文档内容
2024-2025 学年七年级数学下学期第一次月考卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024七年级下册第1-2章（整式的乘除+相交线与平行线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．据说华为 系列搭载了自家研发的麒麟 处理器，这是一款采用5纳米工艺制造的芯片，性
能更加强大，功耗更低，这一举突破了以美国为首的西方国家对我国的高新技术封锁。已知
，0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：0.000000005用科学记数法表示为 ，
故选：B
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A． ，错误；
B． ，错误；
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学科网（北京）股份有限公司C． ，错误．
D. ，正确，
故选D．
3．六盘水市 年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，现目标效果测试项目第一类：立定跳远
（男、女），分值 分．体育课上，老师正在给准备参加体育中考的学生模拟测试立定跳远，成绩的示意
图如图，即 的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【详解】解： 的长为丽丽同学的跳远成绩，其依据是根据垂线段最短．
故选：C．
4．如图，有下列说法：① 与 是同位角；② 与 是同旁内角；③ 与 是同旁内角；④ 与
是内错角．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：① 与 是同位角，正确，故①符合题意；
② 与 是同旁内角，正确，故②符合题意
③ 与 是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意；
④ 与 是内错角，正确，故④符合题意．
其中正确的有3个．
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
5．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水： ，你帮
小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
．
故选：B．
6．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，能用平方差公式进行计算，
∴选项A符合题意；
∵ ，不能用平方差公式进行计算，
∴选项B不符合题意；
∵ ，不能用平方差公式进行计算，
∴选项C不符合题意；
∵ 中 与 的系数不同，不存在相同的项，不能用平方差公式计算，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
7．已知 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
∵ ，
∴ ．
故选C．
8．如图，下列条件，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 ，故此选项不符合
题意；
B、由 ，可以根据同位角相等，两直线平行得到 ，不可以得到 ，故此选项符合题
意；
C、由 ，可以根据内错角相等，两直线平行得到 ，故此选项不符合题意；
D、由 ，可以根据同位角相等，两直线平行得到 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
9． 从汽车灯的点 处发出的光线经灯的反光罩反射后平行射出，如入射光线 的反射光线为
， ．在如图所示的截面内，若入射光线 经灯的反光罩反射后沿 射出，且
，则 的度数是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【详解】解： ， ，
，
， ，
，
分两种情况讨论：
）如图①，
由图可知：
；
）如图②，
由图可知：
；
综上所述， 的度数为 或 ，
故选： ．
10．在矩形 内将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2
中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影
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学科网（北京）股份有限公司部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ．当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
，
．
故选： ．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．一个角的余角是 ，那么这个角的补角是 ．
【答案】
【详解】解：若一个角的余角是 ，则这个角为 ，
则它的补角为 ，
故答案为： ．
12．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，解得 ，
代入 ，则 ．
所以 ．
故答案为： ．
13．如果 ，那么 的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．将一块三角板 （ ， ）按如图所示方式放置，使A，B两点分别落在直线
m，n上，下列三个条件：① ；② ， ；③ ．其中能判断直线
的有 ．（填序号）
【答案】②③
【详解】解：∵ ，
∴ 不一定等于 ，
∴m和n不一定平行，故①不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
过点C作 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③符合题意；
故答案为：②③．
15．新定义题 同底数幂的乘法法则为 （其中 为正整数）．类似的，我们规定关于任
意正整数 的一种新运算： ．若 ，则 ．
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
16．如图1纸片 （ ），将 按如图2所示沿着 折叠至 ， 与线段 交于 ，
，点 在线段 上，若将 按如图3所示沿着 折叠至 ，且 在线段 的延长线上，
点 在线段 上，则 ．（用含 的式子表示）
【答案】
【详解】解： ，
，
，
，
，
由折叠性质得 ，
，
．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形 中， 于点 是 上一点，且 ．
请说明： ．
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学科网（北京）股份有限公司解：∵ （已知），
∴ _____________（_______________）．
∴ _____________ ．
∵ （已知），
∴_____________=_____________（_____________）．
∴ （__________________________）．
【详解】解：：∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
∴ ，
∵ （已知），
∴ （同角的余角相等），
