文档内容
专题 05 全等三角形中动点与新定义型的四种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题.....................................................................................1
类型二、全等三角形动点中的最值问题............................................................................................................6
类型三、全等三角形中的动点综合问题............................................................................................................8
类型四、全等三角形中的新定义型综合问题...................................................................................................15
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................22
解题知识必备
1. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
2. 全等三角形的判定
压轴题型讲练
类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题
例题：如图， ， 于A， 于B，且 ，P点从B向A运动，速度为
，Q点从B向D运动，速度为 ，P、Q两点同时出发，则经过 s后， 与
全等．【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后 与
全等；分两种情况：①若 ，则 ，此时 ， ≌ ；②若 ，则
，得出 ， ，即可得出结果．
【详解】解：∵ 于点A， 于B，
∴ ．
设运动x分钟后 与 全等，由题意得： ， ，则 ．
分两种情况：
①若 ，则 ， ， ．
可知 ，
∴ ≌ ；
②若 ，则 ，
解得： ，可知 ，
此时 与 不全等．
综上所述：运动 后 与 全等．
故答案为：4．
【变式训练1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 中， ， ， ，
直线 经过点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为
秒，则当 为（ ）秒时， 与 全等．
A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三
角形的对应边相等是解题的关键．
分点Q在 上，点P在 上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计
算即可．
【详解】解：①如图1，Q在 上，点P在 上时，作 ，由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
则 ，
即 ，
解得： ；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
当 ，
则 ，
∴ ，
解得： ；
③如图3，当点Q与A重合时，由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 ，
则 ，
即 ，
解得： ；
当综上所述：当 秒或 秒或12秒时， 与 全等，
故选D．
【变式训练2】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形 中， ，延长 到
点E，使 ，连接 ，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点A运动，
设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
【答案】1或7
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有： ．根据题意，分两种情况
进行讨论，根据题意得出 和 即可求得．
【详解】解：由题意得： ，
若 ，
根据 证得 ，
，即 ，
若 ，
根据 证得 ，
，即 ．当t的值为1或7秒时． 与 全等．
故答案为：1或7．
【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图， ，垂足为点 ， 米，
米，射线 ，垂足为点 ，动点 从 点出发以2米/秒沿射线 运动，点 为射线
上一动点，随着 点运动而运动，且始终保持 ，当点 经过 秒时（不包括0秒），由点
组成的三角形与 全等．
【答案】 秒或 秒或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点 在线段 上， 时，
；当 在 上， 时， ；当 在线段 上， 时；当 在
上， 时， ；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的
判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：当点 在线段 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒）；
当 在 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒）；
当 在线段 上， 时，此时 在 点未动，时间为 秒，不符合题意；
当 在 上， 时， ，
，
，
，
点 的运动时间为 （秒）；
综上所述，当点 经过 秒或 秒或 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角形与 全等，
故答案为： 秒或 秒或 ．类型二、全等三角形动点中的最值问题
例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角 的面积为12，最长边 ， 平分 ，
点M、N分别是 上的动点，则 的最小值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一
道比较好的题目．过点C作 于点E，交 于点M，过点M作 于N，则当点C，M，N
三点重合时， 取得最小值，最小值为 的长．再根据三角形的面积公式求出 的长，即可．
【详解】解：过点C作 于点E，交 于点M，过点M作 于N，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即当点C，M，N三点重合时， 取得最小值，最小值为 的长．
∵ 的面积为12，最长边 ，
∴ ，即 ，
∴
即 的最小值为3．
故答案为：3．
【变式训练1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是 的平分线上一点， 于点
B，且 ， ，点E是 上的一动点，则 的最小值为 ．【答案】3
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作 于H，利用角平分线的性质定理得到
即可，根据垂线段最短得到 时 最小，进而可求解．
【详解】解：过P作 于H，
∵点P是 的平分线上一点， 于点B， ， ，
∴ ，
∵当 时， 的值最小，最小值为 的长，
∴ 的最小值为3，
故答案为：3．
【变式训练2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图， 中， ，用尺规作图法作出射线
