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专题 11.7 与三角形有关的角的四大类型解答
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型
解答的理解！
【类型1 与三角形有关的角的计算】
1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分
∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一
点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且
DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
1
4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD= ∠BAC，BP
3
平分∠ABC交AD于点P，∠C=70°，∠ADB=110°．求∠BPD的度数．
5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC
的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F，交CD于点G．
(1)求证：BG平分∠ABE．
(2)若∠DCE=105°，∠DAB=60°，求∠BGC的度数．
6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，
将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连接AE．(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE-29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在
A'处．
【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2之间的关系是 ;
【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并
说明理由.
【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2之间存在数量关
系 .
8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C=∠ADB．
(1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD；
(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究
结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD，
∠DFE=8∠DAE时，求∠BAD的度数．
9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上
一点（不与点E重合），且FD⊥BC于点D．(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°，则∠EFD=______．
(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，
探究∠AKD、∠C、∠B三者之间的数量关系，并说明理由：
(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作
PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H，若∠EAD=∠CAD，且
7
∠CPG= (∠B+∠CPE)，求∠EPH的度数．
10
【类型2 与三角形有关的角的证明】
1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：∠A=∠CED+∠D．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G在直线EF上且
∠ABG=∠FGB．
(1)求证：∠C=∠CGE．
(2)若∠C=∠CGB+20°，求∠C的度数．
3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD．(1)如图1所示，连接AE，若∠AED=∠BAE+∠CDE．
①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；
②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：∠CDM=∠BAE；
(2)如图2所示，∠AED=∠A-∠D，若M为平面内一动点，MA∥ED，请直接写出∠MAB与∠CDE
的数量关系．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，
∠MON=60°，
(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠APB=__________；
(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出∠APB的度数；
(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB+∠OPB=90°．
5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任
意一点E，F，连接DE，DF．
求证：∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF．小丽的证法 小红的证法
证明：
证明：
如图2，连接AD并延长至点M，
∵∠BED=80°,∠DFC=60°，
∠BED=∠BAD+∠EDA，
∠BAC=51°,∠EDF=89°（量角器测量所
∠DFC=∠DAC+∠ADF（ 依据
得），
），
∴∠BED+∠DFC=140°，
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠BAC+∠EDF=140°（计算所得）．
∠EDA+∠ADF=∠EDF，
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF（等量代
∴∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF 换）．
．
任务：
(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；
(2)下列说法正确的是____________．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理
B．小丽的证法还需要改变∠BAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理
D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理
(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成
立，请说明理由；若不成立，请探索∠BED，∠DFC，∠BAC，∠EDF之间的关系．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°．(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作
BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM于点F．判断∠ENB与
∠NAC之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B
作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F．
①依题意补全图形；
②若∠CAB=45°，求证：∠NEA=∠NAE．
7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A、∠C的关系是
______（直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG 和EG 为∠BEF内满足∠1=∠2的
1 2
两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G 和G ，求证：∠FG E+∠G =180°．
1 2 1 2
（3）如图3，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=3∠CEF，若
8°<∠BAE<20°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为______．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC在中，∠B=∠C，点D在边BC上．(1)如图①，点E在线段AC上，若∠ADE=∠AED，证明：∠BAD=2∠CDE；
(2)如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的
角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比
【类型3 与三角形有关的角的挖空题】
1．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，作点AC⊥AD，设BD分别与AC、
CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2=∠3，求证：∠CFG=∠CGF．
完成下面的证明过程：
