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专题 19.3 一次函数中的规律问题
◆ 典例分析
【典例1】在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A ，按如图方式作正方形A B C O，
1 1 1 1
A B C C ，A B C C ，…，A B C C ，点A ，A ，A ，…，A 在直线y=x+1上，点C ，C ，
2 2 2 1 3 3 3 2 n n n n−1 1 2 3 n 1 2
C ，…C 在x轴上，连接A C ，A C ，…，A C ，则直线A C 的解析式为 ．
3 n−1 3 1 4 2 n n−2 n n−2
(n≥3)
【思路点拨】
根据直线y=x+1和各个正方形，求出点A ，A ，A ，A 和点C ，C ，C 的坐标，根据它们的变化
1 2 3 4 1 2 3
规律求出点A 和C 的坐标，再由待定系数法求出直线A C 的解析式即可．
n n−2 n n−2
【解题过程】
解：当x=0时，y=x+1=1，
∴A (0,1)．
1
又∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴C (1,0)，
1
∴A 的横坐标为1，纵坐标y=x+1=1+1=2，
2
∴A (1,2)，
2
∴C 的横坐标为OC +C C =1+2=3，
2 1 1 2
∴C (3,0)，
2
∴A 的横坐标为3，纵坐标y=x+1=3+1=4，
3
∴A (3,4)，
3
∴C 的横坐标为OC +C C =3+4=7，
3 2 2 3
∴C (7,0)，
3
∴A 的横坐标为7，纵坐标为y=x+1=7+1=8，
4
∴A (7,8)，
4∴A (0,1)，A (1,2)，A (3,4)，A (7,8)，⋯⋯，A (2n−1−1,2n−1 )，
1 2 3 4 n
C (1,0)，C (3,0)，C (7,0)，⋯⋯，C (2n−1,0)，
1 2 3 n
∴C (2n−2−1,0)．
n−2
设直线A C 的解析式为y=kx+b，将点A (2n−1−1,2n−1 )，C (2n−2−1,0)，
n n−2 n n−2
{2n−1=(2n−1−1)k+b)
分别代入，得 ，
0=(2n−2−1)k+b
{ k=2 )
解得： ，
b=2−2n−1
∴直线A C 的解析式为y=2x+2−2n−1
n n−2
故答案为：y=2x+2−2n−1．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图的方式
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
放置，其中点A ，A ，A ，…和点C ，C ，C ，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的坐标是（
1 2 3 1 2 3 2023
）
A．(22022−1,22023) B．(22023−1,22022)
C．(22021,22022−1)D．(22022−1,2021)
【思路点拨】
根据直线y=x+1和正方形的性质得出点B 的坐标，然后再推出点B 、B 、B 的坐标，……点B 的坐标是
1 2 3 4 n，即可得出答案．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过求出
(2n−1,2n−1)
B 、B 、B 、B 的坐标，找出规律是解题的关键．
1 2 3 4
【解题过程】
解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，
∴A 的坐标为(0,1).
1
∵四边形A B C O为正方形，
1 1 1
∴B 的坐标为(1,1)，C 的坐标为(1,0).
1 1
当x=1时，y=2，
∴A 的坐标为(1,2)，
2
∵四边形A B C C 为正方形，
2 2 2 1
∴B 的坐标为(3,2)，C 的坐标为(3,0).
2 2
同理，可知：B 的坐标为(7,4)，B 的坐标为(15,8)，B 的坐标为(31,16)，……，
3 4 5
∴B 的坐标为(2n−1,2n−1)（n为整数），
n
∴点B 的坐标是(22023−1,22022).
2023
故选：B.
