专题 19.3 一次函数中的平移、对称与旋转
◆ 典例分析
【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，A(0,3a)、B(−4a,0)，△AOB的面积为6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将线段AB向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段A B ，若△A OB 的面积
1 1 1 1
为4，求m的值；
（3）如图3，将线段AB平移得到线段CD，点B与点C对应，且C(0,n)，且−3＜n＜0，连BD交y轴
AO−OC
于F，求 的值．
OF
【思路点拨】
（1）根据题意得a>0，OA=3a，OB=4a，再由三角形面积即可求解；
（2）设A B 与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得
1 1
3
A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，再由待定系数法求得直线AB的解析式为y= x+3，进而求得
1 1 4
( 3 ) 3 7
D 0,− m+3−m ，OD=− m+3−m=− m+3，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在
4 4 4
( 3 ) ( 7 ) 7
y轴负半轴时，同①得D 0,− m+3−m ， OD=− − m+3 = m−3，再根据三角形面积列方程求
4 4 4
解即可；
（3）证△ABF≌△CDF（ASA），得AF=CF，AO−OC=2OF，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵A(0,3a)、B(−4a,0)，
∴a>0，OA=3a，OB=4a，1 1
∴S = OA⋅OB= ×3a⋅4a=6，
△AOB 2 2
∴a=1或−1（舍），
∴A(0,3)、B(−4,0)．
（2）解：设A B 与y轴交于点D，分两种情况：
1 1
①如图2，当点D在y轴正半轴时，
由平移的性质可知，A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，
1 1
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{ b=3 )
把A(0,3)、B(−4,0)代入得： ，
−4k+b=0
{ k= 3 )
解得： 4 ，
b=3
3
∴直线AB的解析式为y= x+3，
4
3
设线段AB向右平移m个单位所得的直线的解析式为y= x+c，与x轴的交点坐标为(−4+m,0)，
4
3
则 ×(−4+m)+c=0，
4
3
解得：c=− m+3，
4
3 3
∴y= x− m+3，
4 4
3 3 ( 3 )
∴直线y= x− m+3与y轴的交点为 0,− m+3 ，
4 4 4
∵线段AB再向下平移m个单位后得到线段A B ，
1 1
( 3 )
∴D 0,− m+3−m ，
43 7
∴OD=− m+3−m=− m+3，
4 4
1( 7 ) 1( 7 )
∴S = − m+3 ⋅m+ − m+3 ⋅(4−m)=4，
△A 1 OB 1 2 4 2 4
4
解得：m= ．
7
②如图2-1，当点D在y轴负半轴时，
由平移的性质可知，A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，
1 1
( 3 )
由①得：D 0,− m+3−m ，
4
( 7 ) 7
∴OD=− − m+3 = m−3，
4 4
1(7 ) 1(7 )
∴S = m−3 ⋅m+ m−3 ⋅(4−m)=4，
△A 1 OB 1 2 4 2 4
20
解得：m= ；
7
4 20
综上所述，m的值为 或 ；
7 7
（3）解：由平移的性质得：AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCF，∠ABF=∠CDF，
在△ABF和△CDF中，
{∠BAF=∠DCF
)
AB=CD ，
∠ABF=∠CDF
∴△ABF≌△CDF（ASA），
∴AF=CF，
∴AO−OC=AF+OF−(CF−OF)=AF+OF−CF+OF=2OF，
AO−OC 2OF
∴ = =2，
OF OFAO−OC
即 的值为2．
OF
◆ 学霸必刷
1．（2025·广东汕头·一模）若直线y=2x+b与直线y=kx+3关于直线y=−x对称，则k、b值分别为
（ ）
1 1 1 1
A．k= 、b=6 B．k= 、b=3 C．k=− 、b=6 D．k=− 、b=3
2 2 2 2
【思路点拨】
本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直
线y=2x+b关于直线y=−x的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【解题过程】
( b )
解：直线y=2x+b与x轴的交点为 − ,0 ，与y轴的交点为(0,b)；
2
( b ) ( b)
∴点 − ,0 关于直线y=−x的对称点为 0, ，点(0,b)关于直线y=−x的对称点为(−b,0)，
2 2
( b)
把点 0, 、(−b,0)代入y=kx+3，
2
{ 3= b )
得： 2 ，
0=−kb+3
1
解得：k= ，b=6，
2
故选：A．
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，将直线y=kx向
上平移3个单位长度后得到直线l:y=kx+b（k,b为常数且k≠0)，则下列关于直线l:y=kx+b的说法正确
的是（ ）
A．l与y轴的交点坐标是(3,0)
B．若A(x ,y ),B(x ,y )两点在l上，且x <x ，则y >y
1 1 2 2 1 2 1 2
C．点(−2,1)在l上
D．l经过第一、二、三象限
【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识
点是解题的关键．先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与y轴交点判断
A，利用增减性分析B选项，将(−2,1)代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限
