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大题优练 1 直线运动问题
优 选 例 题
例1．(2020全国I卷∙24)我国自主研制了运－20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用F＝kv2描写，k为系
数，v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质
量为1.21×105 kg时，起飞离地速度为66 m/s；装载货物后质量为1.69×105 kg，装载货物前后起飞离地时的k
值可视为不变。
(1)求飞机装载货物后的起飞离地速度；
(2)若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1521 m起飞离地，求飞机在滑行过程中加速度的大小和所
用的时间。
【解析】(1)空载起飞时，升力正好等于重力：kv2＝mg
1 1
满载起飞时，升力正好等于重力：kv2＝mg
2 2
由上两式解得：v＝78 m/s。
2
(2)满载货物的飞机做初速度为零的匀加速直线运动，所以
v2＝2ax
2
v＝at
2
解得：a＝2 m/s2，t＝39 s。
例2．一个质量为m＝2 kg的物体在倾角θ＝37°粗糙的斜面上，在沿斜面向上的拉力作用下沿斜面向上运动，
物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，从t＝0时刻开始，物体运动的与时间t的关系如图所示(x为位移)，g
＝10 m/s2，t＝2 s时撤去拉力，sin 37°＝0.6，求：
(1)拉力F的大小；
(2)物体向上运动过程中距计时点的最大距离。
【解析】(1)由匀变速直线运动公式x＝vt＋at2
0
得＝v＋at
0
对照图线可知，图线在纵轴截距表示初速度，图线斜率表示a，则有：v＝1 m/s，a＝2 m/s2
1 0 1
物体在斜面上在拉力F作用下向上运动的过程，由牛顿第二定律得：
F－mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma
1
解得F＝24 N。(2)2 s末v＝v＋at＝5 m/s
0 1
0到2 s内：x＝vt＋at2＝6 m
1 0 11
2 s后物体向上做匀减速运动，其加速度为a＝gsin 37°＋μgcos 37°＝10 m/s2
2
2 s后沿斜面向上位移：x＝＝1.25 m
2
物体向上运动过程中距计时点的最大距离为x＝x＋x＝7.25 m。
1 2
模 拟 优 练
1．甲、乙两车从相距110 m的两地相向运动，它们的v－t图象如图所示，忽略车掉头所需时间。
(1)求t＝4 s时甲、乙两车各自的位移大小。
(2)通过计算说明两车是否相遇。如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的最小距离。
【解析】(1)由v－t图象可知，甲向乙做匀减速运动，加速度大小a＝4 m/s2
1
乙向甲先做加速运动后做减速运动，加速度大小分别为
a＝10 m/s2和a′＝30 m/s2
2 2
t＝4 s时甲的位移大小为x＝vt－at2＝48 m
1 0 1
乙的位移大小为x＝×4×30 m＝60 m。
2
(2)乙车在t＝4 s时掉头开始做与甲同向的初速度为零的匀加速运动，甲、乙两车此时相距
Δx＝110 m－x－x＝2 m
1 2
甲的速度大小为v＝v－at＝4 m/s
1 0 1
假设两车从t＝4 s时再经t 时间能够相遇
1
乙的位移大小x′＝a′t2
2 2 1
甲的位移大小x′＝vt－at2
1 11 11
两车相遇应满足x′＝x′－Δx
2 1
联立并整理得17t2－4t＋2＝0，由判别式可知方程无解，所以假设不成立，两车不能相遇。
1 1
设从t＝4 s时再经t 时间两车速度相等，即两车相距最近，有a′t＝v－at
2 2 2 1 12
可得t＝ s
2
即两车间最小距离x ＝a′t2＋Δx－＝1.76 m。
min 2 2
2．如图所示，一辆汽车(视为质点)在一水平直路面ABC上运动，AB的长度为x ＝25 m，BC的长度为x ＝97
1 2
m。汽车从A点由静止启动，在AB段做加速度大小为a＝2.0 m/s2的匀加速直线运动。在BC段，先做加速度
1
大小为a＝1.0 m/s2的匀加速直线运动。当运动到离C点适当距离处，再以大小为a＝2.0 m/s2的加速度做匀减
2 3
速直线运动，汽车恰好停在C点。求：(1)汽车达到的最大速度v 和开始减速时离C点的距离d；
m
(2)汽车从A点运动到C点所用的时间t。
【解析】(1)由x＝at2和v 2＝2ax 可得
1 11 B 1 1
汽车在AB段运动时间t＝＝5 s
1
到达B点时的速度v ＝＝10 m/s