2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，直线l：y=x−1与x轴交于点A ，如图所
1
示，依次作正方形A B C O，正方形A B C C ，…，正方形，使得点A 、A 、A 、…，在直线l上，
1 1 1 2 2 2 1 1 2 3
点C ，C ，C ，…，在y轴正半轴上，则点B 的坐标为（ ）
1 2 3 2024
A．(22023,22024−1) B．(22024,22024)
C．(22023,22023−1) D．(22023,22024+1)
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律B (2n−1,2n−1)（n为正整数）是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性
n
质可得出点A ，B 的坐标，同理可得出A 、A 、A 、A …及B 、B 、B 、B …的坐标，根据点的坐标
1 1 2 3 4 5 2 3 4 5
变化可找出变化规律为B (2n−1,2n−1)（n为正整数），依此规律即可得出结论．
n
【解题过程】
解：直线l：y=x−1与x轴交于点A ，
1
∴当y=0时，x=1，
∴A (1,0)，
1
∵A B C O为正方形，
1 1 1
∴B (1,1)，
1
同理可得：A (2,1)，A (4,3)，A (8,7)，A (16,15)…，
2 3 4 5
B (2,3)、B (4,7)、B (8,15)、B (16,31)…
2 3 4 5
∴B (2n−1,2n−1)（n为正整数），
n
∴点B 的坐标为(22023,22024−1)
2024
故选：A．
3．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图.在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…在直线
1 2 3
1
y= x+b上，点B ，B ，B ，…在x轴上，△OA B ，△B A B ，△B A B ，…是等腰直角三角形，
5 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3
且∠OA B =∠B A B =∠B A B =⋅⋅⋅=90°.如果点A (1，1)，那么A 的纵坐标是( )
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2023
(3) 2022 (3) 2021 (4) 2022 (4) 2021
A． B． C． D．
2 2 3 3
【思路点拨】
设点A ，A ，A …，A 坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
2 3 4 2022【解题过程】
解：如图，
1
∵A (1，1)在直线y= x+b上，
1 5
4
∴b= ，
5
1 4
∴y= x+ ，
5 5
设A (x ，y )，A (x ，y )，A (x ，y )，…，A (x ，y )，
2 2 2 3 3 3 4 4 4 2023 2023 2023
1 4 1 4 1 4
则有y = x + ，y = x + ，…y = x + ，
2 5 2 5 3 5 3 5 2022 5 2022 5
又∵△OA B ，△B A B ，△B A B ，…都是等腰直角三角形，
1 1 1 2 2 2 3 33
∴x =2y + y ，x =2y +2y + y ，…，x =2y +2y +2y +…+2y + y ，
2 1 2 3 1 2 3 2023 1 2 3 2022 2023
将点坐标依次代入直线解析式得到：
1 1 1 3 3 3
y = y +1，y = y + y +1= y ，y = y ，…，y = y ，
2 2 1 3 2 1 2 2 2 2 4 2 3 2023 2 2022
又∵y =1，
1
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2022
∴y = ，y = ，y = ，…，y = ，
2 2 3 2 4 2 2023 2
故选：A．
4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）正方形A B C A ，A B C A ，A B C A ，按图中方式放置，
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4
点A ，A ，A ，…和点B ，B ，B ，…在直线y=x+1和x轴上，则点C 的纵坐标是（ ）
1 2 3 1 2 3 2023A．22023 B．22022 C．22023−1 D．22022−1
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型，解题的关键是利用一次函数图象上
点的坐标特征及正方形的性质可得出点A ，A ，A 的坐标，即可根据正方形的性质得出C ，C ，C 的纵
1 2 3 1 2 3
坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点C 的纵坐标为2n−1，再代入n=2023即可得出结论．
n
【解题过程】
解：如图所示，过点C 作C D⊥x轴于D，
1 1
当x=0时，y=x+1=1，当y=0时，x=−1，
∴点A 的坐标为(0，1)，点A的坐标为(−1，0)，
1
∵四边形A B C A 为正方形，
1 1 1 2
∴∠A AO=∠A B A=∠C B D=45°，
1 1 1 1 1
∴A A=A B =C B ，
1 1 1 1 1
∴Rt△A AO≌Rt△C B D，
1 1 1
∴A O=C D，
1 1
∴点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，都为1，
1 1
当x=1时，y=x+1=2，
∴点A 的坐标为(1，2),
2
同理，点C 的纵坐标为2，
2
同理，可知：点A 的坐标为(3，4)，
3
点C 的纵坐标为4，
3
……，
∴点C 的纵坐标为2n−1，
n
∴点C 的纵坐标为22022．
2023
故选：B．
5．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，等腰直角三角形A B O、A B B 、A B B
1 1 2 2 1 3 3 2、…、A B B 按如图所示的方式放置，其中点A 、A 、A 、…、A 均在一次函数y=kx+b的图象
n n n−1 1 2 3 n
上，点B 、B 、B 、…、B 均在x轴上．若点B 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(3,0)，则点A 的坐标为
1 2 3 n 1 2 2023
（）
A．(22023−1,22023) B．(22022,22022+1)
C．(22022−1,22022)D．(22023,22023+1)
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图
象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点B 的坐标的规律．首先，根据等
n
腰直角三角形的性质求得点A 、A 的坐标；然后，将点A 、A 的坐标代入一次函数解析式，利用待定系
1 2 1 2
数法求得该直线方程是y=x+1；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点B 的坐标，即可求得点B 的
n−1 4
坐标，找到规律，即可求解；
【解题过程】
解：∵点B 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(3,0)，
1 2
∴OB =1,OB =3，则B B =2．
1 2 1 2
∵△A B O是等腰直角三角形，∠A OB =90°，
1 1 1 1
∴OA =OB =1.