问题．
【解题过程】
解：∵直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，
∴−2k=−4，
解得：k=2，
∴y=2x
则直线y=2x向上平移3个单位后得到y=2x+3，
当x=0,y=3，则l与y轴的交点坐标是(0,3)，故A错误，不符合题意；
∵k=2>0，则y随x的增大的增大，
那么若A(x ,y ),B(x ,y )两点在l上，且x <x ，则y <y ，故B错误，不符合题意；
1 1 2 2 1 2 1 2
当x=−2时，y=2×(−2)+3=−1≠1，则点(−2,1)不在l上，故C错误，不符合题意；
由于k=2,b=3，则图象经过第一、二、三象限，故D正确，符合题意，
故选：D．
3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，
且点C(3,0),B(4,2)，直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形OABC的面
积平分时向下平移的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【思路点拨】
本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，连接AC,OB，交于点D，直线DE交y轴于点E，当直
线经过点D时，该直线可将平行四边形OABC的面积平分，求出直线平移后的解析式为y=2x−3，即可
得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【解题过程】
解：如图，连接AC,OB，交于点D，直线DE交y轴于点E，
当直线经过点D时，该直线可将平行四边形OABC的面积平分，
∵四边形OABC是行四边形，
∴BD=OD，
∵B(4,2)，O(0,0)，
∴点D(2,1)，
∵直线DE由直线y=2x+1平移得到，
∴设直线DE的解析式为y=2x+b，
把点D(2,1)代入得：1=4+b，
解得：b=−3，
∴直线DE的解析式为y=2x−3，
∴直线y=2x+1要向下平移4个单位得到直线y=2x−3，
∴平移的时间为4s，
故选：B．
2
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线
3
段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
( 5 ) ( 3 )
A．(−3,0) B．(−6,0) C． − ,0 D． − ,0
2 2【思路点拨】
本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题．根据一
次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于
x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出
点P的坐标．
【解题过程】
解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
2
令y= x+4中x=0，则y=4，
3
∴点B的坐标为(0,4)；
2 2
令y= x+4中y=0，则 x+4=0，解得：x=−6，
3 3
∴点A的坐标为(−6,0)．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C(−3,2)，点D(0,2)．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为(0,−2)．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C(−3,2)，D′(0,−2)，
{2=−3k+b) { k=− 4 )
∴有 ，解得： 3 ，
−2=b
b=−2
4
∴直线CD′的解析式为y=− x−2．
3
4 4
令y=− x−2中y=0，则0=− x−2，
3 33
解得：x=− ，
2
( 3 )
∴点P的坐标为 − ,0 ．
2
故选：D．
5．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）已知在平面直角坐标系中，直线
l :y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)经过(−1,2)、(1,8)两点，将直线l 向下平移2个单位长度得到直线l ，
1 1 2
下列关于直线l 的说法中，正确的是（ ）
2
A．与坐标轴围成的三角形面积为1 B．不经过第四象限
C．经过坐标原点 D．当x=2时，y的值为7
【思路点拨】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质．把点(−1,2)、(1,8)向下平移2个
单位长度，得到点(−1,0)、(1,6)，利用待定系数法求出直线l 的解析式是y=3x+3，根据一次函数的解析
2
式y=3x+3的解析式可知直线与坐标轴的交点坐标，从而可求直线与坐标轴围成的三角形的面积；根据直
线的走向和与y轴的交点可知直线不经过第四象限；根据直线l 与y轴交点纵坐标为3，可知直线不过原点；
2
把x=2代入解析式可以求出y=9．
【解题过程】
解：把点(−1,2)、(1,8)向下平移2个单位长度，
得到点(−1,0)、(1,6)，
把点(−1,0)、(1,6)代入y=kx+b，
{−k+b=0)
可得： ，
k+b=6
{k=3)
解得： ，
b=3
∴直线l 的解析式为y=3x+3，
2
当x=0时，y=3，
∴直线l 与y轴的交点坐标为(0,3)，
2
当y=0，可得：3x+3=0，
解得：x=−1，
1 3
∴与坐标轴围成的面积是 ×1×3= ，
2 2
故A选项错误；直线l 的解析式为y=3x+3，
2
∵3>0，
∴y随x的增大而增大，
且直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴直线y=3x+3经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故B选项正确；
∵直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴不经过坐标原点，
