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专题 19.3 一次函数中的平移、对称与旋转
◆ 典例分析
【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，A(0,3a)、B(−4a,0)，△AOB的面积为6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将线段AB向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段A B ，若△A OB 的面积
1 1 1 1
为4，求m的值；
（3）如图3，将线段AB平移得到线段CD，点B与点C对应，且C(0,n)，且−3＜n＜0，连BD交y轴
AO−OC
于F，求 的值．
OF
【思路点拨】
（1）根据题意得a>0，OA=3a，OB=4a，再由三角形面积即可求解；
（2）设A B 与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得
1 1
3
A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，再由待定系数法求得直线AB的解析式为y= x+3，进而求得
1 1 4
( 3 ) 3 7
D 0,− m+3−m ，OD=− m+3−m=− m+3，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在
4 4 4
( 3 ) ( 7 ) 7
y轴负半轴时，同①得D 0,− m+3−m ， OD=− − m+3 = m−3，再根据三角形面积列方程求
4 4 4
解即可；
（3）证△ABF≌△CDF（ASA），得AF=CF，AO−OC=2OF，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵A(0,3a)、B(−4a,0)，
∴a>0，OA=3a，OB=4a，1 1
∴S = OA⋅OB= ×3a⋅4a=6，
△AOB 2 2
∴a=1或−1（舍），
∴A(0,3)、B(−4,0)．
（2）解：设A B 与y轴交于点D，分两种情况：
1 1
①如图2，当点D在y轴正半轴时，
由平移的性质可知，A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，
1 1
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{ b=3 )
把A(0,3)、B(−4,0)代入得： ，
−4k+b=0
{ k= 3 )
解得： 4 ，
b=3
3
∴直线AB的解析式为y= x+3，
4
3
设线段AB向右平移m个单位所得的直线的解析式为y= x+c，与x轴的交点坐标为(−4+m,0)，
4
3
则 ×(−4+m)+c=0，
4
3
解得：c=− m+3，
4
3 3
∴y= x− m+3，
4 4
3 3 ( 3 )
∴直线y= x− m+3与y轴的交点为 0,− m+3 ，
4 4 4
∵线段AB再向下平移m个单位后得到线段A B ，
1 1
( 3 )
∴D 0,− m+3−m ，
43 7
∴OD=− m+3−m=− m+3，
4 4
1( 7 ) 1( 7 )
∴S = − m+3 ⋅m+ − m+3 ⋅(4−m)=4，
△A 1 OB 1 2 4 2 4
4
解得：m= ．
7
②如图2-1，当点D在y轴负半轴时，
由平移的性质可知，A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，
1 1
( 3 )
由①得：D 0,− m+3−m ，
4
( 7 ) 7
∴OD=− − m+3 = m−3，
4 4
1(7 ) 1(7 )
∴S = m−3 ⋅m+ m−3 ⋅(4−m)=4，
△A 1 OB 1 2 4 2 4
20
解得：m= ；
7
4 20
综上所述，m的值为 或 ；
7 7
（3）解：由平移的性质得：AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCF，∠ABF=∠CDF，
在△ABF和△CDF中，
{∠BAF=∠DCF
)
AB=CD ，
∠ABF=∠CDF
∴△ABF≌△CDF（ASA），
∴AF=CF，
∴AO−OC=AF+OF−(CF−OF)=AF+OF−CF+OF=2OF，
AO−OC 2OF
∴ = =2，
OF OFAO−OC
即 的值为2．
OF
◆ 学霸必刷
1．（2025·广东汕头·一模）若直线y=2x+b与直线y=kx+3关于直线y=−x对称，则k、b值分别为
（ ）
1 1 1 1
A．k= 、b=6 B．k= 、b=3 C．k=− 、b=6 D．k=− 、b=3
2 2 2 2
【思路点拨】
本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直
线y=2x+b关于直线y=−x的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【解题过程】
( b )
解：直线y=2x+b与x轴的交点为 − ,0 ，与y轴的交点为(0,b)；
2
( b ) ( b)
∴点 − ,0 关于直线y=−x的对称点为 0, ，点(0,b)关于直线y=−x的对称点为(−b,0)，
2 2
( b)
把点 0, 、(−b,0)代入y=kx+3，
2
{ 3= b )
得： 2 ，
0=−kb+3
1
解得：k= ，b=6，
2
故选：A．
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，将直线y=kx向
上平移3个单位长度后得到直线l:y=kx+b（k,b为常数且k≠0)，则下列关于直线l:y=kx+b的说法正确
的是（ ）
A．l与y轴的交点坐标是(3,0)
B．若A(x ,y ),B(x ,y )两点在l上，且x y
