文档内容
2024-2025 学年七年级数学下学期第三次月考卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024七年级下第1~4章（整式的乘除+相交线与平行线+概率初步+三角形）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．在 中，画出边 上的高，下面4幅图中画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边 上的高，
故选：C．
2．一个三角形的三个内角度数之比为 ，则这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【详解】解： 一个三角形的三个内角度数之比为 ，
设这个三角形的三个内角分别为： ， ， ，
由题意得： ，
1 / 20
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
，
这个三角形是直角三角形，
故选：B．
3．如图，已知A是直线l上一点，点O在直线l的上方，以点O为圆心， 长为半径画弧，交直线l于另
一点B．若 ，则 的长不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【详解】连接 ，由作图可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长不可能是8；
故选：D．
4．已知 中， ，求证： ，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴ ，这与三角形内角和为 矛盾
②因此假设不成立，∴
③假设在 中，
④由 ，得 ，即
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
③假设在 中， ，
2 / 20
学科网（北京）股份有限公司④由 ，得 ，即 ，
①∴ ，这与三角形内角和为 矛盾，
②因此假设不成立，∴ ，
∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②．
故选：D．
5．针对做“估计一个矿泉水瓶盖上抛后，落地时开口朝上的概率是多少”的试验，下列说法中，正确的
是（ ）．
A．开口朝上、开口朝下都有可能，所以开口朝上的概率是0.5
B．做20次试验，开口朝上出现8次，则可得出开口朝上的概率是0.4
C．为缩短试验时间，可采用多人分组试验，分组试验时可采用汽水瓶盖替代矿泉水瓶盖
D．在相同条件下，试验次数越多，开口朝上的频率就越稳定于开口朝上的概率
【答案】D
【详解】解：A．开口朝上、开口朝下都有可能，但开口向上的概率需要大量重复试验才能估计，此选项
错误；
B．做20次试验，开口朝上出现8次，此试验次数过少，不能估计开口向上的概率，此选项错误；
C．分组试验需要在相同试验环境下进行，而且由于可乐盖与啤酒瓶盖结构有差异，不能估计啤酒瓶开口
向上的概率，此选项错误；
D．在相同条件下，试验次数越多，开口朝上的频率就越稳定于开口朝上的概率，此选项正确；
故选：D．
6．下列运算中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并；故本选项错误；
B、 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、 ，故本选项正确；
D、 ，故本选项错误．
3 / 20
学科网（北京）股份有限公司故选：C．
7．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺
丝钉将两根小棒 ， 的中点 固定，只要测得 ， 之间的距离，就可知道内径 的长度，此方案
依据的数学定理或基本事实是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在 和 中，
，
，
，
此方案依据的数学定理或基本事实是“ ”，
故选：A．
8．如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光
线 从液体中射向空气时发生折射，光线变成 ，点 在射线 上．若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4 / 20
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
，
，
，
．
故选：B．
9．已知：如图，在平面上，将等腰直角三角板 的直角顶点C放在直线 上，点A，B位于直线
的两侧，作 于点D， 于点E，点E在点D的左侧、求证： ．嘉淇给出了
证明过程：
证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ （①___），
∴ ，②___ ．
又 ，
∴ ．
如果嘉淇的证明过程正确，那么①②分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
5 / 20
学科网（北京）股份有限公司又 ，
∴ ．
故选：A．
10．如图，已知 ，求作： ，使 ．
作法：（1）以点 为圆心，任意长为半径作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ；
（2）以 为圆心， 的长为半径作弧，交 于点 ，连接 ， ；
（3）作射线 ， 即为所求作的角．下列结论正确的是（ ）
A． 的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．
C．
D． 是等腰三角形
【答案】D
【详解】解：A．由作法知： ，
∴ ，故A不正确；
B．由作法知： ，
由三角形三边关系得 ，故B不正确；
C．不能证明 ，故C不正确；
D．由作法知，点 在圆O上，则 ，
∴ 是等腰三角形，故D正确．
故选：D．
11．如图，在 中， ， ， ， ， 平分 交 于D点，E，
F分别是 ， 上的动点，则 的最小值为（ ）
6 / 20
学科网（北京）股份有限公司A． B．5 C．3 D．
【答案】D
【详解】解：在 上取一点 ， 使 ，连接 ，
，
，
，
，
则最小值时 垂直 ，
这时， ，即 ，
解得 ．
∴ 的最小值为 ．
故选：D．
12．如图， ， ， 于点 ， 于点 ， 、 分别是 、 上的点，
且 ，下列结论中① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ，⑤
．其中正确的结论是（ ）
7 / 20
学科网（北京）股份有限公司A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 于点 于点D，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 与 不一定相等，
∴ 与 不一定全等，故②错误；
延长 到点G，使 ，连接 ，则 ，
8 / 20
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ 平分 ，故③⑤正确；
若 平分 ，而 ，
∴ ，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C.
