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专题 16.5 期末复习之选择压轴题十六大题型总结
【人教版】
【题型1 由三角形的中线求面积】..........................................................................................................................1
【题型2 与内外角平分线有关的计算】..................................................................................................................6
【题型3 格点中的全等三角形】............................................................................................................................12
【题型4 利用全等三角形的判定与性质求角度】...............................................................................................15
【题型5 利用全等三角形的判定与性质求线段长度】.......................................................................................21
【题型6 利用全等三角形的判定与性质求面积】...............................................................................................26
【题型7 线段长度最值问题】................................................................................................................................31
【题型8 使组成等腰三角形的点的个数】...........................................................................................................36
【题型9 利用整式的乘法求值】............................................................................................................................40
【题型10 因式分解的应用】....................................................................................................................................43
【题型11 分式化简求值】........................................................................................................................................46
【题型12 由分式方程的解求参数】........................................................................................................................49
【题型13 几何动态问题】........................................................................................................................................52
【题型14 规律探究】................................................................................................................................................58
【题型15 多结论问题】............................................................................................................................................61
【题型16 新定义问题】............................................................................................................................................68
【题型1 由三角形的中线求面积】
【例1】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ABC中，AC=DC=3，∠BAC的角平分线AD⊥BD
于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差=S ，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
△ADC
【详解】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°，
∵∠BAD=∠HAD，
∴∠ABD=∠H，
∴AB=AH，
∵AD⊥BH，
∴BD=DH，
∵DC=CA，
∴∠CDA=∠CAD，
∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠H，
∴CD=CH=AC，
∵AE=EC，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABE 4 △ABH △CDH 4 △ABH
∵S −S =S −S =S −S =S ，
△OBD △AOE △ADB △ABE △ADH △CDH △ACD
∵AC=CD=3，
1
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×3×3=4.5．
2
故选：C．
【变式1-1】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，已知△ABC的面积为12，D、E、F分别是△ABC的边
AB、BC、CA的中点，AE、BF、CD交于点G，AG:≥=2:1，则图中阴影部分的面积为（ ）A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
1 1
【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得S = S ，S = S ，结
△ABE 2 △ABC △BDG 2 △BAG
2
合AG:≥=2:1，得S = S ，即可作答．
△BAG 3 △ABE
【详解】解：∵E是BC的中点，
1
∴S = S =6，
△ABE 2 △ABC
又∵AG:≥=2:1，
2
∴S = S =4，
△BAG 3 △ABE
又∵点D是AB的中点，
1
∴S = S =2，
△BDG 2 △BAG
同理S =2，
△CFG
∴图中阴影部分的面积为S +S =2+2=4，
△BDG △CFG
故选B．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE
的面积为17，则△ABC的面积是（ ）
A．54 B．51 C．42 D．41【答案】B
【分析】连接CF，依据中线的性质，推理可得S =S =S ，进而得出S =3S ，据此
△BCF △BAF △ACF △ABC △BAF
可得结论．
【详解】解：如图所示，连接CF，
∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，
∴S =S ，
△BCE △ABD
∴S =S =17，
四边形CDFE △ABF
∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，
∴S =S ，S =S ，
△BCE △ABE △FCE △FAE
∴S =S =17，
△BCF △BAF
同理可得，S =S =17，
△ACF △BAF
∴S =S =S =17，
△BCF △BAF △ACF
∴S =3S =3×17=51，
△ABC △BAF
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
【变式1-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，
若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【答案】A
【分析】连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，设S =a，根据同高的三角形的面积的比等于底
△AFG8 5
边的比，分别得到S =2a、S =8a、S =10a、S = a、S =S =5a、S = a，
△AFB ΔBCF △ABC △CFE 3 ΔACG ΔBCG △BDG 3
再根据四边形DEFG的面积，求出a=6，即可得出△ABC的面积．
【详解】解：连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，
设S =a，
△AFG
1 1
∵S = ⋅AG⋅FM，S = ⋅BG⋅FM，AG=BG，
△AFG 2 △FGB 2
∴S =S =a，
△AFG △FGB
∴S =2a，
△AFB
∵CF=4AF，
同理可得：S =4S ，
△BCF △AFB
∴S =8a，
△BCF
∴S =S +S =2a+8a=10a，
△ABC △AFB △BCF
∵BD=DE=EC，
∴BC=3EC，
1 8
同理可得：S = S = a，
△CFE 3 △BFC 3
∵G是AB的中点，
同理可得：S =S =5a，
△ACG △BCG
∵BD=DE=EC，
∴BC=3BD，
1 5
同理可得：S = S = a，
△BDG 3 △BCG 3
∵四边形DEFG的面积为28，
8 5 14
∴S =S −S −S −S =10a−a− a− a= a=28，
四边形DEFG ❑ △ABC △AFG △CFE △BDG 3 3 3
∴a=6，
∴S =10a=10×6=60，
△ABC
故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键．
【题型2 与内外角平分线有关的计算】
【例2】（23-24八年级·广东汕头·阶段练习）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．
∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=2∠C，且∠G=25°，则∠DFB的度
数是（ ）
A．55° B．65° C．70° D．50°
【答案】D
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理， 直角三角形的性
质，设∠CAE=α，根据角平分线的定义得∠BAE=∠CAE=α，∠BAC=2∠CAE=2α，由三角形的外
1 1
角定理得∠ABD=∠BAC+∠C=2α+∠C，则∠ABF=∠DBF= ∠ABD=α+ ∠C，同时
2 2
∠ABF=∠BAE+∠G=α+25°，由此得∠C=50°，则∠ABC=2∠C=100°，进而得
1
∠ABD=180°−∠ABC=80°，∠DBF= ∠ABD=40°，然后再根据AD⊥BC可得∠DFB的度数，
2
熟练掌握三角形的外角定理和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：设∠CAE=α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=α，∠BAC=2∠CAE=2α，
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠BAC+∠C=2α+∠C，∵BF平分∠ABD，
1 1
∴∠ABF=∠DBF= ∠ABD=α+ ∠C
2 2
∵∠ABF是△ABG的外角，∠G=25°，
∴∠ABF=∠BAE+∠G=α+25°，
1
∴α+ ∠C=α+25°，
2
∴∠C=50°，
∴∠ABC=2∠C=100°，
∴∠ABD=180°−∠ABC=80°，
1
∴∠DBF= ∠ABD=40°，
2
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠DFB=90°−∠DBF=90°−40°=50°，
故选：D．
【变式2-1】（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分
∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ）
A．β=110°+2a B．β=220°−2a
C．β=110°+a D．β=250°−2a
【答案】D
【分析】延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三
β−110°
角形外角的性质得到x+ y= 之间的关系，在根据三角形内角和得到
