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专题18.40 平行四边形题型分类专题（旋转问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形
．若边 交线段 于H，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形 对角线 的中点， 轴且 ， ，
将菱形 绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴正半轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ，点 、 分别是边 、 的中点，将 绕点 旋转180°得
，则四边形 一定是（ ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线 段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线 上
的D＇处，那么A D＇为
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 绕点 顺时针旋转 后得到正方形
，依此方式，绕点 连续旋转2022次得到正方形 ，那么点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，边长为2的正方形 的对角线交于点O， ，绕点O旋转 ，交边 ，
于点E，F，则线段 的最小值为（ ）A． B．1 C． D．
7．如图，在证明三角形的中位线定理时，小兰首先将原图形上面的三角形部分剪开，并旋转180°拼
到下方．类似地，现有如图所示的四边形ABCD， ，若 ， ，E、F分别是AB和DC
的中点，则 （ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
8．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以点C为旋
转中心，把 CDB逆时针旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
△
A．（－2，0） B．（2，10） C．（3，10） D．（－
5，7）
9．如图，在矩形 中，把矩形 绕点 旋转，得到矩形 ，且点 落在 上，连接
， ， 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结
论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．如图， 中， ，连接 ，将 绕点 旋转，当 （即 ）
与 交于一点 ， （即 ）与 交于一点 时，给出以下结论：① ；② ；③
；④ 的周长的最小值是 .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：
①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论是（ ）A．① B．② C．①② D．①②③
二、填空题
13．如图，在 中， ，D，E分别是边 ， 的中点，将 绕点E旋转 得
，则四边形 的形状为 ．
14．如图，正方形 的边长为2cm，正方形 的边长为1cm，若正方形 绕点C旋转，
则点F到点A的距离最小值为 ．
15．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转
45°，则第60秒时，菱形的顶点B的坐标为 ．16．如图，四边形 是正方形， ，点 是对角线 的中点，将 绕点 旋转，其
中 ，两直角边 、 分别与边 、 相交于点 、 ，连接 .在旋转过程中 的最小
值为 .
17．如图，菱形 的对角线 交于点O，将 绕点D旋转 得到 ，若菱形
的面积为 ， ，则 ．
18．如图，在 中， ， ， ，对角线 与 交于点 ，将直线 绕
点 按顺时针方向旋转，分别交 、 于点 、 ，则四边形 周长的最小值是 ．19．如图，在平面直角坐标系中， ，将线段 绕点 进行旋转， ，取 中点 ，
，连接 ，已知点 的坐标为 ，那么将线段 绕点 的旋转过程中， 的最小值
为 ．
20．如图，正方形 与等边三角形 的顶点A重合， ， ，M是 的中点，将
绕顶点A旋转，在旋转过程中，当 时，点M到点C的距离为 ．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，O是AB的中点，将OB绕点O逆时针
旋转得到OB'（点B'不与点B，C重合），在旋转过程中，当△ABB'为含30°的直角三角形时，CB'的长为
．22．如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在
旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ．①四边形ABCD是
平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2 ；④DE⊥AC．
23．如图所示，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，一直线l绕顶点D任意旋转，过点C向直线l作垂线，
垂足为H，则B、H两点的距离的取值范围是 ．
24．正方形 中，E为 边上一点，且 ，将 绕点 逆 时针旋转 得到EF，连接 ，
，则 ．
三、解答题25．如图， 的对角线 、 相交于点 ，直线 过点 且与 、 分别相交于点 、
．
（1）求证： ；
（2）直线 绕点 旋转一定的角度与直线 、 相交于点 、 ．请探索 与 的数量关系．
26．小宇将一个含 的三角板绕着等边 中 边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、
斜边分别与边 、 交于点D、点F，当 时，得到图1，作点E关于 的对称点G，连接 ，
．
（1）请在图1中补全图形，则 与 的数量关系是______， 的度数为______．
（2）①证明 ；
②证明四边形 是平行四边形．
（3）当 ， 时，直接写出 的度数．27．在 中，点 为边 的中点，过点 的动直线 可绕点 旋转，分别过点 作直线
的垂线，垂足分别为点 ．
（1）当直线 经过点 时，如图1，写出线段 与 的之间的数量关系，并给出证明；
（2）当直线 旋转到如图2、图3的位置时，线段 之间分别有怎样的数量关系，写出你
的结论，并给出证明．
28．如图1，已知四边形 和 都为正方形，且边 在边 上，连接 ， ．
（1）猜想 与 有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形 绕点 按逆时针方向旋转，使得顶点 落在 边的延长线上，如图2，连接
