文档内容
专题 11.1 与三角形有关线段的综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的
线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、三角形的角平分线、中线和高
1.从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角
形的角平分线．
3.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
4.三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
5.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条
高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三
条高所在直线相交于三角形外一点．
◆ 典例分析
【典例1】【问题情境】
如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以
S =S ，于是S =2S ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
△ABD △ACD △ABC △ABD
【深入探究】
（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD上．
①若AD是△ABC的中线，求证：S =S ；
△APB △APC
②若BD=3DC，则S :S =______．
△APB △APC
【拓展延伸】
（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，
依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．
①求证：S +S =2S ；
△HDG △FBE 四边形ABCD
②若S =3，则S = ______．
四边形ABCD 四边形EFGH
【思路点拨】
（1）①根据中线的性质可得S =S ，点D为BC的中点，推得PD是△PBC的中线，S =S
△ADB △ADC △PDB △PDC
，即可证明S =S ；
△APB △APC
1 1
②设△ABC边BC上的高为ℎ，根据三角形的面积公式可得S = ×BD×ℎ，S = ×DC×ℎ，
△ADB 2 △ADC 2
即可推得S =3S ，同理推得S =3S ，即可求得S =3S ，即可证明
△ADB △ADC △PDB △PDC △APB △APC
S :S =3:1；
△APB △APC
1
（2）①连接AG，AC，CE，根据中线的判定和性质可得S =S = S ，
△GAH △GAD 2 △GHD
1 1 1
S =S = S ，S =S = S ，S =S = S ，推得
△CBA △CBE 2 △CAE △ECF △ECB 2 △EFB △ADC △ADG 2 △ACG
1 1 1
S =S = S ，S =S = S ，即可求得S = (S +S )，即可证明
△ADC △ADG 2 △GHD △CBA △CBE 2 △EFB 四边形ABCD 2 △GHD △EFB
S +S =2S ，
△HDG △FBE 四边形ABCD② 由 ① 可 得 S +S =2S ， 同 理 可 证 得 S +S =2S ， 根 据
△HDG △FBE 四边形ABCD △HEA △FGC 四边形ABCD
S =S +S +S +S +S ，即可推得S =5S ，即可求解．
四边形EFGH △HDG △FBE △HEA △FGC 四边形ABCD 四边形EFGH 四边形ABCD
【解题过程】
（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，
∴S =S ，点D为BC的中点，
△ADB △ADC
∴PD是△PBC的中线，
∴S =S ，
△PDB △PDC
∴S −S =S −S ，
△ADB △PDB △ADC △PDC
即S =S ；
△APB △APC
②S :S =3:1，
△APB △APC
解：设△ABC边BC上的高为
ℎ
，
1 1
则S = ×BD×ℎ，S = ×DC×ℎ，
△ADB 2 △ADC 2
∵BD=3DC，
∴S =3S ，
△ADB △ADC
同理S =3S ，
△PDB △PDC
则S −S =3S −3S ，
△ADB △PDB △ADC △PDC
即S =3S ，
△APB △APC
∴S :S =3:1．
△APB △APC
（2）①证明：连接AG，AC，CE，如图：
∵点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，
∴AG，BC，CE，DA分别为△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中线，
1 1 1 1
∴S =S = S ，S =S = S ，S =S = S ，S =S = S
△GAH △GAD 2 △GHD △CBA △CBE 2 △CAE △ECF △ECB 2 △EFB △ADC △ADG 2 △ACG
，
1 1
∴S =S = S ，S =S = S
△ADC △ADG 2 △GHD △CBA △CBE 2 △EFB1 1 1
∵S =S +S = S + S = (S +S )，
四边形ABCD △ADC △CBA 2 △GHD 2 △EFB 2 △GHD △EFB
即S +S =2S ；
△HDG △FBE 四边形ABCD
②15，
解：由①可得S +S =2S ，同理可证得S +S =2S ，
△HDG △FBE 四边形ABCD △HEA △FGC 四边形ABCD
S =S +S +S +S +S ，
四边形EFGH △HDG △FBE △HEA △FGC 四边形ABCD
即S =5S ，
四边形EFGH 四边形ABCD
∵S =3，
四边形ABCD
∴S =5×3=15．
