量定理有：
两棒速度相等时
联立解得：
代入
解得： 。
(2)对图甲中回路，两棒组成的系统动量守恒，设最终共同速度为 ，则：
由能量守恒定律可知，图甲回路中产生的焦耳热为
解得
对图丙中回路，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中感应电流为零， 、 两棒不受安培力，达到
稳定状态，即
对 棒由动量定理有
对 棒由动量定理有
解得 ，
设图丙回路中产生的焦耳热为 ，由能量守恒定律有
联立解得则 。
(3)对图甲中的2棒，由动量定理有：
解得
图丙回路中，对 棒由动量定理有：
结合
通过图丙回路中某一横截面的电荷量
解得
则 。
模 拟 优 练
1．如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，间距 L＝0.4 m，定值电阻R＝1.6 Ω，电容器电容C
＝2.5 F，磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场垂直于导轨平面向上。有一质量 m＝0.1 kg、电阻不计的导体棒
ab与导轨垂直放置且接触良好，仅闭合S ，ab在水平外力 作用下运动。电阻R两端电压随时间变化的规
1
律如图乙所示，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)求ab的加速度大小；
(2)求从ab开始运动5 s内通过R的电荷量；
(3)若开始时断开S，闭合S 后，导体棒受到大小为导体棒重力一半的水平拉力作用，试分析导体棒的运动状态。
1 2
【解析】(1)由电路知
由图象得由以上两式得
所以 。
(2)流过电阻 的电荷量
通过导体棒的平均电流
内导体棒产生的平均电动势
内回路磁通量的变化量
内导体棒通过的位移
可得
解得 。
(3)导体棒在水平拉力和安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律得
又 ， ，
联立解得
加速度为恒量，所以导体棒做匀加速直线运动。
2．如图所示，水平轨道与半径为r的半圆弧形轨道平滑连接于S点，两者均光滑且绝缘，并安装在固定的竖
直绝缘平板上。在平板的上下各有一个块相互正对的水平金属板P、Q，两板间的距离为d。半圆轨道的最高
点T、最低点S、及P、Q板右侧边缘点在同一竖直线上。装置左侧有一半径为 L的水平金属圆环，圆环平面
区域内有竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个根长度略大于L的金属杆一端置于圆环上，另一
端与过圆心O 的竖直转轴连接，转轴带动金属杆逆时针转动(从上往下看)，在圆环边缘和转轴处引出导线分
1
别与P、Q连接。图中电阻阻值为R，不计其他电阻。右侧水平轨道上有一带电量为+q、质量为 m的小球1以速度 向左运动，与前面静止的、质量也为 m的不带电小球2发生碰撞，碰后粘合在一起共同向
左运动。小球和粘合体均可看作质点，碰撞过程没有电荷损失，设 P、Q板正对区域间才存在电场，重力加
速度为g。
(1)计算小球1与小球2碰后粘合体的速度大小v；
(2)若金属杆转动的角速度为ω，计算图中电阻R消耗的电功率P；
(3)要使两球碰后的粘合体能从半圆轨道的最低点S做圆周运动到最高点T，计算金属杆转动的角速度的范围。
【解析】(1)两球碰撞过程动量守恒，则：
解得： 。
(2)杆转动的电动势
电阻R的功率 。
(3)通过金属杆的转动方向可知：P、Q板间的电场方向向上，粘合体受到的电场力方向向上．在半圆轨道最低
点的速度恒定，如果金属杆转动角速度过小，粘合体受到的电场力较小，不能达到最高点 T，临界状态是粘合
体刚好达到T点，此时金属杆的角速度ω 为最小，设此时对应的电场强度为E ，粘合体达到T点时的速度为
1 1
v。
1
在T点，由牛顿第二定律得
从S到T，由动能定理得
解得
杆转动的电动势
两板间电场强度联立解得
