文档内容
专题 11.2 与三角形有关角的综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、三角形的内角及内角和定理
1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0°
且小于180°．
2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
二、三角形的外角性质
1.三角形的外角和为360°；
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
◆ 典例分析
【典例1】在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令
∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的数量关系为______；
【问题再探】
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系；
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系．
【问题解决】
（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，∠2，
∠α之间的数量关系．
【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系．
（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根据
∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，
从而求出答案即可；
（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°
，从而求出答案即可；
（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出
∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，从而得到答案即可；
（5）分三种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，③当点P在AC延长线上，
分别画出图形进行解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，
∴∠APD+∠BPE=120°，
∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，
∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−120°−120°=120°，
故答案为：120；
（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，
∴∠APD+∠BPE=180°−∠α，
∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，
∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−120°−180°+∠α=60°+∠α，
故答案为：∠1+∠2=60°+∠α；
（3）如图所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠ABC=180°−60°=120°，
∵∠3+∠2+∠α=180°，
∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，
∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，
∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，
∴∠1−∠2=60°+∠α；
（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵五边形ABEPF的内角和为(5−2)×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，
∴∠1+∠2=540°−120°−∠α，
即∠1+∠2=420°−∠α；
（5）由题意可知点P的位置可能两种情况，
①在线段AB的延长线上，如（3）∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；
②不在线段AB的延长线上，有两种情况
第一种如图所示：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵∠3+∠2+∠α=180°，
∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，
∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，
∴∠1−∠2=60°+∠α，
第二种如图所示：
∵∠COD=∠POE，
∴180°−60°−(180°−∠1)=180°−∠α−(180°−∠2)
∴∠1−∠2=60°−∠α．
③当点P在AC延长线上时，如图：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，
∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，
∴(180°−60°)+(180°−∠2)+∠α=180°，
∴300°−∠2+∠α=∠1，
∴∠1+∠2=300°+∠α；
∴若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，∠1，∠2，∠α之间的数量关
系为：∠1−∠2=60°+∠α；∠1−∠2=60°−α；∠1+∠2=300°+∠α．
◆ 学霸必刷
1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分
∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ）A．β=110°+2a B．β=220°−2a
C．β=110°+a D．β=250°−2a
【思路点拨】
延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角
β−110°
的性质得到x+ y= 之间的关系，在根据三角形内角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将
2
β−110°
x+ y= 代入，即可解答．
2
【解题过程】
解：如图，延长AD交BC于点G，
设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，
∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，
1 1
∴∠EAF= ∠BAD=x,∠FCB= ∠DCB= y，
2 2
∵∠ADC=β，
∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，
∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，
在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，
β−110°
∴x+ y= ，
2∵∠AEF=α，
∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，
在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+ y+110°=180°，
β−110° β−110°
将x+ y= 代入可得α+ +110°=180°，
2 2
整理得β=250°−2a，
故选：D．
2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC
的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③
1 1
∠BDC= ∠BAC；④∠ADC=90°−∠ABD；⑤∠ADB=45°− ∠CDB．其中正确的结论有
2 2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可．
【解题过程】
解：∵AD平分∠EAC
∴∠EAC=2∠EAD
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB
∴∠EAC=2∠ABC
∴∠EAD=∠ABC
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC=2∠ADB，②正确；
∵∠DCF+∠ACD+∠ACB=180°，∠ACD=∠DCF∴2∠DCF+∠ACB=180°，
∵∠BDC+∠DBC=∠DCF
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB=180°
∴∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB=180°
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠BAC=2∠BDC
1
∴∠BDC= ∠BAC，③正确；
2
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∵CD平分∠ACF
∴∠ACF=2∠DCF
∵∠ADB+∠CDB=∠DCF，2∠DCF+∠ACB=180°
∴2∠DCF+∠ABC=2∠DCF+2∠ABD=180°
∴∠DCF+∠ABD=90°
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB=90°
1
∴∠ABD=45°− ∠CDB，⑤正确；
2
∵AD∥BC
∴∠DCF=∠ADC
∵∠DCF+∠ABD=90°，
∴∠ADC+∠ABD=90°即∠ADC=90°−∠ABD，④正确；
正确的个数为5
故选：D
3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在ΔABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的
延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C
1
；③∠F= (∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，正确的是（ ）
2A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
①根据BD⊥AC，FH⊥BE，以及∠FGD=∠BGH即可推出∠DBE=∠F；②根据角平分线的定义
和三角形外角的性质证明即可；③证明∠ABD=90°−∠BAC，由①知：∠DBE=∠F即可证明
1
∠F= (∠BAC−∠C)；④由同角的余角相等证明∠BGH=∠BED，再根据三角形外角的性质及角平
2
分线的性质即可推出∠BGH=∠ABE+∠C．
【解题过程】
解：∵BD⊥AC，
∴∠F+∠FGD=90°．
∵FH⊥BE，
∴∠DBE+∠BGH=90°．
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F．
故①正确；
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC．
2
∵∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=2(∠CBE+∠C)=∠ABC+2∠C．
∵∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C．
故②正确；
∵BE平分∠ABC，1 1 1 1
∴∠ABE= ∠ABC= (180°−∠BAC−∠C)=90°− ∠BAC− ∠C．
2 2 2 2
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°−∠BAC．
( 1 1 ) 1
∴∠DBE=∠ABE−∠ABD= 90°− ∠BAC− ∠C −(90°−∠BAC)= (∠BAC−∠C)．
2 2 2
由①知：∠DBE=∠F，
1
∴∠F= (∠BAC−∠C)．
2
故③正确；
∵BD⊥AC，FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，∠BED+∠DBE=90°．
∴∠BGH=∠BED=∠CBE+∠C．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠BGH=∠ABE+∠C．
故④正确；
综上可知，正确的有①②③④，共4个，
故选D．
4．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，BA 和C A 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，
1 1
BA 是∠A BD的角平分线，C A 是∠A CD的角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，C A 是
2 1 2 1 3 2 3
∠A CD的角平分线，若∠A=α，则∠A = ．
2 2023
【思路点拨】
1 1
根据角平分线的定义可得∠A BD= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，再根据三角形外角的性质可得
1 2 1 2
1 1 1
(∠ABC+∠A)= ∠ABC+∠A ，化简可得∠A = ∠A，进一步找出其中的规律，即可求出
2 2 1 1 2∠A 的度数．
2023
【解题过程】
解：∵BA 和C A 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，
1 1
1 1
∴∠A BD= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，
1 2 1 2
又∵∠ACD=∠ABC+∠A，∠A CD=∠A BD+∠A ，
1 1 1
1 1
∴ (∠ABC+∠A)= ∠ABC+∠A ，
2 2 1
1
∴∠A = ∠A，
1 2
1 1
同理可得：∠A = ∠A = ∠A，
2 2 1 22
1
∠A = ∠A，......
