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专题11.6 与三角形有关的线段（中线、高线和角平分线）
（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】三角形中线、高线与角平分线
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三
角形的高．
三角形的高的数学语言：
如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
三角形高线中的一些注意点：
（1）三角形的高是线段；
（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
1
2
如图二，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝ BC.
图一 图二 图三三角形中线中的一些注意点：
（1）三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3、三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
1
2
注意：AD是ΔABC的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
三角形角平分线中的一些注意点：
（1）三角形的角平分线是线段；
（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
【知识点二】三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形稳定性中的一些注意点：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固
而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输
电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的
大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳
定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【考点一】三角形的高➼➻画三角形的高★★三角形的高有关计算★★垂心
【例1】如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题：(1) 作边 上的高 ；
(2) 过点D作直线 的垂线，垂足为E；
(3) 点B到直线 的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】(1)见分析；(2)见分析；(3)
【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可．（2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根
据点到直线的距离，判断即可．
（1）解：如图，线段 即为所求．
（2）如图，线段 即为所求．
（3） 到直线 的距离是线段 的长度．
故答案为： ．
【点拨】本题考查作图 基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂
线的定义，属于中考常考题型．
【举一反三】
【变式1】在 中， 是钝角，下列图中画 边上的高线正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用三角形高的定义即可求解．解：由三角形高的定义可知，只有D选项中的作法是画 边上的高线，
故选D．
【点拨】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，
顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
【变式2】如图， 是 的_________边上的高；在 中， 是_________上的高， 还
是 _________的高； 是 _________的_________边上的高．
【答案】 / / 或 /
【分析】根据三角形高的定义进行求解即可．
解：∵ ，
∴ 是 的 上的高；
∵ ，
∴ 是 的 上的高， 是 的 上的高， 是 的 上的高；
∵ ，
∴ 是 的 边上的高，
故答案为： ； ； 或 ； ； ．
【点拨】本题主要考查了三角形高的定义，熟知该定义是解题的关键：过三角形一个顶点向对边作垂
线，该垂线即为该三角形中此顶点对边上的高．
【例2】如图， ， 分别是 的高， ， ， ，求 的长．
【答案】 ．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
解： ， 分别是 的高，∴ ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积 底 高．
【举一反三】
【变式1】如图， ， ， 分别是 的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可．
解： ， ， 分别是 的中线、角平分线、高线，
，故选项A正确，不合题意；
，故选项B正确，不合题意；
，故选项C正确，不合题意；
与 不一定相等，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足
与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的
顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．
【变式2】如图所示， ， 是 的两条高，若 ， ，则 的长为
________cm．
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式可得 的面积 ，从而可得 ，
然后进行计算即可解答．
解： ， ，
的面积 ，
，
∵
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．
【考点二】三角形的中线➼➻求长度★★求面积★★重心
【例3】如图， 的周长为 ， ， 边上的中线 ， 的周长为 ，求 的
长．
【答案】8
【分析】设 ， ，由 是 边上的中线，得 ，结合 的周长为 、的周长为 ，联立方程组 ，求解方程组即可．
解：设 ， ，
是 边上的中线，
，
由题意得： ，
，
即： ，
解得 ，
的长为8．
【点拨】本题考查了中线的性质，三角形周长，二元一次方程组解决实际问题；解题的关键是通过中
线得到线段之间的数量关系，并建立相关方程．
【举一反三】
【变式1】在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为
（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
【答案】C
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，根据周长分成两部分可得分两种情况讨论即可，
注意三角形三边关系的应用．
解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的中线以及三角形三边关系，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关
键．
【变式2】如图， 是 的中线， 是 的中线，若 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据三角形中线的定义得出 ， ，即可求解．
解：∵ 是 的中线， ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．
【例4】如图， 的中线 相交于点F，(1) 图中与 面积相等是三角形有____个（不含 ）；
(2) 若 的面积是 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)3/三；(2)
【分析】（1）利用三角形中线的性质即可推导出 ，问题即可解答；
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用 ①， ②，
再用 即可表示出 ，问题即可得解．
解：（1）∵ 分别是 的中线，
∴ ，
∴ ， ，
即 ，
∴与 面积相等的三角形共有3个
故答案为：3
（2）如图，
∵ 和 是 的两条中线，
∴ ，
即 ①，
②，
①−②得： ，∴ ．
∴ ．
∵