故C选项错误；
当x=2时，可得：y=3x+3=3×2+3=9，
故D选项错误．
故选：B ．
6．（2023·福建·一模）如图，△ABC的顶点A(−8,0)，B(−2,8)，点C在y轴的正半轴上，AB=AC，
将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为（ ）
(7 ) (7 )
A． ,6 B．(3,6) C． ,6 D．(4,6)
4 2
【思路点拨】
过点B作BG⊥x轴于点G，根据AB=AC，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线AB的解析式为：
y=kx+b(k≠0)，把A(−8,0)，B(−2,8)代入，求出解析式，根据点C在平移的直线A′B′，即可得解．
【解题过程】
解：过点B作BG⊥x轴于点G，∵A(−8,0),B(−2,8),AB=AC，
∴OA=8,BG=8,OG=2，
∴AG=6，
∵BG2+AG2=AB2，
∴82+62=AB2，
∴AB=10，
∴AC=10，
在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2，
∴OC=6，
∴点C(0,6)；
设直线AB的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
{0=−8k+b)
∴ ，
8=−2k+b
4
{ k= )
3
解得 ，
32
b=
3
4 32
∴y= x+ ；
3 3
设△ABC向右平移n个单位长度得到△A′B′C′，
4 32
∴直线A′B′的解析式为：y= (x−n)+ ，
3 3
∵点C(0,6)在直线A′B′上，
4 32
∴6= (0−n)+ ，
3 3
7
∴n= ，
2
7
∴△ABC向右平移 个单位长度得到△A′B′C′，
2∴点C′(7
,6
)
，
2
故选：C．
7．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平
移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为(0,2)或(1,0)；再如：平移两次后点P的坐标为(0,4)或
(1,2)或(2,0)．点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超
过56，则n的值是（ ）
A．50或56 B．40或46 C．38或44 D．39或42
【思路点拨】
本题考查了坐标与图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息并理解点P的坐标的横坐
标与纵坐标的意义是解题的关键；根据点P的坐标变化规律，可知点P从点O出发经过n次，平移后，到达
(2n 2n)
直线y=x上的点Q，点Q的坐标为 , ，再根据平移的路径长不小于50，不超过56，列不等式组求
3 3
解；
【解题过程】
解：∵平移1次后点P的坐标为(0,2)或(1,0)，
∴设(0,2)，(1,0)所在的直线解析式为y=k x+2，
3
将点(1,0)坐标代入得：k =−2，
3
直线解析式为：y=−2x+2；
∵平移两次后点P的坐标为(0,4)或(1,2)或(2,0)，且3点共线
∴设(0,4)，(1,2)和(2,0)所在的直线解析式为y=kx+4，
将点(1,2)坐标代入得：k=−2，
直线解析式为：y=−2x+4；
∵平移3次后点P的坐标为(0,6)或(1,4)或(2,2)或(3,0)，且4点共线
∴设(0,6)，(1,4)，(2,2)和(3,0)所在的直线解析式为y=k x+6，
1
将点(1,4)坐标代入得：k =−2，
1
直线解析式为：y=−2x+6；
∴平移后解析式的k值不变，常数项为2n，
∴平移n次时，直线解析式为：y=−2x+2n，如图所示，设点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，
{y=−2x+2n)
根据题意，可得 ，
y=x
2n
{ x= )
3
解得： ，
2n
y=
3
(2n 2n)
∴点Q的坐标为 , ，
3 3
4n
∴平移的路程长S=x+ y= ，
3
∵平移的路径长不小于50，不超过56，
4n
∴50≤ ≤56，
3
∴37.5≤n≤42，
点Q的坐标为正整数，
∴n是3的倍数，n可以取39、42，
故选：D．
8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，则一次函数
的表达式为 ．
【思路点拨】
本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线y=x+2与y轴的交点为(0,2)，
与x轴的交点为(−2,0)，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为(0,−2)，与x轴的交点为(−2,0)，然
后利用待定系数法求解即可．
【解题过程】
解：y=x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2，
∴直线y=x+2与y轴的交点为(0,2)，与x轴的交点为(−2,0)，
∵一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，
∴一次函数与y轴的交点为(0,−2)，与x轴的交点为(−2,0)，
设一次函数的解析式为y=mx+n，
{ n=−2 )
把(0,−2)，(−2,0)代入得， ，
−2m+n=0
{m=−1)
解得： ，
n=−2
所以，一次函数的解析式为：y=−x−2．
故答案为：y=−x−2．
9．（23-24八年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，与y轴交于
点B(0,3)，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长
度得到的直线l恰好经过点D．若OD=2，则a的值为 ．
【思路点拨】
1 1
先求出一次函数的表达式y= x+3，根据平移可知平移后的解析式y= x+3−a，最后把点D代入即可．
2 2
【解题过程】
解：∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B(0,3)，