1 1
∴点A 的坐标是(0,1)．
1
同理，在等腰直角△A B B 中，∠A B B =90°,A B =B B =2，则A (1,2)．
2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2
∵点A 、A 均在一次函数y=kx+b的图象上，
1 2
∴1=b,2=k+b，解得k=1，
∴一次函数的解析式是y=x+1，
∵点A ,B 的横坐标相同，都是3，当x=3时，y=4，
3 2
∴A (3,4),
3
∴A B =4,
3 2∴B (7,0)，
3
同理可得B (15,0),B (31,0),⋯⋯,∴B (2n−1,0)，
4 5 n
∴B (22022−1,0)，
2022
当x=22022−1时，y=22022−1+1=22022，
∴点A 的坐标为(22022−1,22022)，
2023
故选C．
1
6．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线a：y=x，直线b：y=− x和点P(1,0)，过点
2
P(1,0)作y轴的平行线交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线，交直线b于点P ，过点P 作y轴的平行
1 1 2 2
线，交直线a于点P ，过点P 作x轴的平行线交直线b于点P ，…，按此作法进行下去，则点P 的横坐标
3 3 4 15
为（ ）
A．−26 B．−27 C．−214 D．−215
【思路点拨】
点P(1,0)，P 在直线y=x上，得到P (1,1)，求得P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，得到P (−2,1)，即P 的
1 1 2 1 2 2
横坐标为−2=−21，同理，P 的横坐标为−2=−21，P 的横坐标为4=22，P 的横坐标为22，P 的横坐标
3 4 5 6
为−23，P 的横坐标为−23，P 的横坐标为24，P 的横坐标为24，……，求得P 的横坐标为22n，于是得
7 8 9 4n
到结论．
【解题过程】
解：∵过点P(1,0)作y轴的平行线交直线a于点P ，
1
∴P 在直线y=x上，
1∴P (1,1)，
1
∵P P ∥x轴，
1 2
∴P 的纵坐标=P 的纵坐标=1，
2 1
1
∵P 在直线y=− x上，
2 2
1
∴1=− x，
2
∴x=−2，
∴P (−2,1)，即P 的横坐标为−2=−21，
2 2
∵P P ∥y轴，
2 3
∴P 的横坐标为−2=−21，且P 在直线y=x上，
3 3
∴y=−2，
∴P (−2,−2)，
3
∵P P ∥x轴，
3 4
1
∴P 的纵坐标=P 的纵坐标=−2，且P 在直线y=− x上，
4 3 4 2
1
∴−2=− x，
2
∴x=4，
∴P (4,−2)，即P 的横坐标为4=22，
4 4
∵P P ∥y轴，
4 5
∴P 的横坐标为4=22，且P 在直线y=x上，
5 5
即：P 的横坐标为1，
1
P 的横坐标为−21，P 的横坐标为−21，
2 3
P 的横坐标为22，P 的横坐标为22，
4 5
用同样的方法可得：
P 的横坐标为−23，P 的横坐标为−23，
6 7
P 的横坐标为24，P 的横坐标为24，
8 9
……，
∴P 的横坐标为22n，
4n
∴P 的横坐标为22×3=26，P 的横坐标为26，
12 13
∴P 的横坐标为−27，P 的横坐标为−27．
14 15
故选：B．7．（22-23八年级下·河南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线a的解析式为y=❑√3x+1，直线b的解
❑√3
析式为y= x，直线a交y轴于点A，以OA为边作第一个等边三角形ΔOAB，交直线b于点B，过点B作
3
y轴的平行线交直线a于点A ，以A B为边作第二个等边三角形△A BB ，交直线b于点B ，…，顺次这
1 1 1 1 1
样做下去，第2020个等边三角形的边长为（ ）
A．22019 B．22000 C．4038 D．4040
【思路点拨】
延长A B交x轴于D，A B 交x轴于E，根据等边三角形的性质得OA=OB，A B=BB ，A B =B B ，
1 2 1 1 1 2 1 2 1
❑√3
直线b的解析式为y= x，得∠BOD=30°，由直线a的解析式y=❑√3x+1得第一个等边三角形边长为
3
❑√3 1 ❑√3
1，解Rt△OBD得OD= ，BD= ，把x= 代入y=❑√3x+1求得A 的纵坐标，即可求得第二个等边
2 2 2 1
三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长．
【解题过程】
解：延长A B交x轴于D，延长A B 交x轴于E，