3 23
1
则A = ∠A，
2023 22023
∵∠A=α，
1
∴∠A = α ，
2023 22023
1
α
故答案为： ．
22023
5．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高
线，点F在BC延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE=∠F；
②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．
其中结论正确的为 ．（填序号）．
【思路点拨】
对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果；
对于②，通过举反例“当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠ACF≠2∠F+∠ADF．”计算可得②的结论
不成立；对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果；
对于④，根据AD是△ABC的角平分线，FH⊥AD，可得∠AHN=∠AMN，再利用三角形的外角性
质，可逐步推得结论成立．
【解题过程】
解：对于①，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∵FH⊥AD，
∴∠F+∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠F，
∴①正确；
对于②，
举反例，当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠ACF≠2∠F+∠ADF．
理由如下：
当∠B=40°，∠ACB=60°时，
∠BAC=180°−40°−60°=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
1
∴∠DAC= ∠BAC=50°，
2
∵∠AED=90°，
∴∠CAE=90°−∠ACB=30°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=50°−30°=20°，
∵∠AED=90°，
∵∠ADF=180°−∠CAD−∠ACB=70°，
∠F+∠ADF=90°，
∴∠F=90°−∠ADF=20°，
∴2∠F+∠ADF=110°，
而∠ACF=180°−∠ACB=120°，
∴∠ACF≠2∠F+∠ADF，
∴②错误；
对于③，∵∠AGF是△GEF的外角，
∴∠AGF=∠GEF+∠F=90°+∠F，
∵∠ADB是△ADE的外角，
∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°+∠DAE，
而由①知∠DAE=∠F，
∴∠ADB=90°+∠F，
∴∠AGF=∠ADB，
∴③正确；
对于④，
设FH与AC交于点M，与AD交于点N，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠HAN=∠MAN，
∵∠ANH=∠ANM=90°，
∴∠AHN=∠AMN，
又∵∠AHN=∠B+∠F，∠ACB=∠CMF+∠F=∠AMN+∠F，
∴∠ACB=∠B+∠F+∠F=2∠F+∠B，
∴④正确．
故答案为：①③④．
6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空：
（1）∠1=∠C+ ，∠2=∠B+ ；
（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2= ；
【应用】
（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
【拓展】
（4）如图③，若∠BGF=110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为______度．
【思路点拨】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键．
（1）利用三角形外角性质即可求出；
（2）根据外角性质，将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化到一个三角形内计算即可；
（3）利用三角形外角性质将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化到一个三角形中，再根据三角形内角和
180°即可得到结果；
（4）利用外角套外角可得∠BGF=∠B+∠BDF+∠F，∠CGE=∠A+∠C+∠E，根据对顶角相
等，即可计算出结果．
【解题过程】
解：（1）∵∠1是三角形的外角，
∴∠1=∠C+∠E，
∵∠2是三角形的外角，
∴∠2=∠B+∠D．
故答案为：∠E，∠D．
（2）∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°，
故答案为：∠A；180°．
（3）∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠AFG+∠AGF=180°；
（4）如图，连接DG并延长，
根据三角形外角性质可得：
∠BGF=∠BGK+∠FGK=∠B+∠BDK+∠FDK+∠F=∠B+∠BDF+∠F，
同理可得：∠CGE=∠C+∠A+∠E，
∵∠BGF=∠CGE=110°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BGF+∠CGE=220°，
故答案为：220°．
7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究（1）如图1，将△ABC沿着DE第一次折叠，顶点B落在△ABC的内部点O处，试探究∠1+∠2与∠B之
间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ABC沿着FG第二次折叠，顶点C恰好与点O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求
∠1+∠3的度数．
（3）如图3，将△ABC沿着GH第三次折叠，顶点A恰好与点O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的
代数式表示∠6−(∠1+∠AGO)．
【思路点拨】
（1）由折叠的性质得出∠BDE=∠ODE，∠BED=∠OED，由平角的定义及三角形内角和定理可得出
答案；
（2）由（1）可知∠1+∠2=2∠B，∠3+∠4=2∠C，求出
∠2+∠4=180°−∠5°=180°−62°=118°，则可得出答案；
（3）由（2）可知∠1+∠2=2∠B，∠AGO+∠4=2∠C，求出∠1+∠AGO=180°−2α+β，由周
角的定义求出∠6=180°−β，则可得出答案．
【解题过程】
（1）∠1+∠2=2∠B．
理由：由折叠得：∠BDE=∠ODE，∠BED=∠OED，
∵∠ADB+∠BEC=360°，
∴∠1+∠2=360°−∠BDE−∠ODE−∠BED−∠OED=360°−2∠BDE−2∠BED，
∴∠1+∠2=2(180°−∠BDE−∠BED)=2∠B；
（2）由（1）可知∠1+∠2=2∠B，∠3+∠4=2∠C，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠B+2∠C，
∵∠A=85°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(180°−85°)=190°，
∵∠5=62°，
∴∠2+∠4=180°−∠5°=180°−62°=118°，
∴∠1+∠3=190°−118°=72°；（3）由（2）可知∠1+∠2=2∠B，∠AGO+∠4=2∠C，
∴∠1+∠AGO=2∠B+2∠C−(∠2+∠4)，
∵∠A=α，∠5=β，
∴∠1+∠AGO=2(180°−α)−(180°−β)
=180°−2α+β，
又∵∠6=360°−∠DOE−∠5−∠GOF−∠GOH=360°−∠B−∠C−∠5−α
=360°−(180°−α)−β−α
=180°+α−β−α
=180°−β，
∴∠6−(∠1+∠AGO)=180°−β−(180°−2α+β)
=2α−2β．
8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A 处，试探究
1
∠1、∠2与∠A的关系；
（2）如图2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，
求∠BNC的度数；
（3）如图3，若点A 落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A ，此时∠1,∠2,
1 1
∠BA C满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
1
【思路点拨】
（1）由折叠的性质可知∠A=∠A ，根据外角定理得到∠1=∠A+∠AMD，∠AMD=∠A +∠2，代
1 1
入即可得到∠1=2∠A+∠2；
（2）先根据（1）的结论求出得到∠A=30°，再由角平分线的定义得到
1 1
∠NBC= ∠ABC，∠NCH= ∠ACH，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到
2 2
1