9 / 20
学科网（北京）股份有限公司第二部分（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个 个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，
每个方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情
况．我们把与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格记为相邻区域（框线内部），数字3表示在此区
域有3颗地雷．那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ．
【答案】
【详解】解：与标号3的方格（此方格无地雷）相邻的方格有 个，其中有3颗地雷，
那么小王点击此区域的任一方格，遇到地雷的概率是 ；
故答案为： ．
14．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可
把原式变形为 ，根据积的乘方的逆运算法则可进一步变形为 ，
据此求解即可．
【详解】解：
10 / 20
学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
15．按照下列条件，① ， ， ；② ， ， ；③ ， ，
；④ ， ， ；⑤ ， ， ．能画出唯一确定的三角
形的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②④
【详解】解：①根据 、 、 ， 不能画出三角形，不符合题意；
②根据 ， ， 可得 ，符合 能画出唯一三角形，符合题意；
③根据 ， ， 符合 不能画出唯一三角形，不符合题意；
④根据 ， ， 符合 能画出唯一三角形，符合题意；
⑤根据 ， ， 符合 不能画出唯一三角形，不符合题意．
故答案为：②④．
16．如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交 于点 ．动点 ， 同时从点 出
发，其中动点 以 的速度沿射线 运动，动点 以 的速度在直线 上运动．已知
，设动点 ， 的运动时间为 ．当动点 在直线 上运动时，若 与 全等，则
的值为 ．
【答案】 或
【详解】解：∵ ，
∴ ，
11 / 20
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ 当 在线段 上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
当 在线段 上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
当 在线段 延长线上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
当 在线段 延长线上时， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， 解得： ，
∴若 与 全等，则 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）已知 ， ， 是 的三边．且 ， ．
(1)求第三边 的取值范围；
(2)若第三边 为奇数，判断 的形状．
12 / 20
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由三角形三边之间的关系可得： ，···（1分）
即： ，···（2分）
，···（3分）
第三边 的取值范围为 ；···（4分）
（2）解： 第三边 为奇数，且 ，
，···（5分）
，···（6分）
是等腰三角形．···（7分）
18．（8分）如图，已知 ，点 在直线 上， 与 交于点 ， .
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数.
【详解】（1）证明： ，
，·····（1分）
，
，·····（2分）
.·····（3分）
（2）解： ，
，·····（4分）
，
.·····（5分）
，·····（6分）
，
.·····（8分）
19．（8分）如图，在 中， ， 为 角平分线的交点， 于 ．
13 / 20
学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【详解】（1）解：由题意得： 为 和 的平分线，
∴ ， ，····（1分）
在 中， ，
∴ ····（2分）
；····（4分）
（2）解：连接 ，····（5分）
∵ 为 角平分线的交点，
∴由角平分线的性质定理可证 到三边的距离相等，····（6分）
∴ ，
∴ ，即 ，····（7分）
解得， ．····（8分）
20．（8分）已知：如图， ， ，垂足分别为 ， ， ， 相交于点 ，且
．
14 / 20
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)已知 ， ，求 的长度．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ；···（1分）
∵ ，
∴ ，···（2分）
∴ ；···（3分）
在 和 中，
，
∴ ；···（5分）
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，···（6分）
∵ ，
∴ ，···（7分）
∴ ．···（8分）
21．（8分）．已知 的展开式中不含 和 项．
(1)求 的值；
(2)先化简，再求值： ．
【详解】（1）解：原式
···（2分）
15 / 20