1 1 2 2 1 2 1 2
C．点(−2,1)在l上
D．l经过第一、二、三象限
【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识
点是解题的关键．先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与y轴交点判断
A，利用增减性分析B选项，将(−2,1)代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限
问题．
【解题过程】
解：∵直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，
∴−2k=−4，
解得：k=2，
∴y=2x
则直线y=2x向上平移3个单位后得到y=2x+3，
当x=0,y=3，则l与y轴的交点坐标是(0,3)，故A错误，不符合题意；
∵k=2>0，则y随x的增大的增大，
那么若A(x ,y ),B(x ,y )两点在l上，且x 0，
∴y随x的增大而增大，
且直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴直线y=3x+3经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故B选项正确；
∵直线y=3x+3与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴不经过坐标原点，
故C选项错误；
当x=2时，可得：y=3x+3=3×2+3=9，
故D选项错误．
故选：B ．
6．（2023·福建·一模）如图，△ABC的顶点A(−8,0)，B(−2,8)，点C在y轴的正半轴上，AB=AC，
将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为（ ）
(7 ) (7 )
A． ,6 B．(3,6) C． ,6 D．(4,6)
4 2
【思路点拨】
过点B作BG⊥x轴于点G，根据AB=AC，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线AB的解析式为：
y=kx+b(k≠0)，把A(−8,0)，B(−2,8)代入，求出解析式，根据点C在平移的直线A′B′，即可得解．
【解题过程】
解：过点B作BG⊥x轴于点G，∵A(−8,0),B(−2,8),AB=AC，
∴OA=8,BG=8,OG=2，
∴AG=6，
∵BG2+AG2=AB2，
∴82+62=AB2，
∴AB=10，
∴AC=10，
在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2，
∴OC=6，
∴点C(0,6)；
设直线AB的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
{0=−8k+b)
∴ ，
8=−2k+b
4
{ k= )
3
解得 ，
32
b=
3
4 32
∴y= x+ ；
3 3
设△ABC向右平移n个单位长度得到△A′B′C′，
4 32
∴直线A′B′的解析式为：y= (x−n)+ ，
3 3
∵点C(0,6)在直线A′B′上，
4 32
∴6= (0−n)+ ，
3 3
7
∴n= ，
2
7
∴△ABC向右平移 个单位长度得到△A′B′C′，
2∴点C′(7
,6
)
，
2
故选：C．
7．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平
移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为(0,2)或(1,0)；再如：平移两次后点P的坐标为(0,4)或
(1,2)或(2,0)．点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超
过56，则n的值是（ ）
A．50或56 B．40或46 C．38或44 D．39或42
【思路点拨】
本题考查了坐标与图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息并理解点P的坐标的横坐
标与纵坐标的意义是解题的关键；根据点P的坐标变化规律，可知点P从点O出发经过n次，平移后，到达
(2n 2n)
直线y=x上的点Q，点Q的坐标为 , ，再根据平移的路径长不小于50，不超过56，列不等式组求
3 3
解；
【解题过程】
解：∵平移1次后点P的坐标为(0,2)或(1,0)，
∴设(0,2)，(1,0)所在的直线解析式为y=k x+2，
3
将点(1,0)坐标代入得：k =−2，
3
直线解析式为：y=−2x+2；
∵平移两次后点P的坐标为(0,4)或(1,2)或(2,0)，且3点共线
∴设(0,4)，(1,2)和(2,0)所在的直线解析式为y=kx+4，
将点(1,2)坐标代入得：k=−2，
直线解析式为：y=−2x+4；
∵平移3次后点P的坐标为(0,6)或(1,4)或(2,2)或(3,0)，且4点共线
∴设(0,6)，(1,4)，(2,2)和(3,0)所在的直线解析式为y=k x+6，
1
将点(1,4)坐标代入得：k =−2，
1
直线解析式为：y=−2x+6；
∴平移后解析式的k值不变，常数项为2n，
∴平移n次时，直线解析式为：y=−2x+2n，如图所示，设点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，
{y=−2x+2n)
根据题意，可得 ，
y=x
2n
{ x= )
3
解得： ，
2n
y=
3
(2n 2n)
∴点Q的坐标为 , ，
3 3
4n
∴平移的路程长S=x+ y= ，
3
∵平移的路径长不小于50，不超过56，
4n
∴50≤ ≤56，
3
∴37.5≤n≤42，
点Q的坐标为正整数，
∴n是3的倍数，n可以取39、42，
故选：D．
8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，则一次函数