2
β−110°
∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将x+ y= 代入，即可解答．
2【详解】解：如图，延长AD交BC于点G，
设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，
∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，
1 1
∴∠EAF= ∠BAD=x,∠FCB= ∠DCB= y，
2 2
∵∠ADC=β，
∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，
∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，
在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，
β−110°
∴x+ y= ，
2
∵∠AEF=α，
∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，
在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+ y+110°=180°，
β−110° β−110°
将x+ y= 代入可得α+ +110°=180°，
2 2
整理得β=250°−2a，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长AD得到三角
形，进行角度的转换，用α,β表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级·浙江台州·期中）如图，AM,CM平分∠BAD和∠BCD，若
∠B=34°，∠D=42°，则∠M=（ ）A．34° B．38° C．40° D．42°
【答案】B
【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证△ABF的外
角∠AFC和△CMF的外角∠CFA是同角，分别可表示为∠B+∠BAF与∠M+∠FCM，根据角平分线
1 1 1 1 1
性质可得 ∠BAD= (180°−∠B−∠AHB)， ∠BCD= (180°−∠D−∠CHD)，将 ∠BAD、
2 2 2 2 2
1
∠BCD代入计算即可求出．
2
【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图，
∵△ABF的外角∠AFC和△CMF的外角∠CFA是同角，
∵∠AFC=∠B+∠BAF，∠CFA=∠M+∠FCM，
∵AM,CM平分∠BAD和∠BCD，
1 1
∴∠BAF= ∠BAD，∠FCM= ∠BCD，
2 2
1 1
∴∠AFC=∠B+ ∠BAD，∠CFA=∠M+ ∠BCD，
2 2
1 1
∵在△ABH中， ∠BAD= (180°−∠B−∠AHB)，
2 21 1
在△CDH中， ∠BCD= (180°−∠D−∠CHD)
2 2
1 1
∴∠AFC=∠B+ (180°−∠B−∠AHB)，∠CFA=∠M+∠ (180°−∠D−∠CHD)；
2 2
∵∠AHB=∠CHD，
1 1
∴∠B+ (180°−∠B−∠AHB)=∠M+∠ (180°−∠D−∠CHD)，
2 2
1 1
∠B+ (180°−∠B−∠AHB)=∠M+∠ (180°−∠D−∠AHB)，
2 2
1 1
整理得，∠B− ∠B=∠M− ∠D，
2 2
1 1
化简得，∠M= ∠B+ ∠D
2 2
1 1
将∠B=34°，∠D=42°，代入∠M= ∠B+ ∠D，解得，
2 2
1 1 1 1
∴∠M= ∠B+ ∠D= ×34°+ 42°=38°．
2 2 2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是
解题关键．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC
的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（ ）
1
A．∠ACB=2∠ADB B．∠BDC= ∠BAC
2
1 1
C．∠CDB= ∠ABC D．∠ADC+ ∠ABC=90°
2 2
【答案】C
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，
∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各
项．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ABC=2∠DBC=2∠ADB，
故选项A的结论正确，不符合题意；
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，
∵∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ABC=2∠DBC，
1 1
∴∠BDC=∠DCF−∠DBC= (∠ACF−∠ABC)= ∠BAC，
2 2
故选项B的结论正确，不符合题意；
∵∠ABC=∠ACB，
1 1 1
∴∠CDB= ∠BAC= (180°−∠ABC−∠ACB)= (180°−2∠ABC)=90°−∠ABC，
2 2 2
即∠CDB=90°−∠ABC，
故选项C的结论不正确，符合题意；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴180°=∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
1
∴∠ADC+ ∠ABC=90°，
2故选项D的结论正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等
知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【题型3 格点中的全等三角形】
【例3】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，
C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是（ ）
A．80° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】取格点E，F，M，连接MD，MB，先证明ΔDFM≅ΔMEB，得出
MD=MB，∠DMF=∠MBE，再证明AC//BM得出∠APB=∠PBM，最后证明ΔDMB是等腰直角
三角形，得出∠DBM=45°，从而得出∠APB=45°即可．
【详解】解：取格点E，F，M，连接MD，MB，
由已知条件可知：MF=BE，DF=EM，∠DFM=∠MEB=90°，
∴ΔDFM≅ΔMEB，
∴MD=MB，∠DMF=∠MBE，
同理可得：ΔACB≅ΔBME，
∴∠CAB=∠MBE，
∴AC//BM，
∴∠APB=∠PBM，
∵∠BME+∠MBE=90°，
∴∠BME+∠DMF=90°,
∴∠DMB=90°,
∴ΔDMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°,
即∠APB=45°，故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求
角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·山西吕梁·期中）数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“8字
图”，如图所示的图形，则∠A+∠C的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在△AED和△DBC在正方形网格中的
位置可以证明△AED≌△DBC，根据全等三角形对应角相等可证∠C=∠ADB，根据三角形的外角等于
与它不相邻的两个内角之和可以得到∠C+∠BAD=45°．
【详解】解：如下图所示，
在△AED和△DBC中
{
AE=DB
)
∠AEB=∠DBC=90° ，
ED=BC
∴△AED≌△DBC，
∴∠C=∠ADB，
又∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB=∠ADB+∠BAD=45°，
∴∠C+∠BAD=45°．故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且
全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．
【详解】解：以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．
以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，
所以可画出6个．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及格点的概念，熟练掌握三条对应边分别相等的三角形是
全等三角形是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·山西运城·阶段练习）在如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC全等（△ABC本身除外）的格点三
角形最多可以画（ ）
A．5个 B．9个 C．10个 D．15个
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三
角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可．
【详解】解：设小方格的边长为1，
如图可知△ABC是以小方格的对角线为底边的等腰三角形，
据此特征，在如图所示的3×3的正方形网格中，
综上，在网格中与△ABC全等（△ABC本身除外）的格点三角形最多可以画15个，
故选： ．
【题型D4 利用全等三角形的判定与性质求角度】
【例4】（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，
且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ）A．80° B．70° C．60° D．45°
【答案】B
【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根
据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据
三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．
【详解】如图所示，连接AE．
∵AB=DE，AD=BC
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，可得AE=DE
∵AB=AC，∠BAC=20°，
∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，
在△ADE与△CBA中，
{∠DAE＝∠ACB
)
AD＝BC ，
∠ADE＝∠B
∴△ADE≌△CBA（ASA），
∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，
∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，
∴∠CDE=∠DCE，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，
∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．
故选B．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的
判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．
【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且
DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DF=DH，则可根据“HL”判断
Rt△DFE≅Rt△DHG，所以∠≝=∠DGH，然后利用∠AED+∠≝=180°得到
∠AED+∠AGD=180°．
【详解】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH，
在Rt△DFE和Rt△DHG中，{DE=DG)
，
DF=DH
∴Rt△DFE≅Rt△DHG(HL)，
∴∠≝=∠DGH，
∵∠AED+∠≝=180°，
∴∠AED+∠AGD=180°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全
等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
【变式4-2】（23-24八年级·河北石家庄·期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别
为AD和A'D'，∠B=∠B'=30∘，AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，且AB>AC>AD．已知
∠C=n∘，求∠C'的度数．”对于其答案，甲答：∠C'=n∘，乙答：∠C'=150∘，丙答：∠C'=180∘−n∘，
则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题要分两种情况求出，一种情况是△ABC≅△A'B'C'，
此时可得：∠C'=n∘；另一种情况是当AD在△ABC内部，A'D'在△A'B'C'外部时，此时可得：
