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专题 18.4 三角形中位线的综合
◆ 典例分析
【典例1】中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等
条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题．
如图1，△ABC中，E为BC的中点，AD⊥BC于点D，AB=2DE．求证：∠B=2∠C．
分析：由E为BC的中点联想到构造三角形的中位线．如图2，取AC的中点F，连接EF,DF，则EF是
1
△ABC的中位线，则EF∥AB且EF= AB，从而可得DE=EF．要证∠B=2∠C，只需证
2
∠FEC=2∠C即可．
（1）请你根据上边分析，完成证明过程．
（2）如图3，在凸五边形ADBCE中，AD=AE，连接AB，AC，CD，AB=BC，
1
∠ABC=∠DAE=90°，点G为CD的中点，连接BG，求证：BG= CE．
2
（3）如图4，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=4，点D为平面内任意一点，且AD=2，连接CD，
点G为CD中点，连接BG，当线段BG=3时，直接写出△BCG的面积．
【思路点拨】
（1）取AC的中点F，连接EF，DF，利用中位线定理可证AB=2EF，根据直角三角形的性质可知
DF=CF，再根据三角形外角的性质可证结论成立；
（2）延长CB到点M，使CB=MB，连接AM，MD，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质
可知∠CAM=90°，从而可知∠DAM=∠EAC，利用SAS可证△DAM≌△EAC，根据全等三角形的性
质可证DM=CE，利用三角形中位线定理可证结论成立；
（3）延长CB到点P，使PB=BC=4，连接PA、PD，构造等腰直角三角形，本题要分当点D在线段AC
上和点D在线段CA的延长线上两种情况求解．
【解题过程】（1）证明：如下图所示，取AC的中点F，连接EF，DF，
∵点E为BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且AB=2EF，
∵ AD⊥BC于点D，
∴∠ADC=90°，
1
∴DF=AF=CF= AC，
2
∴∠FDC=∠C，
又∵AB=2DE，
∴DE=EF，
∴∠DFE=∠FDC=∠C，
∴∠FEC=2∠FDC=2∠C；
（2）证明：如下图所示，延长CB到点M，使CB=MB，连接AM，MD，
∵∠ABC=90°，CB=MB，
∴AM=AC，
∴∠AMC=∠ACM=45°，
∴∠CAM=90°，
又∵∠DAE=90°，
∴∠CAM=∠DAE，
∴∠DAM=∠EAC，
{
AD=AE
)
在△DAM和△EAC中 ∠DAM=∠EAC ，
AM=AC∴△DAM≌△EAC，
∴DM=CE，
∵点G是BC的中点，点B是MC的中点，
1
∴BG= MD，
2
1
∴BG= CE；
2
（3）解：①如下图所示，当点D在AC上时，延长CB到点P，使PB=BC=4，连接PA、PD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
又∵PB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AP=AC，∠APC=∠C=45°，
∴∠PAC=90°，
∵PC=2BC=8
∴AP=AC=4❑√2，
在 中， ，
Rt△APD PD=❑√AP2+AD2=❑√(4❑√2) 2+22=6
∵点G为CD中点，点B为PC的中点，
1
∴BG= PD=3，
2
∵DC=AC−AD=4❑√2−2，
1
∴DG=GC= DC=2❑√2−1，
2
过点B作BH⊥AC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
1
∴BH= AC=2❑√2，
2
1 1
∴S = CG·BH= ×(2❑√2−1)×2❑√2=4−❑√2；
△BGC 2 2②如下图所示，当点D在CA延长线上时，延长CB到点P，使PB=BC=4，连接PA、PD，
由①可得：DC=AC+AD=4❑√2+2，
1
∴DG=GC= DC=2❑√2+1，
2
过点B作BH⊥AC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
1
∴BH= AC=2❑√2，
2
1 1
∴S = CG·BH= ×(2❑√2+1)×2❑√2=4+❑√2，
△BGC 2 2
综上所述△BCG的面积为4−❑√2或4+❑√2．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=2❑√5，CD=2❑√3，
∠ABD=30°，∠BDC=120°，E，F分别是AD，BC边的中点，则EF的长为（ ）
A．2❑√2 B．2❑√3 C．❑√5 D．❑√7
2．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AB=6❑√3，
点E为斜边AC的中点，点D在边BC上，且CD=4．点P为线段AB上的动点，则PD+PE 的最小值为
（ ）A．2❑√13 B．❑√43 C．3❑√13 D．❑√41
3．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=120°，AC>BC>6，E，F分别是
边AC，BC上的点，且AE=BF=6，连接EF．分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长
为（ ）
5
A．2❑√3 B．3❑√2 C． D．3
2
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，
点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为HG的中点，连接EF．
则EF的最大值与最小值的差为（ ）
❑√3
A．1 B．❑√3−1 C． D．2−❑√3
2
5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，等边△ABC中，点D、E分别为CA、CB的延长线上，
3+❑√3
且BE=CD，O为BC的中点，M为DE中点，OM= ，AD=1，则AC的长（ ）
2
A．1.5 B．❑√3 C．2.5 D．❑√3+1
6．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H，则①ED⊥CA；②
1 1
FH= FD；③S = S ．上述结论中正确的有（ ）
2 △EFD 2 △ACD
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（23-24九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，D、E分别在AB、AC
上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q，若PD=1，则QE=
．
8．（2025·山西朔州·一模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是BC的中点，点E是CA延长线
上一点，连接EB,ED,AB与ED相交于点F．若AE=CD，则DF的长为 ．
9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2❑√2，D是边AC的中点，