1 2 1
∵ΔOAB，△BA B ，△B A B 均为等边三角形，
1 1 1 2 2
∴OA=OB，A B=BB ，A B =B B ，
1 1 2 1 2 1❑√3
∵直线b的解析式为：y= x，
3
∴∠BOD=30°，
对于直线a，y=❑√3x+1，当x=0时，y=1，
∴点A的坐标为(0,1)，
∴OA=OB=1，
在RtΔOBD中，OB=1，∠BOD=30°，
1 1 ❑√3
∴ BD= OB= ，OD= ，
2 2 2
❑√3 1
∴点B的坐标为( , )，
2 2
❑√3 5
对于y=❑√3x+1，当x= 时，y= ，
2 2
❑√3 5
∴点A 的坐标为( , )，
1 2 2
5
∴ A D= ，
1 2
∴A B=BB =A D−BD=2=21 ，
1 1 1
∴OB =OB+BB =3，
1 1
在Rt△OB E中，OB =3，∠B OE=30°，
1 1 1
3 3❑√3
∴ B E= ，OE= ，
1 2 2
3❑√3 3
∴点B 的坐标为( , )，
1 2 2
3❑√3 11
对于y=❑√3x+1，当x= 时，y= ，
2 2
11
∴ A E= ，
2 2
∴A B =A E−B E=4=22 ，
2 1 2 1
同理得：A B =23 ，……，
3 2
以此类推，第n个等边三角形的边长为2n−1，
∴第2020个等边三角形的边长为22019．故选：A．
8．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线y=x+2与y轴相交于点A ，过点A 作x轴的平行线交
0 0
直线y=0.5x+1于点B ，过点B 作y轴的平行线交直线y=x+2于点A ，再过点A 作x轴的平行线交直线
1 1 1 1
y=0.5x+1于点B ，过点B 作y轴的平行线交直线y=x+2于点A ，…，依此类推，得到直线y=x+2上
2 2 2
的点A ，A ，A ，…，与直线y=0.5x+1上的点B ，B ，B ，…，则AB 的长为（ ）
1 2 3 1 2 3 8 9
A．64 B．128 C．256 D．512
【思路点拨】
此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线
y=x+2，令x=0求出y的值，确定出A 纵坐标，即为B 的纵坐标，代入直线y=0.5x+1中求出B 的横坐
0 1 1
标，即可求出A B 的长，由B 与A 的横坐标相等得出A 的横坐标，代入y=x+2求出纵坐标，即为B 的
0 1 1 1 1 2
纵坐标，代入直线y=0.5x+1中求出B 的横坐标，即可求出A B 的长，同理求出A B ，A B ，…，归
2 1 2 2 3 3 4
纳总结即可得到A B 的长．弄清题中的规律是解本题的关键．
8 9
【解题过程】
解：对于直线y=x+2，令x=0，求出y=2，
∴A (0,2)，
0
∵A B ∥x轴，
0 1
∴B 的纵坐标为2，
1
将y=2代入y=0.5x+1中得：x=2，
∴B (2,2)，
1
∴A B =2=21 ，
0 1
∵A B ∥y轴，
1 1
∴A 的横坐标为2，
1
将x=2代入直线y=x+2中得：y=4，A (2,4)，
1
∴A 与B 的纵坐标为4，
1 2
将y=4代入y=0.5x+1中得：x=6，
∴B (6，4)，
2
∴A B =6−2=4=22 ，
1 2
同理A B =8=23 ，…，A ❑ B =2n ，
2 3 n ﹣1 n
则A B 的长为29=512．
8 9
故选：D．
❑√3
9．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，已知直线l：y= x与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作
3
y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，
1 1 1
过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ……按此作法继续下去，则点B 的坐标为（ ）
1 2 2022
A．(42022×❑√3,42022) B．(22022×❑√3,22022)
C．(4044❑√3,4044) D．(2022❑√3,2022)
【思路点拨】
根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点B ，B 的坐标，通过相应规律得
1 2
到B 坐标即可．
2022
【解题过程】
❑√3
解：∵y= x与x轴的夹角是30°，
3
∴∠ABO＝30°，
∵A（0，1），AB⊥y轴，
当y＝1时，代入上式得：x＝❑√3，即AB＝❑√3，AO＝1，
∴OB＝2，B（❑√3，1），
∵A B⊥l，
1
∴OA ＝4，