∠N= ∠A=15°；
2（3）由折叠的性质可知∠AED=∠A ED,∠ADE=∠A DE，根据三角形内角和定理证明
1 1
∠1+∠2=2∠A，根据角平分线的性质得到∠ABC=2∠A BC，∠ACB=2∠A CB，进而证明
1 1
∠A=2∠BA C−180°，代入即可得到∠1+∠2=4∠BA C−360°．
1 1
【解题过程】
解：（1）∠1=2∠A+∠2，理由如下：
如图1，AC与DA 交于点M．
1
由折叠的性质可知∠A=∠A ，
1
∵∠1为△ADM外角，
∴∠1=∠A+∠AMD，
∵∠AMD为△EM A 外角，
1
∴∠AMD=∠A +∠2，
1
∴∠1=∠A+∠A +∠2=2∠A+∠2；
1
（2）由（1）得∠1=2∠A+∠2，
∵∠1=140°,∠2=80°，
∴2∠A+80°=140°，
∴∠A=30°,
∵∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，
1 1
∴∠NBC= ∠ABC，∠NCH= ∠ACH，
2 2
∵∠NCH为△NBC的外角，∠ACH为△ABC的外角，
1 1 1 1
∴∠N=∠NCH−∠NBC= ∠ACH− ∠ABC= (∠ACH−∠ABC)= ∠A=15°；
2 2 2 2
（3）解：∠1+∠2=4∠BA C−360°，理由如下；
1
由折叠的性质可知∠AED=∠A ED,∠ADE=∠A DE，
1 1
∴∠1=180°−∠ADA =180°−2∠ADE，∠2=180°−∠AEA =180°−2∠AED，
1 1∴∠1+∠2=360°−2∠ADE−2∠AED=360°−2(∠ADE+∠AED)，
∵∠ADE+∠AED=180°−∠A，
∴∠1+∠2=360°−2(180°−∠A)=2∠A，
∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点A ，
1
∴∠ABC=2∠A BC，∠ACB=2∠A CB，
1 1
∵∠ABC+∠ACB=2(∠A BC+∠A CB)=360°−2∠BA C，
1 1 1
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−(360°−2∠BA C)=2∠BA C−180°，
1 1
∴∠1+∠2=2∠A=2(2∠BA C−180°)=4∠BA C−360°．
1 1
9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，
如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．
（1）如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关
系；
（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且
1 1
∠CBQ= ∠ABC，∠EDP= ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关
4 4
系．（直接写结论）
【思路点拨】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键；
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，结合（1）的结论可得
2∠E=∠A+∠C；
（3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案．【解题过程】
（1）解：如图1，
∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°，∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）解：如图2，
∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，
∴∠ABE=∠CBE，∠CDE=∠ADE，
由（1）可得：∠A+∠ABE=∠E+∠ADE，∠C+∠CDE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，
∴2∠E=∠A+∠C．
（3）由（1）得：∠A+∠ABC=∠C+∠CDA，
1 1 1 1
∴ ∠A+ ∠ABC= ∠C+ ∠CDA，
4 4 4 4
1 1
∴ ∠A+∠CBQ= ∠C+45°−∠EDP，
4 4
设AD与PQ的交点为点O，则∠CBQ+∠BOD=∠C+∠ADC，1 3
两式相减可得：∠BOD− ∠A= ∠C+∠ADC+∠EDP−45°，
4 4
1 3
∴∠BOD− ∠A= ∠C+180°−∠ADP−45°，
4 4
1 3
∴45°− ∠A= ∠C+180°−∠ADP−∠BOD，
4 4
∵∠P=180°−∠BOD−∠ADP，
1 3
∴45°− ∠A= ∠C+∠P，
4 4
即∠A+3∠C+4∠P=180°．
10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动
点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G
．
（1）如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是 ；∠EFB的度数是 ，
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB=∠FBC，再利用角平分线的定义即可解答；②
根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C=∠≝¿，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可
解答；
180°−∠C
（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到∠EHG= ，再根据角平分线的定义及外角的性
2
质即可解答．
【解题过程】
（1）解：①∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴在△ABC中，∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−40°−60°=80°，
∵EF∥BC，∴∠EFB=∠FBC，
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠FBC= ∠ABC=20°，
2
∴∠EFB=∠FBC=20°，
故答案为：80°、20°；
②∵∠BGE是△EGF是一个外角，
∴∠BGE=∠EFG+∠FEG，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠≝¿，
∵∠ABC+∠C=180°−∠A，
∴∠ABC+∠≝=180°−∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
1 1
∴∠CBD= ∠ABC，∠FEG= ∠≝¿，
2 2
1 1 1 1
∴∠CBD+∠FEG= ∠ABC+ ∠≝= ×(180°−∠A)=90°− ∠A，
2 2 2 2
∵EF∥BC，
∴∠EFG=∠CBD，
1
∴∠EFG+∠FEG=90°− ∠A，
2
1
∴∠BGE=90°− ∠A；
2
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠FEH=∠EHC，
∵GH是∠FEG的平分线，
∴∠FEH=∠HEG，
∴∠HEG=∠EHC，180°−∠C
∴∠EHG= ，
2
∵BG平分∠ABC，
1
∴∠GBC= ∠ABC，
2
180°−∠C 1 180°−∠C−∠ABC 1
∴∠BGE=∠EHG−∠GBC= − ∠ABC= = ∠A．
2 2 2 2
11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．
（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求∠BPC的度数；
（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P ,P ，求∠BP C,∠BP C的度数；
1 2 1 2
（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P ,P ,…P ，则∠BP C=________（结果用含n的
1 2 n−1 1
式子表示），∠BP C= ________（1≤k≤n−1，k为整数，结果用含n和k的式子表示）
k
【思路点拨】
（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出
∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出
∠P BC+∠P CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
2 2
（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出
∠P ❑ BC+∠P ❑ CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
n −1 n −1
【解题过程】