∴b=3，
∴一次函数表达式为y=kx+3，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，
1
∴−6k+3=0，解得k= ，
2
1
∴一次函数的表达式为y= x+3，
2
由直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l，1
∴直线l的函数表达式为y= x+3−a，
2
∵OD=2，且点D位于x轴的正半轴，
∴点D的坐标为(2,0)，
∵直线l恰好经过点D，
1
∴ ×2+3−a=0，解得a=4，
2
故答案为：4．
10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，等腰△ABC在第一象限，且AC∥x
轴，直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被△ABC截得的线段长度n与直线在x
轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么△ABC的面积为
【思路点拨】
本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点B作BH⊥AC于点H，根据图形2
可得到AD=1，BD=❑√3，由直线y=x与x轴的夹角为45°，得到BH=DH，利用勾股定理即可求出
❑√6 ❑√6
BH=DH= ，进而得到AH=1+ ，再得到AC=2AH=2+❑√6，根据三角形面积公式计算即可求解，
2 2
从函数图像上获取信息，并掌握直线y=x与x轴的夹角为45°是解题的关键．
【解题过程】
1
解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，则AH=BH= AC
2由图2可得，当直线y=x经过点A时，m=1，n=0，
当直线y=x向右平移经过点B时，与AC相交于点D，
此时，由图2可得，m=2，n=❑√3，
∴BD=❑√3，AD=2−1=1，
∵直线y=x与x轴的夹角为45°，
∴∠BDH=45°，
∴BH=DH，
∵DH2+BH2=BD2，
❑√6
∴BH=DH= ，
2
❑√6
∴AH=AD+DH=1+ ，
2
( ❑√6)
∴AC=2AH=2× 1+ =2+❑√6，
2
1 1 ❑√6 3+❑√6
∴△ABC的面积= AC·BH= ×(2+❑√6)× = ，
2 2 2 2
3+❑√6
故答案为： ．
2
11．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半
轴上，点A在点B的左侧，直线y=kx经过点D(1,2)和点P，且OP=2❑√5，将直线y=kx沿y轴向下平移得
到y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），则b的取值范围是 ．【思路点拨】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作PE⊥CD
于E交BA于F，把D(1,2)代入y=kx可得直线y=2x，设点P坐标为(a,2a)，由OP=2❑√5可得a=2，即得
点P坐标为(2,4)，进而得点E(2,2)，点F(2,0)，分别把E、F的坐标代入y=2x+b，求出b的值即可求解，
掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，作PE⊥CD于E交BA于F，
∵直线y=kx经过点D(1,2)，
∴k=2，
∴直线y=2x，
设点P坐标为(a,2a)，
∵OP=2❑√5，
∴a2+(2a) 2=(2❑√5) 2 ，
∴a2=4，
∵a>0，
∴a=2，
∴点P坐标为(2,4)，
∴点E(2,2)，点F(2,0)，
把点E(2,2)代入y=2x+b得，2=4+b，
解得b=−2；
把点F(2,0)代入y=2x+b得，0=4+b，
解得b=−4；
∵点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），
∴−4<b<−2，
故答案为：−4<b<−2．3
12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x−3与x轴交于点A，与y
5
轴交于点B，将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′，则图中阴影部分的面积为 ．
【思路点拨】
本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐
3
标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数y= x−3与坐标轴交点A和B的坐标，再利用平移求出直
5
线A′B′的解析式，求出其与坐标轴交点A′和M的坐标，再求面积即可．
【解题过程】
解：如图，
3
当x=0时，y= x−3=−3，
5
则B(0,−3)，
3
当y=0时，y= x−3=0，
5
解得：x=5，
则A(5,0)，
∵将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′，
∴直线AB向左平移2个单位得到直线A′B′，且A′(3,0)，3 3 9
则直线A′B′的解析式为y= (x+2)−3= x− ，
5 5 5
3 9 9
x=0时，y= x− =− ，
5 5 5
( 9)
则M 0,− ，
5
1 1 1 1 9 24
∴S =S −S = OA⋅OB− OA′ ⋅OM= ×5×3− ×3× = ．
阴影 △OAB △OA′M 2 2 2 2 5 5
24
故答案为：
5
13．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为4，点C的坐
标为(−1,0)，将直线y=−x+5向下平移m个单位长度后，与正方形ABCD有且只有一个交点，则m的值
为 ．
【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图象的平移、勾股定理等，求得点B和D的坐
标是解答的关键．过B作BH⊥x轴于H，根据正方形的性质和坐标与图形求得D(0,❑√3)，再证明
△BHC≌△COD(AAS)得到BH=OC=1，HC=OD=❑√3，则OH=OC+HC=1+❑√3，B(−1−❑√3,1)，