， ，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．29．如图1， 与 都是等边三角形，边长分别为4和 ，连接 ， 为 的高，连
接 ，N为 的中点．
（1）求证： ；
（2）将 绕点A旋转，当点E在 上时，如图2， 与 交于点G，连接 ，求线段
的长；
（3）连接 ，在 绕点A旋转过程中，求 面积的最大值．
30．已知：如图1，在四边形 中， ， ．P是 边上一动点，联结
，将 绕点P顺时针方向旋转 ，得到 ，联结 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）M是 延长线上一点，联结 ，且 ．
①若 ，求证： ；
②如图2，若 ， ，联结 、 ，求证： ．参考答案：
1．C
【分析】设 ，则 ，在 中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程就
可以求出 的值．
解：设 ，
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选：C．
【点拨】此题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
2．D
【分析】由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，如图，由勾股定理可求解．
解：根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，∴ ，
∴点C的坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据中位线定理可得 ，根据旋转180 ，可得 ，进而可得
，又由 ，即可得 ，进而证明四边形 是矩形．
解： 点 、 分别是边 、 的中点，
，AE=EC
将 绕点 旋转180°得 ，
，
，四边形ADCF是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形．
故选B
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定定理，证明 是解题的关键．
4．D
解：在直角△BCD中，根据勾股定理得到：BD=2 ，则BD′=BD=2 ，
在直角△ABD′中根据勾股定理得到：AD′==2 ；
故选D
5．D
【分析】本题考查了点的坐标规律探索问题、正方形的性质，根据正方形的性质得 ，根据题意
找出规律为旋转8次为一个周期，进而可求解，根据题意，找出规律是解题的关键．
解： 正方形 的边长为1，，
由题意得：
， ， ， ， ， ， ，
， ，
旋转8次为一个周期，
，
点 的坐标为： ，
故选D．
6．A
【分析】根据 证明 ，可证 ，由股定理得 ，从而可知当 取
得最小值时，线段 取得最小值，据此求解即可．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 取得最小值时，线段 取得最小值，
由垂线段最短可知，当 时， 取得最小值，
此时 ，
∴ ，线段 的最小值为 ．故选A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，求出当
取得最小值时，线段 取得最小值是解答本题的关键．
7．C
【分析】连接并延长 ，交 延长线于 ，由 ，得 ， ，又
是 中点，即可得 ，有 ， ，即知 ， 是
的中位线，从而可得答案．
解：连接并延长 ，交 延长线于 ，如图：
，
， ，
是 中点，
，
，
， ，
，
是 中点，
是 的中位线，
，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查三角形中位线，梯形中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
8．B
【分析】画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知B′D′和B′C的长，由此判断点D′的坐标．
解：如图， CDB绕点C逆时针旋转90°后得 CD′B′，
△ △∴B′D′=BD，B′C=BC，
∵四边形OABC是正方形，D（5，3），
∴BC=5，BD=2，
∴B′O=B′C+CO=10，B′D′=2，
∴点D′的的坐标为（2，10）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9．C
【分析】如图，作BM⊥EC于M．证明△BEA≌△BEM（AAS），△BMH≌△GCH（AAS），利用全等三
角形的性质即可一一判断．
解：如图，作BM⊥EC于M．
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE，故②正确，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=45°，
∵∠FEH=90°，
∴AB=EF=EH，
∵EH＞HM=CH，
∴CH＜AB，故④错误．
故选：C．
【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．D
【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三
角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得
到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即
可.
解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在 BCE和 DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△△BCE≌△△DCG，∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知， BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠C△DG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt B△OG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=（OD2+OE2）+（OB2+OG2）=（OD2+OB2）+（OE2+OG2）=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质.