（1）解：∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB
2 2
1 1
∴∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB
2 21
= (∠ABC+∠ACB)
2
=60°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=120°，
故答案为：120°．
（2）∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P ，P ，
1 2
1 1
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CB= ∠ACB
1 3 1 3
1 1
∴∠P BC+∠P CB= ∠ABC+ ∠ACB
1 1 3 3
1
= (∠ABC+∠ACB)
3
=40°，
∴ ∠BP C =180°−(∠P BC+∠P CB)=140°
1 1 1
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P ，P ，
1 2
2 2
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CB= ∠ACB
2 3 2 3
2 2
∴∠P BC+∠P CB= ∠ABC+ ∠ACB
2 2 3 3
2
= (∠ABC+∠ACB)
3
=80°，
∴ ∠BP C= 180°−(∠P BC+∠P CB)=100°
2 2 2
（3）∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°
∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点P ，P ，……，P
1 2 n−1
1 1
∴ ∠P BC= ∠ABC,∠P CB= ∠ACB
1 n 1 n
1 120°
∴ ∠BP C=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°−
1 n n
n−1 n−1
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CB= ∠ACB
n−1 n n−1 nn−1 n−1
∴∠P BC+∠P CB= ∠ABC+ ∠ACB
n−1 n−1 n n
n−1
= (∠ABC+∠ACB)
n
n−1
= ×120°
n
k
∴∠P BC+∠P CB= (∠ABC+∠ACB)
k k n
k
∴ ∠BP C= 180°−(∠P BC+∠P CB)=180°− ×120°
k k k n
120° k
故答案为：180°− ，180°− ×120°．
n n
12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．
【探究】
（1）如图1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°
；
（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则
∠AFB=______；（用α,β表示）
（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，α,β应该满足怎
样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所
在的直线交于点F，则∠AFB与α,β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
【思路点拨】
探究：（1）由四边形内角和定理求出∠DAB+∠ABC，由角平分线的定义得出
1 1
∠FAB= ∠DAB,∠FBE= ∠CBE，由三角形外角的性质得出∠F=∠FBE−∠FAB，通过等量代
2 2
换即可求解；1
（2）同（1）可得∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD，∠F= (180°−∠ABC−∠DAB)，
2
通过等量代换即可求解；
（3）根据AG∥BH，可得∠GAB=∠HBE，结合角平分线的定义可得∠DAB=∠CBE，进而证明
AD∥BC，∠ADC+∠BCD=α+β=180°；
挑战：画出图形，参照“探究”中的方法，即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵ ∠ADC=110°,∠BCD=120°，
∴ ∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD=360°−110°−120°=130°，
∵ ∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，
1 1
∴ ∠FAB= ∠DAB,∠FBE= ∠CBE，
2 2
∵ ∠F+∠FAB=∠FBE，
∴
1 1 1 1
∠F=∠FBE−∠FAB= ∠CBE− ∠DAB= (180°−∠ABC−∠DAB)= ×(180°−130°)=25°
2 2 2 2
，
故答案为：25；
1
（2）由（1）得∠DAB+∠ABC=360°−∠ADC−∠BCD，∠F= (180°−∠ABC−∠DAB)，
2
1 1 1 1
∴ ∠F= (180°−360°+∠ADC+∠BCD)= (180°−360°+α+β)= α+ β−90°，
2 2 2 2
1 1
故答案为： α+ β−90°；
2 2
（3）若AG∥BH，则α+β=180°，证明如下：
∵ AG∥BH，
∴ ∠GAB=∠HBE，
∵ AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴ ∠DAB=2∠GAB,∠CBE=2∠HBE，
∴ ∠DAB=∠CBE，
∴ AD∥BC，
∴ ∠ADC+∠BCD=α+β=180°；1 1
挑战：如图4，∠AFB=90°− α− β，证明如下：
2 2
∵ AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
1 1
∴ ∠MAB= ∠DAB,∠NBE= ∠CBE，
2 2
∵ ∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∠ADC=α,∠BCD=β，
∴ ∠DAB+∠ABC=360°−α−β，
∴ ∠DAB+180°−∠CBE=360°−α−β，
∴ ∠DAB−∠CBE=180°−α−β，
∵ ∠ABF=∠NBE，∠MAB=∠F+∠ABF，
∴ ∠MAB=∠AFB+∠NBE，
∴ ∠AFB=∠MAB−∠NBE
1 1
= ∠DAB− CBE
2 2
1
= (∠DAB−180°+∠ABC)
2
1
= (360°−α−β−180°)
2
1 1
=90°− α− β．
2 2
13．（2024上·广东肇庆·八年级校考期末）【问题】
如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=____________；
若∠A=a°，则∠BEC=____________．【探究】
（1）如图②，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则
∠BEC=____________；
（2）如图③，O是∠ABC与外角的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明
理由；
（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关
系？请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关
键；
问题：利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可
求出∠BEC；
探究：（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求出∠EBC+∠ECB
，即可求出∠BEC；
（2）由三角形外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠BOC+∠1，再根据角平分线的定义可得
∠ABC=2∠1， ∠ACD=2∠2，代入∠A+∠ABC=∠ACD即可求解；
1 1
（3）根据角平分线的定义可得∠OBC=90°− ∠ABC，∠OCB=90°− ∠ACB，进而得到
2 2
1
∠BOC= (∠ABC+∠ACB)，再根据三角形内角和定理即可求解．
2
【解题过程】
解：问题：若∠A=82°，
则∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−82°=98°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴ ∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= ×98°=49°，
2 2
∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°−49°=131°，
故答案为：131°；
若∠A=α°，
则∠ABC+∠ACB=180°−α°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