根据题意得到平移后的解析式为y=−x+5−m，由图知，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形
ABCD有且只有一个交点，分别将点B、D坐标代入求得m值即可求解．
【解题过程】
解：过B作BH⊥x轴于H，∵正方形ABCD的面积为4，点C的坐标为(−1,0)，
∴CD=BC=2，OC=1，∠BCD=90°，
∴OD=❑√CD2−OC2=❑√22−12=❑√3，则D(0,❑√3)，
∵∠HBC+∠HCB=∠HCB+∠OCD=90°，
∴∠HBC=∠OCD，又∠BHC=∠COD=90°，CD=BC，
∴△BHC≌△COD(AAS)，
∴BH=OC=1，HC=OD=❑√3，则OH=OC+HC=1+❑√3，
∴B(−1−❑√3,1)，
由题意，直线y=−x+5向下平移m个单位长度后的解析式为y=−x+5−m，
如图，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形ABCD有且只有一个交点，
将D(0,❑√3)代入y=−x+5−m中，得m=5−❑√3；
将B(−1−❑√3,1)代入y=−x+5−m中，得m=5+❑√3，
综上，满足条件的m值为5−❑√3或5+❑√3．
14．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与坐标轴分别交于A，
B两点，将直线AB绕点A逆时针方向旋转45°，则旋转后的直线与x轴的交点坐标为 ．【思路点拨】
设直线y=3x+3绕点A逆时针方向旋转45°为直线AC：y=kx+b(k≠0)，过点B作BC⊥AB交
y=kx+b(k≠0)于点C，过点C作CD⊥x轴，先求得A点和B点坐标，然后证明△ABO≌△BCD，得到
OB=DC=1，OA=DB=3，从而得出点C的坐标，然后利用待定系数法，求得k和b，最后算得旋转后的
直线与x轴的交点坐标．
【解题过程】
解：设直线y=3x+3绕点A逆时针方向旋转45°为直线AC：y=kx+b(k≠0)，过点B作BC⊥AB交
y=kx+b(k≠0)于点C，过点C作CD⊥x轴，如图所示：
∵直线y=3x+3与坐标轴分别交于A，B两点，
∴x=0时，y=3；y=0时，x=−1；
∴A(0,3)，B(−1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵∠AOB=∠ABC=90°，∴∠BAO+∠ABO=∠ABO+∠DBC=90°，
∴∠BAO=∠DBC，
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴OB=DC=1，OA=DB=3，
∴OD=BD−OB=3−1=2，
∴C(2,−1)，
{ 3=b )
将A(0,3)，C(2,−1)代入y=kx+b(k≠0)，得 ，
−1=2k+b
{k=−2)
∴ ，
b=3
∴y=−2x+3，
3
∴y=0时，x= ，
2
(3 )
∴旋转后的直线与x轴的交点坐标为 ,0 ．
2
(3 )
故答案为： ,0 ．
2
7
15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+4与直线l ：y=−x−8交
1 5 2
于点A，直线l 与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l 与y轴交于点D．将直线l 向上平移6个单位得到
1 2 2
直线l ，直线l 与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l ，若点M为垂线l 上的一个动点，点N为x轴上的
3 3 4 4
一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，此时点M的坐标为 ．
【思路点拨】
由直线与坐标轴交点求法可求D(0,−8)，C(0,4)，由平移的性质得直线l ：y=−x−2，从可得点D是点
3
7
C关于直线l 对称，联立直线l ：y= x+4与直线l ：y=−x−8，可求出A(−5,−3)，作点A关于x轴的
4 1 5 2对称点为A′，由点关于坐标轴对称规律得A'(−5,3)，连接A'D交x轴、l 于点N、M，则此时
4
11
CM+MN+NA最小，最小值为：A'D，由待定系数法求得直线A'D为y=− x−8，即可求解．
5
【解题过程】
解：∵直线l ：y=−x−8，
2
∴当x=0时，
y=−8，
∴D(0,−8)，
同理可求：C(0,4)，
∵将直线l 向上平移6个单位得到直线l ，
2 3
∴直线l ：y=−x−8+6
3
=−x−2，
∴E(0,−2)，
∴CE=4−(−2)=6，
ED=−2−(−8)=6，
∴CE=ED，
∴点D是点C关于直线l 对称，
4
7
联立直线l ：y= x+4与直线l ：y=−x−8得：
1 5 2
{ y= 7 x+4)
5 ，
y=−x−8
{x=−5)
解得： ，
y=−3
∴A(−5,−3)，
如图，作点A关于x轴的对称点为A'，
∴A'(−5,3)，连接A'D交x轴、l 于点N、M，
4
则此时CM+MN+NA最小，
最小值为：A'D，
设直线A'D为y=kx+b，则有
{−5k+b=3)
，
b=−8
{ k=− 11 )
解得： 5 ，
b=−8
11
∴直线A'D为y=− x−8，
5
当y=−2时，
11
− x−8=−2，
5
30
解得：x=− ，
11
( 30 )
∴M − ,−2 ．
11
1
16．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知一次函数y= x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、点
2
B．
（1）在直角坐标系中画出该函数的图象；
1
（2）在同一坐标系中，画出直线y= x+2关于y轴对称的直线；
2
（3）求出这条对称直线的函数关系式．
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象和性质，关键是掌握一次函数的图象和性质．
（1）先求出A，B的坐标，再用两点法画出函数图象；
1
（2）根据关于y轴对称的性质画出直线y= x+2关于y轴对称的直线；
2
（3）用待定系数法求出函数解析式．
【解题过程】
（1）解：当x=0时，y=2；当y=0时，x=−4，
