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大题优练 7 带电粒子在磁场中运动
优 选 例 题
例1．如图所示，xOy平面上以坐标原点O为圆心的四分之一圆形区域MON内，分布着磁感应强度B＝
2.0×10－3 T的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点O为 m，磁场方向垂直纸面向里，坐标原点O处有一个粒
子源，不断地向xOy平面发射比荷＝5×107 C/kg的带正电粒子，它们的速度大小都是v＝1×105 m/s，与x轴正
方向的夹角分布在0～90°范围内，不计粒子重力。
(1)求平行于x轴射入的粒子，射出磁场的位置及在磁场中的运动时间；
(2)求恰好从M点射出磁场的粒子，从粒子源O发射时的速度与x轴正向的夹角；
(3)若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从O点垂直磁场方向射入第一象限，求粒子在磁
场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角θ的关系。
【解析】(1)平行于x轴射入的粒子，轨迹如图甲所示，设出射点为P，由qvB＝m
得R＝1 m。
由几何关系可知OP＝OO＝1 m，OP＝ m，则△OOP为等腰直角三角形，x＝y＝1 m，α＝
1 1 1
故P点坐标为(1 m，1 m)
运动时间为t＝·＝×10－5 s。
0
(2)如图乙所示，由几何关系可知：OM＝OO＝1 m，OM＝ m
2 2
则△OOM为等腰直角三角形，∠OOM＝45°
2 2
则θ＝∠OOM＝45°。
2
(3)由R＝，E＝mv2可知R＝，＝＝
k
则R′＝ m。
粒子从M点出射时OM＝R′，如图丙所示，△OOM为正三角形，圆心角α′＝，出射角θ′＝
3若粒子从弧MN上射出时，弦长均为 m，圆心角均为α′＝
运动时间均为t＝·＝×10－5 s，故0≤θ≤时，t＝×10－5 s
若粒子从边OM出射时，如图丁所示，α″＝2＝π－2θ
运动时间t″＝·＝(π－2θ)×10－5 s，故<θ≤时，t＝(π－2θ)×10－5 s。
例2．如图所示，在x≤0的范围内，存在方向沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；在x＞0的范围
内，存在圆心为(2L，0)、半径为2L、垂直xOy平面向里的圆形匀强磁场。一个氕核(H)和一个氚核(H)先后从
电场中的P(－2L，L)点、平行纸面沿x轴正方向以相同的动能射出，已知H从坐标原点O进入磁场，且射出
磁场时速度方向与y轴正方向平行，H的质量为m、电荷量为q。不考虑重力，求：
(1)H从P点射出时的动能；
(2)磁场磁感应强度的大小；
(3)H射出磁场时速度的方向。
【解析】(1)设氕核从P点射出时的速度大小为v、动能为E ，在电场中运动的时间为t，则：
0 k0
2L＝vt，L＝at2，qE＝ma
0
E ＝mv2
k0 0
解得：E ＝qEL。
k0
(2)设氕核进入磁场时速度的大小为v、方向与x轴夹角为θ，沿y轴负方向分速度大小为v，则：
y
v＝at，tan θ＝＝，
y
解得：
氕核进入磁场后做匀速圆周运动，设磁感应强度的大小为B，轨迹半径为r，则有：
qvB＝m
射入点O、磁场圆心O、射出点C、轨迹圆心O 构成菱形，由几何关系有：
1 2
r＝2L解得： 。
(3)设氚核射出时速度为v′，到y轴时间为t′，该过程沿y轴负方向位移大小为y′，到达y轴时速度的大小为
0
v′、方向与x轴正方向夹角为θ′，则：
mv2＝(3m)v′2
0 0
，
即氚核也从坐标原点O进入磁场，设氚核在磁场中做圆周运动的半径为r′，则有：
解得：r′＝2L
由几何关系可知，射入点O、射出点D、轨迹圆心O 构成等边三角形，且OD垂直x轴，所以氚核离开磁场
3 3
时速度方向与x轴正方向平行。
模 拟 优 练
1．如图所示为平面直角坐标系xOy平面的俯视图，在第一象限存在方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度
大小为E ；在第二、第三象限存在方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B；在第四象限
1
存在由特殊静电装置产生的匀强电场，电场方向平行坐标平面且与y轴正方向的夹角为45°，电场强度大小为
E。一个带负电的粒子，从y轴上的P点（0，－d）沿x轴负方向射出，速度大小为v，粒子的比荷 ，
2 0粒子运动依次经过y轴上的A点（图中未画出）、x轴上的C点、过C点且平行于y轴的直线上的D点（图
中未画出）。已知粒子经过C点时的动能是经过A点时动能的2倍，粒子从C运动到D所用时间t 与从A运
