文档内容
专题 19.3 一次函数的图象与性质（二）【八大题型】
【人教版】
【题型1 一次函数的平移问题】..............................................................................................................................1
【题型2 一次函数与坐标轴的交点问题】..............................................................................................................2
【题型3 应用一次函数解决有关最值问题】.........................................................................................................3
【题型4 一次函数中的对称性问题】......................................................................................................................4
【题型5 根据两直线的平行关系求解析式】.........................................................................................................5
【题型6 根据两直线的交点位置求解】..................................................................................................................5
【题型7 一次函数的图象与几何图形的综合】.....................................................................................................6
【题型8 一次函数的有关的规律探究问题】.........................................................................................................8
【题型1 一次函数的平移问题】
【例1】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）将直线y=kx+b向左平移2个单
位，再向上平移4个单位，得到直线y=2x，则（ ）
A．k=2，b=-8 B．k=-2，b=2 C．k=1，b=-4 D．k=2，b=4
【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）一次函数y=x-6的图象是由一次函数y=x+3的
图象（ ）得到的
A．向上平移9个单位长度 B．向左平移9个单位长度
C．向右平移9个单位长度 D．向下平移9个单位长度
【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿y轴向上平
移3个单位后恰好经过原点，则b的值为 ．
【变式1-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知函数y 的图象是由一次函数y 的图象平移得到，它
2 1
们的部分自变量的值与对应的函数值如表所示，则m的值是（ ）
x m 0 2
y 5 -1 t
1y 9 n -1
2
A．-3 B．-2 C．-1 D．1
【题型2 一次函数与坐标轴的交点问题】
【例2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，直线y=kx-2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分
2 3
别交于点A，B，则 + 的值是（ ）
OA OB
A．-1 B．1 C．0 D．无法确定
【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）一条直线经过点A(0,2)，
与x轴交于点B，且△AOB的面积为4，则直线AB的解析式为 ．
【变式2-2】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，直线l ：y=-x-b分别与x，y轴交于A(6,0)、
1
B两点，过点B的直线l 交x轴的负半轴于点C，且OB:OC=3:1，直线BC的函数解析式为
2
．
2
【变式2-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，直线y= x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，
3( 1 )
点Q的坐标为 m-4, m ，点Q在△ABO的内部（不包括△ABO的边），且m为整数，则满足条件的m
2
所有值的和为 ．
【题型3 应用一次函数解决有关最值问题】
【例3】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知A(0,2)，B(3,5)，点P为x轴上任意一点，当PA+PB
取最小值时，点P坐标为 ．
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则
使△ABP的周长为最小值时P点坐标为 ．
【变式3-2】（2023·江苏·模拟预测）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足|y|≤M，
则称这个函数是有界函数．其中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（a≤x≤b，且
a≠b）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是 ．
【变式3-3】（2023春·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形
的边长为1，△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)，点B的坐标是(-2,0)．(1)点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；
(2)请作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C' (点A与点A'对应，点B与点B'对应，点C与点C'对应)：
(3)y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是 ．
【题型4 一次函数中的对称性问题】
【例4】（2023春·山东德州·八年级统考期末）一次函数y=kx-5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于
y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k=2,b=5 B．k=-2,b=5 C．k=2,b=-5 D．k=-2,b=-5
【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于一次函数y=2x﹣1，y=﹣2x+1的图象，下列说法正
确的是（ ）
A．关于直线y=﹣x对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称
【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，直线l 与l 关于直线y=1对称，若直线l 的
1 2 1
表达式为y=-2x+3，则直线l 与y轴的交点坐标为（ ）
2
1 2
A．(0, ) B．(0, ) C．(0,0) D．(0,-1)
2 3