E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 ．10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边△ABC中，AB=4，E、F分别是边AB、AC上的动
1
点，且BE= CF，则BF+2CE的最小值为 ．
2
11．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=60°，射线BD是
∠ABC的角平分线，交AC于点D，过点A向射线BD作垂线，垂足为点F，作AC边上的垂直平分线，交
AB于点G，交AF于点H，垂足为点E，连接FE，若AG长为4❑√3，则EF的长为 ．
12．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别
是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接GD，若∠EFC=60°，DG=❑√3，
AC=5，则△ABC的面积为 ．
13．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在 ▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝12❑√2，CB＝28，点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取
CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为 ．
14．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在等边△ABC中，BC=9，点D是边BC上一点，且
BD=6，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则AD= ；点F是AD的中点，连接CF，过点F作
FG⊥CF交DE于点G，则FG= ．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，点B为线段AC上任一点，F为AC中点，分别以AB，BC
为边向AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点M，N分别为AD，EC的中点，连FM，FN．
（1）当B点在AC上运动时，
①求证：FM=FN；
②求∠MFN的大小．
（2）若AB=4，BC=6，则直接写出FM的长．
16．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形ABCD中，BD是对角线，过点B作AD、CD的垂线，
垂足点E在AD边上，垂足点F在CD延长线上，∠A=45°，AB=6，DF=2．（1）如图1，求△BDF的面积；
（2）如图2，连接EF，点G是EF的中点，求BG的长；
（3）如图3，BF与AD交点为P，∠MBN=45°，∠MBN的两边BM，BN分别与AD，CD所在直线交
于点M、N，∠MBN绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段BN中点H的运动路径长．
17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连
接FG、GH、HF．
图1 图2
（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断△FGH的形状为 ；
（2）把图1中△DCE绕点C在平面内旋转得到图2，判断△FGH的形状是否改变？请说明理由；
（3）把△DCE绕点C在平面内任意旋转，若AC=10，DC=6，求线段GH的最大值与最小值．18．（2024·山东聊城·一模）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在
△ABC中，AB=8，AC=6，E为BC中点，求AE的取值范围．
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出
△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=8，CD=6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为
_________．
（4）如图④，在△ABC中，∠A=60°，AB=8，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分
△ABC的周长，则EF=______．19．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点D是△ABC的边AB上一点（ADAB，点D在AC上，AB=CD，点E，F分别是BC，AD的中点，连接
EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接GD，若∠EFC=60°，求证：AG⊥GD．23．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是
AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE．
（2）如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连
接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（3）如图③，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接
EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状，请直接写出结论．
13
（4）如图④，四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AB=5，CD=12，EF= ，试求
2
∠BMF+∠CNF的度数．24．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC中∠B=∠C=α，（0°<α<40°），M为BC的中
点，D为线段CM上一动点（DM≤CD）），将线段DM绕D点顺时针旋转2α得到线段DE，点F是线段
BM上一点且DF=DC，连接AE，EF．
（1）小亮为了研究∠AEF的度数，将图1中的点D移至到CM的中点处，使点F与点M重合，如图2，请
直接写出∠AEF的度数：
（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若α=30°AB=2❑√3，延长AE交BC于点G，若BF=2CG，请直接写出FG的长．25．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在△ABC中，AC=BC且∠ACB=90°，O为AB中点，点
G、H分别在线段AC、BC上，连接OG、OH．
问题背景：
（1）如图1，连接CO，将射线OG绕点O旋转，使OG⊥OH，求证：OG=OH．
问题探究：
（2）如图2，连接AH，将射线OG绕点O旋转，使OG⊥OH，作OD⊥AH于点D，延长OD交AC于点
E．求证：E为GC中点．
问题拓展：
（3）连接AH，将射线OG、OH绕点O旋转，使∠GOA=30°且OG=OH，作OD⊥AH于点D，延长
OD交AC于点E，若OH=2，直接写出OE2=______．26．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，且AD=AE，
AD