四边形EFGH
◆ 学霸必刷
1．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部
分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（ ）
A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6
【思路点拨】
S BE 1
如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得 ΔBEF = = ，进而得到
S AB 3
ΔABF
1 4 4
S = S ，同理得出S = S ，进而得到S = S 即可解答．
ΔBEF 3 ΔABF ΔABF 9 ΔABC ΔBEF 27 ΔABC
【解题过程】
解：如图：连接AF∵BE=3，AE=6，
∴AB=9，
∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，
S BE 1 1
∴ ΔBEF = = ，即S = S
S AB 3 ΔBEF 3 ΔABF
ΔABF
4 4
同理可得：S = S ，即S = S
ΔABF 9 ΔABC ΔBEF 27 ΔABC
∴S ：S =4：23．
△BEF 四边形AEFC
故选：A．
2．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，延长CA至点F，
使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE
，若S ，则S 为（ ）
△≝¿=36¿ △ABC
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
先设△ABC的面积为m，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示
出来，总面积为36，解得△ABC的面积．
【解题过程】
解：如图，连接EA、CD，设△ABC的面积为m，∵ BD=2AB，
∴ △BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，
∵ AF=CA
∴ △AFD的面积为3m，
∵ CE=3CB,
∴ △ACE的面积为3m，△AEF的面积为3m，△ECD的面积为6m，
∴ S ，
△≝¿=m+2m+3m+3m+6m+3m=18m=36¿
∴ m=2，即△ABC的面积为2
故选：B．
3．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，AF=2FB，
DP
CE=3AE，连接CF交DE于点P，则 的值为（ ）
EP
1 2 1 2
A． B． C． D．
2 5 3 7
【思路点拨】
1 3 3
连接DF,EF，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到S = S ，S = S = S ，
△CDF 2 △BFC △CEF 4 △ACF 2 △CBF
1
S
S S DP DP S 2 △BFC
进而得到 △FPD= △CPD= ，推出 = △FCD= ，即可得解．
S S PE PE S 3
△FPE △CPE △FCE S
2 △BFC
【解题过程】解：连接DF,EF，
∵D是边BC上的中点，
1
∴S = S ，
△CDF 2 △BFC
∵AF=2FB，
∴S =2S ，
△AFC △CBF
∵CE=3AE，
3 3
∴S = S = S ，
△CEF 4 △ACF 2 △CBF
S S DP
∵
△FPD= △CPD=
，
S S PE
△FPE △CPE
S +S DP
∴
△FPD △CPD=
，
S +S PE
△FPE △CPE
1
S
DP S 2 △BFC 1
即： = △FCD= = ；
PE S 3 3
△FCE S
2 △BFC
故选C．
4．（2023下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD=2BD，
BE=EC，AE和CD相交于点M，△ADM比△CEM的面积大2，则△ABC的面积为（ ）．
A．9 B．10 C．11 D．12【思路点拨】
连接BM，设S =x，则S =x+2，然后再根据三角形的等分线的性质表示出S =S =x、
△CEM △ADM △CEM △BEM
1 5x 5
S =S 、S =2S 、S = (x+2)，进而表示出S = +1、S = x+5、
△ABE △ACE △ACD △BCD △BDM 2 △BDC 2 △ACD 2
S =5x+6，再根据S =2S 列出关于x的方程并求解，最后将x的值代入计算即可．
△ABC △ACD △BCD
【解题过程】
解：如图：连接BM，
设S =x，则S =x+2，
△CEM △ADM
∵BE=EC，
∴S =S =x，S =S ，
△CEM △BEM △ABE △ACE
∵AD=2BD，
∴S =2S ，S =2S ，
△ADM △BDM △ACD △BCD
1
∴S = (x+2)，
△BDM 2
1 5x
∴S =S +S +S = (x+2)+x+x= +1，
△BDC △BDM △BEM △MEC 2 2
1 5
S =S =S +S +S =x+2+ x+1+x= x+3，
△AEC △ABE △ADM △BDM △BEM 2 2
5 3
∴S =S −S = x+3−x= x+3，
△AMC △AEC △BCM 2 2
3 5
∴S =S +S = x+3+x+2= x+5，
△ACD △ACM △ADM 2 2
5 5
∴S =S +S = x+5+ x+1=5x+6
△ABC △ACD △BCD 2 2
∵S =2S ，
△ACD △BCD
5 (5x )
∴ x+5=2 +1 ，
2 2
解得：x=1.2，∴S =5x+6=5×1.2+6=12．
△ABC
故选：D．
5．（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4 AF，
