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专题 04 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模
型的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE； 结论： ，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件： ，AE=DE； 结论： ，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（1）如图1，已知 中， 90°， ，直线 经过点 直线 ， 直线
，垂足分别为点 ．求证： ．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
．请写出 三条线段的数量关系，并说明理由．
【变式1-1】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明．
【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1， ， ，过点B作 于点C，过点D作 于点E．由
，得 ．又 ，可以推理得到 _________，推理
依据是___________．进而得到 _________， _________．我们把这个数学模型称为“K字”模型
或“一线三等角”模型；
(2)如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点F， 与直线
交于点G．求证：点G是 的中点；
(3)如图3，已知四边形 和 为正方形， 的面积为 ， 的面积为 ，试猜想 和
的数量关系，并说明理由．类型二、全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型
条件： ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
证明： ∵ ABC和 DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
△ △
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例2．问题发现：如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段 ， 为直角边作等腰直角三角形，
， ， ，连接 ， ，线段 ， 之间的数量关系为______；位置关系
为_______．
拓展探究：如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间的关系是
否仍然成立？请说明理由．
【变式2-1】如图，在 中， ，在 中， ，连接 ．
试说明： ．【变式2-2】在 中， ，点D是直线 上一点（不与B、C重合），E是 外一点，连
接 ，已知 ， ，连接
(1)如图1，点D在线段 上，如果 ，则 ______度：
(2)如图2，当点D在线段 上，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【变式2-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕
点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关
系为 ；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两
种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．一、单选题
1．如图， ，点E在 上， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，
则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )
A．50 B．44 C．38 D．32
二、填空题
3．如图，在 中， ，过点 作 ，且 ，连接 ，若 ，则
的长为 ．
4．如图，A，C，B三点在同一条直线上， 和 都是等边三角形， ， 分别与 ， 交于点 ， ，有如下结论：① ；② ；③ ；④ 其中正确结
论的是（填序号） ．
三、解答题
5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上， ，过点B作 于点C，过点D作 交于点E．
得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到结论： _____，
_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠ 于点C， 于点E， 与直线 交于
点 ，求证： ．
6．（1）如图1，已知 ， ，易得 .如图2，
， ， ，且 ， ，试问 的数量关系，
并写出其证明过程.
（2）如图3，在 中， ， ，点D是直线 上的任意一点（不与点B、C重合），
连接 ，过点D在 的右侧作 ，且 ，连接 ，直接写出 的度数.7．【问题发现】（1）如图1， 和 均为等边三角形，点 在同一条直线上，连接 ，
容易发现：线段 ， 之间的数量关系为 ;② 的度数为 ．
【探究发现】（2）如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 在
同一条直线上，连接 ．试探究线段 ， ， 之间的数量关系及 的度数，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3， ， ， ， ，请直接写出 的值．
8．如图①，在 中， ， ，过点C在 外作直线l， 于点M， 于
点N．
(1)试说明： ；
(2)如图②，将（1）中条件改为 （ ）， ，请问（1）中
的结论 是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在 中，点D为 上一点， ， ， ， ，请直接写
出 的长．
9．综合与实践
(1)操作判断
飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在 中， ， ，
直线l经过点A， 直线l， 直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论： ， ， 之间的数量关系是 ．
(2)开放探究
无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的
条件改为在 中， ，D，A，E三点都在直线l上，并且有 ，其中
为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释．
(3)拓展应用
如图3，过 的边 、 向外作正方形 和正方形 ， 是 边上的高，延长 交
于点 ，求证： ．
10．综合与实践：
【问题情境】
(1)八上课本中有这样一道习题：如图1， 和 都是等边三角形，连接 ， ．同学们发现以
下结论： 与 的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2， 和 都是等腰直角三角形， ．若 ， ，则四边形
面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形 中， ， 是 边上一点，连接 ，以 为边向上作等
腰直角三角形 且 ，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