1 1
∴ ∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−α°)=90°− α°，
2 2 2
( 1 ) 1
∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°− 90°− α° =90°+ α°，
2 2
1
故答案为：90°+ α°；
2
（1）如图2，∵∠A=α°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−α°，
∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，
2 2
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB，
3 3
2 2 2
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−α°)=120°− α°，
3 3 3
( 2 ) 2
∴∠BEC=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°− 120°− α° =60°+ α°，
3 3
2
故答案为：60°+ α°；
3
1
（2）∠BOC= ∠A．
2
理由：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠BOC+∠1，
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC=2∠1， ∠ACD=2∠2，
∴∠A+∠ABC=∠ACD=2(∠BOC+∠1)=2∠BOC+2∠1=2∠BOC+∠ABC ，
∴∠A=2∠BOC；
1
（3）∠BOC=90°− ∠A．
2
理由：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，
1 1
∴∠OBC= (180°−∠ABC)=90°− ∠ABC，
2 2
1 1
∠OCB= (180°−∠ACB)=90°− ∠ACB，
2 2
在△OBC中，∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB
( 1 ) ( 1 )
=180°− 90°− ∠ABC − 90°− ∠ACB ，
2 2
1
= (∠ABC+∠ACB)，
2
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
1 1
∴∠BOC= (180°−∠A)=90°− ∠A．
2 2
14．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．
（1）若∠A=30°，求∠BPC的度数；
（2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明；
（3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【思路点拨】
（1）根据∠A=30°，得出∠ABC+∠ACB=180°−30°=150°，根据角平分线定义得出
1 1 1 1
∠CBP= ∠ABC，∠BCP= ∠ACB，求出∠CBP+∠BCP= ∠ABC+ ∠ACB=75°，根据三
2 2 2 2
角形内角和定理求出结果即可；
1 1
（2）根据角平分线定义得出∠CBP= ∠ABC，∠CBQ= ∠CBM，根据
2 2
1 1 1 1
∠CBP+∠CBQ= ∠CBM+ ∠ABC= (∠CBM+∠ABC)= ×180°=90°，得出∠PBQ=90°，
2 2 2 2
同理得出∠PCQ=90°，根据四边形内角和求出∠BPC+∠Q=360°−∠PBQ−∠PCQ=180°即可；
（3）先证明∠A=2∠E， 根据∠EBQ=90°，得出∠E+∠Q=90°，分四种情况：当
∠EBQ=3∠E=90°，∠EBQ=3∠Q=90°，∠Q=3∠E，∠E=3∠Q时，分别求出结果即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°−30°=150°，
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
1 1
∴∠CBP= ∠ABC，∠BCP= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠CBP+∠BCP= ∠ABC+ ∠ACB=75°，
2 2
∴∠BPC=180°−(∠CBP+∠BCP)=105°；
（2）解：∠BPC+∠Q=180°；理由如下：
∵BP、BQ分别平分∠ABC、∠CBM，
1 1
∴∠CBP= ∠ABC，∠CBQ= ∠CBM，
2 2
1 1 1 1
∴∠CBP+∠CBQ= ∠CBM+ ∠ABC= (∠CBM+∠ABC)= ×180°=90°，
2 2 2 2
即∠PBQ=90°，
同理得：∠PCQ=90°，
∴∠BPC+∠Q=360°−∠PBQ−∠PCQ=180°；
（3）解：如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，
根据解析（2）可知：∠EBQ=90°，∴∠E+∠Q=90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
若∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，
∴∠A=2∠E=60°；
若∠EBQ=3∠Q=90°，则∠Q=30°，
∴∠E=60°，
∴∠A=2∠E=120°；
若∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，
∴∠A=45°；
若∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，
∴∠A=135°；
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
15．（2023上·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．
（1）如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论
（提示：过点A作AG⊥BC于G）；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系是
______．（直接写出结论，不需证明）
【思路点拨】
1
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD= ∠BAC，∠CAE=90°−∠C，进而得
2
1
出∠DAE= (∠C−∠B)，由此即可解决问题；
2
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠≝¿，依据（1）中结论即可得到1
∠≝= (∠C−∠B)；
2
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG=∠≝¿，依据（1）中结论即可得到
1
∠≝= (∠C−∠B)不变．
2
【解题过程】
（1）解：如图1所示：
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠CAD= ∠BAC，
2
∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°−∠C，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE
1
= ∠BAC−(90°−∠C)
2
1
= (180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)
2
1 1
= ∠C− ∠B
2 2
1
= (∠C−∠B)，
2
∵∠B=35°，∠C=65°，
1
∴∠DAE= (65°−35°)=15°；
2
1
（2）解：结论∠≝= (∠C−∠B)．
2
理由如下：过A作AG⊥BC于G，如图2所示：∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠≝¿，
1
由（1）可得∠DAG= (∠C−∠B)，
2
1
∴∠≝= (∠C−∠B)；
2
（3）解：结论仍成立．
过A作AG⊥BC于G，如图3所示：
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG=∠≝¿，
1
由（1）可得∠DAG= (∠C−∠B)，
2
1
∴∠≝= (∠C−∠B)，
2
1
故答案为：∠≝= (∠C−∠B)．
2
16．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）李强将一个含有30°角的三角板ABC（∠A=30°，
∠C=90°，∠B=60°）放置在互相平行的直线MN和PQ所在的平面内，请探究一下问题：
（1）将三角板ABC如图1放置，BC交MN于点E，AC交PQ于点F，AB分别交MN、PQ于点D、G.①写出∠NEC与∠QFC的数量关系 ；
②写出∠NEB与∠QGB的数量关系 ；
（2）如图2，K为AC上一点，连点EK，若∠NEC=∠KEC，试探究∠MEK与∠PFA之间的关系，并
说明理由.