， 交 于点 ， ， 为 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
过点 作 于点 ，由尺规作图痕迹可知， 为 的平分线，则 ，由图可知，当
点 与点 重合时， 取得最小值，即可得出答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，由尺规作图痕迹可知， 为 的平分线，
，
，
为 上一动点，
当点 与点 重合时， 取得最小值，
的最小值为2．
故答案为：2
类型三、全等三角形中的动点综合问题
例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射
线 点P为射线 上的动点(点P不与点A重合)，连接 ，将线段 绕点B顺时针旋转角度
α后， 得到线段 ， 连接 、 ．
(1)试说明 的理由；
(2)延长 交射线 于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，
若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)；
(3)当 时， 过点Q作 垂直射线 ， 垂足为E，那么 (用m、 n
的代数式表示) ．
【答案】(1)理由见解析
(2)不改变，
(3)
【分析】（1）先证明 ，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；
（2）先证明 ，得到 ， ，再计算出 的值，再证明
，最后根据三角形外角定理即可求得 的大小；
（3）证明 是 的角平分线，根据角平分线定理得到 ， ，再根据 ，
，即可得到 和 ，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到 ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如下图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 大小不改变，且 ；
（3）解：如下图所示，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题
的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件．
【变式训练1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰 中， ， ，
点为射线 上一动点，连接 ，作 且 ．
(1)如图1，过F点作 交 于G点，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于 点，若 ，求证： 点为 中点；
(3)如图3，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若 ，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质.（1）易证 ，即可证明 ，即可解题；
（2）过 点作 交 于 点，根据（1）中结论可得 ，即可证明 ，
可得 ，根据 可证 ，根据 ， ，即可解题；
（3）过 作 的延长线交于点 ，易证 ，由（1）（2）可知 ，
，可得 ， ，即可求得 的值，即可解题．
【详解】（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明：过 点作 交 于 点，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，点为 中点；
（3）解：过 作 的延长线交于点 ，如图，
， ， ，
，
由（1）（2）知： ， ，
， ，
，
，
，
．
故答案为 ．
【变式训练2】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在 中， ， ，
， ，现有一动点 ，从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停
止，速度为 ，设运动时间为 ．
(1)如图（1），当 ________时， 的面积等于 面积的一半：
(2)如图（2），在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有
一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止．在两点运动过程中的某
一时刻，恰好 全等于 ，求点 的运动速度．【答案】(1) 或
(2) 或 或 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，
清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
（1）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（2）设点Q的运动速度为 ，然后分点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上；
点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上四种情况，分别根据全等三角形的性质列方程
解答即可．
【详解】（1）解：如图，当P在 上， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
当 在 上时，如图， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当 为 或 时， 的面积等于 面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为 ，①当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
②当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
③当点P在 上，点Q在 上， 时，
∴ ，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，
解得 ；
④当点P在 上，点Q在 上， 时，∴ ，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，
解得 ；
∴Q运动的速度为 或 或 或 ．
类型四、全等三角形中的新定义型综合问题
例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形
叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在 中， ，P为边 上一点，若 与 是积等三角形，求
的长；
【理解运用】
（2）如图2， 与 为积等三角形，若 ，且线段 的长度为正整数，求 的
长．
【综合应用】
（3）如图3，在 中 ，过点C作 ，点 是射线 上一点，以
为边作 ，连接 ．请判断 与 是否为积等三角形，并说明
理由．
【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关
键是正确寻找全等三角形解决问题.
（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；
（2）证明 ，推出 ，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）过过点 作 于点 ，先证明 则 ，然后再依据积等三角
形的定义进行证明即可.