B
设汽车在BC段之间由B到D时加速行驶，距离为d′，有
v 2－v 2＝2ad′
m B 2
由D到C时减速行驶，距离为d，有0－v 2＝－2ad
m 3
且d′＋d＝x
2
解得汽车的最大速度v ＝14 m/s
m
开始减速时汽车离C点的距离d＝＝49 m。
(2)由B到D，汽车加速行驶，由v ＝v ＋at 得：行驶时间t＝＝4 s
m B 22 2
由D到C，汽车减速行驶直到静止，由0＝v －at 得：行驶时间t＝＝7 s
m 33 3
故汽车从A点运动到C点所用的时间t＝t＋t＋t＝16 s。
1 2 3
3．如图，一根细直棒长度为5 m，用手提着其上端，在其下端的路面上方有一个长度为 5 m的、内径比直棒
略大的空心竖直管子。如果该空心管子安放在平直公路上方，汽车从正下方通过时刚好碰不到管子。已知细
直棒的下端与空心管的上端相距10 m，现放手让直棒做自由落体运动。（不计空气阻力，g取10 m/s2）
(1)求直棒通过该空心管所用的时间；（直棒通过管后继续进入公路下的直径略大于细棒的深坑）
(2)当棒开始下落时，汽车以20 m/s的速度在距离管子36 m处向管子驶来，汽车会不会碰到直棒？如不会，请
说明为什么；如会，在不改变车行驶方向的情况下，司机该如何处理？（计算时不考虑车的大小）
【解析】(1)直棒的下端到达管子的上端的时间t＝＝ s
1
直棒的上端到达管子的下端的时间
则直棒通过该空心管所用的时间t＝t－t＝(2－) s。
2 1
(2)若汽车匀速运动，则到达管子处的时间 ，汽车肯定要碰到管子
要使汽车不碰到管子，则汽车在2 s内的位移小于36 m，即：
36＝20×2＋×a×22解得a＝－2 m/s2
即汽车减速运动的加速度a>2 m/s2
管子下端到达地面的时间为：
要使汽车不碰到管子，则汽车在s内的位移大于36 m，即：
36＝20×＋×a′×2
解得a′＝0.9 m/s2
即汽车加速运动的加速度a′>0.9 m/s2。
4．今年夏天南方暴雨多发，多地发生山体滑坡事故。假设某旅游区在发生山体滑坡时，山坡的底部B处正有
一游客逗留，如图所示，此时距坡底160 m的山坡A处有一圆形石头正以2 m/s的速度、1 m/s2的加速度匀加
速下滑，游客发现后，立即以0.4 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动跑离坡底，石头滑到B处前后速
度大小不变，但开始以2 m/s2的加速度匀减速运动。已知游客从发现圆形石头到开始逃跑的反应时间为 1 s，
游客跑动的最大速度为6 m/s，且游客的运动与圆形石头的运动在同一竖直平面内。试求：
(1)圆形石头滑到坡底B处时，游客前进的位移大小；
(2)该游客若能脱离危险，请计算石头与游客间的最小距离，若不能脱离危险，请通过计算说明理由。
【解析】(1)设石头从A处滑到坡底B处的时间为t，到达坡底B处速度为v，则：
1 1
x＝vt＋at2
1 01 1
代入数据解得t＝16 s
1
游客加速到最大速度用时t2＝ ＝15 s
t＝t＋1 s，此过程游客一直在加速前进
1 2
游客前进的位移x＝a′t 2＝45 m。
2 2
(2)石头滑到坡底B处时，石头的速度v＝v＋at＝18 m/s
1 0 1
游客的速度v＝a′t＝6 m/s
2 2
此时游客刚好达到最大速度，此后石头做匀减速运动，游客开始以v 做匀速运动，设又经历时间t 二者的速
m 3
度相等，即：
v ＝v－a t＝v
共 1 石 3 m
解得：t＝6 s
3石头在这段时间内的位移x石＝ t3＝72 m
游客此时的总位移x ＝x＋v t＝81 m
游 2 m3
说明石头此刻未能追上游客，游客能脱离危险
石头与游客间的最小距离Δx ＝81 m－72 m＝9 m。
min
5．货车A正在公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆
静止的轿车B时，两车距离仅有75 m。
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若不
相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间。
(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)，
为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度至少多大才能
避免相撞。(这段公路很窄，无法靠边让道)
【解析】(1)当两车速度相等时，设经过的时间为t，则：v ＝v
A B
对B车，v ＝at
B
联立可得：t＝10 s
A车的位移为：x ＝v t＝200 m
A A
B车的位移为：x ＝at2＝100 m
B
因为x ＋x＝175 m
