文档内容
专题05全等三角形常见七大必考模型专训
【模型目录】
模型一 平移模型
模型二 轴对称模型
模型三 旋转模型
模型四 一线三等角模型
模型五 垂直模型
模型六 手拉手模型
模型七 半角模型
【经典模型一 平移模型】
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，
图②是常见的平移型全等三角线．
【常见模型】
【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC
方向平移得到△DEF．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2 B．48 cm2 C．49 cm2 D．50 cm2【变式训练】
1．（2021春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将 沿 方向平移得到 ，使点 的对应点
恰好落在边 的中点上，点 的对应点 在 的延长线上，连接 ， 、 交于点 ．下列结论
一定正确的是（ ）
A． B． C． D． 、 互相平分
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点 ， ， ， 在一条直线上，若将 的边 沿 方
向平移，平移过程中始终满足下列条件： ， 于点 ， 于点 ，且 ．
则当点 ， 不重合时， 与 的关系是______．
3．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1）， ， ，点C是 上一点，且
， ．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把 沿直线 向左平移，使 的顶点C与B重合，此时第（1）问中 与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
【经典模型二 轴对称模型】
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对
称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．
【常见模型】
【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知 ， ，增加下列条件：① ；②
；③ ；④ ．其中能使 的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练】1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知 ， 与 交于点 ， ，
分别与 ， 交于点 ， ，连接 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·八年级课时练习）在① ，② ，③ 这三个条件中选择一个，
补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，连接 ， ， 与 相交
于点 ．若________________，求证： ．
3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示， 、 分别为 ， 的角平分线，
两线交于点 ．
(1)若 ， ，则 ______ ；
(2)若 ，则 ______ ；
(3)若 ，用 表示的 ，写出详细的步骤（不用写理论依据）；(4) ， ， ， 三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依
据）．
【经典模型三 旋转模型】
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋
转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．
【常见模型】
【例3】（2021秋·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）Rt 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC
外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，在四边形 中， ，
分别是边 上的点，且 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形 中， ， 分别是边 上的点，且
；求证： ，
（3）如图3，在四边形 中， ， 分别是边 延长线上的点，
且 ，写出 之间的数量关系，并证明你的结论．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，如图1，四边形 是正方形， ， 分别在边 、
上，且 ，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的
方法．
(1)在图1中，连接 ，为了证明结论“ ”，小亮将 绕点 顺时针旋转 后解答了
这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当 绕点 旋转到图2位置时，试探究 与 、 之间有怎样的数量关系？3．（2023春·全国·七年级期末）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，
将 ADF绕点A顺时针旋转90°与 ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线
上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长
线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，
CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）
【经典模型四 一线三等角模型】
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．
【常见模型】
【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在 中， ，且 ，直线l经过点A．小华分别过B、C两
点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证 ，此时，线段 、 、 的数量关系为：；
(2)拓展应用：
如图乙， 为等腰直角三角形， ，已知点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．请利用
小华的发现直接写出点A的坐标： ；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰 ， ，且 ，她在直线l上取两点D、E，使得
，请你帮助小华判断（1）中线段 、 、 的数量关系是否变化，若不变，
请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁， 中， ， ，点D、E在直线 上，且 ，请直接
写出线段 、 、 的数量关系．【变式训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）在 中， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ．
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时，求证： ；
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时，试问 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请写出这个
等量关系，不必证明；(3)当直线 绕点C旋转到如图的位置时，试问 、 、 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关
系，不必证明．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ， ，点D在线段 上
运动（D不与B、C重合），连接 ，作 ， 交线段 于E．
(1)当 时， _______ ， _______ ， _______ ；点D从B向C运动时，
逐渐变_______（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时， ，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 的度数，若不可
以，请说明理由．
【经典模型五 垂直模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．
【常见模型】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点
E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（ ）
A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm
【变式训练】
1．（2023·全国·八年级假期作业）如图， ， ， 于点E， 于点D，
， ，则 的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在 中，以 为腰作等腰直角三角形 和等腰直
角三角形 ．连接 为 边上的高线，延长 交 于点N，下列结论：（1）；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有
____________(填序号)．
3．（2023·全国·八年级假期作业）已知， 中， ， ，直线m过点A，且
于D， 于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现 ．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问： 与 、 的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中， 、 、 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证
明）
【经典模型六 手拉手模型】
【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 ．
【常见模型】
（等腰）
（等边）
（等腰直角）
【例6】（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同
一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【变式训练】
1．（2021春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）在 中， ，点 是直线
上一点（不与 、 重合），把线路 绕着点 逆时针旋转至 （即 ），使得 ，
连接 、 ．
(1)如图1，点 在线段 上，如果 ，则 __________度．
(2)如图2，当点 在线段 上，如果 ，则 __________度．
(3)如图3，设 ， ，当点 在线段 上移动时， ， 的数量关系是什么？请说明理
由．(4)设 ， ，当点 在直线 上移动时，请直接写出 ， 的数量关系，不用证明．
2．（2023·内蒙古包头·模拟预测）在 中， ， 为 延长线上一点，点 为线段 ，
的垂直平分线的交点，连接 ， ， ．
(1)如图1，当 时，则 ______°；
(2)当 时，
①如图2，连接 ，判断 的形状，并证明；
②如图3，直线 与 交于点 ，满足 ． 为直线 上一动点．当 的值最大
时，用等式表示 ， 与 之间的数量关系为______，并证明．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在 中， ， ，点O是 中点，
，将 绕点O旋转， 的两边分别与射线 、 交于点D、E．(1)当 转动至如图一所示的位置时，连接 ，求证： ；
(2)当 转动至如图二所示的位置时，线段 、 、 之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【经典模型七 半角模型】
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为
半角模型．
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一
边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线
段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．