【详解】（1）解：过点 作 于 ，
与 是积等三角形，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，
与 为积等三角形，
在 和 中，
，
在 中
为正整数，
；（3）是积等三角形
证明：如图3，过点 作 于点 ，
在 和 中，
，
与 为积等三角形．
【变式训练1】（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源
三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”， ，
， 与 为“同源角”．(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则
______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为 时，分别取 ， 的中点 ，
，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
【答案】(1) ，详见解析
(2)45
(3)见解析
【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知
识，
（1）由“同源三角形”的定义可证 ，然后根据 证明 即可；
（2）由“同源三角形”的定义和 可求出 ，由（1）可知 ，
得 ，然后根据“8”字形图形即可求出 的度数；
（3）由（1）可知 ，可得 ，根据 证明 ，可得
，进而可证结论成立；
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【详解】（1） ．
理由：∵ 和 是“同源三角形”，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 和 是“同源三角形”，∴ ．
∵ ，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：45；
（3）由（1）可知 ，
∴ ， ．
， 的中点分别为 ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
【变式训练2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点
为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出
，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ；
（2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况
①如图， 是 的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是 的“边垂角”，，
，
，
，
综上所述， 与 的数量关系是 或 ；
（3）解：延长 交于点 ，
是 的“边垂角”，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 关于直线 对称点为点 ，
，
，
；压轴能力测评（10题）
一、单选题
1．（2024·四川资阳·二模）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 交边 于点 ．若 ， ，点 为线段 上的一个动点，当 最短时， 的
面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握角的平分线上的
点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据“垂线段最短”可得 ，根据角平分线的性质得到
，证明 ，求出 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵点E为线段 上的一个动点， 最短，
∴ ，
如图，过点D作 于点E，
由基本尺规作图可知， 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ，
故选：B．2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 的角平分线，点E、F分别是
上的动点，若 ，当 的值最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点 作 于点 ，
交 于点 ，过点 作 于点 ，与 交于点 ，连接 ，可证得 ，
同理 ，可知 ， ， ，进而可知 ，即 ，
在 上时 最小．由 是 的角平分线，可知 ，由“直角三角形两锐
角互余”可得 ，则 ，由此可得结论．
【详解】解：在 上，作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，与 交于点
，连接 ， ，如图，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，同理 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即： ， 在 上时 最小．
是 的角平分线，
，
∵ ，
，则 ，
．
故选C．
二、填空题
3．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在 中， ， ， ， ，点D是 上一点，连接 ，点D到 的距离等于 的长，P、Q分别是 上的动点，连接
，则 的最小值是 ．
【答案】 / /
【分析】
本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知 是 的平分线，过点
作 交 于点 ，再过点 作 交 于点 ，此时 有最小值．
【详解】解：点D到 的距离等于 的长，
∴ 是 的平分线，
过点 作 交 于点 ，再过点 作 交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴此时 有最小值，
∵ 中， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形 中， ，
．动点P以 的速度从点A出发沿边 向点D匀速移动，动点Q
以 的速度从点B出发沿边 向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线 向点D匀速移动，
三点同时出发．连接 ，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、
M为顶点的三角形与 全等．【答案】 或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为 ，动
点M的速度为 ，则 ，进而得到 ，
再分当 时，当 时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即
可．
【详解】解：设运动的时间为 ，动点M的速度为 ，
由题意得， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
当 时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得 ．
综上所述，动点M的速度为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
5．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图， 是 的角平分线，且 ， ， ．
(1)求 的度数；(2)若 ，点 是 上的动点，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义求出 ，再利用外角的性质求解；
（ ）根据垂线段最短得到当 时， 最小，再利用角平分线的性质求出 ；
本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的
关键是熟练掌握基本定理和知识．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）∵点 是 上的动点，
∴当 时， 最小，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ．