1
∴A （0，4），B （4❑√3，4），
1 1
同理可得B (42×❑√3，42)，...，B (4n×❑√3，4n)，
2 n
∴B (42022×❑√3,42022)，
2022
故选：A．
10．（2024·山东东营·二模）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B 都是边长为2的等边三角形，边
1 1 1 2 2 2 3
❑√3
OA在y轴上，点B ，B ，B ，…，都在直线y= x上，则点A 的坐标是 ．
1 2 3 3 2024
【思路点拨】
本题主要考查正比例函数图像上点的变化特征．先求出OB 的长度，再用勾股定理求出B 的坐标，根
2024 2024
据A 和B 的位置关系即可求出A 的坐标．
2024 2024 2024
【解题过程】
解：∵△OAB ，△B A B ，△B A B 都是边长为2的等边三角形，
1 1 1 2 2 2 3
∴OB =2，OB =4，OB =6，
1 2 3
∴OB =2n，
n
∴OB =2×2024=4048，
2024
( ❑√3 ) ( ❑√3 )
设B x, x ，则A x, x+2
2024 3 2024 3
则x2+ (❑√3 x ) 2 =40482，
3解得x=2024❑√3，
∴B (2024❑√3,2024)，
2024
∴A (2024❑√3,2024+2)，即A (2024❑√3,2026)，
2024 2024
故答案为：(2024❑√3,2026)．
11．（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l
于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A 作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的
1
垂线交y轴于点A2；……，按如此作法继续下去，则A 的坐标为 ．
2022
【思路点拨】
根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A ，A 的坐标，通过相应规律得
1 2
到A 纵坐标即可．
2022
【解题过程】
解：∵直线l的解析式为：y=x，
∴l与x轴的夹角45°．
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=45°．
∵OA=1，
∴AB=1．
∵A B⊥l，
1
∴∠A A B=45°，
1
∴A A =1，
1
∴A （0，2），
1
同理可得A （0，4），A （0，8），
2 3
…，∴A 纵坐标为：2n，
n
∴A 纵坐标为：22022，
2022
∴A （0，22022）．
2022
故答案为：（0，22022）．
12．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，已知直线l:y=❑√3x，过点M(2,0)作x轴的垂线交直线l
于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M ；过点M 作x轴的垂线交直线l于N ，过点N 作直线l的垂线
1 1 1 1
交x轴于点M ,⋅⋅⋅；按此作法继续下去，则点M 的坐标为 ；
2 n
【思路点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据
直线l的解析式求出∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM N=30°，根据直角三角形30°角所对的
1
直角边等于斜边的一半求出OM =41 ⋅OM，然后表示出OM 与OM的关系，再根据点M 在x轴上写出
1 n n
坐标即可．
【解题过程】
解：∵直线l的解析式是y=❑√3x，
∴∠NOM=60°，∠ONM=30°．
∵M(2,0)，NM∥y轴，点N在直线y=❑√3x上，
∴OM=2，NM=2❑√3，
∴ON=2OM=4．
又∵N M ⊥l，即∠ON M =90°，
1 1
∴∠OM N=30°，OM =2ON=4OM=8．
1 1
同理，OM =4OM =42OM，
2 1
OM =4OM =4×42OM=43OM，
3 2
…OM =4nOM=2×4n ．
n
∴点M 的坐标是(2×4n,0)．
n
故答案是：(2×4n,0)．
13．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，已知B (1,y )、B (2,y )、B (3,y ) ⋅⋅⋅在直线
1 1 2 2 3 3
1
y= x+1上，按照如图所示方法分别作等腰△A B A 面积为S ，等腰△A B A 面积为S ⋅⋅⋅，（其中