的表达式为 ．
【思路点拨】
本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线y=x+2与y轴的交点为(0,2)，
与x轴的交点为(−2,0)，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为(0,−2)，与x轴的交点为(−2,0)，然
后利用待定系数法求解即可．
【解题过程】
解：y=x+2，当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2，
∴直线y=x+2与y轴的交点为(0,2)，与x轴的交点为(−2,0)，
∵一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，
∴一次函数与y轴的交点为(0,−2)，与x轴的交点为(−2,0)，
设一次函数的解析式为y=mx+n，
{ n=−2 )
把(0,−2)，(−2,0)代入得， ，
−2m+n=0
{m=−1)
解得： ，
n=−2
所以，一次函数的解析式为：y=−x−2．
故答案为：y=−x−2．
9．（23-24八年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，与y轴交于
点B(0,3)，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长
度得到的直线l恰好经过点D．若OD=2，则a的值为 ．
【思路点拨】
1 1
先求出一次函数的表达式y= x+3，根据平移可知平移后的解析式y= x+3−a，最后把点D代入即可．
2 2
【解题过程】
解：∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B(0,3)，
∴b=3，
∴一次函数表达式为y=kx+3，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，
1
∴−6k+3=0，解得k= ，
2
1
∴一次函数的表达式为y= x+3，
2
由直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l，1
∴直线l的函数表达式为y= x+3−a，
2
∵OD=2，且点D位于x轴的正半轴，
∴点D的坐标为(2,0)，
∵直线l恰好经过点D，
1
∴ ×2+3−a=0，解得a=4，
2
故答案为：4．
10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，等腰△ABC在第一象限，且AC∥x
轴，直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被△ABC截得的线段长度n与直线在x
轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么△ABC的面积为
【思路点拨】
本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点B作BH⊥AC于点H，根据图形2
可得到AD=1，BD=❑√3，由直线y=x与x轴的夹角为45°，得到BH=DH，利用勾股定理即可求出
❑√6 ❑√6
BH=DH= ，进而得到AH=1+ ，再得到AC=2AH=2+❑√6，根据三角形面积公式计算即可求解，
2 2
从函数图像上获取信息，并掌握直线y=x与x轴的夹角为45°是解题的关键．
【解题过程】
1
解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，则AH=BH= AC
2由图2可得，当直线y=x经过点A时，m=1，n=0，
当直线y=x向右平移经过点B时，与AC相交于点D，
此时，由图2可得，m=2，n=❑√3，
∴BD=❑√3，AD=2−1=1，
∵直线y=x与x轴的夹角为45°，
∴∠BDH=45°，
∴BH=DH，
∵DH2+BH2=BD2，
❑√6
∴BH=DH= ，
2
❑√6
∴AH=AD+DH=1+ ，
2
( ❑√6)
∴AC=2AH=2× 1+ =2+❑√6，
2
1 1 ❑√6 3+❑√6
∴△ABC的面积= AC·BH= ×(2+❑√6)× = ，
2 2 2 2
3+❑√6
故答案为： ．
2
11．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半
轴上，点A在点B的左侧，直线y=kx经过点D(1,2)和点P，且OP=2❑√5，将直线y=kx沿y轴向下平移得
到y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），则b的取值范围是 ．【思路点拨】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作PE⊥CD
于E交BA于F，把D(1,2)代入y=kx可得直线y=2x，设点P坐标为(a,2a)，由OP=2❑√5可得a=2，即得
点P坐标为(2,4)，进而得点E(2,2)，点F(2,0)，分别把E、F的坐标代入y=2x+b，求出b的值即可求解，
掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【解题过程】
解：如图，作PE⊥CD于E交BA于F，
∵直线y=kx经过点D(1,2)，
∴k=2，
∴直线y=2x，
设点P坐标为(a,2a)，
∵OP=2❑√5，
∴a2+(2a) 2=(2❑√5) 2 ，
∴a2=4，
∵a>0，
∴a=2，
∴点P坐标为(2,4)，
∴点E(2,2)，点F(2,0)，
把点E(2,2)代入y=2x+b得，2=4+b，
解得b=−2；
把点F(2,0)代入y=2x+b得，0=4+b，
解得b=−4；
∵点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），
∴−4