【变式4-3】（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线y=-3x+b与直线
y=kx-1关于直线x=2对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k=-3，b=11B．k=3，b=11
1 1
C．k= ，b=1 D．k=- ，b=1
3 3
【知识点 两条直线的位置关系探究】y=k x+b k ≠0 y=k x+b k ≠0
直线 1 1（ 1 ）与 2 2（ 2 ）的位置关系：
k =k b ≠b
（1）两直线平行⇔ 1 2且 1 2
k ≠k
（2）两直线相交⇔ 1 2
k =k b =b
（3）两直线重合⇔ 1 2且 1 2
k k =−1
（4）两直线垂直⇔ 1 2
【题型5 根据两直线的平行关系求解析式】
【例5】（2023春·湖北·八年级校考阶段练习）P(m，n)为坐标平面内一点，且|m|≤1，|n|≤1，过P
点作直线PQ与y=-2x平行，交y轴Q(0，b)．当P点在区域内运动时，求b=2m+n的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知某一次函数的图像与直线y=-3x+1平行，且经过
点A(1,2)，则这个一次函数的解析式为 ．
【变式5-2】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，点M的坐标为(3,2)，点P从原点O出发，以每
秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=-x平行，如果
点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为
【变式5-3】（2023春·广西北海·八年级统考期中）在平面直角坐标系中有两点A(-1,2)，B(2,3)，如果
函数y=kx-1的图象与线段AB的延长线相交（交点不包括点B），则实数k的取值范围是 ．
【题型6 根据两直线的交点位置求解】
【例6】（2014·陕西·八年级专题练习）若一次函数 y＝ax＋b 的图象与一次函数 y＝mx＋n 的图象相交，
且交点在 x 轴上， 则 a、b、m、n 满足的关系式是 ．【变式6-1】（2023·贵州贵阳·统考一模）在同一平面直角坐标系中，两个一次函数 与
y=k x+5(k >0)
1 1
的图象相交，则其交点一定在（ ）
y=k x+7(k <0)
2 2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，已知直线l 经过原点与点P（m，
1
2m），直线l：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．
2
(1)求证：点（﹣2，﹣3）在直线l 上；
2
(2)当m＝2时，请判断直线l 与l 是否相交？
1 2
【变式6-3】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若直线y=nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．
【题型7 一次函数的图象与几何图形的综合】
【例7】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(4，b)满足关
系式(a＋3)2＋√b-7＝0，AB交y轴于点C，
(1)①a= ，b= ，三角形AOB的面积= ；
②求点C的坐标；
(2)点P在y轴上，且三角形PAB的面积为21，求点P的坐标；
(3)如图2，若(2)中点P在y轴的正半轴上，过点P在AP左侧作∠APQ=∠PAB，PQ交x轴于点Q，过点Q
作QR∥PB，交BA的延长线于点R，求点R的坐标．
【变式7-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(1，2)，B(5，2)．若一次函数y=kx-2(k≠0)的图象经过C点，且与x，y轴分别交于M，N，求△OMN的面积．
【变式7-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，C(0,5)、D(a,5)，
A、B在x轴上，连接AC、CD、BC，点E在BC上，连接DE,∠CAB=∠D．
(1)请直接写出AB与CD的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：∠ACB=∠CED；
( 5 )
(3)连接AE，若点A - ,0 ,E(2,1)，请直接写出三角形ACE的面积．
2
3
【变式7-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x+m 分别与
4
3
x 轴、y 轴交于点 B、A，其中B点坐标为（12，0）．直线y= x与直线AB相交于点C．
8(1)求点A的坐标．
(2)求△BOC的面积．
(3)点D为直线 AB 上的一个动点，过点D作 x 轴的垂线，与直线 OC 交于点 E，设点D 的横坐标为t，
线段DE的长度为d．
①求d与t 的函数解析式(写出自变量的取值范围)．
1
②当动点D在线段 AC 上运动，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（ ，t）、G（1，t）
2
为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t的 取值范围 ．
【题型8 一次函数的有关的规律探究问题】
【例8】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分
别为直线l ，l ，过点(1,0)作x轴的垂线交l 于点A ，过A 点作y轴的垂线交l 于点A ，过点A 作x轴的垂
1 2 1 1 1 2 2 2
线交l 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点A ，…依次进行下去，则点A 的坐标为（ ）
1 3 3 2 4 2023
A． B．
(-21011,-21012) (-10112,10112)
C． D．
(-21011,21011) (-21011,-21011)
【变式8-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）直线y=kx+k（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三
角形的面积为S ，当k分别为1，2，3，……，2022，2023时，则S +S +S +⋅⋅⋅+S +S =
k 1 2 3 2022 2023
（ ）
A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638
【变式8-2】（2023春·四川凉山·八年级统考期末）如图，△A B A ，△A B A ，△A B A ，……，
1 1 2 2 2 3 3 3 4
△A B A 都是等腰直角三角形．其中点A ，A ，……，A 在x轴上，点B ，B ，……，B 在直线
n n n+1 1 2 n 1 2 n
y=x上．已知OA =1，则OA 的长是（ ）
1 2023A．22021 B．22022 C．22023 D．22024
1 1
【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，直线l ：y=x+1与直线l：y= x+ 相交于
1 2 2 2
点P(﹣1，0)．直线l 与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l
1 2
上的点B 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到
1 1 1
达直线l 上的点B 处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向
2 2 1 2
运动，…，照此规律运动，动点C依次经过点
B ，A ，B ，A ，B ，A ，…，B ，A ，…，则当动点C到达A 处时，运动的总路径
1 1 2 2 3 3 2022 2022 2022
的长为（ ）
A． B． C． D．
