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小题必练8： 功和功率
(1)功的理解与计算；(2)恒力及合力做功的计算、变力做功；(3)机车启动问题；(4)功、功率与
其他力学知识的综合。
例1．(2018∙全国III卷∙19)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖
井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同
的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不
考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
【答案】AC
【解析】根据位移相同可得两图线与时间轴围成的面积相等，v×2t＝×v×[2t＋t′＋(t＋t′)]，解
0 0 0 0 0
得t′＝t ，则对于第①次和第②次提升过程中，矿车上升所用的时间之比为2t∶(2t ＋t)＝
0 0 0 0
4∶5，A正确；加速过程中的牵引力最大，且已知两次加速时的加速度大小相等，故两次中最
大牵引力相等，B错误；由题知两次提升的过程中矿车的最大速度之比为2∶1，由功率P＝
Fv，得最大功率之比为2∶1，C正确；两次提升过程中矿车的初、末速度都为零，则电机所做
的功等于克服重力做的功，重力做的功相等，故电机所做的功之比为1∶1，D错误。
【点睛】本题考查速度图象，牛顿运动定律、功和功率及其相关的知识点。此题以速度图象给
出解题信息。解答此题常见错误主要有四方面：一是对速度图象面积表示位移掌握不到位；二是运用牛顿运动定律求解牵引力错误；三是不能找出最大功率；四是不能得出两次提升电
机做功。
1．如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的
物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用N表示物块受到的
支持力，用f表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是( )
A．N和f对物块都不做功
B．N对物块做功为2 J，f对物块不做功
C．N对物块不做功，f对物块做功为2 J
D．N和f对物块所做功的代数和为零
2．(多选)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力和速度传感器监测
到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法正
确的是( )
A．物体的质量m＝0.5 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4
C．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
D．前2 s内推力F做功的平均功率＝3 W
3．(多选)一质点在光滑水平面上处于静止状态，现对该质点施加水平力F，力F随时间t按如
图所示的正弦规律变化，力F的方向始终在同一直线上，在0～4 s内，下列说法正确的是(
)
A．第2 s末，质点距离出发点最远B．第2 s末，质点的动能最大
C．0～2 s内，力F瞬时功率一直增大
D．0～4 s内，力F做功为零
4．(多选)如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数的关系图象。若汽车质量为2×103 kg，它
由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则( )
A．车所受阻力为2×103 N
B．汽车在车速为5 m/s时，功率为6×104 W
C．汽车的额定功率为6×104 W
D．汽车匀加速所需时间为5 s
5．(多选)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为
m、m，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方
1 2
向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，物块A运动的距离为d，速度为v，重力
加速度大小为g，则此时( )
A．mgsin θ＝kd
2
B．物块A加速度大小为
C．重力对物块A做功的功率为(kd－mgsin θ)v
2
D．弹簧的弹力对物块A做功的功率为(kd－mgsin θ)v
2
6．(多选)如图所示，光滑水平地面上固定一带有光滑定滑轮的竖直杆，用轻绳一端系着小滑
块，另一端绕过定滑轮，现用恒力F 水平向左拉滑块的同时，用恒力F 拉右侧绳端，使滑块
1 2
从A点由静止开始向右运动，经过B点后到达C点，若AB＝BC，则滑块( )
A．从A点至B点F 做的功等于从B点至C点F 做的功
2 2
B．从A点至B点F 做的功小于从B点至C点F 做的功