1
（3）旋转三角板ABC至如图3所示位置，K为AC上一点，连DK，若∠ADM= ∠ADK，则
5
∠NDK
= .
∠QFC
【思路点拨】
（1）根据三角形的外角的性质得出∠GDE=60°+∠NEC，60°+∠NEC+30°+∠QFC=180°进而即
可求解；②根据∠NEB=60°+∠BDE；∠BDE=∠QGB，即可求解；
（2）设∠MEK=∠1，∠PFA=∠2，∠NEC=∠3=∠CEK=∠4，得出∠1=2∠2
（3）根据平行线的基本性质，角度的关系和已知条件即可求解．
【解题过程】
（1）①∵∠NEC=∠BED；
∵∠GDE=60°+∠BED；
∴∠GDE=60°+∠NEC；
∵∠AGF=60°+∠NEC；
∵∠AGF+30°+∠GFA=180°；
∵∠GFA=∠QFC；
∴60°+∠NEC+30°+∠QFC=180°；
∴∠NEC+∠QFC=90°；
②∵∠NEB=60°+∠BDE；∠BDE=∠QGB；
∴∠NEB−∠QGB=60°；
（2）设∠MEK=∠1，∠PFA=∠2，∠NEC=∠3=∠CEK=∠4；∵∠1+∠4=60°+∠BDE；
∵∠BDE=∠BGF=30°+∠2；
∴∠1+∠4=∠2+90°；
∴2∠1+2∠4=2∠2+180°；
∵∠1+∠4+∠3=∠1+2∠4=180°；
∴∠1=2∠2，
∴∠MEK与∠PFA之间的关系为：
∠MEK=2∠PFA；
（3）设∠ADM=∠1，∠ADK=∠2，∠NDK=∠3，∠QFC=∠4；
∵∠BDE=∠1；
∴∠1+60°=∠DEC；
∵MN∥PQ，
∴∠DEC=∠FGC，
∴∠4+∠DEC=∠4+∠FGC=90°；
∴∠1+∠4=30°；
∵∠2=5∠1；
∵∠1+∠2+∠3=180°；
∴∠3+6∠1=180°；
∴∠3=6∠4；∠NDK
∴ =6．
∠QFC
17．（2023上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）定义：如果三角形的两个内角α与β满足
α+2β=100°，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶
点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角
形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”．
理解概念：
（1）如图①，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“微妙三角形”；
概念应用：
（2）若△ABC为“微妙三角形”，且∠C=80°．试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如图②，在△ABC中，若∠A=40°，BD平分∠ABC，且BD是△ABC的“微妙分割线”，请直接
写出∠ABC的度数．
【思路点拨】
（1）由三角形内角和定理可得∠A+∠ABC=100°，由角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD，从而
推出∠A+2∠ABD=100°，最后由“微妙三角形”的定义即可得出答案；
（2）由三角形内角和定理可得∠A+∠B=100°，由微妙三角形”的定义可得∠C+2∠B=100°或
∠C+2∠A=100°，从而推出∠B=10°或∠A=10°，分别进行计算即可得到答案；
（3）分情况讨论：当△ABD为“微妙三角形”或当△ACD为“微妙三角形”，根据“微妙三角形”的定
义进行计算即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：在△ABC中，∵∠C=80°，
∴∠A+∠ABC=100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，即∠A+2∠ABD=100°，
∴△ABD为“微妙三角形”；
（2）解：△ABC是直角三角形，
理由：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠B=100°，
∵△ABC为“微妙三角形”，
∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，
∴∠B=10°或∠A=10°，
当∠B=10°时，∠A=90°，△ABC是直角三角形，
当∠A=10°时，∠B=90°，△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形；
（3）解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∵ BD是△ABC的“微妙分割线”，
∴ △ABD为“微妙三角形”或△ACD为“微妙三角形”，
当△ABD为“微妙三角形”时，则∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=100°，
当∠A+2∠ABD=100°时，40°+2∠ABD=100°，
解得：∠ABD=30°，
∴∠ABC=2∠ABD=60°；
当2∠A+∠ABD=100°时，2×40°+∠ABD=100°，
解得：∠ABD=20°，
∴∠ABC=2∠ABD=40°；
当△ACD为“微妙三角形”时，则2∠C+∠CBD=100°或2∠CBD+∠BDC=100°或
∠CBD+2∠BDC=100°，
当2∠C+∠CBD=100°①时，
∵∠C+2∠CBD=180°−∠A=140°，
∴∠C=140°−2∠CBD②，
∴由①②得：∠CBD=60°，
∴∠ABC=2∠CBD=120°；
当2∠CBD+∠BDC=100°时，
∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠CBD+40°，
∴2∠CBD+∠CBD+40°=100°，
∴∠CBD=20°，
∴∠ABC=2∠CBD=40°；
当∠CBD+2∠BDC=100°时，
∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠CBD+40°，∴∠CBD+2(∠CBD+40°)=100°，
(20)
∴∠CBD= °，
3
(40)
∴∠ABC=2∠CBD= °，
3
(40)
综上所述：∠ABC的度数为40°或60°或 °或120°．
3
18．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的
问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
（1）【问题再现】
如图（1），若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平
分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D= °
（2）【问题推广】
①如图（2），若∠MON=α(0°<α<180°)，（1）中的其余条件不变，则∠D= °（用含α的代数式表
示）
②如图（2），∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E
1
是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D= α，则AE是