2
动到C所用时间t 的关系为t＝t，不计粒子重力。求：
1 2 1
(1)A点的坐标；
(1)电场强度E、E 的大小；
1 2
(1)从A点到D点电场力对粒子做的功W。
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy的1、2象限内有等腰三角形AOB，∠AOB＝120°，C点为AB边中点，
OC＝1 m，OC⊥AB，在三角形范围内有垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝ T。在1、2象限其他区
域有与x轴正方向成60°角斜向上的匀强电场，电场强度E＝×102 V/m，取y轴负半轴上一点D，沿OD建立
电场使得U ＝U ，把一群比荷＝3×102 C/kg的负电荷在OD间静止释放，所有的负电荷都没有从AB边射出
OD 0
磁场，不计电荷的重力，不考虑电荷间的相互作用，求：
(1)U 的最大值；
0(2)负电荷离开x轴的可能范围。
3．在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B
的匀强磁场，沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为m、电荷量为q的正离子源
从正方形一边（位于y轴上）的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向夹角范围
为0～60°且均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子速度大小随发射角变化的关系为 ，α为
发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间
的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知 R＝0.05 m，B＝1 T，v ＝5×105 m/s，sin
0
37°＝0.6，cos 37°＝0.8。(1)求离子的比荷；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n；
(3)要使从磁场下边界射出的所有离子都打不到探测板上，需要在磁场与探测板间加上沿 y轴正方向的匀强电
场，求所加匀强电场的电场强度最小值E。（结果保留两位有效数字）
4．如图甲所示，在水平地面上有一个口径为 d，深为h的漏斗形旱井。井的左边侧壁竖直，距其水平距离 s
处有一个高为H的水平平台，平台上装有绝缘弹射器，可以将质量为m、电荷量为+q可看作质点的小球以速
度v 弹射出去，v 的方向跟井口直径在同一竖直平面M内。当小球水平向右弹出后，小球从井口上方掠过。
0 0
忽略空气阻力，重力加速度为g。
(1)为了使小球能打进井中，可在地面上方平行于平面M加水平方向的匀强电场，求此电场的电场强度E 的
0
取值范围和方向；
(2)若在地面上方加一平行于平面M的匀强电场，小球可以无碰撞地落到井底，求小球从开始运动至落到井底
的过程中机械能的变化量；
(3)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小E＝，同时加一个匀强磁场，改变弹射器的弹射方向
为斜向右上方，也恰能让小球无碰撞地落到井底，求匀强磁场的磁感应强度的大小以及v 与水平方向的夹角
0
θ的正切值；(4)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小E＝，再加上磁感应强度大小相等的有理想边界的两
个并列匀强磁场，如图乙所示，以同(3)一样的方向将小球弹射出去，也能让小球无碰撞地落到井底，求所加
磁场的磁感应强度大小。
5．如图所示，某粒子分析器由区域Ⅰ、区域Ⅱ和检测器Q组成。两个区域以垂直z轴的平面P为界，其中区
域Ⅰ内有沿着z轴正方向的匀强磁场和匀强电场，区域Ⅱ内只有沿着z轴正方向的匀强磁场，电场强度大小
为E，两个区域内的磁感应强度大小均为B。当粒子撞击检测器Q时，检测器被撞击的位置会发光。检测器
中心O′在z轴上，在检测器所在平面上建立与xOy坐标系平行的坐标系x′O′y′。一质量为m、带电荷量为q的
带正电粒子从A点沿x轴正方向以初速度v 射入，若区域Ⅰ内只存在匀强磁场，其轨迹圆圆心恰好是O点，
0
平面P与O点的距离 ，运动过程粒子所受重力可以忽略不计。
(1)求A点的位置，用坐标（x，y）表示；
(2)若区域Ⅰ只有匀强电场E，当检测器Q置于平面P处时，求检测器上发光点的位置，用坐标（x′，y′）表示；
(3)当检测器距离O点的距离为d时，求检测器上发光点的位置，用坐标（x′，y′）表示。答 案