【点拨】本题主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，
要熟练掌握并灵活运用．
【举一反三】
【变式1】如图，A，B，C分别是线段 、 、 的中点，若 的面积是70，那么
的面积是( )
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【分析】连接 ， ， ，根据三角形的中线将这个三角形的面积平均分成相等的两份可知
， 的面积等于 的面积，从而得到 的面积等于 的面积的两倍，同理可求
的面积与 的面积也是 的面积的两倍，从而得解．解：如图，连接 ， ， ，
、 分别是线段 ， 的中点，
∴ ，
，
同理： ， ，
的面积 ．
，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，
作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
【变式2】如图，在 中，点D、E分别是边 和 上的点，且 ， ，连
接 、 交于点O．若 的面积为20，则 与 的面积之和为______．
【答案】
【分析】连接 根据已知设 再根据高相等，三角形的面积之
比等于底边之比列方程即可．
解：连接 ， ，设
，
，
，
，
由 得， ， ，
故 与 的面积之和为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形中线，面积问题，二元一次方程组的解法，关键是辅助线的作法．
【考点三】三角形的角平分线➼➻定义★★求面积
【例5】如图， 是 的角平分线． ， 交 于点E， ， 交 于点
F，图中 与 有什么关系？为什么？
【答案】 ，理由见分析
【分析】由角平分线的定义可得 ．由平行线的性质可得 ， ，最
后等量代换即得出 ．
解： ．
理由：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查角平分线的定义，平行线的性质．掌握角平分线分得的两个角相等和两直线平行，
内错角相等，是解题关键．
【举一反三】
【变式1】如图，直线 ， 交于点O，射线 平分 ，若 ，则 等
于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对顶角相等可得 ，再根据角平分线的定义可得
，即可求得答案．
解：∵ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查对顶角、角平分线的定义，熟练掌握对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
【变式2】如图，在 中， ，G为 的中点， 的延长线交 于点E、F为 上的
一点， 于点H，（1） 的高线是___________；
（2） 是三角形_________的角平分线．
【答案】
【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的
高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的
线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可．
解：∵ 于点H，
∴ 的高线是 ；
∵ ，
∴ 是三角形 的角平分线，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义．
【例6】如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
(1) 将 经过平移后得到 ，图中标出了点 的对应点 ，补全 ；
(2) 在图中画出 的高 ；
(3) 若连接 则四边形 的面积为___________；
(4) 若点 的坐标为 则点 的坐标为___________．
【答案】(1)见分析；(2)见分析；(3)14；(4)
【分析】（1）点 先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度得到点 ，将点A，C分别向
左移动2个单位长度，再向上移动4个单位得到对应点，顺次连接即可；
（2）根据三角形的高的定义和格点特点作图即可；
（3）用包含四边形 的长方形的面积减去四周小三角形的面积即可求得出答案；（4）横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减，由此可解．
解：（1）【小问1详解】
如图所示．
（2）解： 的高 如图所示．
（3）解：如图，连接 ，
四边形 的面积 ．
故答案为：14；
（4）解：点 的坐标为 点A向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，
则点 的坐标为 ，即 ，故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平移—作图，利用格点作三角形的高，利用格点求四边形的面积，平面直角坐
标系内点的平移等知识点，解题的关键是掌握平移的特点．
【举一反三】
【变式1】如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点
C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据三角形 的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可
通过在正方形网格中画图得出结果．
解：C点所有的情况如图所示：
由图可得共有5个，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
【变式2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则 __________
(填“＞”，“＜”或“＝”)．
【答案】＜【分析】分别求出 的面积和 的面积，即可求解．
解：由题意，
，
，
∴ ；
故答案为：＜．
【点拨】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
【考点四】三角形的稳定性
【例7】为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准
备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？
【答案】见分析
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形，
因为三角形具有稳定性．
【点拨】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】在日常生活中，数学知识有着广泛的应用．观察下列四幅图片，解释不正确的是（ ）
A．图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性
B．图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性C．图③固定木条 旋转木条 ，当 时有 ，这是因为“同位角相等，两直线平行”
D．图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“两点之间，线段最短”的道理
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短，进
行判断即可．
解：A、图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性，
说法正确，不符合题意；
B、图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性，说
法正确，不符合题意；
C、图③固定木条 旋转木条 ，当 时有 ，这是因为“同位角相等，两直线平行”
说法正确，不符合题意；
D、图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“点到直线，垂线段最短”的道理，原
说法错误，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短．
熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式2】下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
【答案】③
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是③，
故答案为：③．
【点拨】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