∴A(−4,0)，B(0,2)，1
∴一次函数y= x+2的图象如图所示：
2
（2）解：∵点A(−4,0)关于y轴的对称点为A′ (4,0)，
1
∴直线y= x+2关于y轴对称的直线过点A′，B，
2
∴函数图象如图所示：
1
（3）解：由（2）可知，直线y= x+2关于y轴对称的直线过点A′，B，
2
∴设对称直线的函数解析式为y=kx+2，
把点A′坐标代入y=kx+2得4k+2=0，
1
解得k=− ，
2
1
∴对称直线的函数解析式为y=− x+2．
2
17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是由
1
y=− x的图象向上平移2个单位得到的，并且与y轴交于点A．
2（1）求一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式；
（2）若函数y=ax(a≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)相交于点P，且△POA的面积为2，求a的值．
【思路点拨】
本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象
的平移规律得出k的值是解题关键．
（1）先根据一次函数图象的平移规律可得，再将点代入求解即可得；
（2）先根据（1）的结论求出点P的坐标，代入y=ax(a≠0)，即可求得．
【解题过程】
1
（1）解：根据函数图象平移关系可得，一次函数的解析式为：y=− x+2；
2
1
（2）解：∵点A是y=− x+2与y轴的交点坐标，
2
1
∴x=0时，y=− x+2=2，
2
即点A坐标为(0,2)，故OA=2，
( 1 )
设点P的坐标为 m,− m+2 ，
2
由△POA的面积为2可得，
1
S = OA×|m)=2，
△POA 2
解得m=±2，
1
当m=2时，− m+2=1，
2
∴点P的坐标为(2,1)，把P(2,1)代入y=ax，
1
解得a= ，
2
1
当m=−2时，− x+2=3，
2
∴点P的坐标为(−2,3)，
把P(−2,3)代入y=ax，
3
解得a=− ，
2
1 3
∴a的值为 或− ．
2 2
4
18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=− x+4分别交x轴、y
3
轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且∠APB=45°，求点P的坐标；
【思路点拨】
本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是
解题的关键．
（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知△OPB是等腰直角三角形，则OP=OB，由此可求P点坐标．
【解题过程】
4
（1）解：直线AB向下平移5个单位，得到y=− x+4−5，
3
4
即y=− x−1，
34
故答案为：y=− x−1；
3
（2）解∶令x=0，则y=4，
∴B(0,4)，
4
令y=0，则y=− x+4，
3
∴x=3，
∴A(3,0)，
∴B点关于x轴的对称点(0,−4)，
4
设直线AB：y=− x+4关于x轴对称的直线解析式为y=kx−4，
3
∴3k−4=0，
4
∴k= ，
3
4
∴y= x−4；
3
（3）解：∵B(0,4)，
∴OB=4，
∵点P在x轴上，∠APB=45°，∠O=90°，
∴∠OBP=∠OPB=45°
∴点P在直线AB的两侧，OP=OB=4，
∴P(−4,0)或(4,0)．
19．（24-25八年级上·广东茂名·期末）阅读材料：
通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数
的表达式．有这样一个问题：如图1，直线l 的表达式为y=−2x+4，直线l 与x轴、y轴交于A、B两点，
1 1
若直线l 与直线l 关于y轴对称，求直线l 的表达式．下面是小明的解题思路．
2 1 2
第一步：求出直线l 与x轴的交点A的坐标为(2,0)，与y轴的交点B的坐标为(0,4)；
1
第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l ；
1
第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标为(−2,0)；
第四步：由点B(0,4)，点C(−2,0)，利用待定系数法，可得直线l 的表达式y=2x+4．
2（1）参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线y=−x+2关于y轴对称的直线的表达式为________；
（2）如图2，若过点(−1,0)且平行于y轴的直线叫做直线x=−1，直线l 与直线y=−2x+4关于直线
3
x=−1对称，求直线l 的表达式；
3
（3）如图3，直线l 与直线y=−2x+4关于直线y=x对称，求直线l 的表达式．
4 4
【思路点拨】
（1）先求出与x、y轴交点坐标为(2,0)，(0,2)，则与y轴对称的点坐标为(−2,0)，(0,2)，然后利用待定系
数法即可求解；
（2）直线y=−2x+4与x=−1的交点坐标为(−1,6)，则点A关于x=−1的对称点坐标为(−4,0)，设直
线l 的解析式为y=kx+b，然后然后利用待定系数法即可求解；
3
（3）由题意得A(2,0)，B(0,4)，则A、B两点的坐标关于直线y=x的对称点分别为E(0,2)，F(4,0)，
设直线l 的解析式为y=ax+c，然后利用待定系数法即可求解；
4
本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：由y=−x+2得，当x=0时y=2，当y=0时，x=2，
∴与x、y轴交点坐标为(2,0)，(0,2)，
∴与y轴对称的点坐标为(−2,0)，(0,2)，
设直线y=−x+2关于y轴对称的直线的表达式为y=k x+b ，
1 1
{−2k +b =0) {k =1)
∴ 1 1 ，解得 1 ，
b =2 b =2
1 1
∴直线y=−x+2关于y轴对称的直线的表达式为y=x+2，
故答案为：y=x+2；
（2）解：∵直线y=−2x+4与x=−1的交点坐标为(−1,6)，
∴点A关于x=−1的对称点坐标为(−4,0)，设直线l 的解析式为y=kx+b，
