文档内容
专题 05 全等三角形中动点与新定义型的四种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题.....................................................................................1
类型二、全等三角形动点中的最值问题............................................................................................................6
类型三、全等三角形中的动点综合问题............................................................................................................8
类型四、全等三角形中的新定义型综合问题...................................................................................................15
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................22
解题知识必备
1. 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
2. 全等三角形的判定
压轴题型讲练
类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题
例题：如图， ， 于A， 于B，且 ，P点从B向A运动，速度为
，Q点从B向D运动，速度为 ，P、Q两点同时出发，则经过 s后， 与
全等．【变式训练1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 中， ， ， ，
直线 经过点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为
秒，则当 为（ ）秒时， 与 全等．
A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12
【变式训练2】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形 中， ，延长 到
点E，使 ，连接 ，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点A运动，
设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
【变式训练3】（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图， ，垂足为点 ， 米，
米，射线 ，垂足为点 ，动点 从 点出发以2米/秒沿射线 运动，点 为射线
上一动点，随着 点运动而运动，且始终保持 ，当点 经过 秒时（不包括0秒），由点
组成的三角形与 全等．
类型二、全等三角形动点中的最值问题
例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角 的面积为12，最长边 ， 平分 ，
点M、N分别是 上的动点，则 的最小值是 ．【变式训练1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是 的平分线上一点， 于点
B，且 ， ，点E是 上的一动点，则 的最小值为 ．
【变式训练2】（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图， 中， ，用尺规作图法作出射线
， 交 于点 ， ， 为 上一动点，则 的最小值为 ．
类型三、全等三角形中的动点综合问题
例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射
线 点P为射线 上的动点(点P不与点A重合)，连接 ，将线段 绕点B顺时针旋转角度
α后， 得到线段 ， 连接 、 ．
(1)试说明 的理由；
(2)延长 交射线 于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，
若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)；
(3)当 时， 过点Q作 垂直射线 ， 垂足为E，那么 (用m、 n
的代数式表示) ．【变式训练1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰 中， ， ，
点为射线 上一动点，连接 ，作 且 ．
(1)如图1，过F点作 交 于G点，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于 点，若 ，求证： 点为 中点；
(3)如图3，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若 ，则 ．
【变式训练2】（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在 中， ， ，
， ，现有一动点 ，从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停
止，速度为 ，设运动时间为 ．
(1)如图（1），当 ________时， 的面积等于 面积的一半：
(2)如图（2），在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有
一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止．在两点运动过程中的某
一时刻，恰好 全等于 ，求点 的运动速度．类型四、全等三角形中的新定义型综合问题
例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形
叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在 中， ，P为边 上一点，若 与 是积等三角形，求
的长；
【理解运用】
（2）如图2， 与 为积等三角形，若 ，且线段 的长度为正整数，求 的
长．
【综合应用】
（3）如图3，在 中 ，过点C作 ，点 是射线 上一点，以
为边作 ，连接 ．请判断 与 是否为积等三角形，并说明
理由．
【变式训练1】（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源
三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”， ，
， 与 为“同源角”．(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则
______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为 时，分别取 ， 的中点 ，
，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
【变式训练2】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点
为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．压轴能力测评（10题）
一、单选题
1．（2024·四川资阳·二模）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分
别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 交边 于点 ．若 ， ，点 为线段 上的一个动点，当 最短时， 的
面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 的角平分线，点E、F分别是
上的动点，若 ，当 的值最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在 中， ， ， ， ，
点D是 上一点，连接 ，点D到 的距离等于 的长，P、Q分别是 上的动点，连接
，则 的最小值是 ．
4．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形 中， ，
．动点P以 的速度从点A出发沿边 向点D匀速移动，动点Q
以 的速度从点B出发沿边 向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线 向点D匀速移动，
三点同时出发．连接 ，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与 全等．
三、解答题
5．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图， 是 的角平分线，且 ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 ，点 是 上的动点，求 的最小值．
6．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）在 中， ， ，点 为直线 上一动
点，以 为直角边在 的右侧作等腰直角三角形 ，使 ， ．
(1)当点 在线段 上时，如图1，试说明： ；
(2)当点 在线段 的延长线上时，如图2，判断 与 的位置关系，并说明理由．
7．（22-23八年级上·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角 满足 ，那我
们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)若 是“近直角三角形”， ，则 ______度；(2)如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．
①试问： 是“近直角三角形”吗？并说明理由．
②求 的长度．
8．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，在 中， ， ， ，
．动点 从 出发，沿边 运动，回到点 停止，速度为 ，设运动时间为 秒．
(1)如图1，当 时， ______ （用 含的式子表示）；
(2)当 且 的面积等于 面积一半时，求 的值；
(3)如图2，在 中， ， ， ， ．在 边有一动点 ，与点
同时从点 出发，沿边 运动，回到点 停止．当 时，点 的运动速度为
______ ．
9．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．(1)互补四边形 中，若 ， 度；
(2)如图1，在四边形 中， 平分 ， ， 、求证：四边形 是互补四边
形；
(3)如图2，互补四边形 中， ， ，点E，F分别是边 ， 的动点，
且 ， 周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由；
10．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α(
)得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．
(1)【探索一】如图1， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，探索 与
的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．是这样思考的：延
长 至E，使 ，连结 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求
出中线 的取值范围．中线 的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中 与 的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E，
的反向延长线交 于点D，探索 是否是 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