如果金属杆转动角速度过大，粘合体受到的电场力较大，粘合体在 S点就可能脱离圆轨道，临界状态是粘合
体刚好在S点不脱落轨道，此时金属杆的角速度ω 为最大，设此时对应的电场强度为E。
2 2
在S点，由牛顿第二定律得
杆转动的电动势
两板间电场强度
联立解得
综上所述，要使两球碰后的粘合体能从半圆轨道的最低点 S做圆周运动到最高点T，金属杆转动的角速度的
范围为： 。
3．如图所示，两根固定的水平平行金属导轨足够长，间距为L，两根导体棒ab和cd垂直导轨放置。已知两
根导体棒ab和cd的质量分别为m和2m，电阻均为R，导轨光滑且电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向上
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
(1)如图所示，若ab棒固定不动，现用平行导轨向右的恒力F（已知）拉动cd导体棒，求cd导体棒的最大速度
v 。
m
(2)如图所示，若初始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，大小分别为2v 和3v，求：
0 0
①从开始到最终稳定的过程中回路总共产生的电能；
②当ab棒的速度大小变为v 时，cd棒的速度大小以及两棒与导轨所组成的闭合回路的面积与初始ab棒速度
0
为2v 时相比增大了多少。
0
【解析】(1)对 导体棒列牛顿第二定律方程
当 时速度最大为， ，
解得 。
(2)①从开始到最终稳定的过程中，两棒的总动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律可得，从开始到最终稳定的过程中回路总共产生的电能
②分析两种情况可知，当 棒的速度大小是 时有两种情况
当 棒的速度未反向，即向左时，设此时 棒的速度是 ，根据动量守恒得
解得
当 棒的速度反向，即向右时，设此时 棒的速度是 ，根据动量守恒得
解得
对 棒，由动量定理得
其中 ，
代入两种情况可得，当 时，通过 棒的电荷量为
当 时，通过 棒的电荷量为由 ，
可得 ， 。
4．如图，两根固定的平行光滑轨道ACD、A′C′D′是由竖直平面内的圆弧绝缘轨道AC、A′C′和与之分别相切
C、C′点的水平直轨道CD、C′D′组成的，圆弧半径r＝1.8 m，轨道间距L＝0.5 m。电阻均为R＝0.2 Ω、长均
为L＝0.5 m、用绝缘轻杆连接的两根金属棒1、2静止在图示位置，轻杆与金属棒恰构成正方形，矩形区域
abcd内存在磁感应强度大小B＝0.8 T、方向竖直向上的匀强磁场，b、c间距x ＝0.8 m。一质量m＝0.1 kg，
0 bc
电阻R＝0.9 Ω的金属棒3从AA′处由静止开始沿轨道滑下，棒3与金属棒1发生弹性正碰，棒3碰后反向弹回
上升的最大高度h＝0.2 m。取g＝10 m/s2，棒始终与轨道垂直且接触良好，棒1初始位置左侧轨道均绝缘，
右侧轨道均导电，且电阻不计，棒2初始位置与ab重合，Ca和dD足够长。
(1)求碰前棒3经过CC′时对轨道的压力大小；
(2)求金属棒1、2与杆的总质量以及棒1恰好进入磁场时棒2的速度大小；
(3)若仅磁感应强度大小可调，求使棒1出磁场后，棒3不能追上棒1的磁感应强度的最大值。
【解析】(1)设棒3的 处的速度大小为 ，棒3下滑过程中，根据机械能守恒定律有
棒3在 处，根据牛顿第二定律有
解得 ，
根据牛顿第三定律知，碰前棒3经过 时对轨道的压力大小为 。
(2)设碰后瞬间棒3的速度大小为 ，则有
解得
设金属棒1、2与轻杆的总质量为 ，碰后瞬间的速度大小为 ，棒1恰好进入磁场时的速度大小 ，棒3与棒1发生弹性正碰，则有
解得 ，
对棒1、2和杆组成的系统进入磁场的过程，根据动量定理有
解得 。
(3)设棒1离开磁场时的速度大小为 ，则从棒2进入磁场到棒1离开磁场右边界的过程中，根据动量定理有
整理得
同理棒3穿过磁场区域的过程中有
整理得
当 ，棒3恰好不能追上棒1，此时磁感应强度最大
解得 。