1．【解析】分析粒子运动。作出粒子的运动轨速如图所示。
(1)粒子在P点沿x轴负方向进入匀强磁场，做匀速圆周运动，设半轻为r，根据牛顿第二定律有：
代入数据解得r＝d
可见粒子做圆周运动的圆心在O点，A点在圆周的最高点，坐标y ＝r＝d
A
所以A点的坐标为（0，d）。
(2)由题可知粒子在C点的动能为在A点动能的2倍，有：
解得粒子在C点的速度大小
可知v 与x轴正方向的夹角 ＝45°，粒子沿y轴负方向的分速度v ＝v
C Cy 0
在第一象限，粒子做类平抛运动，加速度
在y轴负方向根据运动学公式有
联立解得
v 与x轴的夹角 ＝45°，根据运动特点可知OC＝2d
C
运动时间
由题意有
根据题意和以上分析知，粒子在第四象限受的电场力方向和v 的方向垂直，加速度
CC、D在同一条平行于y轴的直线上，在x轴方向位移为0，有
联立解得 。
(3)粒子在D点的速度大小
从A点到D根据动能定理可得电场力做的功
联立解得 。
2．【解析】(1)所有的负电荷都没有从AB边射出磁场的临界如图所示，根据几何知识可得，此时的半径为
带电粒子在磁场中偏转，由洛伦兹力提供向心力，则
带电粒子在电场中加速，根据
代入数据解得 。
(2)带电粒子离开磁场时，速度方向与电场方向垂直，粒子做类平抛运动，其中
加速度为
粒子做类平抛运动在垂直电场方向的位移为
在沿电场方向的位移为根据几何关系可得
又因为 ，
联立各式，代入数据解得
则
所以负电荷离开x轴的可能范围为 。
3．【解析】(1)α＝0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出，做出离子的轨迹如图所示，根据几
何关系可得离子运动轨迹半径r＝R
根据洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m
0
解得离子的比荷＝107 C/kg。
(2)发射角为α的离子运动轨迹半径为
如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y轴上的弦长
L＝2R′cosα＝2R
即所有粒子都打到O点；实际只有边长为2R的正方形区域存在磁场根据对称性可得从P向磁场发射的离子
均垂直磁场下边界射出，根据几何关系可得离子出磁场下边界的位置横坐标为
x＝R′+R′sinα
a
离子要打在探测板最右边时，需满足x＝R′+R′sinα＝2R
a
将运动轨迹半径R′代入上式得1+sinα＝2cosα
解得α＝37°
因为离子速度
所以当α>37°时离子轨迹半径变大，粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，并沿 0－60°范围均匀分
布，单位时间发射N个离子，则单位时间内能打在探测板上的离子数 。(3)只要从磁场下边界射出的速度最大的粒子打不到探测板上，则所有离子都打不到探测板上，离子最大的速
度为
当最大的速度v 的离子恰好达不到探测器时，此时电场强度为最小值E，根据动能定理有
m
解得E＝3.9×105V/m。
4．【解析】(1)在竖直方向小球做自由落体运动，有
解得
在水平方向上小球做匀减速运动，加速度大小为 ，设小球从井口左侧进入井中，有
解得
同理可得，当小球从井口右侧进入井中，所加电场的电场强度大小为
电场强度方向水平向左， 的取值范围为(2)由题意可知，若小球可以无碰撞地到达井底，则小球需从井口的左侧竖直进入。设小球从弹射出去到运动
至井口的过程中，历时为 ，则水平方向
竖直方向
由动能定理得
机械能的增加量为
联立解得 。
(3)由于 ，所以小球在洛伦兹力的作用下在复合场中做匀速圆周运动，圆心在如图甲所示的 O点，
设半径为R
由几何关系可知
解得由牛顿第二定律得
解得
由几何关系可知弹射速度与水平方向的夹角 ，则
(4)由于两个并列磁场的磁感应强度大小相等，小球运动轨迹如图乙所示，半径为
由题意得
设磁场的磁感应强度为 ，由牛顿第二定律得
解得 。
5．【解析】(1)由洛伦兹力提供向心力有
解得
故A点的位置为
。
(2)粒子做类平抛运动，有
解得则横坐标为
纵坐标与A点的纵坐标相同，故发光点的位置为
。
(3)①当 时，粒子的运动可以分解为沿 轴方向初速度为零的匀加速直线运动和 平面内速度为 的
匀速圆周运动，则有
解得
匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，则有
解得
根据几何关系可知，打在检测器上的坐标为
发光点的位置为
②当 时，在区域Ⅱ内粒子的运动可以分解为沿 轴方向的匀速直线运动和 平面内速度为 的匀速
圆周运动，刚出区域Ⅰ时，粒子的坐标为 ，沿 轴的速度为粒子在区域Ⅱ运动的时间
根据几何关系可知，打在检测器上的坐标为
发光点的位置为
。