∠C'=180∘−n∘，
【详解】解：如下图所示，
当△ABC≅△A'B'C'时，∠C=∠C'=n°；
如下图所示，当AD在△ABC内部，A'D'在△A'B'C'外部时，
∵AC=A'C'，AD=A'D'，
△ACD≅△A'C'D'，
∴∠A'C'D'=∠C=n°，
∴∠A'C'B'=180°−n°，
∴要把甲和丙的答案合在一起才完整．
故选：B．
【变式4-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF
＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若∠BAE=α，则∠EDF一定等于
（ ）
A．2α B．45°−α C．45°+α D．90°−α
【答案】C
【分析】取AB的中点G，连接EG，过点F作FM⊥BC，FN⊥CD．先证明△AGE≌△ECF得
AE=EF，再证明Rt△ABE≌Rt△EMF得BE=FM，得△DNF为等腰直角三角形，求出∠NDF=45°，
再证明Rt△ABE≌Rt△DCE得∠BAE=∠CDE=α．从而求出∠EDF=∠CDE+∠FDC=45°+α．
【详解】取AB的中点G，连接EG，过点F作FM⊥BC，FN⊥CD．
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∠B=∠BCD=∠DCM=90°．
∵点G为AB的中点，点E为BC的中点，
1 1
∴AG=BG= AB，CE= BC，
2 2
∴AG=EC，BG=BE．
∵∠AEF=90°，∠B=∠BCD=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEM，
∴∠BAE=∠MEF．
∵BG=BE，CF平分∠DCM
∴∠BGE=∠FCM=45°，
∴∠AGE=∠ECF=135°．
在△AGE和△ECF中
{∠EAG=∠FEC
)
AG=CE
∠AGE=∠ECF
∴△AGE≌△ECF
∴AE=EF
在Rt△ABE和Rt△EMF中
{∠EAB=∠FEM
)
∠B=∠FME ，
AE=EF
∴Rt△ABE≌Rt△EMF
1 1
∴FM=BE= BC= CD，
2 2
又∵CF平分∠DCM，FM⊥BC，FN⊥CD
1
∴FN=FM= CD
2
∵FM⊥BC，FN⊥CD，∠DCM=90°，FN=FM
∴四边形FMCN是正方形FMCN，
∴FM=CN，
∴FN=DN，
∴∠NDF=45°．
在Rt△ABE和Rt△DCE中{
AB=DC
)
∠B=∠DCE ，
BE=CE
∴Rt△ABE≌Rt△DCE
∴∠BAE=∠CDE=α
∴∠EDF=∠CDE+∠FDC=45°+α．
故选C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取AB的中
点G后证明△AGE≌△ECF．
【题型5 利用全等三角形的判定与性质求线段长度】
【例5】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=90°，对角线
AO
AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO=4OD，则 的值为（ ）
OC
9 5 3 4
A． B． C． D．
5 3 2 3
【答案】B
【分析】如图，在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE，OF．根据题意易证△AOD≌△AOE(SAS)，
△BOC≌△BOF(SAS)．即得出∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF．继而求出
AB OB
∠AOD=∠BOC=∠AOE=∠BOF=∠EOF=45°，再由题意可知， = =4，即又可推出
AD OD
1 3 EF OE OD 1 4 3 3
AE= AB，BE= AB．由OF平分∠BOE，得 = = = ，可推出BF= × AB= AB．
4 4 BF OB OB 4 5 4 5
OA AB AB OA
最后由BO平分∠ABC，可得 = = ．即可求出 的值．
OC BC BF OC
【详解】解：如图，在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE，OF．1 1
根据题意可知∠OAB=∠OAD= ∠DAB，∠OBC=∠OBA= ∠ABC，
2 2
又∵AD=AE，BC=BF，
∴△AOD≌△AOE(SAS)，△BOC≌△BOF(SAS)．
∴∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF．
∵∠DAB+∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOD=∠BOC=45°，
∴∠AOE=∠BOF=45°，
∴∠EOF=180°−(∠OAB+∠OBA)−∠AOE−∠BOF=180°−45°−45°−45°=45°，
∵AO平分∠BAD，
∴ O到AD、AB的距离相等，
S AB OB
∴ △AOB = = =4，即AB=4 AD，
S AD OD
△AOD
1 3
∴AE= AB，BE= AB，
4 4
又∵∠EOF=∠BOF=45°，即OF平分∠BOE．
EF OE OD 1 1
同理可得： = = = ，即EF= BF，
BF OB OB 4 4
4
∴BF= BE，
5
4 3 3
∴BF= × AB= AB，
5 4 5
∵BO平分∠ABC，
OA AB AB AB 5
= = = =
∴OC BC BF 3 3．
AB
5
故选：B
【点睛】本题主要考查角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质．推理论证过程较难，作出辅助线，根据角平分线的性质得出三角形的角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段的比等于对应相邻的
两边的比是解答本题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，
1
E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝ ∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．
【详解】在BE上截取BG＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ADF与△ABG中
AB=AD
{ )
∠B=∠ADF ，
BG=DF
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，
1
∵∠EAF＝ ∠BAD，
2
∴∠FAE＝∠GAE，
在△AEG与△AEF中AG=AF
{ )
∠FAE=∠GAE ，
AE=AE
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．
故选：B．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分
别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，
当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，{∠BAO＝∠NBE
)
∠AOB＝∠BNE
AB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
{∠FBP＝∠ENP
)
∠FPB＝∠EPN
BF＝NE
∴△BPF≌△NPE（AAS），
1
∴BP=NP= BN；而BN=AO，
2
1 1
∴BP= AO= ×8=4，
2 2
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造
全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，
AE=AC，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为
64，AF=8．则FG的长是（ ）
15 20
A．8 B． C． D．6
2 3
【答案】A
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，利用SAS可证得△ABC≌△ADE，于是可得AD=AB，利用三角形的面积公式可得AF=AH，利用HL可证得Rt△AFG≌Rt△AHG，于是可得S =S ，同理可证得
△AFG △AHG
Rt△AFD≌Rt△AHB，于是可得S =S ，于是可推出
△AFD △AHB
1
S =S +S +S =2S =64，因而可得S =32= ⋅FG⋅AF，据此即可求出FG
四边形DGBA △AFD △AFG △AGB △AFG △AFG 2
的长．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，
在△ABC和△ADE中，
{
AC=AE
)
∠C=∠E ，
BC=DE
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴AD=AB，
又∵AF⊥DE，
1 1
∴ ⋅DE⋅AF= ⋅BC⋅AH，
2 2
∴AF=AH，
∵AF⊥DE，AH⊥BC，
∴∠AFG=∠AHG=90°，
在Rt△AFG和Rt△AHG中，
{AF=AH)
，
AG=AG
∴Rt△AFG≌Rt△AHG(HL)，
∴S =S ，
△AFG △AHG
同理：Rt△AFD≌Rt△AHB(HL)，
∴S =S ，
△AFD △AHB
∴S =S +S +S
四边形DGBA △AFD △AFG △AGB=S +S +S
△AHB △AHG △AGB
=S +S +S
△AHG △AHB △AGB
=S +S
△AHG △AHG
=2S
△AHG
=2S
△AFG
=64，
1
∴S =32= ⋅FG⋅AF，
△AFG 2
32×2 32×2
∴FG= = =8，
AF 8
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（SAS和HL），三角形的面积公式，等式的性质2，垂
线的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型6 利用全等三角形的判定与性质求面积】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，
CA=CB=3，CE=CD，点A在DE上，若AE:AD=1:2，则Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为
（ ）
3 9 7
A． B． C．3 D．
2 4 2
【答案】C
【分析】设AB与CD相交于点O，连接BD，作OM⊥DE于点M，ON⊥BD于点N，先证明OM=ON，
根据条件算出△ABC的面积，再求出OA与OB的比值即可解决问题．
【详解】设AB与CD相交于点O，连接BD，作OM⊥DE于点M，ON⊥BD于点N，如图所示：∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
{
CE=CD
)
∵ ∠ECA=∠DCB ，
CA=CB
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD，
∵∠EDC=45°，
∴∠CDB=∠EDC，
∴OD平分∠ADB，
又∵OM⊥DE，ON⊥BD，
∴OM=ON，
∵AE:AD＝1:2，
∴BD:AD＝1:2，
在Rt△ADB中，
∵CA=CB=3，
1 9
∴S = ×3×3＝ ，
△ABC 2 2
1
AD·OM
S OA 2 AD
∵ △AOD= = = =2，
S OB 1 DB
DOB DB·ON
2
AO 2
∴ = ，
AB 3
2 2 9
∴S = S = × =3，即Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为3，
△AOC 3 △ABC 3 2
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的
关键是学会利用面积法确定线段之间的关系．
【变式6-1】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，若△BPC
的面积为4cm2，则△ABC的面积（ ）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【答案】B
【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解
题的关键．
延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出
1
S =S ，S =S ，推出S =S +S = S ，进而可求出答案．
△ABP △EBP △ACP △ECP △PBC △EBP △ECP 2 △ABC
【详解】解：如图所示，延长AP交BC于E，
∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠EPB=90°，
又∵BP=BP，
∴△ABP≌△EBP(ASA)，
∴AP=PE，
∴S =S ，S =S ，
△ABP △EBP △ACP △ECP
1
∴S =S +S = S ，
△PBC △EBP △ECP 2 △ABC
∴S =2S =8cm2 ，
△ABC △PBC
故选 ．
【变式B 6-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，AD⊥DC，
AC−AB=2，BC=8，则△BDC面积的最大值为（ ）A．6 B．8 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长CD与AB交于点G，作GH⊥CB