2 1 1 2 1 2 2 3 2
1
点A 都在x轴正半轴上，∠B都为顶角，i=1,2,3,⋅⋅⋅），若OA = ，则S = ，则S =
i i 1 3 4 2023
．
【思路点拨】
关键一次函数图像上点的坐标特征，得到B 、B 、B 的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的
1 2 3
面积，得到变化规律进行求解．
【解题过程】
1
解：∵B (1,y )、B (2,y )、B (3,y )，…，在直线y= x+1上，
1 1 2 2 3 3 2
1 3 1 1 5 1 1 1
∴y = ×1+1= ，y = ×2+1=2，y = ×3+1= ，y = ×4+1=3，…，y = ×n+1= n+1
1 2 2 2 2 3 2 2 4 2 n 2 2
；
1
又∵OA = ，
1 3
( 1) 4
故A A =2× 1− =
1 2 3 31 4 3 2(1 )
∴S = × × =1= ×1+1 ；
1 2 3 2 3 2
( 1 4) 2
A A =2× 2− − =
2 3 3 3 3
1 2 2 (1 ) 1
S = ×2× = = ×2+1 × ；
2 2 3 3 2 3
( 1 4 2) 4
A A =2× 3− − − =
3 4 3 3 3 3
1 4 5 5 2(1 )
S = × × = = ×3+1 ；
3 2 3 2 3 3 2
( 1 4 2 4) 2
A A =2× 4− − − − =
4 5 3 3 3 3 3
1 2 (1 ) 1
S = × ×3=1= ×4+1 × =1；
4 2 3 2 3
…
(1 ) 2 (1 ) 1
∴S = n+1 × （n为奇数），S = n+1 × （n为偶数），
n 2 3 n 2 3
(1 ) 2
∴S = ×2023+1 × =675 ．
2023 2 3
故答案是：1；675．
14．（23-24八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，直线l与y轴交于点A (0,1)，且直线l与x轴
1
相交所成的锐角为45°，如图所示，在直线l上，点C ，C ，C ，C ⋯在x轴正半轴上，依次作正方形
1 2 3 4
OA B C ，正方形C A B C ，正方形C A B C ，正方形C A B C ，⋯，点A ，A ,A ,A ，则
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 1 2 3 4
只由前n个正方形所形成图形的周长和是 ．（用n的代数式表示）
【思路点拨】
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，根据图形，分别算出
正方形OA B C ，正方形C A B C ，正方形C A B C ，找到规律，即可求解，根据图形，找到规律
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
是解题的关键．【解题过程】
解：∵点A (0,1)，
1
∴A O=OC =1，
1 1
∴正方形OA B C 的周长为1×4=4=22；
1 1 1
∵直线l与x轴相交所成的锐角为45°，
∴A C =2，
2 1
∴正方形C A B C 的周长为2×4=8=23；
1 2 2 2
∴A C =4，
3 2
∴正方形C A B C 的周长为4×4=16=24；
2 3 3 3
∴第n个正方形的周长为2n+1；
∴前n个正方形所形成图形的周长和为：22+23+24+⋯+2n+1，
设S=22+23+24+⋯+2n+1①，
则2S=23+24+25+⋯+2n+2②，
∴②−①得，S=23+24+25+⋯+2n+2−(22+23+24+⋯+2n+1)=2n+2−4，
∴22+23+24+⋯+2n+1=2n+2−4，
故答案为：2n+2−4．
15．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图放置的△OAB ，△B A B ，△B A B ，…都是边长为2的
1 1 1 2 2 2 3
等边三角形，点A在x轴上，点O，B ,B ,B ，…都在正比例函数y=kx的图象上，则点B 的坐标是
1 2 3 2022
．
【思路点拨】
本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，等边三角形的性质，勾股定理等等，过点B 作B C⊥OA于
1 1C，过点B 作B D⊥A B 于D，通过勾股定理和等边三角形的性质求出B C=❑√3，则B (1，❑√3)，进而
2 2 1 1 1 1
利用待定系数法求出正比例函数解析式为y=❑√3x，通过求出点B 的纵坐标为2❑√3，点B 的纵坐标为3❑√3
2 3