若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为（ ）
A．60 B．56 C．70 D．48
【思路点拨】
连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，设S =a，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，
△AFG
8 5
分别得到S =2a、S =8a、S =10a、S = a、S =S =5a、S = a，再根据
△AFB ΔBCF △ABC △CFE 3 ΔACG ΔBCG △BDG 3
四边形DEFG的面积，求出a=6，即可得出△ABC的面积．
【解题过程】
解：连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，
设S =a，
△AFG
1 1
∵S = ⋅AG⋅FM，S = ⋅BG⋅FM，AG=BG，
△AFG 2 △FGB 2
∴S =S =a，
△AFG △FGB
∴S =2a，
△AFB
∵CF=4AF，
同理可得：S =4S ，
△BCF △AFB
∴S =8a，
△BCF
∴S =S +S =2a+8a=10a，
△ABC △AFB △BCF∵BD=DE=EC，
∴BC=3EC，
1 8
同理可得：S = S = a，
△CFE 3 △BFC 3
∵G是AB的中点，
同理可得：S =S =5a，
△ACG △BCG
∵BD=DE=EC，
∴BC=3BD，
1 5
同理可得：S = S = a，
△BDG 3 △BCG 3
∵四边形DEFG的面积为28，
8 5 14
∴S =S −S −S −S =10a−a− a− a= a=28，
四边形DEFG ❑ △ABC △AFG △CFE △BDG 3 3 3
∴a=6，
∴S =10a=10×6=60，
△ABC
故选：A．
6．（2023下·七年级课时练习）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么
它的长度最大值是
【思路点拨】
根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．
【解题过程】
解：因为不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 △ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4＝12×x（2倍的面积），面积S＝6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜
4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
1 1 1
S＝ ×第三边的长×高，6x＞ ×2x×高，6x＜ ×4x×高，
2 2 2
∴6＞高＞3，
∵是不等边三角形，且高为整数，
∴高的最大值为5，
故答案为：5．
7．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）若△ABC中AB＝AC，且面积为定值，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3，C到AB的距离CH＝7时，P到AB的距离为
．
【思路点拨】
分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【解题过程】
解：如图①，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
1 1 1
∴S ABP＝ AB•PE，S ACP＝ AC•PF，S ABC＝ AB•CH．
△ 2 △ 2 △ 2
又∵S ABP+S ACP＝S ABC，
△ △ △
1 1 1
∴ AB•PE+ AC•PF＝ AB•CH．
2 2 2
∵AB＝AC，
∴PE+PF＝CH，
∴PE＝7﹣3＝4；
如图②，PE＝PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
1 1 1
∴S ABP＝ AB•PE，S ACP＝ AC•PF，S ABC＝ AB•CH，
△ 2 △ 2 △ 2
∵S ABP＝S ACP+S ABC，
△ △ △
1 1 1
∴ AB•PE＝ AC•PF+ AB•CH，
2 2 2
又∵AB＝AC，
∴PE＝PF+CH，
∴PE＝7+3＝10；
故答案为10或4．8．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，BD,CE都是△ABC的高，过点A作AF∥BC交
15
CE的延长线于点F，BD=6，AB:AC=6:5，若S = ，S =10，则EF= ．
△ACE 2 △BCE
【思路点拨】
连接FB，根据面积法求得EC的长，即可通过三角形面积公式求得AE,BE的长，再根据AF∥BC，可得
S =S ，再利用S =S −S ，即可解答．
△FBC △ABC △FEB △FBC △BEC
【解题过程】
解：如图，连接FB，
1 1
∵S = AB⋅EC= AC⋅BD，
△ABC 2 2
BD AB 6
∴ = = ，
EC AC 5
5×6
∴EC= =5，
6
15
∵S = ，S =10，
△ACE 2 △BCE
2S 2S
∴AE= △AEC =3,BE= △BEC =4，
EC EC
∵AF∥BC，
35
∴S =S =S +S = ，
△FBC △ABC △ACE △BCE 2
35 15
∴S =S −S = −10= ，
△FEB △FBC △BEC 2 22S 15
∴EF= △BEF = ．
BE 4
9．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，
E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是
．
【思路点拨】