交CB延长线于点H，可证明△ADG≌△ADC(ASA)，得到BG=2，求面积最大值转化成求线段GH的最
大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．
【详解】分别延长CD与 AB交于点G， 作GH⊥CB交 CB延长线于点 H，
∵AD平分∠BAC，AD⊥DC ，
∴∠GAD=∠CAD，∠ADG=ADC=90°，
又∵AD=AD，
∴△ADG≌△ADC(ASA)，
∴AC=AG，CD=GD，
∵AC−AB=2，
∴BG=2，
1 1 1
∴S = S = × BC·GH=2GH，
△BDC 2 △BCG 2 2
∵GH⊥BC，
∴当点B、H重合时，GH最大，最大值为2，
∴S =2GH=4，
△BDC
故选：D．
【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平
分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB=6，AC=8，BC=10，则△ABE的面积是（ ）9 12 24
A． B．2 C． D．
5 5 5
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识
点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，利用角平分线的定义
可证△AEC≌△FEC(ASA)，可推出AE=EF，FC=AC=8，再根据三角形面积可求得AM，从而得到
1
S ，最后利用三角形中线的性质可知S = S ，即可求得答案．
△ABF △ABE 2 △ABF
【详解】解：延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，如图所示，
∵AE⊥CD，CD是△ABC的角平分线
∴∠AEC=∠FEC=90°，∠ACE=∠FCE
在△AEC和△FEC中
{∠AEC=∠FEC
)
EC=EC
∠ACE=∠FCE
∴△AEC≌△FEC(ASA)
∴AE=EF，FC=AC
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10
∴ BF=BC−FC=BC−AC=10−8=2
1 1
∵S = AB⋅AC= BC⋅AM
△ABC 2 2
AB⋅AC 6×8 24
∴AM= = =
BC 10 51 1 24 24
∴S = BF⋅AM= ×2× =
△ABF 2 2 5 5
∵AE=EF
1 1 24 12
∴S = S = × =
△ABE 2 △ABF 2 5 5
故选：C．
【题型7 线段长度最值问题】
【例7】（2024·江苏·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5，D、E、F
分别是AB、BC、AC边上的动点，则△≝¿的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，
FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出
∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，
FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值
=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，
EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
1 1
∴ ·AB·CD= ·BC·AC，
2 2
BC·AC 12
∴CD= = =2.4，
AB 5
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴
对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
【变式7-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）如图所示，∠AOB=60°，点P是∠AOB内一定点，并且
OP=4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段
MN的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″与OA、OB分别交于M、N，
则P′P″的长即为△PMN周长的最小值，连接OP′、OP″，作OC⊥MN，利用含30度角直角三角形的性
质求解即可．
【详解】解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″与OA、OB分别交于
M、N，
则PM=P″M，PN=P′N△PMN周长为PM+MN+PN=P″M+MN+P′N≥P′P″
则P′P″的长即为△PMN周长的最小值，
连接OP′、OP″，作OC⊥MN，
由对称定可得：OP′=OP″=OP=4，∠POB=∠P′OB，∠POA=∠P″OA
∵∠AOB=60°
∴∠P′OP″=120°
∵OP′=OP″，OC⊥MN
∴∠OCP′=90°，∠P′OC=60°
∴∠P′=30°
1
∴OC= OP′=2
2
故选：B．
【点睛】此题考查了利用轴对称求最短距离，通过轴对称确定△PMN周长最小值的位置是解题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，已知Rt△ABC，AB=AC，D为平面内一动点，
BD=AC，E为BD上一点，BE=2DE，AB上两点F，G，BF=FG=GA．下面能表示CD+AE最小值
的线段是（ ）
A．线段CA B．线段CG C．线段CF D．线段CB
【答案】B
【分析】连接DG，根据BE=2DE， BF=FG=GA， AB=AC， BD=AC，证明 BE=BG，结合∠ABE=∠DBG，证明△ABE≌△DBG(SAS)，得到AE=DG，根据DG+CD≥CG，得到 AE+CG的
最小值为CG的长．
本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是
解决问题的关键．
【详解】如图，连接DG，
∵BE=2DE，
2
∴BE= BD，
3
∵BF=FG=GA，
2
∴BG= AB，
3
∵AB=AC， BD=AC，
∴AB=BD，
∴BE=BG，
∵∠ABE=∠DBG，
∴△ABE≌△DBG(SAS)，
∴AE=DG，
∵DG+CD≥CG，
∴AE+CG≥CG，
∴AE+CG的最小值为CG的长．
故选：B．
【变式7-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，
使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线
AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动
点，则BM+MN的最小值为（ ）A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
【答案】D
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC，然后根
1 1 48
据S = BC⋅AD= AC⋅BH，可得BH= ．作点H关于AD的对称点交AB于点N′，连接M′N′，
△ABC 2 2 5
可得M′H=M′N′，根据垂线段最短，当点M、M分别在M′、N′位置时，BM+MN最小，进而可以解决
问题．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，
由作图可知，AD平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
1 1
∴BD=CD= BC= ×12=6，
2 2
1 1
∵AD=8，AC=10，BC=12，S = BC⋅AD= AC⋅BH，
△ABC 2 2
BC⋅AD 48
∴BH= = ，
AC 5∵AB=AC，AD⊥BC，
作点H关于AD的对称点交AB于点N′，连接M′N′，
∴M′H=M′N′，
∴BH=BM′+M′H=BM′+M′N′，
当点M、M分别在M′、N′位置时，BM+MN最小，
48
则BM+MN的最小值为BH的长 =9.6．
5
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作−作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，
三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【题型8 使组成等腰三角形的点的个数】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b
上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．
【详解】∵直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，
1
∴当OB=OA时，有两个B点是B、B，OB=OA时，∠OBA=∠OAB = ∠1=25°，OB=OA时，
1 2 1 1 1 2 2
1
∠OBA=∠OAB = （180°-∠1）=65°；
2 2 2
当AO=AB时，有一个B点是B，即AO=AB，∠ABO=∠1=50°；
3 3 3
当BO=BA时，有一个B点是B，即BO=BA,∠OAB =∠1=50°．
4 4 4 4∴使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，点B的个数是4个．
故选C．
【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，
有三种可能情况，分类讨论．
【变式8-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为
直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置
有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角
形的情况，得到满足条件的点P的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内
角和定理．
【详解】解：如图，
∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=180°−75°−30°=75°，
1
当∠CAP=∠CPA= ×75°=37.5°时，△CAP为等腰三角形；
2
1
当∠BAP=∠BPA= ×(180°−75°)=52.5°时，△BAP为等腰三角形；
2当∠PAB=∠PBA=75°时，△PAB为等腰三角形；
当P与C重合时，△ABP为等腰三角形；
当P与B重合时，△ACP为等腰三角形；
当∠PAC=∠PCA=75°时，△PAC为等腰三角形；
1
当∠CAP=∠CPA= ×(180°−75°)=52.5°时，△CAP为等腰三角形；
2
当∠BAP=∠BPA=37.5°时，△BAP为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有8个．
故选：C．
【变式8-2】（23-24八年级·北京东城·期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得
△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 （ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个
【答案】C
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于
P；二是在长方形内部，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三
是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，
PD=DC．
【详解】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，
同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，
如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，
同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，
故答案为5．
故选C
【变式8-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC≠AC，以△ABC的
一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个
数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．
⑦作AC的垂直平分线交AB于M，则△ACM和△BCM都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
【题型9 利用整式的乘法求值】
【例9】（23-24八年级·福建莆田·期末）观察下列等式：已知：a2−b2＝（a﹣b）（a+b）；a3−b3＝（a
﹣b）（a2+ab+b2）；a4−b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；a5−b5＝（a﹣b）（
a4+a3b+a2b2+ab3+b4）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“