3
{−k+b=6
)
{k=2)
则 ，解得 ，
−4k+b=0 b=8
∴直线l 的表达式为y=2x+8；
3
（3）解：由y=−2x+4得，当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴A(2,0)，B(0,4)，
∴A、B两点的坐标关于直线y=x的对称点分别为E(0,2)，F(4,0)，
设直线l 的解析式为y=ax+c，
4
{ c=2 ) {
c=2
)
则 ，解得 1 ，
4a+c=0 a=−
2
1
∴直线 l 的表达式为y=− x+2．
4 2
20．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，直角三角板AOB如图所示在平面直角坐标系内，
∠B=30°，O为坐标原点，作AH⊥x轴， AO=10，若∠AOH=30°．
（1）点A的坐标为___________；OB=___________；
（2）求边AB所在直线的表达式；
（3）直线y=mx+n自与直线AB重合的位置向下平移，当其平分三角形AOB面积时，直接写出直线
y=mx+n的表达式．
【思路点拨】
（1）先在Rt△AHO中，根据含30°直角三角形的性质及勾股定理，可求出点A的坐标，再在Rt△ABO中，
根据含30°直角三角形的性质及勾股定理，可求出OB的长；
（2）先根据含30°直角三角形的性质及勾股定理，可求出点B的坐标，再根据待定系数法即可；
（3）设AB与y轴交于点F，直线y=mx+n交OA于点D，交OB于点E，交y轴于点G，先求出
1
S = S =25❑√3，设OD=x，再求出点G代入y=mx+n即可．
△DOE 2 △AOB【解题过程】
（1）解：在Rt△AHO中∠AOH=30°，
1 1
∴AH= OA= ×10=5，
2 2
∴OH=❑√OA2−AH2=❑√102−52=5❑√3，
∴A(−5❑√3,5)，
在Rt△ABO中∠B=30°，
∴AB=2OA=2×10=20，
∴OB=❑√AB2−AO2=❑√202−102=10❑√3，
故答案为：(−5❑√3,5), 10❑√3
（2）解：过B作BC⊥x轴交于C点．
∵∠BOC=180°−∠AOH−∠AOB=180°−30°−90°=60°，
在Rt△BOC中∠OBC=90°−∠BOC=90°−60°=30°，
1
∴OC= OB=5❑√3,BC=❑√OB2−OC2=15，
2
∴B(5❑√3,15)，
设直线AB所在直线的表达式为y=kx+b，把A(−5❑√3,5),B(5❑√3,15)代入，
{−5❑√3k+b=5)
得 ，
5❑√3k+b=15
{ k= ❑√3 )
解得： 3 ，
b=10
❑√3
故直线AB所在直线的表达式为y= x+10；
3（3）解：设AB与y轴交于点F，直线y=mx+n交OA于点D，交OB于点E，交y轴于点G，
1 1
S = OA⋅OB= ×10×10❑√3=50❑√3，
△AOB 2 2
1
S = S =25❑√3，
△DOE 2 △AOB
∵DE∥AB，
❑√3
∴∠DEO=∠B=30°，∠OAB=∠ODG=60°，m= ，
3
设OD=x,DE=2OD=2x,OE=❑√DE2−OD2=❑√3x，
1 1
S = ×OD×OE= ×x×❑√3x=25❑√3，
△DOE 2 2
解得：x=5❑√2，即OD=5❑√2，
∵∠DOG=90−∠AOH=∠ODG=60°，
∴△ODG是等边三角形，∴OG=OD=5❑√2，即G(0,5❑√2)，
代入y=mx+n，得n=5❑√2，
❑√3
故直线y=mx+n的表达式为y= x+5❑√2．
3
21．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(12,0),K(4,0)，过点A的
直线y=kx−4交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线y=2x+b交于点M．（1）试判断△AMN的形状，并说明理由．
（2）将AN所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括
l与直线AN重合），在直线MK上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存
在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由题意求得N(0,−4)，把A(12,0)代入y=2x+b求出直线AM解析式为y=2x−24，从而求出
M(4,−16)，根据勾股定理求出AM2、AN2、M N2，得到AN2+M N2=AM2和AN=MN，即可得
出结论；
1
（2）存在，把A(12,0)代入y=kx−4．求出k，设直线l的解析式为y= x+b．以点E为直角顶点：①
3
当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，根据题意，点M(4,−16)符合要求；②当D在x轴负半轴，E
在y轴正半轴上时，过P作PQ⊥y轴．证△ODE≌△QEP(ASA)．得到OE=PQ=4，QE=OD，求出
OQ=8即可；以点D为直角顶点：①当点P在第一象限，②当点P在第四象限，同理证明全等，得到
P(4,6),P(4,−3)；综合以上结论即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：△AMN的形状是等腰直角三角形．
理由：∵y=kx−4过点A(12,0)，
1
∴k= ，
3
1
∴y= x−4，
3
当x=0时，y=−4，
∴N(0,−4)．
把A(12,0)代入y=2x+b，得b=−24，∴直线AM解析式为y=2x−24，
当x=4时，y=−16，
∴M(4,−16)．
又∵A(12,0)，
.∴AM2=(12−4) 2+162=320，AN2=122+42=160，M N2=42+(16−4) 2=160，
∴AN2+M N2=AM2，AN=MN，
∴△AMN是等腰直角三角形．
（2）解：存在，点P的坐标为(4,−16)或(4,−8)或(4,−3)或(4,6)．
理由：把A(12,0)代入y=kx−4，得12k−4=0，
1
解得：k= ，
3
1
∴直线AN解析式为y= x−4．
3
1
由平移得新直线l的解析式为y= x+b，
3
则它与x轴的交点D(−3b,0)，与y轴的交点E(0,b)，
∴OD=3OE．
当以点E为直角顶点时，