2 2C．从A点至C点F 做的功可能等于滑块克服F 做的功
2 1
D．从A点至C点F 做的功可能大于滑块克服F 做的功
2 1
7．一物体在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段时间内的速度随时间变化情况如图
所示。则拉力的功率随时间变化的图象可能是(g取10 m/s2)( )
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8．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由静
止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同
的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
9．如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球。一水
平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的
功率为( )
A．mgLω B．mgLω
C．mgLω D．mgLω
10．为了缓解城市交通拥堵问题，某市交通部门在禁止行人步行的十字路口增设了长度为12m的“直行待行区”。如图所示，当其他车道的车辆右转时，直行道上的车辆可以提前进入
“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口。如果该路段
的限速为60 km/h，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时间为4 s。现某汽车司机
驾驶着质量为1.5 t的小汽车，汽车的额定功率为63 kW，汽车的前端刚好停在停车线处，当
司机看到上述提示时，立即由静止开始做匀加速直线运动，当汽车的前端运动到“直行待行
区”的前端线时，正好直行的绿灯亮起，司机保持该加速度继续运动到额定功率后保持功率
不变，汽车在运动中受到的阻力为车重的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，则：
(1)在前4 s时间内，汽车发动机所做的功是多少？
(2)从开始运动计时，经过12 s达到该路段限速，汽车经过的总位移是多少？(结果保留两位
有效数字)
11．某品牌汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根据表中数据回答问题。
整车行驶质量 1 500 kg
额定功率 75 kW
加速过程 车辆从静止加速到108 km/h所需时间为10 s
制动过程 车辆以36 km/h行驶时的制动距离为5.0 m
已知汽车在水平公路上沿直线行驶时所受阻力f跟行驶速率v和汽车所受重力mg的乘积成
正比，即f＝kmgv，其中k＝2.0×10－3 s/m。重力加速度g取10 m/s2。
(1)若汽车加速过程和制动过程都做匀变速直线运动，求这次测试中加速过程的加速度大小
a 和制动过程的加速度大小a。
1 2
(2)求汽车在水平公路上行驶的最大速率v 。
m
(3)把该汽车改装成同等功率的纯电动汽车，其他参数不变。若电源功率转化为汽车前进的机械功率的效率η＝90%。假设1 kW·h电能的售价为0.50元(人民币)，求电动汽车在平直公路
上以最大速度行驶的距离s＝100 km时所消耗电能的费用。结合此题目，谈谈你对电动汽车
的看法。
答 案1．【答案】B
【解析】由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功。
由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功。
由动能定理知W －W ＝0，故支持力N做功为2 J。
N G
2．【答案】ABC
【解析】由题图甲、乙可知，在1～2 s，推力F＝3 N，物体做匀加速直线运动，其加速度a＝2
2
m/s2，由牛顿运动定律可得，F－μmg＝ma；在2～3 s，推力F＝2 N，物体做匀速直线运动，由
2 3
平衡条件可知，μmg＝F；联立解得物体的质量m＝0.5 kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝
3
0.4，选项A、B正确；由速度—时间图象所围的面积表示位移可得，第2 s内物体位移x＝1
m，克服摩擦力做的功W＝μmgx＝2 J，选项C正确；第1 s内，由于物体静止，推力不做功；第
f
2 s内，推力做功W＝Fx＝3 J，即前2 s内推力F做功为W′＝3 J，前2 s内推力F做功的平均
2
功率＝＝ W＝1.5 W，选项D错误。
3．【答案】BD
【解析】从图象可以看出在前2 s力的方向和运动的方向相同，物体经历了一个加速度逐渐增
大的加速运动和加速度逐渐减小的加速运动，第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不变，所