29−28+27−26+...+2−1”的值，这个值为（ ）
29+1 210−1
A． B．29+1 C．210−1 D．
3 3
【答案】D
【分析】根据已知可得29+28+27+26+...+2+1= 210−1①，设29−28+27−26+...+2−1=k②，则由
①+②得：28+26...+22+1=k③，由①-②得：29+27+...+23+2=210−1−k④，由④-③得：
29−28+27−26+...+2−1=210−1−k−k，即可求解．
【详解】解：由题意，得29+28+27+26+...+2+1=(2-1)(29+28+27+26+...+2+1)= 210−1
即29+28+27+26+...+2+1= 210−1①，
设29−28+27−26+...+2−1=k②，
由①+②得：2×29+2×27+...+2×2=210−1+k，
210+28+...+22=210−1+k，
即28+26...+22+1=k③，
由①-②得：2×28+2×26+...+2×22+2×1=210−1−k，
即29+27+...+23+2=210−1−k④，由④-③得：29−28+27−26+...+2−1=210−1−k−k，
∴210−1−k−k=k，
210−1
解得：k= ．
3
故选：D．
【点睛】本题考查数字规律探究，平方差公式的运用，等式的性质，解方程，求得
29+28+27+26+...+2+1= 210−1是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·湖北·周测）若2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，则a:b的值是
（ ）
A．−2 B．−12 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于2x4−3x3+ax2+7x+b的最高次项
是2x4，而x2+x−2的最高次项是x2，因此可设
2x4−3x3+ax2+7x+b=(x2+x−2)(2x2+mx+n)，将(x2+x−2)(2x2+mx+n)按照多项式乘法法则乘
开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出a:b的值即可．
熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键．
【详解】设2x4−3x3+ax2+7x+b=(x2+x−2)(2x2+mx+n)，
∵(x2+x−2)(2x2+mx+n)
=2x4+mx3+nx2+2x3+mx2+nx−4x2−2mx−2n
=2x4+(m+2)x3+(n+m−4)x2+(n−2m)x−2n
∴2x4−3x3+ax2+7x+b=2x4+(m+2)x3+(n+m−4)x2+(n−2m)x−2n，
m+2=−3
{ )
n+m−4=a
∴ ，
n−2m=7
−2n=b
解得m=−5，n=−3，a=−12，b=6，
∴a:b=(−12):6=−2，
故选：A．
【变式9-2】（23-24八年级·山东济南·期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是(
)
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出ab=6，a−b=2，进而根据已知条件得出c2=(a−1)(b+1)，进而即可求
解．
【详解】∵a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023，
∴a−1=x−2023=c=b+1，a−b=2，
∵ a2+b2=16，
∴ (a−b) 2+2ab=16，
∴ ab=6，
∴ c2=(a−1)(b+1)
=ab+a−b−1
=6+2−1
=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出c2=(a−1)(b+1)是解题的关键．
【变式9-3】（23-24八年级·浙江·自主招生）若实数x，y，z满足
x+ y+z=6,xyz+1=2(xy+ yz+zx),(x−3) 3+(y−3) 3+(z−3) 3=3，求xyz=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【分析】令a=x−3,b= y−3,c=z−3,m=xyz，分别求出a+b+c=−3，a3+b3+c3=3，
1 1 51
ab+bc+ac= (m+1)−9，abc=− m+ ，最后根据
2 2 2
a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)+3abc分别代入化简求解即可．
【详解】解：令a=x−3,b= y−3,c=z−3,m=xyz，则x=a+3,y=b+3,z=c+3
∵x+ y+z=6，∴(a+3)+(b+3)+(c+3)=6，整理得：a+b+c=−3，
∵(x−3) 3+(y−3) 3+(z−3) 3=3，
∴a3+b3+c3=3，
∵ab=(x−3)(y−3)=xy−3x−3 y+9，
ac=(x−3)(z−3)=xz−3x−3z+9，
bc=(y−3)(z−3)= yz−3 y−3z+9，
∴ab+bc+ac=(xy+ yz+xz)−6(x+ y+z)+27=xy+ yz+xz−9，
∵xyz+1=2(xy+ yz+zx)，即m+1=2(xy+ yz+zx)
1
∴xy+ yz+zx= (m+1)，
2
1
∴ab+bc+ac= (m+1)−9，
2
∵abc=(x−3)(y−3)(z−3)
=xyz−3(xy+ yz+xz)+9(x+ y+z)−27
3
=m− (m+1)+27，
2
1 51
=− m+ ，
2 2
∵a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)+3abc
=−3[(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc)−3(ab+ac+bc))+3 ( − 1 m+ 51)
2 2
=−3 { (a+b+c) 2−3 [1 (m+1)−9 )) − 3 m+ 153
2 2 2
[ 3 ) 3 153
=−3 9− (m+1)+27 − m+
2 2 2
=3m−27
∵a3+b3+c3=3，
∴3m−27=3，解得：m=10，
∴xyz=10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简．【题型10 因式分解的应用】
【例10】（2024八年级·全国·专题练习）已知正数a，b满足a3b+ab3−2a2b+2ab2=7ab−8，则
a2−b2=（ ）
A．1 B．3 C．5 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因
式分解成为解题的关键．
先将a3b+ab3−2a2b+2ab2=7ab−8，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为
ab(a−b−1) 2+2(ab−2) 2=0．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到a−b=1，ab=2，进而解
出a、b的值，代入a2−b2求得结果．
【详解】解：a3b+ab3−2a2b+2ab2=7ab−8，
ab(a2+b2)−2ab(a−b)=7ab−8，
ab(a2−2ab+b2)−2ab(a−b)+2a2b2−7ab+8=0，
ab(a−b) 2−2ab(a−b)+2a2b2−7ab+8=0，
ab[(a−b) 2−2(a−b)+1)+2(a2b2−4ab+4)=0
ab(a−b−1) 2+2(ab−2) 2=0，
∵a、b均为正数，
∴ab>0，
∴a−b−1=0，ab−2=0，即a−b=1，ab=2，解得a=2、b=1或a=−1、b=−2（不合题意，舍
去），
∴a2−b2=4−1=3．
故选：B．
【变式10-1】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知a2 (b+c)=b2 (a+c)=2022，且a≠b，则 -abc的值为
（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
【答案】A【分析】先将式子整理变形得（a−b)(ab+ac+bc)=0，进而得出ab+ac+bc=0，即ab+bc=−ac，
再将b2 (a+c)=2022展开，最后整理代入即可得出答案．
【详解】因为a2 (b+c)=b2 (a+c)=2022，
所以a2b+a2c−b2a−b2c=0，
整理，得ab(a−b)+c(a2−b2 )=0，
则ab(a−b)+c(a+b)(a−b)=0，
即（a−b)(ab+ac+bc)=0．
因为a≠b，
所以ab+ac+bc=0，
即ab+bc=−ac．
由b2 (a+c)=2022，得b(ab+bc)=2022，
所以-abc=2022．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·四川内江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，
则代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解的应用，由a，b，c的代数式，求出a−b，a−c，b−c的值，原式利用完
全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a=2019x+2020，b=2019x+2021，c=2019x+2022，
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
则a2+b2+c2−ab−ac−bc
1
= (2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc)
2
1
= [(a2−2ab+b2 )+(a2−2ac+c2 )+(b2−2bc+c2 )]
2
1
= [(a−b) 2+(a−c) 2+(b−c) 2 ]，
21
当a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1时，原式= ×(1+4+1)=3．
2
故选：D．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，ΔABC中，AB=a,BC=2a,∠B=90∘，将ΔABC沿
BC方向平移b个单位得ΔDEF（其中A,B,C的对应点分别是D,E,F），设DE交AC于点G，若ΔADG
的面积比ΔCEG的大8，则代数式a(a−b)的值为（ ）
A．8 B．−8 C．16 D．−16
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得，AD=b，则S =ab，由AB=a,BC=2a,∠B=90∘，可得
长 方 形ABED
1
S = ×a×2a=a2 ，根据题意可得，S =S −S +S ，再结合S =S +8即
△ABC 2 △ADG 长 方 形ABED△ABC △CEG △ADG △CEG
可求出a(a−b)的值.
【详解】∵AB=a,BC=2a,∠B=90∘，
1
∴S = ×a×2a=a2 ，
△ABC 2
由平移可知，AD=b，
∴S =ab，
长 方 形ABED
∵ΔADG的面积比ΔCEG的大8，
∴S =S +8，
△ADG △CEG
∴S =S −S +S ，
△ADG 长 方 形ABED△ABC △CEG
∴S +8=S −S +S ，
△CEG 长 方 形ABED△ABC △CEG
∴ab−a2=8，
∴−a(a−b)=8，
∴a(a−b)=−8.
故选B.
【点睛】本题考查列代数式，平移的性质，因式分解的应用，解题的关键是根据题目中的条件得到
S =S −S +S .
△ADG 长 方 形ABED△ABC △CEG【题型11 分式化简求值】
(x−2) 4+(x−1) 2−1
【例11】（23-24八年级·湖北武汉·自主招生）已知x2−5x−2022=0，则代数式 的值
(x−1)(x−2)
为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
【答案】D
【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值．
(x−2) 4+(x−1) 2−1
【详解】
(x−1)(x−2)
(x−2) 4+x(x−2) (x−2) 3+x x3−6x2+13x−8
= = =
(x−1)(x−2) x−1 x−1
(x3−5x2+8x)−(x2−5x+8) x(x2−5x+8)−(x2−5x+8)
= =
x−1 x−1
(x−1)(x2−5x+8)
= =x2−5x+8
x−1
∵x2−5x−2022=0
∴x2−5x=2022
∴x2−5x+8=2022+8=2030
即原式的值为2030．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约分的
目的．
1 x2
【变式11-1】（23-24八年级·山东·单元测试）已知x+ =3，则 的值是（ ）
x x4+x2+1
1 1
A．9 B．8 C． D．
9 8
【答案】D【分析】根据x+ 1 =3 可知(x+ 1 ) 2 =9 即x2+ 1 =7 ，把 x2 分子、分母同时除以x2 得
x x x2 x4+x2+1
1 1
x2+ =7 ，把x2+ =7代入即可.
x2 x2
【详解】由x+ 1 =3得(x+ 1 ) 2 =9，即x2+ 1 =7
x x x2
1
x2
x4+x2+1 = x2+ 1 +1 ，
x2
1
1 1 1
把x2+ x2 =7代入得 x2+ 1 +1 = 1+7 = 8 ，
x2
故选D
【点睛】本题考查利用恒等变形求分式的值，利用分式的性质，找到可以等量代换的代数式是解题关键.