学科网（北京）股份有限公司的展开式中不含 和 项，
，···（4分）
．···（4分）
（2）解：
···（5分）
···（6分）
．···（7分）
把 代入，得原式 ．···（8分）
22．（9分）1．一只不透明的袋中装有3个大小相同的球，其中2个为白色，1个为红色，每次从袋中摸
出1个球，然后放回搅匀后再摸．在摸球试验中得到下表中的部分数据：
摸球次数 40 80 120 160 200 280 360 400
出现红球的频
14 23 38 68 84 112 126 135
数
出现红球的频
0.29 0.32 0.35 0.34 0.35 0.35 0.34
率
出现白球的频
57 82 132 190 234 265
数
出现白球的频
0.71 0.68 0.66 0.65 0.65 0.66
率
(1)请将表格填写完整．
(2)在图中绘制出现红球的频率的折线图．
16 / 20
学科网（北京）股份有限公司(3)观察图表，出现红球的概率估计值为_______，出现白球的概率估计值为_______．
(4)如果重复试验400次，再将出现红球的频率绘制成折线统计图，两幅图会完全相同吗？为什么？两幅图
有类似的地方吗？如果有，那么有哪些地方类似？
【详解】（1）解：补全表格如下：
摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现红球的频
14 23 38 56 68 84 90 112 126 135
数
出现红球的频
0.35 0.29 0.32 0.35 0.34 0.35 0.32 0.35 0.35 0.34
率
出现白球的频
26 57 82 104 132 156 190 208 234 265
数
出现白球的频
0.65 0.71 0.68 0.65 0.66 0.65 0.68 0.65 0.65 0.66
率
······（4分）
（2）解：在图中画出出现红球的频率的折线统计图如下：
······（5分）
（3）解：观察图表，出现红球的概率估计值为0.34，出现白球的概率估计值为0.66，
故答案为：0.34，0.66；······（6分）
（4）解：如果重复试验400次，再将出现红球的频率绘成折线统计图，两幅图不会完全相同，因为每次的
试验都是随机的，不能确保两次试验完全一致；······（8分）
两幅图有类似的地方，随着试验次数的增加，红球频率最终稳定数值基本相同．······（9分）
23．（11分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
方法如下：
一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作 的平分线的方法．
第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 、 于点M、
N；再分别以点M、N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线 ， 即为
17 / 20
学科网（北京）股份有限公司的平分线．第一小组证明过程如下：
连接 ， ，由作图可知 ， ，又∵ ， （依据），
， 平分 ．
第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 、 于点C、D；
再以点O为圆心，任意不等于 的长为半径作弧，分别交 、 于点E、F；连接 ， ，交于点
P，作射线 ，则 为 的平分线．第二小组证明过程如下：
由作图可知： ， ，又 ，∴ ，
，……
完成下列任务：
(1)第一小组证明过程中的“依据”是指______，
(2)将第二小组的证明过程补充完整．
【详解】（1）解： 由题意可知答案为：SSS（边边边）······（2分）
（2）证明：由作图可知： ， ，又 ，
∴ ，······（3分）
∴ ，······（4分）
∵
∴ ，又 ，······（5分）
∴ ，······（7分）
∴ ，又 ， ，······（8分）
∴ ，······（9分）
∴ ，······（10分）
∴ 平分 ．······（11分）
24．（12分）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
18 / 20
学科网（北京）股份有限公司初步感知
如图1，在 中， 为中线，过点 作 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．
在 延长线上取一点 ，连接 ，使 ．
（1）填空： ________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）求证： ．
（3）试说明： ．
拓展应用
（4）如图2，在 中， 是钝角，点 在边 上， ，点 在边 上，点 在边
的延长线上， ， ，若 ， 的面积是9，求 与
的面积之和．
【详解】（1）解：∵在 中， 为中线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；······（1分）
（2）证明：由（1）可知： ，
，······（2分）
，
19 / 20
学科网（北京）股份有限公司，······（3分）
，
；······（4分）
（3）证明：由（1）可知 ，由（2）可知 ，
， ，······（5分）
；······（6分）
（4）解： ， ， ，
，······（7分）
在 和 中，
，
，
，······（9分）
设 的底边 上的高为h，则 的底边 上的高为h，
， ，······（10分）
，
，······（11分）
，
与 的面积之和为 ．······（12分）
20 / 20
学科网（北京）股份有限公司
