文档内容
专题 12.1 全等三角形的综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 知识点总
结
一、全等图形的判定
判定方法 解释 图形
边边边
三条边对应相等的两个三角形全等
(SSS)
边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个
(SAS) 三角形全等
角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个
(ASA) 三角形全等
角角边 两个角和其中一个角的对边对应相
(AAS) 等的两个三角形全等
斜边、直角
斜边和一条直角边对应相等的两个
边
直角三角形全等
(HL)
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平
分线、高线均相等）
◆ 典例分析
【典例1】【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且
EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且
EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在
CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，若∠C=70°，请直接写出∠EAF的度数．
【思路点拨】
（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，
AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据
此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，
AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌
△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到
2∠FAE+∠DAB=360°，利用∠ABC+∠ADC=180°，∠C=70°推导出∠DAB的度数，即可得出结
论．
【解题过程】
解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF，理由如下：
如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，
{
AB=AD
)
∠B=∠ADG=90° ，
BE=DG
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+DF，DG=BE，
∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，
在△AEF和△AGF中，
{AE=AG
)
AF=AF ，
EF=GF
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，{
AB=AD
)
∠B=∠ADG ，
BE=DG
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
在△AEF和△AGF中，
{AE=AG
)
AF=AF ，
EF=GF
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
在△ABE和△ADG中，
{
AB=AD
)
∠ABE=∠ADC ，
BE=DG
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
在△AEF和△AGF中，
{AE=AG
)
AF=AF ，
EF=GF
∴△AEF≌△AGF(SSS)，
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
1
∴∠EAF=180°− ∠DAB．
2
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD=70°，
∴∠DAB=180°−70°=110°，
1
∠EAF=180°− ×110°=125°．
2
◆ 学霸必刷
1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，点D是线段AB的
中点，将一块锐角为45°的直角三角板按如图(△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D
重合，连接BE、CE，CE与AB交于点F.下列判断正确的有（ ）
① ≌ ；② ；③ ；④
△ACE △DBE BE⊥CE DE=DF S
△≝¿=S ¿
△ACF
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以
AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接
CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是
△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，△ABC的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中
1
点，下列结论：①∠BDC=45°；② BD+CE=BC；③AB=DF；④S +S =S ❑ 其中正确
2 △ADE △CDF △ DCE
的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α，点P
以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着
D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
①若x=1．则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时，x=6：
③若α=90°，t=5，x=1时，△ACP≌△BPQ；
4
④若△ACP与△BPQ全等，则x=0.8或 ．
11
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角△ABC中，∠BAC=60°,BD平分∠ABC,CE平分
∠ACB,BD与CE相交于点O，则下列结论①∠BOC=120°；②连接ED，则ED∥BC；③
BC=BE+CD；④若BO=AC，则∠ABC=40°．其中正确的结论是（ ）A．①② B．①③ C．①③④ D．③④
6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF，给出下列结
论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CN=MB，其中正确的结论是 ．（将你
认为正确的结论序号都填上）
7．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且
DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，连接DF，EF，则∠DFE= ．
8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O为△ABC内一
点，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，则∠OAC= .
9．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线
AD、BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交 AC于点G，下列结论：①
∠BOD=45°；②AD=OE+OF；③若BD=3，AG=8，则AB=11；④S :S =CD:BD．其中
△ACD △ABD
正确的结论是 ．（只填写序号）10．（22-23八年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=14cm，点P
从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运
动，终点为A点，点P和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点
时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶
点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
11．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在△ABC中，∠ABC=60°．AD，CE分别平
分∠BAC，∠ACB．
（1）求∠EOD的度数；
（2）求证：OD=OE．
12．（22-23七年级下·重庆南岸·期末）在∠MAN点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分
别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论
成立的理由．13．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点
A，BD⊥直线m．CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且有
∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由．
14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的
中线，求AD的取值范围；
（2）如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE
是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．15．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，
1
AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：
2
EF=BE+FD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
1
且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
2
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上
1
的点，且∠EAF= ∠BAD（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间
2
的数量关系，并证明．16．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=45°．MN是
经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）求证：BD=AE
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G（如图2)，其他条件不变，求证：BD=AE．
（3）在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3)，连接GF，求证：∠1=∠2．17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，∠ACB=900，AC=BC
，AD⊥CD,BE⊥CD，垂足分别为点D,E．请证明：AD=CE．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，∠CDF=90°，CD=FD，点A
是DF上一动点，连接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，连接BF交CD于点G．若DG=1,CG=3，请证
明：点A为DF的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，∠CDF=90°，CD=FD，
点A是射线DF上一动点，连接AC，作∠ACB=90°且BC=AC，连接BF交射线CD于点G．若
FD=4AF，请直接写出DG与CG的数量关系．18．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝
试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC；△≝¿中，∠≝=90°，
∠EDF=30°），并提出了相应的问题
（1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作
AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，易证△ABM≌△BCN，若AM=2，
CN=7，则MN=______；
（2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C
作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若
AE=5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为______．19．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】
“截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段
间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线，在AB上截取
AE=AC，连接DE．请直接写出线段AB,AC,CD之间的数量关系；
【拓展延伸】
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线．请判断线段
AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°,AD为∠BAC的补角的角平分线．请判断线
段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由．1
20．（2023·广西南宁·二模）如图，在△ABC中，AD为高，AC=18．点E为AC上的一点，CE= AE
2
，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC．
（1）猜想线段BO与AC的位置关系，并证明；
（2）有一动点Q从点A出发沿射线AC以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存
在t的值，使得△BOQ的面积为27？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）条件下，动点P从点O出发沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点
同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且
CF=AO，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