本题考查了三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接DF，根据题意可得S =S ，
△ABF △BDF
1 1 3
S =2S ，求出S = S = ×3= ，即可求解．
△BDF △DFC △DCF 5 △ABC 5 5
【解题过程】
解：如图，连接DF，
∵E是AD的中点，
∴S =S ，S =S ，
△ABE △BED △AEF △≝¿¿
∴S +S =S +S ，
△ABE △AEF △BED △≝¿¿
即S =S ，
△ABF △BDF
∵D是BC边上靠近C的三等分点，
∴S =2S ，
△BDF △DFC
1 1 3
∴S = S = ×3= ，
△DCF 5 △ABC 5 5
∴S =S +S
阴影 △DBE △AEF=S +S
△BDE △≝¿¿
=S
△BDF
3
=(3− )÷2
5
6
= ．
5
6
故答案为： ．
5
10．（2023下·江苏苏州·七年级统考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点
D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的
最小值为 ．
【思路点拨】
如图：连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中线的性质求得S =15，从而求得CH=5，
△ABC
利用垂线段最短求解即可．
【解题过程】
解：如图：连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
1
∴S =S = S =S =S ，S =S ，S =S ，
△ABE △ACE 2 △ABC △ADC △BDC △AFD △BFD △CEF △BEF
∴S +S =S +S ，S +S =S +S =S =5，
△CEF 四边形BDFE △CEF △ACF △AFD △CEF △BEF △BFD 四边形BDFE
∴S =S =5，
四边形BDFE △ACF
∴S =S +S +S +S =15，
△ABC △ACF 四边形BDFE △AFD △CEF1
∴ CH⋅AB=15，
2
∴CH=5，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=5，
∴AC的最小值为5．
故答案为：5．
11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的
中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于点F、E，连接CF，若DF=2，AF=6，BE:EC=3:1，则
S = ．
△ABC
【思路点拨】
根据BD为△ABC的中线，可得S =S ，S =S ，通过题中条件可求得S =S =6，根
△ADF △CDF △ABD △CBD △ADF △CDF
据BE:EC=3:1，可得S :S =3:1，S :S =3:1，设S =x，则S =3x，
△FEB △FEC △AEB △AEC △FEC △FEB
S =S +S +S =4x+6=S ，故S =4x+6−6=4x，根据S :S =3:1，列方
△BCD △FEC △FEB △CDF △ABD △AFB △AEB △AEC
程7x=3(x+12)，即可解答．
【解题过程】
解：∵ BD为△ABC的中线，
∴ S =S ，S =S ，
△ADF △CDF △ABD △CBD
∵AE⊥BD，
2×6
∴ S =S = =6，
△ADF △CDF 2
∵BE:EC=3:1，
∴S :S =3:1，S :S =3:1，
△FEB △FEC △AEB △AEC
设S =x，则S =3x，
△FEC △FEB
∴S =S +S +S =4x+6=S ，
△BCD △FEC △FEB △CDF △ABD
∴S =4x+6−6=4x，
△AFB根据S :S =3:1，列方程7x=3(x+12)，
△AEB △AEC
解得x=9，
∴S =S +S +S +S =36+36+6+6=84．
△ABC △ABF △BCF △ADF △CDF
故答案为：84．
12．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，
CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连
接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是 ．
【思路点拨】
2 1
连接DF，CE．由题意中的线段的比和S =12，可推出S = S =8，S = S =4，从
△ABC △ABD 3 △ABC △CBD 3 △ABC
1 3 1
而可求出S = S =2，S = S =6．结合中点的性质即得出S =S = S =3，
△ABE 4 △ABD △ADE 4 △ABD △ADF △EDF 2 △ADE
1 3 9
从而可求出S = S = ，进而得出S =S =S +S = ，最后即得出
△CDF 2 △ADF 2 △ECF △ACF △ADF △CDF 2
DG S 1 3 9
= △CDF = ，最后即可求出S = S = ．
EG S 3 △EFG 4 △EDF 4
△ECF
【解题过程】
解：如图，连接DF，CE．∵CD:AD=1:2，S =12，
△ABC
2 1
∴S = S =8，S = S =4．
△ABD 3 △ABC △CBD 3 △ABC
又∵BE:ED=1:3，
1 3
∴S = S =2，S = S =6．
△ABE 4 △ABD △ADE 4 △ABD
∵点F是线段AE的中点，
1
∴S =S = S =3．
△ADF △EDF 2 △ADE
∵CD:AD=1:2，
1 3
∴S = S = ，
△CDF 2 △ADF 2
9
∴S =S +S = ，
△ACF △ADF △CDF 2
9
∴S =S = ，
△ECF △ACF 2
3
S 2 1 S 1
