文档内容
专题 04 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模
型的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点 直线 ， 直线
，垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问
题）
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥ ，CE⊥ ，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在 ABD和 CAE中，
△ △
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2） ，理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在 ADB和 CEA中，
△ △
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
【变式1-1】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到 90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据
AAS可证 DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（△2）易证 DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE +
DE． △
【详解】（1）∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在 DCA和 EAB中
△ △
∴ DCA≌△EAB (AAS)
∴△ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中
心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 _________，推理
依据是___________．进而得到 _________， _________．我们把这个数学模型称为“K字”模型
或“一线三等角”模型；
(2)如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与直线
交于点G．求证：点G是 的中点；
(3)如图3，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，试猜想 和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ， ， ，
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条
件、证明过程及结论是解题关键．
（1）通过证明 ，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答；
（2）作 ，利用“K字模型”的结论可得 ，故可推出
，再证 即可证明结论；
（3）作 ，利用“K字模型”的结论可得 ，进
一步可证 即可求解．
【详解】（1）解：∵过点B作 于点C，过点D作 于点E．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ， ， ．
（2）证明：如图：作 ，
由“K字模型”可得：
∴ ，
，∵ ，
∴ ，
∴ ，即：点G是 的中点．
（3）解： ，理由如下：
如图：作 ，
∵四边形 和 为正方形，
∴ ，
由“K字模型”可得： ，
， ，
，
∴
，
∴ ∴ ．
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例2．问题发现：如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段 ， 为直角边作等腰直角三角形，
， ， ，连接 ， ，线段 ， 之间的数量关系为______；位置关系
为_______．
拓展探究：如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间的关系是
否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现： ， ；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证 ，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵ ，
∴ ，
又∵ ,
∴ （SAS），
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ， ；
拓展探究：成立．
理由如下：设 与 相交于点 ，如图1所示：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （SAS），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ， 依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定
和手拉手模型是解决本题的关键．
【变式2-1】如图，在 中， ，在 中， ，连接 ．
试说明： ．
【答案】见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、用SAS证明三角形全等（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， ，
， ， ， ．先根据余角的性质得出 ，再根据“ ”证明三角形全等即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
在 与 中，
所以 ．
【变式2-2】在 中， ，点D是直线 上一点（不与B、C重合），E是 外一点，连
接 ，已知 ， ，连接(1)如图1，点D在线段 上，如果 ，则 ______度：
(2)如图2，当点D在线段 上，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点 在 的延长线上时， ．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
（1）证 即可求解；
（2）证 即可求解；
（3）证 即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∵ ， ，
∴
∵ ， ，
故答案为：
（2）解： ，理由如下：
，
，
又 ，，
即： ，
在 和 中， ，
；
（3）解：（2）中的结论不成立，当点 在 的延长线上时， ．理由如下：
如图所示：
，
，
即： ，
在 和 中， ，
又 ，．
【变式2-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕
点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．
【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；
（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；
（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）首先求出BE的长度，然后利用S •AD•EB即可求解．
AED
△
【详解】解：（1）如图1中，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．
理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S •AD•EB 12×12＝72．
AED
△
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S •AD•EB 2×2＝2．
AED
△
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
一、单选题1．如图， ，点E在 上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明
，再利用 可证明 得到 ，利用三角形内角和定理可证明
，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
如图所示，设 交于O，
∵ ， ，
，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故选：C．
2．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，
则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
【答案】D
【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，
AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S -S -S -S 和
梯形EFHD EFA ABC DHC
△ △ △
面积公式代入求出即可．
【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，
∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积= = =56，∴阴影部分的面积=S -S -S -S
梯形EFHD EFA ABC DHC
△ △ △
=
=32．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图
形的面积转化成规则图形的面积．
二、填空题
3．如图，在 中， ，过点 作 ，且 ，连接 ，若 ，则
的长为 ．
【答案】3
【分析】过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，则 ，然后根据
求 即可．
【详解】解：过点 作 交 延长线于点 ，
则∠DMC=90°=∠ABC，
， ，
， ，
，
，
，
，
，．
故填 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形
证得 成为解答本题的关键．
4．如图，A，C，B三点在同一条直线上， 和 都是等边三角形， ， 分别与 ， 交
于点 ， ，有如下结论：① ；② ；③ ；④ 其中正确结
论的是（填序号） ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定
理是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得 、 ， ，再说明 ，即可证
明 ，即可判断①；然后可得 ，再分别表示出 和 ，即可判定②
正确；求出 ，证明 可判定③；由 可得
，然后结合 可得 ，可判定④．
【详解】解：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∵ ， ，∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，则④正确．
综上，正确结论的是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上， ，过点B作 于点C，过点D作 交于点E．
得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到结论： _____，
_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠ 于点C， 于点E， 与直线 交于
点 ，求证： ．
【答案】(1) ，(2)见解析
【分析】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由 ，得 ，则 ，而 ，即可
证明 ，得 ， ，于是得到问题的答案；
（2）作 于点 ，因为 于点 ， 于点 ，所以
，由（1）得 ，因为 ，所以
，则 ，而 ，即可证明 ，
得 ，所以 ，再证明 ，则 ．
【详解】（1））解： 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）证明：如图2，作 于点 ，
∵ 于点 ， 于点E，
∴ ，
由 ，
同理（1）得 ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
6．（1）如图1，已知 ， ，易得 .如图2，
， ， ，且 ， ，试问 的数量关系，
并写出其证明过程.