∴ （内错角相等，两直线平行）．……………………………（每空1分）
故答案为 ；垂直的定义； ； ； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
18．（9分）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．（用乘法公式计算）
【详解】（1）解：
；……………………………3分
（2）解：
；……………………………6分
（3）解：
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学科网（北京）股份有限公司．……………………………9分
19．（8分）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务
先化简，再求值： ，其中 ， ．
解：原式 ……第一步
……第二步
……第三步
当 ， 时，原式=14……第四步
任务：
(1)第一步运算用到了乘法公式___________（用字母 和 表示，写出一种即可）；
(2)以上步骤第___________步开始出现了错误，错误的原因是___________；
(3)请写出正确的解答过程．
【详解】（1） 或 ；……………………………2分
（2）以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时忘记变号；………………4分
（3）
，……………………………7分
当 ， 时，原式 ．……………………………8分
20．（8分）如图，直线 ， ， 相交于点O， ， 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1) 的对顶角是________， 的邻补角是________；
(2)若 ，求 的度数．
【详解】（1）解： 的对顶角为 ，
的邻补角为 或 ．……………………………2分
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，……………………………3分
设 ，则 ，根据题意得：
，
解得： ，……………………………5分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，……………………………7分
∴ ．……………………………8分
21．（8分）已知：如图， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由．
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
【详解】（1）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ，……………………………2分
∵ ，
∴ ，
∴ ；……………………………4分
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，……………………………6分
∵ ，
∴ ．……………………………8分
22．（10分）请阅读材料，并解决问题，如果 ，那么b为n的“劳格数”，记为 ．由定义
可知： 与 表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空： ______， _______；
“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则 ， ；
(2)根据运算性质，填空： ______．（a为正数）
(3)若 ，分别计算 ， ．
【详解】（1）解：∵如果 ，那么b为n的“劳格数”，记为 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为：1， ；……………………………2分
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3；……………………………4分
（3）解：∵ ， ，
∴ ，……………………………7分
∵ ， ，
∴ ．……………………………10分
23．（10分）通过第 章的学习，我们已经知道，对于一个图形 ；如图 可以得到：
；现有长与宽分别为 、 的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图 的图
形，请认真观察图形，
(1)【探索发现】根据图中条件，猜想并验证 与 之间的关系（用含 、 的代数式表示出
来）；图 表示：________________________；
(2)【解决问题】若 ， ，求 的值；
(3)【拓展提升】如图 ，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形 和 ，延
长 和 交于点 ，那么四边形 为长方形，设 ，图中阴影部分面积为 ，求两个正方形
的面积和 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）如图 所示：大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，
另一方面：大正方形是由 个长为 ，宽为 的长方形和一个边长为 的小正方形构成，
∴ ，
故答案为： ；……………………………2分
（2）解： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ；……………………………5分
（3）解：设 ， ，
∵ ，
∴ ，……………………………6分
∵图中阴影部分面积为 ，
∴ ，
∵四边形 和 均为正方形，
∴ ，……………………………8分
∵ ，
∴ ，
∴ ．……………………………10分
24．（12分）问题情境：如图1， ， ， ，求 度数．
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学科网（北京）股份有限公司小明的思路是：过P作 ，通过平行线性质来求 ．
(1)按小明的思路，易求得 的度数为 度；
(2)问题迁移：如图2， ，点 在射线 上运动，记 ， ，当点 在 、 两
点之间运动时，问 与 ， 之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请直接写
出 与 ， 之间的数量关系；
(4)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为 、 、 、 、 、
、 ，将 、 、 、 、 、 、 顺次连接，天文小组发现若 恰好经过点 ，且 ，
， ，则可以求出 的度数．
【详解】（1）解：过点 作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ；……………………………2分
（2） ．
理由：如图，过点 作 交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；……………………………5分
（3）如图，当点 在 的延长线上时， ，
过点 作 交 于 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；……………………………7分
如图，当点 在线段 上时， ，
过点 作 交 于 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．……………………………9分
（4）∵ ， ，
由（2）得： ，
∵
∴ ，
∴ ，
即 的度数为 ．……………………………12分
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