专题19.3一次函数中的规律问题（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 19.3 一次函数中的规律问题 ◆ 典例分析 【典例1】在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A ，按如图方式作正方形A B C O， 1 1 1 1 A B C C ，A B C C ，…，A B C C ，点A ，A ，A ，…，A 在直线y=x+1上，点C ，C ， 2 2 2 1 3 3 3 2 n n n n−1 1 2 3 n 1 2 C ，…C 在x轴上，连接A C ，A C ，…，A C ，则直线A C 的解析式为 ． 3 n−1 3 1 4 2 n n−2 n n−2 (n≥3) 【思路点拨】 根据直线y=x+1和各个正方形，求出点A ，A ，A ，A 和点C ，C ，C 的坐标，根据它们的变化 1 2 3 4 1 2 3 规律求出点A 和C 的坐标，再由待定系数法求出直线A C 的解析式即可． n n−2 n n−2 【解题过程】 解：当x=0时，y=x+1=1， ∴A (0,1)． 1 又∵四边形A B C O是正方形， 1 1 1 ∴C (1,0)， 1 ∴A 的横坐标为1，纵坐标y=x+1=1+1=2， 2 ∴A (1,2)， 2 ∴C 的横坐标为OC +C C =1+2=3， 2 1 1 2 ∴C (3,0)， 2 ∴A 的横坐标为3，纵坐标y=x+1=3+1=4， 3 ∴A (3,4)， 3 ∴C 的横坐标为OC +C C =3+4=7， 3 2 2 3 ∴C (7,0)， 3 ∴A 的横坐标为7，纵坐标为y=x+1=7+1=8， 4 ∴A (7,8)， 4∴ ， A (0,1)，A (1,2)，A (3,4)，A (7,8)，⋯⋯，A (2n−1−1,2n−1 ) 1 2 3 4 n ， C (1,0)，C (3,0)，C (7,0)，⋯⋯，C (2n−1,0) 1 2 3 n ∴ ． C (2n−2−1,0) n−2 设直线 的解析式为 ，将点 ， ， A C y=kx+b A (2n−1−1,2n−1 ) C (2n−2−1,0) n n−2 n n−2 分别代入，得 {2n−1=(2n−1−1)k+b)， 0=(2n−2−1)k+b 解得：{ k=2 )， b=2−2n−1 ∴直线A C 的解析式为y=2x+2−2n−1 n n−2 故答案为：y=2x+2−2n−1． ◆ 学霸必刷 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图的方式 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 放置，其中点A ，A ，A ，…和点C ，C ，C ，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的坐标是（ 1 2 3 1 2 3 2023 ） A． B． (22022−1,22023) (22023−1,22022) C． D． (22021,22022−1) (22022−1,2021) 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，直线l：y=x−1与x轴交于点A ，如图所 1 示，依次作正方形A B C O，正方形A B C C ，…，正方形，使得点A 、A 、A 、…，在直线l上， 1 1 1 2 2 2 1 1 2 3 点C ，C ，C ，…，在y轴正半轴上，则点B 的坐标为（ ） 1 2 3 2024A． B． (22023,22024−1) (22024,22024) C． D． (22023,22023−1) (22023,22024+1) 3．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图.在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…在直线 1 2 3 1 y= x+b上，点B ，B ，B ，…在x轴上，△OA B ，△B A B ，△B A B ，…是等腰直角三角形， 5 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 且 .如果点 ，那么 的纵坐标是( ) ∠OA B =∠B A B =∠B A B =⋅⋅⋅=90° A (1，1) A 1 1 1 2 2 2 3 3 1 2023 (3) 2022 (3) 2021 (4) 2022 (4) 2021 A． B． C． D． 2 2 3 3 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）正方形A B C A ，A B C A ，A B C A ，按图中方式放置， 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 点A ，A ，A ，…和点B ，B ，B ，…在直线y=x+1和x轴上，则点C 的纵坐标是（ ） 1 2 3 1 2 3 2023 A．22023 B．22022 C．22023−1 D．22022−15．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，等腰直角三角形A B O、A B B 、A B B 1 1 2 2 1 3 3 2 、…、A B B 按如图所示的方式放置，其中点A 、A 、A 、…、A 均在一次函数y=kx+b的图象 n n n−1 1 2 3 n 上，点B 、B 、B 、…、B 均在x轴上．若点B 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(3,0)，则点A 的坐标为 1 2 3 n 1 2 2023 （） A． B． (22023−1,22023) (22022,22022+1) C． D． (22022−1,22022) (22023,22023+1) 1 6．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=− x和点P(1,0)，过点 2 P(1,0)作y轴的平行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线，交直线b于点P ，过点P 作y轴的平行 1 1 2 2 线，交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，…，按此作法进行下去，则点P 的横坐标 3 3 4 15 为（ ） A．