1
【变式11-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）已知x2−3x+1=0，则x3−5x+
的值为（ ）
x2
A．4 B．5 C．±4 D．±5
【答案】B
1
【分析】将x2−3x+1=0，进行变形得到：x2=3x−1，x2−3x=−1，x+ =3，利用整体思想，将
x
x3−5x+ 1 变形为： ( x+ 1) 2 −4，再代值计算即可．
x2 x
【详解】解：∵x2−3x+1=0，
∴x2=3x−1，x2−3x=−1，
1 1
∴x3−5x+ =x(x2−5)+
x2 x2
1
=x(3x−1−5)+
x2
1
=3x2−6x+
x2
1
=2x2−6x+x2+
x2
1
=2(x2−3x)+x2+
x21
=−2+x2+
x2
( 1) 2
= x−
x
( 1) 2
= x+ −4；
x
∵x2−3x+1=0，当x=0时，1≠0，方程不成立，
∴x≠0，
1
∴方程两边同除以x得：x−3+ =0，
x
1
∴x+ =3，
x
∴ ( x+ 1) 2 −4=32−4=5，即：x3−5x+ 1 =5；
x x2
故选B．
【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
1 1 1 7
【变式11-3】（23-24八年级·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且
x+ y y+z z+x 6
z x y
+ + ＝11，则x+y+z的值为（ ）
x+ y y+z z+x
72
A．12 B．14 C． D．9
7
【答案】A
z x y x+ y+z x+ y+z x+ y+z
【分析】把 + + =11两边加上3，变形可得 + + =14，两边除以
x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x
1 1 1 14 14 7
(x+ y+z)得到 + + = ，则 = ，从而得到x+ y+z的值．
x+ y y+z z+x x+ y+z x+ y+z 6
z x y
【详解】解：∵ + + =11，
x+ y y+z z+x
z x y
∴1+ +1+ +1+ =14，
x+ y y+z z+x
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
即 + + =14，
x+ y y+z z+x
1 1 1 14
∴ + + = ，
x+ y y+z z+x x+ y+z1 1 1 7
而 + + = ，
x+ y y+z z+x 6
14 7
∴ = ，
x+ y+z 6
∴x+ y+z=12．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出
x+ y+z．
【题型12 由分式方程的解求参数】
1 x−a
【例12】（2024八年级·全国·专题练习）若整数a使关于x的分式方程 + =1的解为非负整数，
x−3 3−x
{ y+5 ≤ y )
且使关于y的不等式组 3 2 至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
y−3>2(y−a)
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组至多有3个整数解，确定求出a的范围；再解分式方程，
根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
y+5 y
【详解】解：解不等式 ≤ 得：y≥10，
3 2
解不等式y−3>2(y−a)得：y<2a−3，
∴10≤ y<2a−3
∵不等式组至多有3个整数解，
∴2a−3≤13，
∴a≤8．
1 x−a
方程 + =1，
x−3 3−x
a+4
1−x+a=x−3，解得：x=
2
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为非负整数）且x≠3，a+4 a+4
∴ ≥0且 ≠3，
2 2
∴a≥−4的偶数且a≠2，
∴−4≤a≤8且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的值为：−4，−2，0，4，6，8．
∴符合条件的所有整数．a的和是：12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程、一元一次不等式组的整数解等知识点，熟练掌握解一元一次不等式
组和解分式方程是解题的关键．
1 m 2m+2
【变式12-1】（23-24八年级·河南周口·期末）若关于x的方程 + = 无解，则m的
x−1 x−2 (x−1)(x−2)
值为（ ）
3
A．− 或−1 B．−2或0
2
3 3
C．− 或−2或0 D．− 或−2或−1
2 2
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方
程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的
根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值．
【详解】去分母，得x−2+m(x−1）=2m+2，
整理得(1+m)x=3m+4，
当x=1时，1+m=3m+4，
3
解得m=− ；
2
当x=2时，2(1+m)=3m+4，
解得m=−2；
当m=−1时，3m+4≠0，方程无解；
3
综上所述，满足题意的m的值为− 或−2或−1，
2
故选D．
【变式12-2】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）若a=3b且a、b为正整数，当分式方程a b−x
− =1的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
2x+3 x−5
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把a=3b代入方程，再解
18b−15 195 3
方程可得x= =18− ，且x≠− ，x≠5；b≠−10，再分类讨论即可得到答案．
b+10 b+10 2
a b−x
【详解】解：∵ − =1，a=3b，
2x+3 x−5
3b b−x
∴ − =1，
2x+3 x−5
两边都乘以(2x+3)(x−5)，得
3b(x−5)−(2x+3)(b−x)=(2x+3)(x−5)，
18b−15 195 3
解得x= =18− ，且x≠− ，x≠5；b≠−10，
b+10 b+10 2
18b−15 3 18b−15
∴ ≠− 且 ≠5，
b+10 2 b+10
20
解得：b≠ ，b≠5，
11
a b−x
∵正整数b使关于x的分式方程 − =1的解为整数，
2x+3 x−5
∴b+10>10，
∴b+10=13或15或39或65或195，
即b=3或5或29或55或185，
其中b=5不符合题意，
∴3+29+55+185=272，
故选C．
{2x−3 y=5a )
【变式12-3】（23-24八年级·重庆·阶段练习）已知a为实数，关于x,y的二元一次方程组
x+2y=1−2a
x 3a
的解的乘积小于零，且关于x的分式方程 = −2有非负数解，则下列a的值全都符合条件的是（
x−1 2x−2
）
2
A．−2,−1,1 B．−1,1,2 C．−1, ,1 D．−1,0,2
3【答案】B
{2x−3 y=5a )
【分析】先解方程求出方程组 的解，求出它们的积，根据积小于零可得不等式，再解分
x+2y=1−2a
x 3a
式方程 = −2求得解，再根据方程有非负解可得不等式，联立可求a的取值范围．
x−1 2x−2
3+4a
{ x= )
{2x−3 y=5a ) 7
【详解】解：解方程组 得 ，
x+2y=1−2a 2−9a
y=
7
{2x−3 y=5a )
∵方程组 的解的积小于零，
x+2y=1−2a
3+4a 2−9a
∴ × <0，
7 7
3 2
解得a<− 或a> ，
4 9
x 3a 1 2
解分式方程 = −2得x= a+ ，
x−1 2x−2 2 3
x 3a
∵分式方程 = −2有非负解，
x−1 2x−2
1 2 4
∴ a+ ⩾0，解得a⩾− ．
2 3 3
2
2 3×
当a＝ 时， x 3 ，方程无解，
3 = −2
x−1 2x−2
4 3 2 2
故− ⩽a<− 或a＞ 且a≠ ，
3 4 9 3
只有选项B符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得a的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
【题型13 几何动态问题】
【例13】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=7．
点F在射线BC上，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，
同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停
止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为（ ）7 7 7 7 7 7
A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒
4 6 4 6 4 2
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
分情况讨论点分别点F在BC延长线上或在BC之间时，△AOP≌△FCQ，根据对应边相等，解一元一次
方程求得t值即可选出结果．
【详解】解：①当点F在BC延长线上时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
，
∵CF=AO，∠AOP=∠EOD=180°−∠DCE=∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ，
∵OP=t，CQ=AC−AQ=7−3t，
∴t=7−3t，
7
解得t= ．
4
②当点F在BC之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF=AO，∠AOP=∠EOD=180°−∠DCE=∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ，
∵OP=t，CQ=AC−AQ=3t−7，
∴t=3t−7，
7
解得t= ．
2
7 7
综上，t= 或t= ，
4 2
故选D．
【变式13-1】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，P是AC边上一动点，
由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向
运动（点Q不与点B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D，在运动的过程中线段ED的长为（
）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】过点P作PF∥BC，先证明△APF是等边三角形，利用PE⊥AB得到AE=FE，再证明△PFD≌△QBD得到
1
FD=BD，由此即可得到DE= AB=4.
2
【详解】过点P作PF∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠A=60°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP=∠ABC=∠C=∠APF=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=FP,
∵PE⊥AB，
∴AE=FE,∵点P、Q的运动速度相同，同时开始运动，
∴BQ=AP=FP，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=∠QBD，
在△PFD和△QBD中
{∠PFD=∠QBD
)
∠PDF=∠QDB ,
PF=QB
∴△PFD≌△QBD,
∴FD=BD,
∴FD+EF=BD+AE,
1
∴DE= AB=4，
2
故选：D.
【点睛】此题考查等边三角形的性质及判定定理，平行线的性质定理，三角形全等的判定及性质定理，题
中的辅助线的引出是解题的关键.