2
△OAB的角平分线吗？请说明理由；
（3）【拓展提升】
1 1
如图（3），若∠NBC= ∠ABN，∠DAO= ∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系（用含m的代数
m m
式表示），并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用三角形外角的性质可得∠ABN=90°+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定
理，求解即可；
（2）①利用三角形外角的性质可得∠ABN=∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角1
和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出∠BAD= ∠OAB，即可求
2
解；
（3）利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可．
【解题过程】
（1）解：由三角形外角的性质可得∠ABN=90°+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=90°，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
1 1
∴∠BAD= ∠OAB，∠CBN= ∠ABN，
2 2
1
∴∠DBO=∠CBN= (90°+∠OAB)，
2
1
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO= (90°+∠OAB)+∠OBA，
2
1 1
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°− (90°+∠OAB)−∠OBA− ∠OAB=180°−135°=45°
2 2
故答案为：45°
（2）①由三角形外角的性质可得∠ABN=α+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=180°−α，
∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线，
1 1
∴∠BAD= ∠OAB，∠CBN= ∠ABN，
2 2
1
∴∠DBO=∠CBN= (α+∠OAB)，
2
1
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO= (α+∠OAB)+∠OBA，
2
1 1 1
∴∠D=180°−∠DBA−∠BAD=180°− (α+∠OAB)−∠OBA− ∠OAB= α，
2 2 2
1
故答案为： α；
2
②是，理由如下：
由三角形外角的性质可得∠ABN=α+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=180°−α，
∵BC是∠ABN的平分线，1
∴∠CBN= ∠ABN，
2
1
∴∠DBO=∠CBN= (α+∠OAB)，
2
1
∴∠DBA=∠DBO+∠ABO= (α+∠OAB)+∠OBA，
2
∴∠BAD=180°−∠D−∠DBA
1 1
=180°− (α+∠OAB)−∠OBA− α，
2 2
1
=∠OAB+∠OBA− ∠OAB−∠OBA
2
1
= ∠OAB，
2
∴AE是△OAB的角平分线；
( 1)
（3）∠D= 1− ∠O，理由如下：
m
由三角形外角的性质可得∠ABN=∠O+∠OAB，
由题意可得：∠OAB+∠OBA=180°−∠O，
1 1
∴∠DBO=∠NBC= ∠ABN= (∠O+∠OAB)，
m m
1
∴∠DBA= (∠O+∠OAB)+∠OBA，
m
1
∵∠DAO= ∠BAO，
m
1
∴∠BAD=∠BAO−∠DAO=∠BAO− ∠BAO，
m
由三角形内角和定理可得：
∠D=180°−∠DBA−∠BAD
1 ( 1 )
=180°− (∠O+∠OAB)−∠OBA− ∠BAO− ∠BAO
m m
( 1)
= 1− ∠O，
m
( 1)
即∠D= 1− ∠O．
m
19．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三
角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是50°、100°、30°，这个三角
形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角
形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ．
（2）如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端
点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度
数．
（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且
∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．
【思路点拨】
（1）由“优雅三角形”的定义可得另两个角之和为60°，即可求解；
1
（2）①当“优雅角”为60°时，可求另一个角为 ×60°=30°，可求∠ACO=90°，即可求解；②当另
2
两个角中有“优雅角”时，另两个角分别为：40°，80°，即可求解；
1
（3）解：可证EF∥BC，∠≝=∠EDF，①当∠C=α，∠ADC= α时，∠FED=∠EDF=α，
2
1 1 1 3
∠ADB=180°− α，∠EDF=90°− α，即可求解；②当∠C=α，∠DAC= α时，∠ADB= α
2 4 2 2
3 1 3
，∠EDF= α，即可求解；③当∠ADC=α，∠DAC= α时，可求∠≝=∠C=180°− α
4 2 2
1 1 1
∠EDF=90°− α，即可求解；④当∠ADC=α，∠C= α时，可求∠≝=∠C= α，
2 2 2
1 1 3
∠EDF=90°− α，即可求解；⑤当∠DAC=α，∠ADC= α，可求∠≝=∠C=180°− α，
2 2 21 1 1 1 3
∠EDF=90°− α，⑥当∠DAC=α，∠C= α时，∠≝=∠C= α，∠EDF= ∠ADB= α，即
4 2 2 2 4
可求解．
【解题过程】
（1）解：由题意得
∵一个“优雅三角形”的一个内角为120°，
∴另两个角之和为：180°−120°=60°，
∵“优雅角”为锐角，
∴“优雅角”为40°，另一个角为20°．
（2）解：∵ AB⊥OM交ON于点B，
∴∠MOB=90°，
∵∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，
①当“优雅角”为60°时，
1
∴另一个角为 ×60°=30°，
2
∴∠ACO=180°−90°=90°，
∴∠ACB=90°；
②当另两个角中有“优雅角”时，
∴另两个角之和为120°，
∴根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：40°，80°，
