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专题 13.3 等边三角形中的几何综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．
2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．
3．等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．
◆ 典例分析
【典例1】△ABC为等边三角形，在△ABC外作射线AP，D为射线AP上一点，连接CD，在平面内有一
点E，满足CE=CD．（1）如图1，连接BD，若点E恰好在BD上，且∠DCE=60∘，求∠ADB的度数；
（2）如图2，连接ED，若∠DCE=120∘，且DE恰好过BC边的中点M，求证：DM=EM+AD；
（3）如图3，若∠CAP=40∘，∠DCE=120∘，连接BE，当线段BE的长度最小时，在射线BE上取一点
F，在边BC上截取CG=BF，连接AF、AG，则当AF+AG的值最小时，请直接写出∠FAC的度数．
【思路点拨】
（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据CE=CD，
∠DCE=60∘，可知△DCE为等边三角形，利用公共角，证得∠1=∠3，再证△ADC≌△BEC，得到
∠ADC=∠BEC，∠BEC=180°−∠DEC=120°，由此可得∠ADC度数，
∠ADB=∠ADC−∠EDC ，即得解；
（2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．
要证DM=EM+AD，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在ED上取
点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，证明△BMN≌△CME，再证△ABN≌△ACD，最后证明
△∧¿为等边三角形，即得证；
（3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点E的运动轨迹，找到何时线段BE最短，然后构造三
角形，确定何时AF+AG的值最小．以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，证明
△ACD≌△MCE，得到∠CME=40°，即得当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，
且满足∠CME=40°，由此得到当BE⊥EM时，线段BE最短．要证明两条线段AF+AG的最小值，通
常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF，且
CN=AB，连接NG，证明 △ABF≌△NCG，得到AF=NG，由此，只需求AF+AG=AF+NG的值最
小，由图可知当A,G,N三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和180°，求角即可．
【解题过程】
（1）解：如图，
∵ CE=CD，∠DCE=60∘，
∴ △DCE为等边三角形，
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠2+∠3=∠ACB=60∘，∵ ∠1+∠2=∠DCE=60∘，
∴ ∠1=∠3，
{∠1=∠3
)
∵ CD=CE ，
AC=BC
∴ △ADC≌△BEC，
∴ ∠ADC=∠BEC，
∵ ∠DEC=60∘，
∴ ∠BEC=120∘，
∴ ∠ADC=∠BEC=120∘，
∴ ∠ADB=∠ADC−∠EDC=120∘−60∘=60∘．
故∠ADB=60∘．
（2）解：在ED上取点N，使得MN=EM，连接NC、BN、AN，如图所示，
∵ M为BC边的中点
∴ BM=MC，
{
BM=MC
)
∵ EM=MN
∠BMN=∠CME
∴ △BMN≌△CME，
∴ BN=CE=CD，∠NBM=∠ECM，
∵ ∠DCE=120°，∠ABC=∠ACB=60°，
∴ ∠ABN=∠ABC−∠NBM=60°−∠NBM，
∠ACD=∠DCE−∠ACB−∠ECM=120°−60°−∠ECM=60°−∠ECM，
∴ ∠ABN=∠ACD
{
AB=AC
)
∵ ∠ABN=∠ACD ，
BN=CD
∴ △ABN≌△ACD，∴ AN=AD，∠BAN=∠CAD，
∵ ∠BAN+∠NAC=∠BAC=60°，
∴ ∠CAD+∠NAC=∠NAD=60°，
∴ △∧¿为等边三角形，
∴ AD=AN=ND，
∴ DM=DN+MN=AD+EM
故 DM=EM+AD，
（3）解：以BC为边向下作等边三角形△BCM，连接ME，如图所示，
∵ △ABC和△BCM都是等边三角形，
∴ AC=BC=MC，
∵ ∠DCE=120°，∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−∠BCE，
∴ ∠ACD=∠DCE−∠ACE=120°−(60°−∠BCE)=60°+∠BCE，
∵ ∠MCE=∠MCB+∠BCE=60°+∠BCE，
∴ ∠ACD=∠MCE，
{
AC=MC
)
∵ ∠ACD=∠MCE ，
CE=CD
∴ △ACD≌△MCE，
∴ ∠CME=∠CAD=∠CAP=40°，
∴ 当点D在射线AP上运动时，点E的运动轨迹是在直线ME上，且满足∠CME=40°，
∴ 当线段BE的长度最小时，即过点B向直线ME作垂线，E为垂足，
即BE⊥EM， ∠BEM=90°，
∵ ∠CME=40°，∠BMC=60°，
∴ ∠EMB=∠BMC−∠CME=60°−40°=20°，
∴ 在Rt△BEM中，∠MBE=90°−∠EMB=90°−20°=70°，又∵ ∠MBC=60°，
∴ ∠EBC=∠MBE−∠MBC=70°−60°=10°，
∴ ∠ABF=∠ABC−∠EBC=60°−10°=50°，
以点C为顶点，作∠BCN=∠ABF=50°，且CN=AB，连接NG，如图所示，
{
CN=AB
)
∵ ∠BCN=∠ABF ，
CG=BF
∴ △ABF≌△NCG，
∴ AF=NG，
∴ AF+AG=AF+NG，
连接AN交射线BE于点O，在△AGN中，
∵ AF+NG≥AN，
∴ 当A,G,N三点共线时，AF+AG=AF+NG的值最小，如图所示，
此时，∵ CN=AB=AC，
∴ △ACN为等腰三角形，又∠ACN=∠ACB+∠BCN=60°+50°=110°，
∴ ∠CAN=∠CNA=35°，在△NCG中，∠NGC=180°−∠ANC−∠BCN=180°−35°−50°=95°，
∴ ∠BGO=∠NGC=95°，
在△BOG中，∠BOG=180°−∠EBC−∠BGO=180°−10°−95°=75°，
∴ ∠AOF=∠BOG=75°，
又∵ △ABF≌△NCG（前面已证），
∴ ∠BAF=∠CNG=35°，
在△ABF中，∠AFB=180°−∠BAF−∠ABF=180°−35°−50°=95°，
∴ 在△AOF中，∠OAF=180°−∠AOF−∠AFB=180°−75°−95°=10°，
∴ ∠FAC=∠NAC−∠OAF=35°−10°=25°，
故当AF+AG的值最小，∠FAC=25°．
◆ 学霸必刷
1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，
∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD分别交CD，
BD于点P，H，则下列结论正确的是（ ）
①∠BAC=4∠ADC；②DF=AH；③BH=PF；④∠DAP=∠CGB；⑤BC=CG．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤
2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，
AD=CD，且∠DAC=30°，点E为AD上一点，点F为CD上一点，且∠EBF=30°．下列结论：①
BE=BF；②EF=AE+CF；③∠AEF=2∠ANB；④EF∥AC．其中正确结论的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段BD上一点，分别以BC,CD为边在BD同侧作等
AF+FC
边△ABC和等边△CDE，连BE,AD交于点F，若BC=3,CD=6，则 的值为（ ）
FE+FC
1 3 9
A．2 B． C． D．
2 2 2
4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别
作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以
下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB=60°．其中正确
的结论有（ ）
A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF=b，点D