【变式13-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，AB⊥CD于点O，点E、F分别是射线OA、OC上的
动点（不与点O重合），延长FE至点G，∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的
角平分线于点M、N．若△MEN中有一个角是另一个角的3倍，则∠EFO为（ ）．
A．45°或30° B．30°或60° C．45°或60° D．67.5°或45°
【答案】C【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分
线和平角的定义可得：∠MEN=90°，分4种情况讨论，①当∠MEN=3∠M时，②当∠MEN=3∠N
时，③当∠N=3∠M时，④当∠M=3∠N时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论．
【详解】解：∵EM平分∠FEB，EN平分∠BEG，
∴∠MEB=∠FEM，∠NEB=∠¬,
1
∴∠MEB+∠NEB= (∠FEB+∠BEG)=90°，
2
∴∠MEN=90°，
当①∠MEN=3∠M时．
1
∠M= ∠MEN=30°，
3
∵OM平分∠BOF，
∴∠MOB=45°，
∴∠MEO=45°−30°=15°
∴∠FEO=30°，
∵AB⊥CD于点O，
∴∠EOF=90°，
∴∠EFO=90°−30°=60°，
②当∠MEN=3∠N时，
1
∴∠N= ∠MEN=30°
3
∴∠M=90°−30°=60°，
∵∠MOB=45°，
∴∠M=60°>∠MOB=45°
∴此种情况不成立．
③当∠N=3∠M时，
设∠M=x°，
则：x+3x=90，
解得：x=22.5，
∴∠MEO=∠MOB−∠M=45°−22.5°=22.5°，
∴∠FEO=45°，
∴∠EFO=90°−45°=45°．④当∠M=3∠N时，
同理得：∠N=22.5°，
∴∠M=3×22.5°=67.5°
∴∠M=67.5°>∠MOB=45°
∴此种情况不成立．
综上所述，∠EFO的度数为60°或45°，
故选∶C．
【变式13-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分
别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，
当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化
【答案】B
【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．
【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，{∠BAO＝∠NBE
)
∠AOB＝∠BNE
AB＝BE
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，
∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
{∠FBP＝∠ENP
)
∠FPB＝∠EPN
BF＝NE
∴△BPF≌△NPE（AAS），
1
∴BP=NP= BN；而BN=AO，
2
1 1
∴BP= AO= ×8=4，
2 2
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造
全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．
【题型14 规律探究】
【例14】（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一点，连
接BD、CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如
图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，
依次规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
n(n−1) n(n+1)
A．2n−1 B．3(n+1) C． D．
2 2
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解体的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后找规律．根据图1证出有1对三角形全等，根据图2证出有3对三角形全等，根据图3证出有
6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴△ABD≌△ACD，
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
又∵△ABD≌△ACD，
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理图3中有6对三角形全等；
n(n+1)
由此发现：第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
2
故选：D．
【变式14-1】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线AE，BF被直线AB所截，且AE∥BF，
AC ，BC 分别平分∠EAB，∠FBA；AC ，BC 分别平分∠BAC 和∠ABC ；AC ，BC 分别平分
1 1 2 2 1 1 3 3
∠BAC ，∠ABC …依次规律，得点C ，则∠C 的度数为（ ）
2 2 n n
90 90 90 180
A．90− B．180− C． D．
2n 2n−1 2n−1 2n【答案】B
【分析】根据平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，求得∠C ,∠C ,∠C ,∠C ,进
1 2 3 4
而发现规律，即可求得∠C 的度数．
n
【详解】∵ AE//BF
∴ ∠EAB+∠ABF=180°
∵ AC ，BC 分别平分∠EAB，∠FBA；
1 1
1 1
∴∠AC B=180°−∠C AB−∠C BA=180°− ∠EAB− ABF
1 1 1 2 2
1
=180°− (∠ABF+∠EAB)
2
=180°−90°=90°
1
∠C =180°− (∠C AB+∠C BA)
2 2 1 1
1 1
=180°− × (∠EAB+∠FBA)
2 2
1
=180°− ×180°
4
90°
=180°−
2
90°
同理可得∠C =180°−
3 22
90°
∠C =180°−
4 23
……
90°
发现规律：∠C =180°−
n 2n−1
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，发现规律是解题的关键．
2 2 3 3 4 4
【变式14-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知：2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，
3 3 8 8 15 15
5 5 b b
5+ =52× ，……，若10+ =102× （a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（ ）．
24 24 a a
A．109 B．218 C．326 D．436
【答案】A【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．
2 2 3 3 4 4 5 5
【详解】解：由2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，5+ =52× ，……，可知分子与第
3 3 8 8 15 15 24 24
一个加数相同，分母等于分子的平方减1，
b b
∴在10+ =102× 中，b＝10，a＝102－1＝99，
a a
∴a＋b＝109，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
【变式14-3】（2024·甘肃天水·中考真题）观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；
2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数：2100,2101,2102,⋯,2199,2200，若2100=S，用含S
的式子表示这组数据的和是( )
A．2S2−S B．2S2+S C．2S2−2S D．2S2−2S−2
【答案】A
【分析】由题意得出2100+2101+2102+⋯+2199+2200=2100 (1+2+⋯+299+2100 )，再利用整体代入思想即
可得出答案．
【详解】解：由题意得：这组数据的和为：
2100+2101+2102+⋯+2199+2200
=2100 (1+2+⋯+299+2100
)
=2100 (1+2101−2)
=2100 (2101−1)
=2100 (2100×2−1)
∵2100=S，
∴原式=S(S×2−1)=2S2−S,
故选：A．
【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关
键是正确找到本题的规律：2+22+23+⋯+2n−1+2n=2n+1−2，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【题型15 多结论问题】
【例15】（23-24八年级·重庆渝中·期末）如图，△ABC中，∠ACB=60°，AG平分∠BAC交BC于点G，
BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结
论中正确的有（ ）
①若∠BAD=70°，则∠EBC=5°；
②BF=2EF；③BE=CE；
④AB=BG+AD；
S BF
⑤ △BFG =
S AF
△AFD
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求∠ABD=∠DBC=25°，∠BAG=∠CAG=35°，
由外角的性质和直角三角形的性质可求∠EBC=5°，故①正确；同理可求∠BFE=60°，由直角三角形
的性质可得BF=2EF，故②正确；由“ASA”可证△ABE≌△AHE，可得BE=EH，由直角三角形的性
质可得EC≠BE，故③错误；由“SAS”可证△BFN≌△BFG，可得∠BFN=∠BFG=60°，由“ASA
”可证△AFD≌△AFN，可得AD=AN，即AB=BG+AD，故④正确；由角平分线的性质可得
S BF
NQ=NP，由全等三角形的性质可得S =S ，S =S ，可得 △BFG = ，故⑤正确，即可
△BFN △BFG △AFD △AFN S AF
△AFD
求解．
【详解】解：①∵∠ACB=60°，∠BAD=70°，
∴∠ABC=50°，∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=25°，∠BAG=∠CAG=35°，
∴∠BFE=60°，
∵BE⊥AG，
∴∠FBE=30°，
∴∠EBC=5°，故①正确；
②∵ACB=60°，
∴∠BAD+∠ABC=120°，
∵AG平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC ，∠BAG=∠CAG= ，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAG=(∠ABC+∠BAC)=60° ，∵BE⊥AG，
∴∠FBE=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
③如图，延长BE，AC交于点H，
∵∠BAE=∠CAE，AE=AE，∠AEB=∠AEH=90°，
∴△ABE≌△AHE(ASA)，
∴BE=EH，
∵BC≠AC，
∴EC≠BE，故③错误；
④如图，在AB上截取BN=BG，连接NF，∵BN=BG，∠ABD=∠CBD，BF=BF，
∴△BFN≌△BFG(SAS)，
∴∠BFN=∠BFG=60°，
∴∠AFD=∠AFN=60°，
又∵∠BAG=∠CAG，AF=AF，
∴△AFD≌△AFN(ASA)，
∴AD=AN，
∴AB=BG+AD，故④正确；
⑤如图，过点N作NP⊥BF于P，NQ⊥AF于Q，
∵∠AFN=∠BFN=60°，NP⊥BF，NQ⊥AF，
∴NP=NQ，
1 1
∵S = ×AF×NQ，S = ×BF×NP，
△AFN 2 △BFN 2
S BF
∴ △BFN = ，
S AF
△AFN
∵△BFN≌△BFG，△AFD≌△AFN，
∴S =S ，S =S ，
△BFN △BFG △AFD △AFNS BF
∴ △BFG = ，故⑤正确；
S AF
△AFD
故选：B．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，
添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式15-1】（23-24八年级·重庆·阶段练习）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的