以2 s后，质点离出发点距离还在增大，故A项错误；第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不
变，物体要做减速运动，所以第2 s末，质点的速度最大，动能最大，故B项正确；0～1 s内，速
度在增大，力F增大，根据瞬时功率P＝Fv得力F瞬时功率一直增大，1～2 s内，速度在增大，
但是随时间变化速度增大变慢，而力F随时间减小变快，所以力F瞬时功率有减小的过程，
故C项错误；0～4 s内，初末速度都为零，根据动能定理得合力做功为零，所以力F做功为零，
故D项正确。
4．【答案】ACD
【解析】由图可知，匀加速直线运动的加速度为2 m/s2，汽车的最大速度为30 m/s，匀加速直线
运动的末速度为10m/s。汽车匀加速直线运动的时间 ，故D正确；设汽车的额定功
率为P，车所受阻力为f。当汽车速度最大时，汽车做匀速直线运动，根据功率公式，有汽车的
额定功率为P＝Fv ＝fv ，当＝s/m时，a＝2 m/s2，根据牛顿第二定律得－f＝ma，解得f＝
m m
2×103 N，P＝6×104 W，故AC正确；因为5 m/s<10 m/s，所以汽车速度为5 m/s时，功率未达到
额定功率6×104 W，故B错误。
5．【答案】BC【解析】开始系统处于静止状态，弹簧弹力等于A的重力沿斜面向下的分力，当B刚离开C时，
弹簧的弹力等于B的重力沿斜面向下的分力，故mgsin θ＝kx，但由于开始时弹簧是压缩的，
2 2
故d＞x，故mgsin θ＜kd，故A错误；物块A的加速度a＝，开始弹簧处于压缩状态，压缩量
2 2
x＝，又x＋x＝d，解得a＝，故B正确；由于速度v与重力夹角不为零，故重力的瞬时功率等
1 1 2
于mgvsin θ，则由mgsin θ＝kx、mgsin θ＝kx 及x＋x＝d得，mgsin θ＋mgsin θ＝kd，所以
1 1 1 2 2 1 2 1 2
重力做功的功率P＝(kd－mgsin θ)v，故C正确；当物块B刚要离开C时，弹簧的弹力为
2
mgsin θ，则弹力对物块A做功的功率为msin θ·v，故D错误。
2 2
6．【答案】CD
【解析】由题意知，滑块从A点至B点时右侧绳端的位移大于滑块从B点至C点时右侧绳端
的位移，F 是恒力，则滑块从A点至B点F 做的功大于从B点至C点F 做的功，A、B项错误；
2 2 2
滑块从A点至C点过程中，可能先加速后减速，滑块在C点速率大于或等于零，根据动能定
理得知，滑块从A点运动到C点过程中动能的变化量大于或等于零，总功大于或等于零，则
从A点至C点F 做的功大于或等于滑块克服F 做的功，C、D项正确。
2 1
7．【答案】D
【解析】由图知在0～t 时间内，物体做初速度为零的匀加速运动，v＝at；由牛顿第二定律得F
0
－f＝ma，则拉力的功率P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at；在t 时刻以后，物体做匀速运动，v不
0
变，则F＝f，P＝Fv＝fv，P不变，故D项正确。
8．【答案】BD
【解析】设f＝kR，则由牛顿第二定律得F ＝mg－f＝ma，而m＝πR3·ρ，故a＝g－，由m >m 、
合 甲 乙
ρ ＝ρ 可知a >a ，故C项错误；因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v >v ，B项正确；由
甲 乙 甲 乙 甲 乙
x＝at2可知，t f ，则W >W ，D
甲 乙 克服 甲 乙 甲克服 乙克服
项正确。
9．【答案】C
【解析】由于杆做匀速转动，拉力的功率等于克服重力做功的功率，P＝mgωLcos 60°＝mgLω，
C项正确。
10．【解析】(1)在这段时间内，汽车前进的位移为x＝at2
汽车的加速度为a＝＝1.5 m/s2
汽车受到的阻力f＝kmg＝3×103 N
根据牛顿第二定律F－f＝ma
牵引力做功W ＝F·x
F
由以上两式得W ＝6.3×104 J。
F(2)设汽车达到额定功率时的速度为v′，时间为t′，位移为x，则
1
P ＝F·v′
额
v′＝a·t′
x＝at′2
1
设汽车以额定功率行驶的位移为x，根据动能定理
2
P (t－t′)－f·x＝mv2－mv′2
额 2
由以上各式解得x＝48 m，x＝50.55 m
1 2
汽车经过的位移x＝x＋x≈99 m。
1 2
11．【解析】(1)加速过程的加速度大小a＝＝ m/s2＝3 m/s2
1
制动过程满足2ax＝v－v
2
解得加速度大小a＝10 m/s2。
2
(2)当汽车的速度达到最大时，汽车受到牵引力与阻力相等。满足P ＝fv
m m
即P ＝kmgv
m
解得v ＝50 m/s。
m
(3)以最大速度行驶过程中，克服阻力所做的功
W＝fs＝kmgv s
f m
代入数据，解得W＝1.5×108 J
f
消耗电能E＝＝1.67×108 J＝46.4 kW·h
所以，以最大速度行驶100 km的费用Y＝46.4×0.5＝23.2(元)。
由以上数据可以看出，纯电动汽车比燃油汽车行驶费用低得多，而且无环境污染问题。维权 声明