在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ．6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D在AB上，CD=14，
∠BDC=60°，延长CB至点E，使CE=AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG=AD，
则DF= ．
7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=BC=8,D
为AC边上一点，AD=2,E为BC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的左侧作等边△≝¿，连接
AF，则AF的最小值为 ．（提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为
边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点
P，则PA、PB、PC、PD中某三条线段存在等量关系是 ．
9．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，点D是等边△ABC中BC边的中点，点E，F分别在AB，AC
边上，且∠EDF=120∘，若BE=2，CF=3，则△ABC的周长为 ．10．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=BC=18cm，点D在AC上，
CD=8cm．点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动，运动速度均为
5cm/s，两点同时出发，到达终点后停止运动．
（1）当运动2秒时，∠DMN的度数为______．
（2）开始运动几秒时，△BMN是直角三角形？
（3）若点M和点N在到达终点后不停止运动，而是沿着△ABC的三边顺时针继续运动，直到回到出发点
后停止，直接写出：线段MN与△ABC的某一边平行时的时间．11．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB
的延长线上，且ED=EC．
（1）当点E为AB的中点时（如图1），则有AE__________DB（填“>”“<”或“=”）；
（2）如图2，若点E为AB上任意一点，猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，
AE=4，直接写出CD的长．12．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1图2，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，OA=9．
（1）如图1，若∠ABO=30°，求AB的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三角形，QC
的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点
B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．13．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连
接BD，CE，求证：△ABD≌△ACE．
（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，
N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点．
（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针
顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边
△PFH边长的最小值．
14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
ED=EC．（1）如图（1），当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系；AE______DB（填“>”“<”
或“=”）．
（2）如图（2），当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
（3）如图（3）在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，且
ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长．
15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点，且
AD=CE，AE、BD交于点F．（1）如图1，求证：∠BFE=60°；
（2）如图2，过点B作BG⊥AE于点G，过点C作CH∥BD交AE延长线于点H，若F为AG中点，求
证：BF=FH；
（3）如图3，在（2）的条件下K为AB延长线上一点，且∠K+∠ABD=60°，△ABC的面积为6，求
△BEK的面积．
16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：【探究证明】
（1）如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB=60°；
【拓展延伸】
（2）如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，
探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；
【思维提升】
（3）如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC=3CE，直接写
出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：
AP−3PD
① ；
PC
AP+PC+2PD
② ．
BD−PC+PE
17．（2023七年级下·全国·专题练习）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中
∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：① △≝¿是等边三角形；② BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB、AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．
18．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB，BC上，若
BD=EC．（1）如图1，求证：∠AFD=60∘；
（2）如图2，FH为∠AFC的平分线，点H在FM的延长线上，连接HA、HC，
∠AHC+∠AFC=180∘，求证：AF+CF=FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF交CH的延长线于点K，点G在线段AH上，GH=CK，连接
CG交FH于点M，FN=3，AK=8，求FH的长．
19．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交
于点O，点D、E分别在边AB,BC上，且∠DOE=60°，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系．（1）方法探索：
小敏的思路是：如图3，在AB上取一点F，使AF=BE，连接OF．先证明△BOE≌△______，从而OE=
______；继而证明△DOE≌△______，从而DE=______；因此可判断AD、DE、BE三者之间的数量关
系是______；
（2）拓展运用：
如图2，点D在边AB上，点E在CB的延长线上，其它条件不变，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系，
并说明理由．
20．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知△ABC为等边三角形，过点A的射线AM在△ABC的外部，D
为射线AM上的一点，E为平面内的一点，满足BE=BD．（1）如图1，连接CD，若点E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求∠ADC的度数；
（2）如图2，连接DE交BC于点F，若∠DBE=120°，且F恰为BC的中点，求证：DF=AD+EF；
（3）如图3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，连接CE，当线段CE的长度最小时，在射线CE上截取一
点H，在边BC上截取一点I，使CH=BI，连接AH,AI,则当AH+AI的值最小时，请直接写出∠HAB的
度数．