11．B
【分析】根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．
解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°
∴△ABD，△BCD为等边三角形，
∴∠A=∠BDC=60°，
∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，
∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，
∴△ABE≌△BFD，
∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
故①正确，③错误；
∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=60°，
故②正确
∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．
∵∠EBF=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE，
∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，
∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，
∴EB= ，
∴△DEF的周长最小值为4+ ，
故④正确，
综上所述：①②④说法正确，
故选B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵
活运用这些性质解决问题．
12．D
【分析】根据正方形的性质易证△DCG≌△BEC，即可证得BE=DG，BE⊥DG，由此判断①②正确；根据勾
股定理可得BD2=DM2+BM2，EG2=ME2+MG2，则BD2+EG2=DM2+BM2+ME2+MG2，可得BD2+EG2=BG2+DE2．再把a，b代入即可证得③正确．
解：如图：连接BD，EG，BE，DG的交点为M
∵四边形ABCD，四边形CEFG 为正方形
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠DCG，且BC=DC，CG=CE，
∴△BCE≌△DCG，
∴DG=BE，∠CBE=∠CDE，
∵∠DBE+∠EBC+∠BDC+∠BCD=180°，
∴∠DBE+∠EBC+∠BDC=90°，
∵∠DBE+∠CDE+∠BDC+∠BMD=180°，
∴∠DCB=∠DMB=90°，
∴BE⊥DG故①②正确．
∵BE⊥DG，
∴BD2=DM2+BM2，EG2=ME2+MG2，
∴BD2+EG2=DM2+BM2+ME2+MG2，
∴BD2+EG2=BG2+DE2．
∴AB2+AD2+EC2+CG2=BG2+DE2．
∴2a2+2b2=BG2+DE2，故③正确
故选D．
【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理，判定③的关键是熟练
运用勾股定理解决问题．
13．矩形
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再由对角线相等证明四边形 是矩形．
解：∵D，E分别是边 ， 的中点，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ 绕点E旋转 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点拨】本题考查矩形的判断，熟练掌握中心对称图形的性质，矩形的判定方法是解的关键．
14． / 厘米
【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．
解：当点F在正方形的对角线 上时，可知 ，
当点F不在正方形的对角线 上时，由三角形三边关系可知 ，
∴当点F在正方形的对角线 上时，点F到点A距离最小值，
∵正方形 的边长为2cm，正方形 的边长为1cm，
∴ cm， cm，
∴ cm；
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形的性质，以及三角形的三边关系．熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．
15．（-2，-2）
【分析】每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，推出OB旋转了7周半，
推出点B在第三象限，由此即可解决问题．解：每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，
2700°÷360＝7.5周，
∴OB旋转了7周半，
∴点B在第三象限，B（−2，−2），
故答案为（−2，−2），
【点拨】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
16．
【分析】根据垂线段最短，当OP⊥BC时，OP和OQ存在最小值，此时OP=OQ=1，然后利用勾股定
理求得PQ的长，即PQ的最小值．
解：当OP⊥BC时，OP和OQ存在最小值，则PQ有最小值，
∵正方形ABCD，
∴AB⊥BC
∴AB∥OP
∵AB=2，点 是对角线 的中点，
∴ OP=1，同理OQ=1，
∴ PQ=
即PQ的最小值为： ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最短得出
当OP⊥BC时，OP和OQ存在最小值，则PQ有最小值．
17．
【分析】本题考查中心对称及旋转的性质，菱形的性质．给出菱形 的面积，结合 的长即可
解决问题．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ．令菱形 的面积为 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 由 绕点D旋转 得到，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ．
故答案为： ， （答案不唯一）．
18． /
【分析】如图所示，过点 作 ，垂足为 ，根据“直角三角形中 角所对直角边等于斜边
一半”，求出 的值，进而求出 的值，证明 ，得到 ，即可推出四边形
周长 ，当 的值最小时，即可得到四边形 周长的最小值，利用垂
线段最短即 时，求出 最小值，即可得出答案．
解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ，
， ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，， ，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
四边形 周长 ，
当 的值最小时，四边形 的周长最小，此时 ，即 为最小值，