，以此类推，可知点B 的纵坐标为❑√3n，进而求出点B 的纵坐标，再代入正比例解析式中求解即可．
n 2022
【解题过程】
解：如图所示，过点B 作B C⊥OA于C，过点B 作B D⊥A B 于D，
1 1 2 2 1 1
∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1
1
∴OC= OA=1，OB =2，B O=2，∠B OA=60°，
2 1 1 1
∴B C=❑√B O2−OC2=❑√3，
1 1
∴B (1，❑√3)，
1
∴k=❑√3，
∴正比例函数解析式为y=❑√3x
同理可得B D=❑√3，
2
由等边三角形的性质可得∠B B A =∠B OA=60°，
2 1 1 1
∴OA∥B A ，
1 1
∴点B 的纵坐标为2❑√3，
2
点B 的纵坐标为3❑√3，
3
……，
以此类推，可知点B 的纵坐标为❑√3n，
n
∴点B 的纵坐标为2022❑√3，
2022
在y=❑√3x中，当y=❑√3x=2022❑√3时，x=2022，∴点B 的坐标是(2022，2022❑√3)，
2022
故答案为：(2022，2022❑√3)．
❑√3
16．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线y=− x+1与y轴交于点A，与x轴交于点B，在△
3
OAB内作等边三角形，使它的一边在x轴上，一个顶点在边AB上，作出的第1个等边三角形是△OA B
1 1
，第2个等边三角形是△B A B ，第3个等边三角形是△B A B ，…则第2024个等边三角形的边长等于
1 2 2 2 3 3
．
【思路点拨】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律
❑√3
推理．过点A 作A D⊥x轴于点D，由直线y=− x+1求出B(❑√3,0)，C(0,1)，从而得到BC和OC
1 1 3
1 1
的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出∠OBC=30°，从而求出C A = OC= ，再根据勾
1 2 2
❑√3 ❑√3 1 ❑√3 1 ❑√3
股定理得出A A = ，从而得到A B =A A = ，B A = A B = ，B A = A B = ，依此
1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 3 2 2 2 23
❑√3
类推，第n个等边三角形的边长等于 ，据此即可求解．
2n
【解题过程】
解：如图，过点A 作A D⊥x轴于点D，
1 1❑√3
∵直线y=− x+1与x、y轴交于B、C两点，
3
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=❑√3，
∴点B(❑√3,0)，C(0,1)，
∴OB=❑√3,OC=1，
∴BC=❑√OB2+OC2=2，
∴BC=2OC，
∴∠OBC=30°，
∴∠OCB=60°，
∵△A A B 是等边三角形，
1 1
∴∠A AB =60°，
1 1
∴∠COA =30°，
1
∴∠C A O=90°，
1
1 1
∴C A = OC= ，
1 2 2
❑√3
∴A A =❑√OC2−C A 2= ,
1 1 2
❑√3
∴第1个等边三角形的边长A B =A A = ，
1 1 1 2
1 ❑√3
同理：第2个等边三角形的边长B A = A B = ，
1 2 2 1 1 22
1 ❑√3
第3个等边三角形的边长B A = A B = ，
2 3 2 2 2 23
……，
❑√3
由此发现：第n个等边三角形的边长等于 ，
2n
❑√3
∴第2024个等边三角形的边长等于 ．
22024
❑√3
故答案为： ．
22024
1
17．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…在直线y= x+b上，
1 2 3 5
点B ，B ，B ，…在x轴上，△OA B ，△B A B ，△B A B …是等腰直角三角形．
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3∠OA B =∠B A B =∠B A B =90°，如果点A (1，1)，那么A 的纵坐标是 ．
1 1 1 2 2 2 3 3 1 3
【思路点拨】
过点A 作A C ⊥x轴于C ，过点A 作A C ⊥x轴于C ，过点A 作A C ⊥x轴于C ，设A C =m，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2
A C =n，分别求出点A 的坐标为(2+m，m)，点A 的坐标为(2+2m+n，n)，由点A (1，1)在直线
3 3 2 3 1
1 1 4 1 4 3