−26 B．−27 C．−214 D．−215 7．（22-23八年级下·河南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为y=❑√3x+1，直线b的解❑√3 析式为y= x，直线a交y轴于点A，以OA为边作第一个等边三角形ΔOAB，交直线b于点B，过点B作 3 y轴的平行线交直线a于点A ，以A B为边作第二个等边三角形△A BB ，交直线b于点B ，…，顺次这 1 1 1 1 1 样做下去，第2020个等边三角形的边长为（ ） A．22019 B．22000 C．4038 D．4040 8．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线y=x+2与y轴相交于点A ，过点A 作x轴的平行线交 0 0 直线y=0.5x+1于点B ，过点B 作y轴的平行线交直线y=x+2于点A ，再过点A 作x轴的平行线交直线 1 1 1 1 y=0.5x+1于点B ，过点B 作y轴的平行线交直线y=x+2于点A ，…，依此类推，得到直线y=x+2上 2 2 2 的点A ，A ，A ，…，与直线y=0.5x+1上的点B ，B ，B ，…，则AB 的长为（ ） 1 2 3 1 2 3 8 9 A．64 B．128 C．256 D．512 ❑√3 9．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，已知直线l：y= x与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作 3 y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ， 1 1 1 过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ……按此作法继续下去，则点B 的坐标为（ ） 1 2 2022A． B． (42022×❑√3,42022) (22022×❑√3,22022) C． D． (4044❑√3,4044) (2022❑√3,2022) 10．（2024·山东东营·二模）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B 都是边长为2的等边三角形，边 1 1 1 2 2 2 3 ❑√3 OA在y轴上，点B ，B ，B ，…，都在直线y= x上，则点A 的坐标是 ． 1 2 3 3 2024 11．（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l 于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A 作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的 1 垂线交y轴于点A2；……，按如此作法继续下去，则A 的坐标为 ． 2022 12．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，已知直线l:y=❑√3x，过点M(2,0)作x轴的垂线交直线l 于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M ；过点M 作x轴的垂线交直线l于N ，过点N 作直线l的垂线 1 1 1 1交x轴于点M ,⋅⋅⋅；按此作法继续下去，则点M 的坐标为 ； 2 n 13．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，已知 、 、 在直线 B (1,y ) B (2,y ) B (3,y ) ⋅⋅⋅ 1 1 2 2 3 3 1 y= x+1上，按照如图所示方法分别作等腰△A B A 面积为S ，等腰△A B A 面积为S ⋅⋅⋅，（其中 2 1 1 2 1 2 2 3 2 1 点A 都在x轴正半轴上，∠B都为顶角，i=1,2,3,⋅⋅⋅），若OA = ，则S = ，则S = i i 1 3 4 2023 ． 14．（23-24八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，直线l与y轴交于点A (0,1)，且直线l与x轴 1 相交所成的锐角为45°，如图所示，在直线l上，点C ，C ，C ，C ⋯在x轴正半轴上，依次作正方形 1 2 3 4 OA B C ，正方形C A B C ，正方形C A B C ，正方形C A B C ，⋯，点A ，A ,A ,A ，则 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4 只由前n个正方形所形成图形的周长和是 ．（用n的代数式表示）15．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为2的 1 1 1 2 2 2 3 等边三角形，点A在x轴上，点O，B ,B ,B ，…都在正比例函数y=kx的图象上，则点B 的坐标是 1 2 3 2022 ． ❑√3 16．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线y=− x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，在△ 3 OAB内作等边三角形，使它的一边在x轴上，一个顶点在边AB上，作出的第1个等边三角形是△OA B 1 1 ，第2个等边三角形是△B A B ，第3个等边三角形是△B A B ，…则第2024个等边三角形的边长等于 1 2 2 2 3 3 ． 1 17．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…在直线y= x+b上， 1 2 3 5点B ，B ，B ，…在x轴上，△OA B ，△B A B ，△B A B …是等腰直角三角形． 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 ∠OA B =∠B A B =∠B A B =90°，如果点A (1，1)，那么A 的纵坐标是 ． 1 1 1 2 2 2 3 3 1 3 18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机 ❑√3 从A (1,0)与x轴成120°角出发，触碰到直线y= x上的A 点后，与原方向成60°角折回，再触碰到x 1 3 2 轴上的A 点后，与原方向成60°角折回，依次进行，当无人机行至A 时，无人机行驶的路程是 3 2021 ．