规则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定a =b =x，且满足以下规律
1 1
a =2a ，a =2a ，a =2a ，…，a =2a ，……
2 1 3 2 4 3 n n−1
b =b +1，b =b +1，b =b +1，…，b =b +1，……．
2 1 3 2 4 3 n n−1
2 2
c = ，c =a b ，c = ，c =a b ，……．其中n为正整数，以此类推．
1 b b 2 2 2 3 b b 4 4 4
1 3 3 5
以下说法：①a =128x；
8
②b +b +b +b +⋅⋅⋅+b =15x+91；
1 2 3 4 15
1 1
③当x=1时，c = − ；
n n n+2
88 29
④当x=1时，c +c +c +c +⋅⋅⋅+c = + ×411 ．
1 2 3 4 20 63 9
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题中的操作步骤，可知a (i为正整数）是x的2i−1倍，b是x加上i−1，再根据c (i为正整数）
i i i
与a和b的关系找出规律，即可解决问题．
i i
【详解】解：由题知，
a =2i−1x，b =x+i−1(i为正整数），
i i
所以a =28−1x=128x．
8
故①正确．
b +b +b +b +…+b
1 2 3 4 15
=x+x+1+x+2+…+x+14
14×(1+14)
=15x+
2=15x+105．
故②错误．
2 1 1
因为c = = − ，
1 x(x+2) x x+2
c =2x(x+1)=2x2+2x，
2
2 1 1
c = = − ，
3 (x+2)(x+4) x+2 x+4
c =8x2+24x，
4
…
1 1
所以当n为奇数，且x=1时，c = − ，
n n n+2
n
当n为偶数，且x=1时，c = ⋅2n ．
n 2
故③错误．
由上面的结论可知，
c +c +c +c +…+c
1 2 3 4 20
1 1 1 1 1
=1− + − +…+ − +1×22+2×24+…+10×220
3 3 5 19 21
1
=1− +S．
21
则22S=1×24+2×26+…+9×220+10×222，
故3S=10×222−1×22−24−26−…−220，
10×222 222−22
S= − ．
3 9
所以c +c +c +c +…+c
1 2 3 4 20
20 10 1 4
= + ×411− ×411+
21 3 9 9
88 29
= + ×411 ．
63 9
故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查实数的计算规律，能根据所给的等式找到a，b和c的变化规律是解题的关键．
i i i
【变式15-2】（23-24八年级·浙江宁波·期中）已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若2a−3ab+2b 1 1 1
c≠0，则 =− ；②若a=3，则b+c=6；③若c≠0，则(1−a)(1−b)= + ；④若c=4，
5a+7ab+5b 12 a b
则a2+b2=8．其中正确个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据所给条件，对各项进行变形，利用整体代入、解方程、通分、完全平方式进行计算即可验证．
【详解】解：∵a+b=ab=c
2a−3ab+2b 2(a+b)−3ab −ab 1
∴①当c≠0时， = = =− ，故①结论正确；
5a+7ab+5b 5(a+b)+7ab 12ab 12
②当a=3时，
∴3+b=3b=c
3 9
解得：b= ,c= ，
2 2
3 9
∴b+c= + =6，故②结论正确；
2 2
③∵(1−a)(1−b)=1−(a+b)+ab=1−ab+ab=1，
1 1 a+b
+ = =1
a b ab
1 1
∴(1−a)(1−b)= + ，故③结论正确；
a b
④当c=4，
则a+b=ab=4
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=42−2×4=8 ，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值及恒等式证明，根据题意，结合四个结论中的代数式恒等变形是解决问题的
关键．
【变式15-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，高AD与角平分线BE
相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC，BE于点G，O，连接FG，下列结论：①∠C=∠EBG；
②∠AEF=∠AFE；③AG⊥EF；④S =S ，其中所有正确结论的序号是（ ）
△ACD △ABGA．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】①根据已知条件无法判定CE与BE相等，进而可对结论①进行判断；
②先根据角平分线的定义得∠ABE=∠DBF，进而得∠ABE+∠AEF=90°，∠DBF+∠DFB=90°，
∠DFB=∠AFE，据此可对结论②进行判断；
③先证△EAO和△FAO全等得∠AOE=∠AOF，然后根据平角的定义得∠AOE+∠AOF=180°，据此
可对结论③进行判断；
1 1
④根据AD为△ABC的高得：S = CD⋅AD，S = BG⋅AD，根据已知条件无法判定CD与
△ACD 2 △ABG 2
BG相等，对此可对结论④进行判断．
此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是
准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式．
【详解】①根据已知条件无法判定CE与BE相等，
∴无法判定∠C与∠EBG相等，
∴结论①不正确；
②∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠DBF，
∵AD为△ABC的高，∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AEF=90°，∠DBF+∠DFB=90°，
又∠DFB=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴结论②正确；
③由结论②正确得：∠AEF=∠AFE，
∵AG平分∠CAD，
∴∠EAO=∠FAO，
在△EAO和△FAO中，
∠AEF=∠AFE，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∴△EAO≌△FAO(AAS)，
∴∠AOE=∠AOF，
∵∠AOE+∠AOF=180°，
∴∠AOE=∠AOF=90°，
∴AO⊥EF，
即：AG⊥EF，
∴结论③正确；
④∵AD为△ABC的高，
1 1
∴S = CD⋅AD，S = BG⋅AD，
△ACD 2 △ABG 2
∵根据已知条件无法判定CD与BG相等，
∴无法判定S 与S 相等，
△ACD △ABG
∴结论④不正确．
综上所述：正确的结论是②③．
故选：B．
【题型16 新定义问题】
【例16】（23-24八年级·重庆江津·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分
数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为
“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：
x−1 (x+1)−2 2
= =1− ；
x+1 x+1 x+1
x2 x2−1+1 (x+1)(x−1)+1 (x+1)(x−1) 1 1
= = = + =x+1+ ．则下列说法中正确的个数是
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
（ ）
3 x2−1 2x−1 3
①分式 是真分式；②分式 是假分式；③把分式 化为带分式的形式为2− ；④将假分
x+1 x+2 x+1 x+1
3x2−1 2
式 化为带分式的形式为3(x+1)+ ．
x−1 x−1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
2x−1
【分析】①根据新定义即可判定；②根据新定义即可判定；③把分式 化为带分式的形式，即可判定；
x+13x2−1
④将假分式 化为带分式的形式，即可判定
x−1
3
【详解】解：①分式 是真分式，故①正确；
x+1
x2−1
②分式 是假分式，故②正确；
x+2
2x−1
③把分式 化为带分式的形式为：
x+1
2x−1 2x+2−1−2 3
= =2− ，故③正确；
x+1 x+1 x+1
3x2−1
④将假分式 化为带分式的形式为为：
x−1
3x2−1 3x2−3+3−1 3(x2−1)+2 2
= = =3(x+1)+ ，故④正确，
x−1 x−1 x−1 x−1
故正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式的混合运算，分解因式，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算
顺序和运算法则及新定义的理解和运用．
n
【变式16-1】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）18世纪欧拉引进了求和符号“ ∑❑k”（其中i≤n，且i
k=i
n
和n表示正整数)，对这个符号我们进行如下定义： ∑❑k表示 k 从 i 开始取数一直取到 n， 全部加起
k=i
n n
来， 即 ∑❑k=i+(i+1)+(i+2)+(i+3)+⋯+n，例如∶ 当i=1时， ∑❑k=1+2+3+4+⋯+n，若
k=i k=1
n
∑❑(x−k)(x−k+1)=3x2+px+m，则p和m所表示的数分别为（
）
k=2
A．−6和9 B．−15和20 C．30和−81 D．27和−243
【答案】B【分析】本题考查多项式乘多项式求和，恒等式的问题．先根据3x2+px+m中二次项系数为3，得出n=4，
然后列出代数式，进行化简，得出3x2−15x+20=3x2+px+m，即可求出结果．掌握求和符号的定义，
是解题的关键．
【详解】解：∵3x2+px+m中二次项系数为3，
∴n=4，
4
∴∑(x−k)(x−k+1)=(x−2)(x−1)+(x−3)(x−2)+(x−4)(x−3)
k=2
=x2−3x+2+x2−5x+6+x2−7x+12
=3x2−15x+20，
n
∵∑(x−k)(x−k+1)=3x2+px+m，
i=2
∴3x2−15x+20=3x2+px+m，
∴p=−15，m=20，
故选：B．
【变式16-2】（23-24八年级·贵州遵义·阶段练习）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则
称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019
的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
【答案】B
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分
析计算即可．
【详解】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为
非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9，
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关
键所在．
【变式16-3】（23-24八年级·上海·期中）我们定义：对角线相等的四边形叫做等对角线四边形．如图：在
△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，添加下面什么条件是无法证明四边形BCED是等对角线四边形（ ）
A．DE//BC
B．CD⊥AB,BE⊥AC
C．OD=OE
D．BE,CD是∠ABC和∠ACB角平分线
【答案】C
【分析】根据已知条件及各个选项所提供的条件，利用等腰梯形性质、三角形全等证明等方式尝试证明
CD=BE，如果不能证明CD=BE，那么该选项就是要选择的选项．
【详解】选项A：当DE//BC时，且AB=AC，即∠ABC=∠ACB，所以BCED是等腰梯形，所以对
角线相等，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意；
选项B：因为CD⊥AB,BE⊥AC，所以ΔBDC、ΔBEC都是直角三角形，所以ΔBDC≅ΔCEB，所以
CD=BE，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题意；
选项C：根据已知条件，再加上选项C的条件，不能证明CD=BE，故符合题意；
选项D：因为BE、CD是∠ABC和∠ACB角平分线，所以∠ABE=∠EBC,∠BCD=∠ACD，所以
∠BDC=∠CEB，所以ΔBDC≅ΔCEB，所以CD=BE，四边形BCED是等对角线四边形，故不符合题
意；
故选C．
【点睛】本题主要考查的是等腰梯形性质及三角形全等的证明，对等腰梯形性质及三角形全等证明有很好
的理解及运用，是解本题的关键．