y= x+b上得出该直线的表达式为：y= x+ ，由点A (2+m，m)在直线y= x+ 上，得出m= ，
5 5 5 2 5 5 2
1 4 3
再由点A (2+2m+n，n)在直线y= x+ 上，得出4n=6+2m，代入m= 求出n的值即可．
3 5 5 2
【解题过程】
解：如图，过点A 作A C ⊥x轴于C ，过点A 作A C ⊥x轴于C ，过点A 作A C ⊥x轴于C ，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
，
设A C =m，A C =n，
2 2 3 3
∵点A (1，1)，
1
∴OC =A C =1，
1 1 1
∵△OA B 为等腰直角三角形，且∠OA B =90°，
1 1 1 1
∴OB =2OC =2，
1 1
同理可得：A C =B C =m，B B =2B C =2m，A C =B C =n，
2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 3
∴OC =OB +B C =2+m，OC =OB +B B +B C =2+2m+n，
2 1 1 2 3 1 1 2 2 3
∴点A 的坐标为(2+m，m)，点A 的坐标为(2+2m+n，n)，
2 3
1
∵点A (1，1)在直线y= x+b上，
1 5
1
∴1= ×1+b，
54
解得：b= ，
5
1 4
∴该直线的表达式为：y= x+ ，
5 5
1 4
∵点A (2+m，m)在直线y= x+ 上，
2 5 5
1 4
∴m= (2+m)+ ，
5 5
3
解得：m= ，
2
1 4
∵点A (2+2m+n，n)在直线y= x+ 上，
3 5 5
1 4
∴n= (2+2m+n)+ ，
5 5
整理得：4n=6+2m，
3 9
将m= 代入4n=6+2m得：n= ，
2 4
9
∴点A 的纵坐标为 ，
3 4
9
故答案为： ．
4
18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机
❑√3
从A (1,0)与x轴成120°角出发，触碰到直线y= x上的A 点后，与原方向成60°角折回，再触碰到x
1 3 2
轴上的A 点后，与原方向成60°角折回，依次进行，当无人机行至A 时，无人机行驶的路程是
3 2021
．
【思路点拨】
本题考查了一次函数与几何的综合，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律．先由直线方程求得直线与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三
角形是前一个等边三角形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程．
【解题过程】
❑√3
解：如图，在直线y= x上任取一点P，作PQ⊥x轴，垂足为点Q，取OP的中点M．
3
( ❑√3 ) ❑√3
设P a, a ，即OQ=a,PQ= a，
3 3
在Rt△OPQ中，OP=❑√OQ2+PQ2=❑ √ a2+ (❑√3 a ) 2 = 2❑√3 a，
3 3
∴OP=2PQ，
∵点M是斜边OP的中点，
1
∴MQ= OP=PM=PQ
2
∴△MPQ是等边三角形．
∴∠OPQ=60°，
∴∠POQ=30°.
即∠A OA =30°．
2 1
由A 与x轴成120°角出发，即∠OA A =120°，
1 1 2
∴∠A A A =180°−120°=60°，
2 1 3
依题意∠A A A =60°，
1 2 3
∴△A A A 是等边三角形．
1 2 3
同理：△A A A 、△A A A 、⋯、△A A A （n为正整数）均为等边三角形．
3 4 5 5 6 7 2n−1 2n 2n+1
由∠A OA =30°与∠OA A =120°，得∠OA A =30°，
2 1 1 2 2 1
∴A A =OA =1．则A A =OA
1 2 1 1 3 11
由A A ∥A A 可得A A = A A ，
1 2 3 4 1 2 2 3 4
∴A A =2．
3 4
所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍．
∴(A A +A A )+(A A +A A )+(A A +A A )+⋯+(A A +A A )
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 2019 2020 2020 2021
2020
=(1+1)+(2+2)+(4+4)+⋯+2 2
=21+22+23+⋯+21010
设S=21+22+23+⋯+21010
则2S=22+23+⋯+21011
两式相减得：S=21011−2．
故答案为：21011−2．