∴ △CDF = = ，即 △≝¿+S △DGC = ¿,
S 9 3 S +S 3
△ECF △EFG △EGC
2
DG 1
∴ = ，
EG 3
3 9
∴S = S = ．
△EFG 4 △EDF 4
9
故答案为： ．
4
13．（2023下·江苏南京·七年级统考期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上
的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为．
【思路点拨】
2
如图: 连接AH，设S =a，S =b，根据“等底同高的三角形面积相等”可得S = S =60
△CFH △ADH △ABF 3 △ABC
1
、S =3a、S =S −S =2a、S =S = S =45、S =S =b，进而列出
△ACH △AFH △ACH △CFH △ADC △BDC 2 △ABC △AHD △BHD
二元一次方程组
{3a+b=45
) 求解可得S =
15
；同理：连接AG，设S =c，S =d，可得
2b+2a=60 △CFH 2 △ADG △AEG
S =c+d=9+12=21，最后根据S =S −S −S 即可解答．
△ADGE EFHG △ADC △ADGE △DHF
【解题过程】
解： 如图: 连接AH，设S =a，S =b，
△CFH △ADH
E、F分别是边AC上的三等分点，△ABC的面积为90，
1 2
∴AE=EF=CF= AC，S = S =60，S =3a，S =S −S =2a
3 △ABF 3 △ABC △ACH △AFH △ACH △CFH
∵D是边AB的中点，
1
∴S =S = S =45，S =S =b
△ADC △BDC 2 △ABC △AHD △BHD
∵S =S +S =45,即3a+b=45，S =S +S ，即2b+2a=60
△ADC △ACH △ADH △ABF △ABH △AFH15
{ a= )
∴ {3a+b=45 ) ，解得： 2 ，即S = 15 ；
2b+2a=60 45 △CFH 2
b=
2
如图: 连接AG，设S =c，S =d，
△ADG △AEG
∴S =2c， S =3d
△ABG △AGC
∵S =S +S ,即c+3d=45，S =S +S ，即2c+d=30
△ADC △ADG △AGC △ABE △ABG △AEG
{c+3d=45) {c=9
)
∴ ，解得： ；
2c+d=30 d=12
∴S =c+d=9+12=21,
△ADGE
15 33
. S =S −S −S =45−21− = ．
EFHG △ADC △ADGE △DHF 2 2
33
故答案为 ．
2
14．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等
份，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S ；如图②将边BC、AC分别3等份，BE 、AD 相交
1 1 1 1 1
于点O，△AOB的面积记为S ；……，以此类推，若S =4，则a的值为 ．
2 7
【思路点拨】
利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．
【解题过程】
解：在图①中，连接OC，∵AE =CE ，BD =CD ，
1 1 1 1
1 1
∴ S =S ，S =S ，S =S = S = a，
△OAE 1 △OCE 1 △OBD 1 △OCD 1 △ABE 1 △ABD 1 2 ΔABC 2
∵ S =S −S ，S =S −S ，
△OAE △ABE ΔOAB △OBD △ABD ΔOAB
1 1 1 1
∴ S =S ，
△OAE △OBD
1 1
∴ S =S =S =S ，
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1
设S =S =S =S =x，则
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1
{ S +x= 1 a)
1 2 ，
S +4x=a
1
1
解得S = a；
1 3
在图②中，连接OE 、OC、OD ，
2 2
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 3 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OCE 2 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OCD 2
设S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OCE △OBD △OD D △OCD
1 1 2 2 1 1 2 2{ S +x= 1 a)
2 3 ，
S +6x=a
2
1
解得S = a；
2 5
在图③中，连OE 、OE 、OC、OD 、OD ，
2 3 2 3
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 4 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OE 2 E 3 △OCE 3 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OD 2 D 3 △OCD 3
设S =S =S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OE E △OCE △OBD △OD D △OD D △OCD
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
{ S +x= 1 a)
3 4 ，
S +8x=a
3
1
解得S = a，
3 7
.....．
1
由可知，S = a，
n 2n+1
∵S =4，
7
1
∴ a=4，
2×7+1
解得a=60．
故答案为：60.