【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量
关系为 ．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若
∠MBN＝ ∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，
若∠MBN＝ ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
【变式训练】
1．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中， ， ，E、F
分别是边BC、CD上的点，且 ．求证： ；
（2）如图2，在四边形ABCD中， ， ，E、F分别是边BC、CD上的点，且
，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；
（3）如图3，在四边形ABCD中， ， ，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线
CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把 ABE绕点A逆时针旋转90°至 ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'A△F＝ 度，…… △根据定理，可证： AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF． △
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在 ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S ABC＝14，S ADE＝6，求线段
△ △
BD、DE、EC△围成的三角形的面积．
3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形 中，
， ，E、F分别是边 、 上的点，若 ，可求得 、 、 之
间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 、 延长线上的点，
若 ，判断 、 、 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请
说明理由．【重难点训练】
1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， 为 边上的中线．
(1)按要求作图：延长 到点E，使 ；连接 ．
(2)求证： ．
(3)求证： ．
(4)若 ， ，求 的取值范围．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如
图1，在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长 到M，使得
②连接 ，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关
系．
（2）请你写出图2中 与 的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3， 是 的中线， ， ， ，请直接利用
（2）的结论，试判断线段 与 的数量关系，并加以证明．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN
于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．4．（2022秋·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】
（1）如图①，在四边形 中， ， ，E、F分别是边BC、CD上的点，且
.求证： ；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形 中， ， ，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，
且 ，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数
量关系，并说明理由.
5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：
如图1， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 在
同一条直线上，则 的度数为__________，线段 、 之间的数量关系__________；
（2）拓展探究：
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 、 、 不
在一条直线上，请判断线段 、 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3， 和 均为等腰三角形， ，则直线 和 的夹角为__________．
（请用含 的式子表示）6．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点
直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图 ，已知 中， ， ， 是过 的一条
直线，且 ， 在 ， 的同侧， 于 ， 于 ．
（1）证明： ；（2）试说明： ；
（3）若直线 绕 点旋转到图 位置（此时 ， 在 ， 的异侧）时，其余条件不变，问 与 ，
的关系如何？请证明；
（4）若直线 绕 点旋转到图 位置（此时 ， 在 ， 的同侧）时 其余条件不变，问
与 ， 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．
8．（2020秋·福建三明·八年级统考期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点
D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直
线CE于点F．
（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；
（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；
（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD
的数量关系 ．
9．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰 ABC中，∠BAC＝100°，BD
平分∠ABC，求证BD+AD＝BC． △
10．（2021秋·山东德州·八年级统考期中）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了
以下学习过程：
（1）【探究发现】如图1，在 中，若 平分 ， 时，可以得出 ， 为
中点，请用所学知识证明此结论．
（2）【学以致用】如果 和等腰 有一个公共的顶点 ，如图2，若顶点 与顶点 也重合，
且 ，试探究线段 和 的数量关系，并证明．
（3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点 与顶点 不重合， ，（2）中的
结论还成立吗？证明你的结论
11．（2020秋·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作一条直线 ．
（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于点 如图
（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关系会
发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ， 的关
系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明．
12．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在 中， ， ，直线 经过点
， 于点 ， 于点 ，求证： ．
应用：如图②，在 中， ， 三点都在直线 上，并且有 ．求
出 和 的关系．
拓展：如图①中，若 ，梯形 的面积______．
13．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ．（1）如图①所示，直线 过点 ， 于点 ， 于点 ，且 ．求证：
．
（2）如图②所示，直线 过点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，且 ，
则 是否成立？请说明理由．
14．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使
BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
15．（2023·江苏·八年级假期作业）阅读理解：（1）如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．解决此问题可以用如
下方法：延长 到点 ，使得 ，再连接 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形
三边关系即可判断中线 的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在 中， 是 边上的中点， ， 交 于点 ， 交 于
点 ，连接 ，求证： ．
（3）问题拓展：如图3，在 中， 是 边上的中点，延长 至 ，使得 ，求证：
．
16．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形 中，
， ， ，点E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，
探究线段 之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长 到点G．使 ．连结 ，先证明 ，再证
明 ，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 上的点，且 ，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 延长线
上的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数量关系，并证明．
17．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，在 中， ，点D是线段BC
上一个动点，点F在线段 上，且 ， ．垂足E在 的延长线上．
(1)如图1，当点D与点C重合时，线段 和 的数量关系是______；
(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．
18．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，若 和 均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上， 为 中 边上的高，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
19．（2023春·上海·七年级专题练习）已知 为等腰三角形， ，直线 过点 （不经过
点 ），过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
(1)如图1，当点 位于直线 的同侧时，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 位于直线 的两侧，
①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设 与 交于点 ，当 时，判断 与 是否相等，并说明理由．20．（2023春·全国·七年级期末）已知，在 中， ， 三点都在直线m上，且
．
(1)如图①，若 ，则 与 的数量关系为 ___________， 与 的数量关系为 ___________；
(2)如图②，判断并说明线段 ， 与 的数量关系；
(3)如图③，若只保持 ，点A在线段 上以 的速度由点D向点E运
动，同时，点C在线段 上以 的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为 ．是否存在x，使
得 与 全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