6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）在 中， ， ，点 为直线 上一动
点，以 为直角边在 的右侧作等腰直角三角形 ，使 ， ．
(1)当点 在线段 上时，如图1，试说明： ；
(2)当点 在线段 的延长线上时，如图2，判断 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析．
【分析】（1）根据“ ”即可证明 ；
（2）先根据“ ”证明 ，再根据全等三角形性质得出结论 ．可得出，则结论得证．
【详解】（1）
在 与 中
．
（2）
理由：由（1）得
在 与 中，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握全
等三角形的性质．
7．（22-23八年级上·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角 满足 ，那我
们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)若 是“近直角三角形”， ，则 ______度；
(2)如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．①试问： 是“近直角三角形”吗？并说明理由．
②求 的长度．
【答案】(1)
(2)① 是“近直角三角形”，理由见解析；②
【分析】（1）根据题意只存在 这种情况，据此求解即可；
（2）①根据三角形内角和定理得到 ，由角平分线的定义得到 ，由此
可得 ，则 是“近直角三角形”；②如图所示，过点D作 于E，由
角平分线的性质得到 ，再由 ，求出 ，则 ．
【详解】（1）解：∵ ，且 是“近直角三角形”
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴此时 ，符合题意；
故答案为： ；
（2）解：① 是“近直角三角形”，理由如下：
∵在 中， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“近直角三角形”；
②如图所示，过点D作 于E，
∵ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等等，熟知角平分线上的
点到角两端的距离相等是解题的关键．
8．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在 中， ， ， ，
．动点 从 出发，沿边 运动，回到点 停止，速度为 ，设运动时间为 秒．
(1)如图1，当 时， ______ （用 含的式子表示）；
(2)当 且 的面积等于 面积一半时，求 的值；
(3)如图2，在 中， ， ， ， ．在 边有一动点 ，与点
同时从点 出发，沿边 运动，回到点 停止．当 时，点 的运动速度为
______ ．
【答案】(1)
(2)
(3)Q运动的速度为 或 ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，
清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．（1）当 时，点 在 上，利用速度乘时间即可求解；
（2）根据三角形中线的性质，且 即可解答；
（3）设点Q的运动速度为 ，然后分点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上两
种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：∵
∴ 在 上时， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设点Q的运动速度为 ，
①当点P在 上，点Q在 上， 时， ，
∴ ，解得 ；
②当点P在 上，点Q在 上， 时， ，∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，解得 ；
∴Q运动的速度为 或 ．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
(1)互补四边形 中，若 ， 度；
(2)如图1，在四边形 中， 平分 ， ， 、求证：四边形 是互补四边
形；
(3)如图2，互补四边形 中， ， ，点E，F分别是边 ， 的动点，
且 ， 周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由；
【答案】(1)90
(2)证明见解析
(3)不变，12
【分析】
对于（1），设 ，则 ， ，根据互补四边形的定义得 ，即可求出各角
的度数；
对于（2），过点 D 作 ， ，再证明 ，可得 ，然后结合
可得答案；
对于（3），延长 至 G，使 ，连接 ，可证明 ，可得 ，
，进而得出 ，接着证明 ，可得 ，再连接 ，可证明
，即可得出 ， ，然后求出 ，再说明 的周长等于
，即可得出答案．
【详解】（1）
解：设 ，则 ， ，根据题意，得 ，
即 ，解得 ，
则 ，
所以 ．
故答案为：90；
（2）
过点D作 ，交 的延长线于点E，作 ，交 于点F．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是互补四边形；
（3）
不变，
延长 至G，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ 的周长等于 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，特殊角三角函数值，新定义的理解，
作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α(
)得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．
(1)【探索一】如图1， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，探索 与
的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．是这样思考的：延
长 至E，使 ，连结 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求
出中线 的取值范围．中线 的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中 与 的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交 于点D，探索 是否是 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，
请说明理由．
【答案】(1) ； ，证明见解析；
(2) 是 的“旋补中线”， 证明见解析
【分析】（1）材料：三角形三边关系可得 ，进而可得中线 的取值范围；
探索一：延长 至点E使 ，连接 ，证明 ，可得 ，
，求出 ，再证 ，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）作 于H，作 交 延长线于F，求出 ，证明 ，
可得 ，同理证明 ，可得 ，求出 ，可证
，根据全等三角形的性质可得 ，然后可得 是 的“旋补中线”．
【详解】（1）解：材料：由题意得： ， ， ，
由三角形三边关系可得： ，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
探索一： ；
证明：如图1，延长 至点E使 ，连接 ，
∵ 是 的“旋补中线”，
∴ 是 的中线，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的“旋补中线”，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2） 是 的“旋补中线”；
证明：如图，作 于H，作 交 延长线于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中线，∴ 是 的“旋补中线”．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