15．（2023上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，在△ABC中(AB>BC)，AC=2BC，
BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【思路点拨】
先根据AC=2BC和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①AC+CD=60，②AC+CD=40，注意答案
是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．
【解题过程】
解：设BD=CD=x，则AC=2BC=4x，
∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AB>BC，
①当AC+CD=60，AB+BD=40时，
4x+x=60，
解得：x=12，
∴AC=4x=4×12=48，
BD=CD=12，
∴AB=40−BD=40−12=28，
∴AB=28>BC=24，满足条件；
∵BC+AB=28+24=52>AC=48，满足三边关系，
∴AC=48，AB=28；
②当AC+CD=40，AB+BD=60时，
4x+x=40，
解得：x=8，
∴AC=4x=4×8=32，
∴BD=CD=8，
AB=60−BD=60−8=52，
∵AC+BC=32+16=48<52=AB，
∴不满足三角形的三边关系，
∴不合题意，舍去，
∴AC=48，AB=28．
16．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H
1 1 1 1
分别在边AB、BC、CD、DA上，且BE= AB，CF= BC，DG= DC，AH= AD．
3 3 3 3（1）连接BD，BH，若三角形ABD的面积为9平方厘米，则三角形ABH的面积是三角形______，三角
形AEH的面积是______．
（2）如果阴影部分面积为45平方厘米，则四边形ABCD的面积是多少?
【思路点拨】
1 2
（1）由图，S = S =3，S = S =2；
△ABH 3 △ABD △AEH 3 △ABH
2 2 2 2
（2）由图，S = S ，S = S ，S = S ，S = S ．可推得
△AEH 9 △ABD △CFG 9 △CBD △BEF 9 △ABC △DHG 9 △DAC
5 9
S = S ，进而求得S = S =81．
EFGH 9 ABCD ABCD 5 EFGH
【解题过程】
1
（1）解：如图，∵AH= AD，
3
1 1
∴S = S = ×9=3．
△ABH 3 △ABD 3
1
∵BE= AB，
3
2 2
∴S = S = ×3=2．
△AEH 3 △ABH 3
1 2
（2）解：由（1），S = S ，S = S ，
△ABH 3 △ABD △AEH 3 △ABH
2
∴S = S ．
△AEH 9 △ABD
2 2 2
同理，S = S ，S = S ，S = S ．
△CFG 9 △CBD △BEF 9 △ABC △DHG 9 △DAC
∴S +S +S +S
△AEH △CFG △BEF △DHG
2 2 2 2
= S + S + S + S
9 △ABD 9 △CBD 9 △ABC 9 △ADC2
= (S +S +S +S )
9 △ABD △CBD △ABC △ADC
4
= S ．
9 ABCD
4 5
∴S =(1− )S = S ．
EFGH 9 ABCD 9 ABCD
9 9
∴S = S = ×45=81．
ABCD 5 EFGH 5
17．（2023上·广东广州·八年级广州大学附属中学校考开学考试）在△ABC中，AB=2，BC=4，
CD⊥AB于D．
（1）如图①，已知AE⊥BC于E，求证：CD=2AE
（2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作PE⊥BC于E，PF⊥AB于F，求
证：2PE+PF=CD
（3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间
的关系．
【思路点拨】
（1）分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证；
（2）连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证；
（3）作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可
得解．
【解题过程】
解：（1）证明：
1 1
∵S = AB·CD= BC·AE,
△ABC 2 2
∵AB=2,BC=4,
1 1
∴ ×2·CD= ×4·AE,
2 2
∴CD=2AE;（2）如图②，连接PB，
∵ S =S +S ，
△ABC △PBC △PAB
1 1 1
∴ AB·CD= AB·PF+ BC·PE,
2 2 2
∵AB=2,BC=4,
1 1 1
∴ ×2·CD= ×2·PF+ ×4·PE,
2 2 2
∴CD=PF+2PE;
（3）如图③，即为图像，
连接PB，作PE⊥BC交BC的延长线于E点，
∵ S =S +S ，
△PAB △ABC △PCB
1 1 1
∴ AB·PF= AB·CD+ BC·PE,
2 2 2
∵AB=2,BC=4,
1 1 1
∴ ×2·PF= ×2·CD+ ×4·PE,
2 2 2
∴PF=CD+2PE．
18．（2024上·北京西城·七年级北京四中校考阶段练习）设△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=AB，B C=BC，C A=CA，记△A B C 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1
面积为S ，则S = ______．（用含a的式子表示）
1 1