（2）如图3，在 中， ， ，点D是直线 上的任意一点（不与点B、C重合），
连接 ，过点D在 的右侧作 ，且 ，连接 ，直接写出 的度数.
【答案】（1） ，证明见解析；（2） 或
【分析】（1）过点 作 于点 ，证明 ， ，推出 ，
，等量代换可得 ；
（2）分三种情况：点D在线段 上，点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上，参照
（1）中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】（1）解： .
证明：过点 作 于点 ，
，
， ，
，在 和 中，
，
，
同理可证， ，
， ，
.
（2）解：当点D在线段 上时，过点E作 ，交 的延长线于点F，
由（1）可知 ，
， ，
，
，
，
，
，
；
当点 在线段 的延长线上时，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
同理可得 ，
， ，
，，
，
，
，即 ；
当点 在线段 的延长线上时，过点 作 于点 ，
同理证得 ，
， ，
，
，
，
，
.
综上可得 的度数为 或
7．【问题发现】（1）如图1， 和 均为等边三角形，点 在同一条直线上，连接 ，
容易发现：线段 ， 之间的数量关系为 ;② 的度数为 ．
【探究发现】（2）如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 在
同一条直线上，连接 ．试探究线段 ， ， 之间的数量关系及 的度数，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3， ， ， ， ，请直接写出 的值．
【答案】（1）① ；② ；（2） , ，见解析；（3）8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系．
（1）根据等边三角形的性质可知 ， ， ，利用 可证
，根据全等三角形的性质可得 、 ；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得 ， ，利用利用 可证 ，根据全
等三角形的性质可得 ，从而可得 ，根据全等三角形对应角相等，可知
，从而可得 ；
（3）过点 作 交 于点 ，由 知 ，根据全等三角形的性质可得
， ，从而可知 ，利用勾股定理可得 ．
【详解】（1）①解： 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
,
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2） , .
理由如下：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中,
∴ ，
∴ ， ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)如图所示，过点A作 交 于点F，
由（2）知 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴ .
8．如图①，在 中， ， ，过点C在 外作直线l， 于点M， 于
点N．
(1)试说明： ；(2)如图②，将（1）中条件改为 （ ）， ，请问（1）中
的结论 是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在 中，点D为 上一点， ， ， ， ，请直接写
出 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 成立，见解析
(3)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是
熟悉一线三等角模型．
（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质得出 ， ，从而根据
，可得 ；
（2）先判定 成立，再说理由，先证明 ，再根据全等三角形的性质得出
， ，结合 ，可得 ；
（3）先证明 ，再根据全等三角形的性质得出 ， ，根据 ，
， ，可求得 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
∴ ，
又 ，
，
， ，
，
；
（2） 成立，
理由： ， ，
，
又∵ ， ，，
， ，
又 ，
；
（3） ， ， ，
，
又 ， ，
，
， ，
， ， ，
．
9．综合与实践
(1)操作判断
飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在 中， ， ，
直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论： ， ， 之间的数
量关系是 ．
(2)开放探究
无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的
条件改为在 中， ，D，A，E三点都在直线l上，并且有 ，其中
为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释．
(3)拓展应用
如图3，过 的边 、 向外作正方形 和正方形 ， 是 边上的高，延长 交
于点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论成立．证明见解析(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）先证明出 ，得出 、 ，再根据线段的和差即可得到数量关系；
（2）证明 ，得出 、 ，再根据线段的和差即可得到数量关系；
（3）如图 ，过点 作 于 ， 的延长线于 ．同（1）可证 、
可得 、 、 ；再证明 可得 ．
【详解】（1）解： 直线 ， 直线 ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
．
故答案为： ；
（2）解：仍然成立，证明如下：
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，．
（3）证明：如图 ，过点 作 于 ， 的延长线于 ．
同（1）可得 ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
．
10．综合与实践：
【问题情境】
(1)八上课本中有这样一道习题：如图1， 和 都是等边三角形，连接 ， ．同学们发现以
下结论： 与 的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2， 和 都是等腰直角三角形， ．若 ， ，则四边形
面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形 中， ， 是 边上一点，连接 ，以 为边向上作等
腰直角三角形 且 ，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等
边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角
形是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质得到 ， ， ，再利用全等三角形 判
定定理证出 ，即可得出结论；
（2）连接 和 交于点 ， 和 交于点 ，利用等腰直角三角形的性质证出 ，得
到 ， ，进而得到 ，得出四边形 面积 ，再利用线
段的性质求出 的最大值，即可求出四边形 面积的最大值；
（3）延长 至 使得 ，连接 ，先证出 ，得到 ，
，再通过证明 得到 ，最后利用线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）解： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
．
故答案为： ．（2）解：如图，连接 和 交于点 ， 和 交于点 ，
和 都是等腰直角三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
又 ，
，
，
四边形 面积 ，
，
，
四边形 面积的最大值是 ．
故答案为： ．
（3）解： ，证明如下：
如图，延长 至 使得 ，连接 ，等腰直角三角形 ，
，
， ， ，
，
， ， ，
，
等腰直角三角形 且 ，
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
．
