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大题优练 10 机械振动 机械波
优 选 例 题
例1．如图所示，平衡位置位于原点O的波源发出的简谐横波在均匀介质中沿 x轴正方向传播，以波源刚开
始起振为计时起点，其振动方程为y＝5sin(10πt) cm。经过Δt＝0.45 s，观察到坐标为（2 m，0）的P点正好第
一次处于波峰，求这列简谐横波的波速和波长。
【解析】根据振动方程得振动周期为
根据振动方程可知，波源起振方向为y轴正方向，所以该波传播到P点后再经过周期第一次到达波峰，则有
解得
所以波长为 。
例2．一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图(a)所示，P、Q是介质中的两个质点。图(b)是质点Q的振动图像。
求：
(1)波速及波的传播方向；
(2)质点Q的平衡位置的x坐标。
【解析】(1)由图(a)可以看出，该波的波长为λ＝36 cm
由图(b)可以看出，周期为T＝2 s
波速为v＝＝18 cm/s
由图(b)知，当t＝ s时，Q点向上运动，结合图(a)可得，波沿x轴负方向传播。
(2)设质点O的振动方程为y ＝Asin(ωt＋φ)，其中ω＝＝π rad/s
O
t＝ s时有y ＝Asin＝－，可得φ＝－
O即y ＝Asin
O
由图(b)可知y ＝Asin(ωt)，所以O、Q两质点的相位差为
Q
x ＝λ＝9 cm。
Q
模 拟 优 练
1．一简谐横波以4 m/s的波速沿水平绳向x轴正方向传播。已知t＝0时的波形如图所示，绳上两质点M、N
的平衡位置相距波长。设向上为正，经时间t(小于一个周期)，此时质点M向下运动，其位移仍为0.02 m。求
1
(1)该横波的周期；
(2)t 时刻质点N的位移。
1
【解析】(1)由波形图像知，波长：λ＝4 m
又波长、波速和周期关系为：v＝
联立得该波的周期为：T＝1 s。
(2)由已知条件知从t＝0时刻起，质点M做简谐振动的位移表达式为：y ＝0.04 sin
M
经时间t(小于一个周期)，M点的位移仍为0.02 m，运动方向向下，可解得：t＝ s
1 1
由于N点在M点右侧波长处，所以N点的振动滞后个周期，其振动方程为：
y ＝0.04sin＝0.04sin
N
当t＝ s时，y ＝0.04sin＝－0.02 m。
1 N
2．一列简谐横波，某时刻的波形图象如图甲所示，从该时刻开始计时，波上A质点的振动图象如图乙所示，
则：
(1)从该时刻起，再经过Δt＝0.4 s，P质点的位移、通过的路程和波传播的距离分别为多少？
(2)若t＝0时振动刚刚传到A质点，从该时刻起再经多长时间坐标为45 m的质点(未画出)第二次位于波峰？
【解析】(1)由振动图象可知，此波的周期为T＝0.8 s，Δt＝0.4 s＝
故经Δt＝0.4 s，P质点回到平衡位置，位移为0，P质点通过的路程为2A＝4 cm
波传播的距离为＝10 m。(2)由波形图象可知，此波的波长λ＝20 m，由A质点在t＝0 时刻向上振动知，波沿x轴正方向传播。
波速v＝＝ m/s＝25 m/s
由波的周期性可得，45 m处的质点第一次到达波峰的时间
t＝＝ s＝1 s
1
此质点第二次位于波峰的时间t＝t＋T＝1.8 s。
1
3．有两列简谐横波a、b在同一介质中沿x轴正方向传播，速度均为v＝5 m/s。在t＝0时，两列波的波峰正
好在x＝2.5 m处重合，如图所示。
(1)求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置；
(2)至少经多长时间x＝0处的质点位移达到最大值。
【解析】(1)从题图中可以看出两列波的波长分别为：λ＝2.5 m，λ＝4.0 m
a b
两列波波长的最小公倍数为：s＝20 m
t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置为：
x＝(2.5±20n) m(n＝0，1，2，3…)
(2)在x＝0左侧，x＝0处的质点离两列波的波峰重合处最近点的距离为：
Δx＝17.5 m(或者写出：x＝－17.5 m)
x＝0处的质点位移达到最大值至少需用时：Δt＝
解得：Δt＝3.5 s。
4．如图甲所示，一列简谐横波由B点向A点传播，A、B两点相距5 m，振动图像如图乙所示，实线为A点的
振动图像，虚线为B点的振动图像，求：
(1)质点B的振动方程；
(2)该波的传播速度。
【解析】(1)质点 的振动周期 ，振幅 设质点 的振动方程为
当 时， ，得则 取 ，得 。
(2)波由 传播到 的最短时间为
因此由 传到 所需的时间为
、 两点的距离为
解得
波速为 。
5．一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，第一次把振子拉离平衡位置5 cm，从平衡位置向右开始
计时时，振动图象如图所示，第二次把振子拉离平衡位置 2 cm，也从振子从平衡位置向右开始计时，求第二
次振子振动时，
(1)位移为－1 cm的时刻；
(2)发生2 cm位移的最大平均速度大小。
【解析】(1)从第一次振动可以看出弹簧振子的周期为T＝4s，弹簧振子的振动周期与振幅无关，故第二次振
动周期也为T＝4s，第二次弹簧振子的振动方程为
故
当x＝－1cm时，在t≤4s，有
解得
或者解得
故振子位移为－1cm的时刻为
，n∈0，1，2，3……
，n∈0，1，2，3……
(2)当振子从+1cm向平衡位置运动到第一次到－1cm，振子所用时间最短，当位移为x＝1m时
在第一个周期内 ，当位移x＝－1cm，有 ，故发生2cm的位移的最大平均速度大小
。