（2）如图2，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=2AB，B C=2BC，C A=2CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ________．（用含a的式子表示）
1 1 1 2 2
（3）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则
把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到△ABC的面积a=
________．
【思路点拨】
此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出
是解题关键．
（1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可；
（2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可；
（3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于x，y的方程求出即可．
【解题过程】
（1）如图1, 连接A C，
1
∵B C=BC,A B=AB,
1 1
∴S =S ，S =S ，
△ABC △A BC △A BC △A B C
1 1 1 1
∴S =2S =2a，
△A B B △ABC
1 1
同理可得出：S =S =2a，
△A AC △CC B
1 1 1 1
∴S =2a+2a+2a+a=7a，
1
故答案为: 7a；
（2）如图2，连接A C，
1∵A B=2AB,B C=2BC,C A=2CA，
1 1 1
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
∴S =S =S =2S =2a，
△A BC △B CA △C AB △ABC
1 1 1
∴S =2S =4a，
△A B C △A BC
1 1 1
∴S =6S =6a，
△A B B △ABC
1 1
同理可得出：S =S =6a，
△A AC △CB C
1 1 1 1
∴S₂=19a；
故答案为: 19a；
（3）如图3，过点C作CG⊥BE于点G，
1 1
∵S = BP⋅CG=70，S = PE⋅CG=35，
△BPC 2 △PCE 2
S BP•CG 70
∴ △BPC = = =2，
S PE⋅CG 35
△PCE
BP
∴ =2，即BP=2EP，
EP
S BP
同理 △APB= =2，
S PE
△APE
设 S =2S =2y，S = y，S =x，
△APB △APE △APE △BPF
∵x+84=2y，即S +S =2S ；
△FPB △APF △APE
S AP x+84 S AP y+35
∵ △APB = = ， △APC = = ，
S PD 40 S PD 30
△BPD △PCDx+84 y+35
∴ = ，
40 30
又∵x+84=2y
{x=56)
∴ ，
y=70
∵S =56，S =70，
△BPF △APE
∴S =a=40+30+35+84+56+70=315
△ABC
故答案为: 315．
19．（2023下·江苏盐城·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重
要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意
两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对
△ABM的面积 BM
应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有 = ．如图5，△ABC中，M
△ACM的面积 CM
1
是BC上一点，且BM= BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积
3．（用含m的代数式表示）
【思路点拨】
（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于
点G，则CG为△ABC的第三条高；
1
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE= ∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得
2
∠ABE=55°，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S =S ，同理S =S ，设S =S =a，则
△ADN △CDN △ABN △CBN △ADN △CDN
1 2 1 2 2 2
S =S = m，再求出S = S = m− a，S = S = m，然后由面积关系求出
△ABN △CBN 2 △CDM 3 △DBC 3 3 △ACM 3 △ABC 3
1
a= m，即可解决问题．
4
【解题过程】
（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，
∴ΔABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=35°，
2
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−35°=55°，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°，故答案为：25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAD，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
1 1
∴∠BAD=90°− ∠ABC− ∠ACB，
2 2
1 1 1 1
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°− ∠ABC− ∠C−90°= ∠ABC− ∠ACB，