证明：∵AC⊥AD （已知） ．
∴∠CAD=90°（垂直的定义）．
∵BD平分∠ABC （已知）
∴∠1=∠2 （ ）
∵∠2=∠3 （已知）
∴∠1= （等量代换）
∴ AD//BC （ ）
∴ =∠CAD=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠CAD=90°（直角三角形的两个锐角互余）
同理由CE⊥AB，
可得∠2+∠BGE=90°
∴∠CFG=∠BGE （ ）
又∵∠BGE=∠CGF （对顶角相等 ）
∴∠CFG=∠CGF（等量代换）2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，
完成下面的证明：
∵MG平分∠BMN，
1
∴∠GMN＝ ∠BMN（ ），
2
1
同理∠GNM＝ ∠DNM．
2
∵AB∥CD
∴∠BMN＋∠DNM＝________（ ）．
∴∠GMN＋∠GNM＝________．
∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，
∴∠G＝________．
3．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图，三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究∠BDC与∠A、
∠1、∠2之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，（ ）
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，（等式性质）
∵∠A+∠1+ +∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠1+∠2＝180°﹣ ﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2． （ ）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程．
4．（2023春·河北衡水·八年级校考期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB，完成下面的证明．
证明：∵∠2+∠AEC＝180°．∠1+∠2＝180（已知），
∴∠AEC＝∠1（等量代换），
∴AB∥FD（ ），
∴∠3＝ （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B（等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ACB（ ）；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．5．（2023春·山西晋城·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一
副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O重合，边CD与边AB重合，
试求∠AOC的度数．
（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）
解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°
∴∠BOC=__________（___________________）
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=__________．
（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O逆时针旋转△DOC，
当DC//AO时，求得∠AEO的度数．（请你写出解答过程）
（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O逆时针旋转△DOC，使
点B落在边DC上，此时发现∠1与∠2之间的数量关系．
以下是他的解答过程，请补充完整解：在△AOE与△BCE中，
∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C又∵∠AEO=∠CEB（___________________）
∠A=__________，∠C=__________，
∴∠1+∠A=∠2+∠C
∠1-∠2=__________．
【类型4 探究与三角形有关的角之间的关系】
1．（2023春·全国·八年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，
其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存
在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
2．（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与探究
问题情境：
如图1，已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°，点E，F在直线AB上，且∠ACD=∠ACF，CE
平分∠BCF．
(1)求∠ACE的度数．
实践探究：
(2)若左右平行移动AD，那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BAC与∠BFC之间的数量关系．
(3)如图2，若向左平行移动AD，当∠BEC=∠CAD时，请求出∠CAD的度数．
3．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上
（P点在△ABC内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与
∠ACP、∠A是否存在某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：如图①，若∠A=50°，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=_____度；∠ABP与
∠ACP、∠A的数量关系是 ；
(2)类比探究：如图①，若∠A=α，请先写出∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系，并说明理由；
(3)延伸探究：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、
PN仍然分别经过点B和点C，则（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请重新写出∠ABP与∠ACP、
∠A的数量关系，并说明理由．
4．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成
所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A
有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎
样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A又有怎
样的关系？（只写结论，不需证明）结论： ．5．（2023春·湖北·八年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动
点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点
G．
(1)如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是___________；∠EFB的度数是___________；
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
6．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）数学实践活动课上，研究小组探究如下问题：
【问题情境】如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，使直角顶点与点O重合，
其中∠COD=90°，∠C=30°，OE平分∠BOC且交CD所在直线于点F．
【独立思考】（1）若∠AOC=30°，求∠OFC的度数；
【实践操作】（2）如图②，将直角三角尺绕点O旋转，当∠OFC=2∠AOC时，求∠AOC的度数；
【深入探究】（3）继续旋转直角三角尺，若OC不与AB重合，试探究旋转过程中，∠AOC和∠OFC之
间的数量关系．
7．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知，直线AB∥CD．(1)如图1，点E在AB、CD之间，求证：∠AEC=∠A+∠C；
(2)如图2，在（1）的条件下，∠BAE的平分线交CE的延长线于点F，∠DCE的平分线交AE的延长线于
点G，试探究∠F，∠G和∠AEC这三个角之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点E在直线AB的上方，∠EAB，∠ECD的平分线交于点F，若∠E-∠F=20°，请直接写出
∠ECD-∠EAB的值．
8．（2023春·四川泸州·八年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，AC∥EF
(1)观察猜想：若∠A=45°，∠E=65°，则∠CDE的度数为
(2)探究问题：请在图1中探究∠A，∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系，并说明理由.
(3)拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时，与又有怎样的数量关系呢？请写出结论并说明
理由.