5．某兴趣小组设计制作了一种磁悬浮列车模型，原理如图所示，PQ和MN是固定在水平地面上的两根足够
长的平直导轨，导轨间分布着竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场 B 和B，二者方向相反。矩形金属框
1 2
固定在实验车底部（车厢与金属框绝缘）。其中ad边宽度与磁场间隔相等，当磁场B 和B 同时以速度v ＝
1 2 0
10 m/s沿导轨向右匀速运动时，金属框受到磁场力，并带动实验车沿导轨运动。已知金属框垂直导轨的ab边长L＝0.1 m、总电阻R＝0.8 Ω，列车与线框的总质量m＝4.0 kg，B＝B＝2.0 T，悬浮状态下，实验车运动时
1 2
受到恒定的阻力f＝0.4 N。
(1)求实验车所能达到的最大速率；
(2)实验车达到的最大速率后，某时刻让磁场立即停止运动，实验车运动20 s之后也停止运动，求实验车在这
20 s内的通过的距离；
(3)假设两磁场由静止开始向右做匀加速运动，当时间t＝24 s时，发现实验车正在向右做匀加速直线运动，此
时实验车的速度v＝2 m/s，求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间。
【解析】(1)实验车最大速率为v 时相对磁场的切割速率为v－v ，则此时线框所受的磁场力大小为
m 0 m
此时线框所受的磁场力与阻力平衡，得：F＝f
(2)磁场停止运动后，线圈中的电动势：E＝2BLv
线圈中的电流：
实验车所受的安培力：F＝2BIL
根据动量定理，实验车停止运动的过程：
整理得： ，而
解得：x＝120 m
(3)根据题意分析可得，为实现实验车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始
做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t时刻金属线圈中的电动势
E＝2BL(at－v)
金属框中感应电流
又因为安培力
所以对试验车，由牛顿第二定律得
得a＝1.0m/s2设从磁场运动到实验车起动需要时间为t，则t 时刻金属线圈中的电动势
0 0
E＝2BLat
0 0
金属框中感应电流
又因为安培力
对实验车，由牛顿第二定律得：F＝f
0
解得：t＝2 s。
0
6．如图所示，MN PQ 和MN PQ 为在同一竖直面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场
1 1 1 1 2 2 2 2
中，磁场方向竖直向下。导轨的 MN 段与MN 段相互平行，距离为L；PQ 段与PQ 段也是平行的，距离
1 1 2 2 1 1 2 2
为L，质量为m金属杆a、b垂直与导轨放置，一不可伸长的绝缘轻线一端系在金属杆b，另一端绕过定滑轮
与质量也为m的重物c相连，绝缘轻线的水平部分与PQ 平行且足够长。已知两杆在运动过程中始终垂直于
1 1
导轨并与导轨保持光滑接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为R，重力加速度为g。
(1)若保持a固定，释放b，求b的最终速度的大小；
(2)若同时释放a、b，在释放a、b的同时对a施加一水平向左的恒力F＝2mg，当重物c下降高度为h时，a
达到最大速度，求：
①a的最大速度；
②才释放a、b到a达到最大速度的过程中，两杆与导轨构成的回来中产生的电能。
【解析】(1)当b的加速度为零时，速度最大，设此时速度为 ，则
电流
分别以 、 为研究对象 ，
联立解得 .
(2)①在加速过程的任一时刻，设 的加速度大小分别为 、 ，电流为 ，轻绳的拉力为 ，分别以 、、 为研究对象
根据牛顿第二定律
联立解得
设 达到最大速度 时， 的速度为 ，由上式可知
当 的集散地为零时，速度达到最大
根据法拉第电磁感应定律
联立解得 ，
②设重物下降的高度为 时， 的位移为 ，故
根据功能关系
联立解得 。