2 2 2 2
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，
故答案为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，
S AN
∴ △ADN = =1，
S CN
△CDN
∴S =S ，
△ADN △CDN
同理：S =S ，
△ABN △CBN
设S =S =a，
△ADN △CDN
∵△ABC的面积是m，
1
∴S =S = m，
△ABN △CBN 21
∴S =S = m−a，
△BCD △ABD 2
1
∵BM= BC，
3
BM 1
∴ = ，
CM 2
S BM 1 S BM 1
∴ △BDM = = ， △ABM = = ，
S CM 2 S CM 2
△CDM △ACM
∴S =2S ，S =2S ，
△CDM △BDM △ACM △ABM
2 2 1 1 2 2 2
∴S = S = ×( m−a)= m− a，S = S = m，
△CDM 3 △BCD 3 2 3 3 △ACM 3 △ABC 3
∵S =S +S =S +S +S ，
△ACM 四边形CMDN △ADN △CDM △CDN △ADN
2 1 2
即： m= m− a+a+a，
3 3 3
1
解得：a= m，
4
1 2 1 1 5
∴S =S +S = m− × m+ m= m，
四边形CMDN △CDM △CDN 3 3 4 4 12
5
故答案为： m．
12
20．（2023下·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积______△ACD的面积．（填“>”“<”
“=”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方
法，连接AO，由AD=DB得：S =S ，同理：S =S ，设S =x，S = y，则
△ADO △BDO △CEO △AEO △ADO △CEO
1 1
S =x，S = y由题意得：S = S =30，S = S =30，可列方程组为：
△BDO △AEO △ABE 2 △ABC △ADC 2 △ABC{2x+ y=30)
，解得______，则可得四边形ADOE的面积为______．
x+2y=30
（3）如图3，AD:DB=1:3，CE:AE=1:2，则四边形ADOE的面积为______．
（4）如图4，D，F是AB的三等分点，E，G是CA的三等分点，CD与BE交于O，且S =60，则四边
△ABC
形ADOE的面积为______．
【思路点拨】
（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据中线的定义得出BD=CD，再根据三角形的面积公式得出
1 1
S = BD⋅AH,S = CD⋅AH，即可得出结论；
△ABD 2 △ACD 2
（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据S =S +S ，即可求解；
四边形ADOE △ADO △AEO
（3）连接AO，根据题意得出S :S =S :S =1:3，S :S =S :S =1:2，则
△ADC △BDC △ADO △BDO △CEB △AEB △CEO △AEO
1 2
S = S =15，S = S =40，设S =m，S =n，则S =3m，S =2n，列出
△ADC 4 △ABC △AEB 3 △ABC △ADO △CEO △BDO △AEO
方程组求解， 最后根据S =S +S 即可求解；
四边形ADOE △ADO △AEO
（4）连接AO，根据题意得出AD:BD=1:2，CE:AE=1:2，用和（3）一样的方法即可求解．
【解题过程】
（1）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD=CD，
1 1
∵S = BD⋅AH,S = CD⋅AH，
△ABD 2 △ACD 2
∴S =S ，
△ABD △ACD
故答案为：=；
{2x+ y=30①)
（2）解： ，
x+2y=30②
①×2−②得：3x=30，
解得：x=10，把x=10代入①得：2×10+ y=30，
解得：y=10，
{x=10)
∴原方程组的解为 ，
y=10
∴S =S +S =x+ y=20，
四边形ADOE △ADO △AEO
{x=10)
故答案为： ，20；
y=10
（3）解：连接AO，
∵AD:DB=1:3，CE:AE=1:2，
∴S :S =S :S =1:3，S :S =S :S =1:2，
△ADC △BDC △ADO △BDO △CEB △AEB △CEO △AEO
∵△ABC的面积是60，
1 1 2 2
∴S = S = ×60=15，S = S = ×60=40，
△ADC 4 △ABC 4 △AEB 3 △ABC 3
设S =m，S =n，则S =3m，S =2n，
△ADO △CEO △BDO △AEO
{4m+2n=40) {m=9)
，解得： ，
m+3n=15 n=2
∴S =S +S =m+2n=9+2×2=11；
四边形ADOE △ADO △AEO
故答案为：11；
（4）解：连接AO，
∵D，F是AB的三等分点，E，G是CA的三等分点，
∴AD:BD=1:2，CE:AE=1:2，
∴S :S =S :S =1:2，S :S =S :S =1:2，
△ADC △BDC △ADO △BDO △CEB △AEB △CEO △AEO
∵△ABC的面积是60，1 1 2 2
∴S = S = ×60=20，S = S = ×60=40，
△ADC 3 △ABC 3 △AEB 3 △ABC 3
设S =a，S =b，则S =2a，S =2b，
△ADO △CEO △BDO △AEO
80
{ a= )
{3a+2b=40) 7
，解得： ，
a+3b=20 20
b=
7
80 20 120
∴S =S +S =a+2b= +2× = ；
四边形ADOE △ADO △AEO 7 7 7
120
故答案为： ．
7