四边形 的周长最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，特殊直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判
定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长．
19．
【分析】连接 ，取 中点 ，连接 ，由三角形中位线定理可得 ，即 ，
由三角形三边关系可得 ，当 三点共线时，上式取等号，
由 的坐标可得 ，再根据两点间的距离公式可得 ，即可得到答案．
解：连接 ，取 中点 ，连接 ，
，
为 的中点，，即 ，
，
当 三点共线时，上式取等号，
，
，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌
握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
20． 或
【分析】连接 ，先根据正方形的性质可得 ，根据等边三角形
的性质可得 ，再分① 在正方形 内部和② 在正方形
外部两种情况，根据 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得 的度数，从而
可得点 在同一条直线上，由此即可得．
解：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形， ，
，
∵ 是等边三角形， ， 是 的中点，
，，
①如图，当 在正方形 内部时，
在 和 中， ，
，
，
，
点 在同一条直线上，
∴点 到点 的距离 ；
②如图，当 在正方形 外部时，
同理可证： ，
，
，
点 在同一条直线上，
∴点 到点 的距离 ，故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确分
两种情况讨论是解题关键．
21．1或2或
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求出 ，再证明 是直
角三角形，据此分① ，点 与点 在 的异侧，② ，点 与点 在 的异侧
和③ ，点 与点 在 的同侧三种情况，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理以及矩形
和平行四边形的判定与性质求解即可得．
解： 在 中， ，
，
是 的中点，
，
由旋转的性质得： ，
，
，
，
，即 ，
是直角三角形，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当 ，点 与点 在 的异侧时，，
，
又 ，
是等边三角形，
；
②如图，当 ，点 与点 在 的异侧时，
，
，
四边形 是矩形，
；
③如图，当 ，点 与点 在 的同侧时，
，
，
是等边三角形，
，，
四边形 是平行四边形，
；
综上， 的长为1或2或 ，
故答案为：1或2或 ．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、矩形和平行四边形的判定与性质、含30度
角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等知识点，正确分三种情况讨论是解题关键．
22．①②③
【分析】利用平行四边形的判定方法可判断①；证明 AEC BEC，得到AC= BC，利用垂直平分线
的判定定理可判断②；利用含30度角的直角三角形的性质△以及勾股△定理计算可判断③；利用反证法可判断
④．
解：由题意得：AB=CD，∠BAE=∠ABE=45°，∠DEC=60°，∠EDC=30°，
过E作EF∥AB交AD于F，
则∠FEA=∠BAE=45°，
∴∠FED=75°-∠FEA=30°，
∴∠FED=∠EDC=30°，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故选项①正确；
∵∠AEC=∠AED+∠DEC =135°，∠BEC=360°-∠AEB-∠AEC=135°，
AEB是等腰直角三角形，则EB= AE，且EC= EC，
△∴ AEC BEC，
∴△AC= BC，△
又EB= AE，
∴CE垂直平分AB；故选项②正确；
延长CE交AB于G，则AG=BG= AB，CG⊥AB，
∵AB2=6，∴AB=CD= ，AG=BG=EG = AB= ，
在Rt ECD中，∠EDC=30°，CD= ，
△
则ED=2EC，
由勾股定理得 ,即 ，
解得EC= ，
在Rt BCG中， ,
△
即 ，故选项③正确；
若DE⊥AC，则∠ECA=90°-∠DEC=30°，
∵ AEC BEC，
∴∠△ACB=2△∠ECA=60°，AC= BC，
∴ ACB是等边三角形，
而△AB不一定与BC相等，所以DE⊥AC，不一定成立，故选项④不正确；
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，勾股定理等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．
【分析】取CD的中点O，连接OH，则OH=1，根据BO+OH≥BH，当点B，O，H三点一线,，且点H
与点B在点O的两侧时，BH取最大值，当点B，O，H三点一线,，且点H与点B在点O的同侧时，BH取最小值，求得BO的长即可．
解：取CD的中点O，连接OH，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，
∵CH⊥DH，
∴OH= =1，OC=1，
在直角三角形BCO中，BO= = ，
∵BO+OH≥BH，
∴当点B，O，H三点一线,，且点H与点B在点O的两侧时，BH取最大值，当点B，O，H三点一线,，
且点H与点B在点O的同侧时，BH取最小值，
∴最大值BH=BO+OH= +1；
∴最小值BE=BO-OH= -1；
∴B、H两点的距离的取值范围是 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段最短原理，勾股定理，准确构
造线段最短原理图，活用勾股定理是解题的关键．
24．
【分析】作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA=CD，∠D=90°，再根据旋转的性质得EA=EF，
∠AEF=90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE=FH=1，AD=EH，所以EH=DC，则DE=CH=1，然后利用勾股定理
计算FC的长．
解：作 于 ，如图，∵四边形 为正方形，
， ，
绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
， ，
，
在 和 中
，
，
， ，
，
即 ，
，
在 中， ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理.解决本题的关键是构造△CFH并证明它是
直角三角形和求它的两条直角边.