①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，如图，
根据题意，得点M(4,−16)符合要求；
②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作PQ⊥y轴于点Q，∵△PDE为等腰直角三角形，
∴DE=PE，∠PEQ+∠OED=∠PED=90°，
∵∠PQE=∠DOE=90°
∴∠OED+∠ODE=90°
∴∠ODE=∠PEQ
∴△ODE≌△QEP(ASA)，
∴OE=PQ=4，QE=OD，
∵OD=3OE，
∴OD=12，
∴QE=12，
∴OQ=8，
∴点P的坐标为(4,−8)．
当以点D为直角顶点时，
①当点P在第一象限，
同理可证△PDK≌△DEO，
∴DK=OE，PK=OD，
∵OD=3OE=3DK，∴OK=OD−DK=2DK=4，
∴DK=2，
∴OD=6=PK，
∴点P的坐标为P(4,6)；
②当点P在第四象限，
同理可证△DOE≌△PKD，则DK=OE=1，PK=OD，
∴点P的坐标为P(4,−3)．
综上，满足条件的，点P的坐标为(4,−16)或(4,−8)或(4,−3)或(4,6)．
❑√3 4❑√3
22．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ∶y=− x+ 与x
2 3 3
轴交于点B ，与直线l ∶y=kx+b交于点C，C点到x轴的距离CD为2❑√3，直线l 交x轴于点
1 1
A，∠CAB=60∘ ．
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）如图2，点P为线段AB上一点，将△ACP沿CP折叠后，点A恰好落在BC 边上，求P点坐标；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60∘，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对应，
将△BGH沿着直线BC平移，点M为直线AC上的动点，是否存在以C、O、M、G为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点M的坐标； 若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由题意求得点C的坐标，由直角三角形的性质可求得点A 的坐标，由待定系数法即可求得直线l 的
1
解析式；
（2）由直线l 的表达式可求得点B的坐标，则由勾股定理逆定理可判定∠ACB=90°，易得A′P=A′B，
2
由折叠的性质及BC=AC+AP即可求得点P的坐标；
（3）易得点G的坐标，得点G所在直线解析式，设点M、点G的坐标，利用平行四边形的对角线互相平
分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解．
【解题过程】
❑√3 4❑√3
（1）解：由题意知，点C的纵坐标为2❑√3，点C在直线 l :y=− x+ 上，
2 3 3
❑√3 4❑√3 ❑√3 4❑√3
把y=2❑√3代入l ∶y=− x+ 得，2❑√3=− x+ ，
2 3 3 3 3
解得x=−2，
∴C(−2,2❑√3)，OD=2，
∵CD⊥x轴，∠CAB=60°，CD=2❑√3，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD，
由勾股定理得AC2−AD2=CD2,
CD 2❑√3
∴AD= = =2，
❑√3 ❑√3
∴OA=2+2=4，
∴A(−4,0)，
把A(−4,0)、C(−2,2❑√3)代入l ∶y=kx+b得，
1
{ 0=−4k+b )
，
2❑√3=−2k+b
{ k=❑√3 )
解得 ，
b=4❑√3
∴直线l 的函数表达式为y=❑√3x+4❑√3；
1
❑√3 4❑√3
（2）解：直线 l 的表达式为: y=− x+ ，
2 3 3当y=0 时，x=4，则点 B(4,0)，
∵A(−4,0),C(−2,2❑√3) ，
∴AB=8 ，AC=❑√AD2+CD2=❑√22+(2❑√3) 2=4，
BC=❑√BD2+CD2=❑√62+(2❑√3) 2=4❑√3，
∵AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=30∘
∵△ACP 沿 CP 折叠后,点 A 恰好落在 BC 边上，
∴AP=A′P，A′C=AC=4，∠C A′P=∠CAP=60°，
∴∠A′PB=∠C A′P−∠ABC=30°=∠ABC，
∴A′P=A′B；
令 P(a,0)，则 AP=A′P=A′B=a−(−4)=a+4，
根据 BC=A′C+A′B 得：4❑√3=4+(a+4)，
解得：a=4❑√3−8，
故点 P 的坐标为 (4❑√3−8,0)；
（3）解：由旋转性质知，∠CBG=60°，则∠ABG=∠CBG−∠ABC=30°，
∴BG、BC关于x轴对称，且G与C关于x轴对称，
∴G(−2,−2❑√3)；
∵△BGH沿着直线BC平移，
∴点G在平行于直线l 的直线（记为l ）上运动；
2 3
❑√3 ❑√3
设l 解析式为y=− x+b ，把点G坐标代入得：−2❑√3=− x+b ，
3 3 1 3 18❑√3
得：b =− ，
1 3
❑√3 8❑√3
即l ：y=− x− ；
3 3 3
( ❑√3 8❑√3)
当点G在l 上运动时，设其坐标为 a,− a− ；设M(m,❑√3m+4❑√3)；
3 3 3
当OM、GC为平行四边形的对角线时，
m+0 a−2
{ = )
2 2
则 ❑√3 8❑√3 ，
− a− +2❑√3
❑√3m+4❑√3+0 3 3
=
2 2
解得：m=−4，
∴❑√3m+4❑√3=0，
则M(−4,0)；
当GM、OC为平行四边形的对角线时，
m+a 0−2
{ = )
2 2
则 ❑√3 8❑√3 ，
❑√3m+4❑√3− a−
3 3 0+2❑√3
=
2 2
解得：m=0，
∴❑√3m+4❑√3=4❑√3，
则M(0,4❑√3)；
当CM、OG为平行四边形的对角线时，m−2 0+a
{ = )
2 2
则 ❑√3 8❑√3 ，
0− a−
❑√3m+4❑√3+2❑√3 3 3
=
2 2
解得：m=−6，
∴❑√3m+4❑√3=−2❑√3，
则M(−6,−2❑√3)；
综上，点M的坐标为(−4,0)或(0,4❑√3)或(−6,−2❑√3)．