当∠ACO=80°时，∠ACB=100°，
当∠ACO=40°，∠ACB=140°．
综上所述：∠ACB的度数为90°或100°或140°．
（3）解：∵∠AFE+∠ADC=180°，
∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠ADC=∠EFD，
∴EF∥BC，
∴∠≝=∠BDE，
∵ DE平分∠ADB交AB于点E，
∴∠BDE=∠EDF，
∴∠≝=∠EDF，
∵△ADC是“优雅三角形”，1
①当∠C=α，∠ADC= α时，
2
∴ ∠FED=∠EDF=α，
1
∠ADB=180°− α，
2
1 1( 1 )
∴∠EDF= ∠ADB= 180°− α
2 2 2
1
=90°− α，
4
1
∴ 90°− α=α，
4
解得α=72°，
故∠C=72°；
1
②当∠C=α，∠DAC= α时，
2
3
∴∠ADB=∠C+∠DAC= α，
2
1 3
∴∠EDF= ∠ADB= α，
2 4
3
∴ α=α，不成立，
4
故此情况不存在；
1
③当∠ADC=α，∠DAC= α时，
2
∴∠ADB=180°−α，
3
∠≝=∠C=180°− α，
2
1 1
∴∠EDF= ∠ADB=90°− α，
2 2
3 1
∴ 180°− α=90°− α，
2 2
解得α=90°，
3
∴∠C=180°− ×90°=45°；
2
1
④当∠ADC=α，∠C= α时，
2∴∠ADB=180°−α，
1
∠≝=∠C= α，
2
1 1
∴∠EDF= ∠ADB=90°− α，
2 2
1 1
∴ α=90°− α，
2 2
解得α=90°，
1
∴∠C= ×90°=45°；
2
1
⑤当∠DAC=α，∠ADC= α时，
2
1
∴∠ADB=180°− α，
2
3
∠≝=∠C=180°− α，
2
1 1
∴∠EDF= ∠ADB=90°− α
2 4
3 1
∴180°− α=90°− α，
2 4
解得：α=72°，
3
∴∠C=180°− ×72°=72°；
2
1
⑥当∠DAC=α，∠C= α，
2
3
∴∠ADB= α，
2
1
∠≝=∠C= α，
2
1 3
∴∠EDF= ∠ADB= α
2 4
1 3
∴ α= α，不成立，
2 4
综上所述，∠C的度数为：45°，72°．
20．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若
∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，若∠C的三分线CD交AB于点D，则
∠BDC=________．
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，
求∠A的度数．
（3）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线
所在的直线交于点P．若∠A=m，∠B=n，并且m>n．直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式
表示）
【思路点拨】
（1）分两种情况讨论，结合三角形外角的性质，分别求解即可；
（2）根据题意，求得∠ABC+∠ACB=135°，即可求解；
（3）根据“三分线”的定义，分四种情况，分别画图求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠A=70°，∠B=50°
∴∠ACB=60°
1
当CD是“邻AC三分线”时，∠ACD= ∠ACB=20°，
3
∠BDC=∠A+∠ACD=90°；
2
当CD是“邻BC三分线”时，∠ACD= ∠ACB=40°，
3
∠BDC=∠A+∠ACD=110°；
故答案为：90°或110°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线
2 2
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB
3 3
∵BP⊥CP
∴∠P=90°，即∠PBC+∠PCB=90°2 2
∴ ∠ABC+ ∠ACB=90°
3 3
∴∠ABC+∠ACB=135°
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=45°；
（3）分4种情况进行画图计算：
如下图，当BP和CP分别是邻AB三分线、邻AC三分线时，
2 1
∠PBC= ∠ACB，∠PCA= ∠ACD
3 3
1
∴∠PCB=∠ACB+∠PCA=∠ACB+ ∠ACD
3
∵∠ACD=∠A+∠ABC
1 1 1
∴∠PCB=∠ACB+ (∠A+∠ABC)=∠ACB+ ∠A+ ∠ABC
3 3 3
2 1 1
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°− ∠ABC−∠ACB− ∠A− ∠ABC
3 3 3
1 2 2
=∠A− ∠A= ∠A= m；
3 3 3
2
即∠BPC= m；
3
如下图，当BP和CP分别是邻BC三分线、邻CD三分线时，
1 2
∠PBC= ∠ACB，∠PCA= ∠ACD
3 3
2
∴∠PCB=∠ACB+∠PCA=∠ACB+ ∠ACD
3
∵∠ACD=∠A+∠ABC2 2 2
∴∠PCB=∠ACB+ (∠A+∠ABC)=∠ACB+ ∠A+ ∠ABC
3 3 3
1 2 2
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°− ∠ABC−∠ACB− ∠A− ∠ABC
3 3 3
2 1 1
=∠A− ∠A= ∠A= m；
3 3 3
1
即∠BPC= m；
3
如下图，当BP和CP分别是邻BC三分线、邻AC三分线时，
1 1
∠PBC= ∠ACB，∠PCA= ∠ACD
3 3
1
∴∠PCB=∠ACB+∠PCA=∠ACB+ ∠ACD
3
∵∠ACD=∠A+∠ABC
1 1 1
∴∠PCB=∠ACB+ (∠A+∠ABC)=∠ACB+ ∠A+ ∠ABC
3 3 3
1 1 1
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°− ∠ABC−∠ACB− ∠A− ∠ABC
3 3 3
2 1 1 1 1 1
=∠A− ∠A+ ∠ABC= ∠A+ ∠ABC= m+ n；
3 3 3 3 3 3
1 1
即∠BPC= m+ n；
3 3
如下图，当BP和CP分别是邻AB三分线、邻CD三分线时，且m>n
2 2
∠PBC= ∠ACB，∠PCA= ∠ACD
3 32
∴∠PCB=∠ACB+∠PCA=∠ACB+ ∠ACD
3
∵∠ACD=∠A+∠ABC
2 2 2
∴∠PCB=∠ACB+ (∠A+∠ABC)=∠ACB+ ∠A+ ∠ABC
3 3 3
2 2 2
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°− ∠ABC−∠ACB− ∠A− ∠ABC
3 3 3
2 1 1 1 1 1
=∠A− ∠A− ∠ABC= ∠A− ∠ABC= m− n；
3 3 3 3 3 3
1 1
即∠BPC= m− n；
3 3
2 1 1 1 1 1
综上，∠BPC= m或∠BPC= m− n或∠BPC= m+ n或∠BPC= m．
3 3 3 3 3 3