25．（1）见分析；（2） ；
【分析】（1）根据平行四边形的性质利用 证明 ，即可得证；
（2）同（1）的方法即可得出 ，则可证得结论．
解：（1）证明：∵ 的对角线 交于点O，∴ ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ；
（2） ，证明如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质,熟练平行四边形的性质，证明是三角
形全等，是解题的关键．
26．（1）补全图形见分析；相等； ；（2）①见分析；②见分析；（3）
【分析】（1）过点E作 的垂线并延长，取 ，则点G是点E关于 的对称点，可补全图形，可得 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解．
（2）①根据 是等边三角形得 ，根据三角形的外角关系 可得 ，
利用 即可求证结论；②利用全等三角形的性质及平行线的判定可得可得 ，且 ，进
而可求证结论．
（3）连接 ，利用等边三角形的判定可得 是等边三角形，在利用勾股定理的逆定理可得
是等腰直角三角形，进而可求得 ，在根据 即可求解．
（1）解：过点E作 的垂线并延长，取 ，则点G是点A关于 的对称点，
补全图形如图所示：
点E和点G关于 对称，
是线段 的垂直平分线，
， ，
∴ ，
是边等三角形，
，
，
故答案为：相等， ．
（2）① ， ，
，
是边等三角形，
，
在 和 中，
，．
② ，
， ，
，
，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．
（3）连接 ，如图所示：
， ，
等边三角形，
，
是边等三角形，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，，
是等腰直角三角形，
，
又 ，
，
，
．
【点拨】本题考查了几何变换——轴对称、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质、等腰直角三角
形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握基础知识，根据轴对称
的性质作出图形是解题的关键．
27．（1） ，见分析；（2）图2的结论： ；图3的结论： ．
见分析
【分析】（1）根据垂线性质得到 ，结合点 为边 的中点，得到 为 的中位线，
从而得到结论；
（2）连接 并延长，交 的延长线于点 ，根据垂线性质得到 ，证明 ，
为 的中位线，从而得到结论；
（3）连接 并延长，交线段 于点 ，根据垂线性质得到 ，证明 ， 为
的中位线，从而得到结论．
解：（1） ．
证明： ，
点 为边 的中点，
为 的中位线，
．
（2）图2的结论： ．
证明如下：如图，连接 并延长，交 的延长线于点 ，，
，即 ，
，
又 点 为边 的中点，即 ，
，
，
为 的中位线，
，即 ．
图3的结论： ．
证明如下：如图，连接 并延长，交线段 于点 ，
，
，
，
又 点 为边 的中点，即 ，
，
，
为 的中位线，
，即 ．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，垂线性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
28．（1） ，且 ，证明见分析；（2）仍然成立．证明见分析
【分析】（1）延长 交 于点 ，证明 ，即可解决问题；
（2）延长 交 于点 ，证明 ，即可解决问题．
（1）解： ，且 ．证明如下：
延长 交 于点 ，
，
，
而 ，
，
∴
，即 ．
综上得 ，且 ．
（2）解∶ 仍然成立．证明如下：
如图，延长 交 于点 ，
， ，
，
，
而 ，
，
∴ ，，即 ．
综上得 ，且
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义．解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．（1）见分析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据 证明即可；
（2）证明 垂直平分线段 ，推出 ，利用勾股定理求出 ，再利用三角形中位线定理求
出 ；
（3）在旋转的过程中， ， ，当点 在线段 上时， 可以取到最大值，
再求出 的 边上的高，根据三角形面积公式可得结论．
解：（1）∵ 与 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵ 为等边 的高，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵N为 的中点，
∴ ；
（3）如图， 取 的中点 ，连接 ， ，
为等边 的中线，
∴ ，
由（2）同理可得， ，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
在旋转的过程中， ，
∴ ，
∴当点 在线段 上时， 可以取到最大值，∴ 的最大值为 ，
此时，过点 作 ，交于点 如图，
∴
∴ ，
故， 面积的最大值为 ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形中吴兴国定理等知识，
准确求出 的最大值是解答本题的关键．
30．（1）见分析；（2）①见分析；②见分析
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，再由 可得
，从而得出 ，再由平行四边形的判定可得结论；
（2）①先证明 ，再证明 ，推出 ，可得结论；
②延长 至N，使 ，联结 、 ，先证明 ，可得 是线段 的线
段垂直平分线，得出 ，则 是等腰直角三角形，从而证得 ，再证明
，从而得出 ，延长 交 于E，则 ，最后由勾股定理得出
，最后可得结论．
解：（1）如图1，，
；
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）①如图1，
， ，
，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
；
②如图2，延长 至N，使 ，联结 、 ，在 与 中，
，
，
， ；
，
是线段 的线段垂直平分线，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又 ，
；
四边形 是平行四边形，
，
，
；
在 与 中，
，，
， ，
；
延长 交 于E，则 ，
，
，
四边形 内角和为 ， ，
，
在 中， ，
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的
性质，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键．
