文档内容
专题 11.2 与三角形有关角的综合
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 知识点总
结
一、三角形的内角及内角和定理
1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0°
且小于180°．
2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
二、三角形的外角性质
1.三角形的外角和为360°；
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
3.三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
◆ 典例分析
【典例1】在△ABC中，∠C=60°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令
∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
【问题初探】（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=______°；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的数量关系为______；
【问题再探】
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系；
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，求∠1，∠2，∠α之间的数量关系．
【问题解决】
（5）若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，请直接写出此时∠1，∠2，
∠α之间的数量关系．
【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系．
（1）（2）均先根据三角形内角和定理求出∠A+∠B和∠APD+∠BPE，再根据
∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°求出∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，
从而求出答案即可；
（3）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC和∠3，∠4，再根据∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°
，从而求出答案即可；
（4）先根据三角形内角和定理求出∠A+∠ABC，再根据五边形内角和公式求出
∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，从而得到答案即可；
（5）分三种情况讨论：①在线段AB的延长线上，②不在线段AB的延长线上，③当点P在AC延长线上，
分别画出图形进行解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，∠α=60°，
∴∠APD+∠BPE=120°，
∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，
∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−120°−120°=120°，
故答案为：120；
（2）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵∠APD+∠α+∠BPE=180°，
∴∠APD+∠BPE=180°−∠α，
∵∠A+∠1+∠APD=∠B+∠2+∠BPE=180°，
∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE=360°，
∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−120°−180°+∠α=60°+∠α，
故答案为：∠1+∠2=60°+∠α；
（3）如图所示：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠ABC=180°−60°=120°，
∵∠3+∠2+∠α=180°，
∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，
∵∠A+∠ABC+∠1+∠4=360°，
∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，
∴∠1−∠2=60°+∠α；
（4）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵五边形ABEPF的内角和为(5−2)×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°，
∴∠1+∠2=540°−120°−∠α，
即∠1+∠2=420°−∠α；
（5）由题意可知点P的位置可能两种情况，
①在线段AB的延长线上，如（3）∠1，∠2，∠α之间的数量关系为：∠1−∠2=60°+∠α；
②不在线段AB的延长线上，有两种情况
第一种如图所示：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°−60°=120°，
∵∠3+∠2+∠α=180°，
∴∠3=∠4=180°−∠2−∠α，
∵∠A+∠B+∠1+∠4=360°，∴120°+∠1+180°−∠2−∠α=360°，
∴∠1−∠2=60°+∠α，
第二种如图所示：
∵∠COD=∠POE，
∴180°−60°−(180°−∠1)=180°−∠α−(180°−∠2)
∴∠1−∠2=60°−∠α．
③当点P在AC延长线上时，如图：∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α，
∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°，
∴(180°−60°)+(180°−∠2)+∠α=180°，
∴300°−∠2+∠α=∠1，
∴∠1+∠2=300°+∠α；
∴若点P运动到△ABC的外部，且满足与点A分别居于直线BC的两侧时，∠1，∠2，∠α之间的数量关
系为：∠1−∠2=60°+∠α；∠1−∠2=60°−α；∠1+∠2=300°+∠α．
◆ 学霸必刷
1．（2023上·天津东丽·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分
∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ）A．β=110°+2a B．β=220°−2a
C．β=110°+a D．β=250°−2a
2．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，∠ABC=∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC
的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③
1 1
∠BDC= ∠BAC；④∠ADC=90°−∠ABD；⑤∠ADB=45°− ∠CDB．其中正确的结论有
2 2
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图，在ΔABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的
延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C
1
；③∠F= (∠BAC−∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C，正确的是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，BA 和C A 分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，
1 1
BA 是∠A BD的角平分线，C A 是∠A CD的角平分线，BA 是∠A BD的角平分线，C A 是
2 1 2 1 3 2 3∠A CD的角平分线，若∠A=α，则∠A = ．
2 2023
5．（2024上·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高
线，点F在BC延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE=∠F；
②∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B．
其中结论正确的为 ．（填序号）．
6．（2023上·吉林·八年级阶段练习）【题目】如图①：根据图形填空：
（1）∠1=∠C+ ，∠2=∠B+ ；
（2）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______+∠1+∠2= ；
【应用】
（3）如图②．求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
【拓展】
（4）如图③，若∠BGF=110°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为______度．
7．（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）综合与探究（1）如图1，将△ABC沿着DE第一次折叠，顶点B落在△ABC的内部点O处，试探究∠1+∠2与∠B之
间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ABC沿着FG第二次折叠，顶点C恰好与点O重合，若∠A=85°，∠5=62°，求
∠1+∠3的度数．
（3）如图3，将△ABC沿着GH第三次折叠，顶点A恰好与点O重合，若∠A=α，∠5=β，用含α，β的
代数式表示∠6−(∠1+∠AGO)．
8．（2023上·全国·八年级期末）（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A 处，试探究
1
∠1、∠2与∠A的关系；
（2）如图2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，
求∠BNC的度数；
（3）如图3，若点A 落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A ，此时∠1,∠2,
1 1
∠BA C满足怎样的数量关系？并给出证明过程．
1
9．（2024上·辽宁阜新·八年级统考期末）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，
如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．（1）如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关
系；
（3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且
1 1
∠CBQ= ∠ABC，∠EDP= ∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关
4 4
系．（直接写结论）
10．（2023下·湖北·七年级统考期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动
点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G
．
（1）如图，点E在线段AD上运动．
①若∠ABC=40°，∠C=60°，则∠A的度数是 ；∠EFB的度数是 ，
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．11．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．
（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求∠BPC的度数；
（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P ,P ，求∠BP C,∠BP C的度数；
1 2 1 2
（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P ,P ,…P ，则∠BP C=________（结果用含n的
1 2 n−1 1
式子表示），∠BP C= ________（1≤k≤n−1，k为整数，结果用含n和k的式子表示）
k12．（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．
【探究】
（1）如图1，∠ADC=110°,∠BCD=120°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB=______°
；
（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°,∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则
∠AFB=______；（用α,β表示）
（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，α,β应该满足怎
样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
如果将（2）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所
在的直线交于点F，则∠AFB与α,β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．13．（2024上·广东肇庆·八年级校考期末）【问题】
如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=____________；
若∠A=a°，则∠BEC=____________．
【探究】
（1）如图②，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则
∠BEC=____________；
（2）如图③，O是∠ABC与外角的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明
理由；
（3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关
系？请说明理由．14．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．
（1）若∠A=30°，求∠BPC的度数；
（2）探究∠BPC与∠Q之间的数量关系，并证明；
（3）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
15．（2023上·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．（1）如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论
（提示：过点A作AG⊥BC于G）；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系是
______．（直接写出结论，不需证明）
16．（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）李强将一个含有30°角的三角板ABC（∠A=30°，
∠C=90°，∠B=60°）放置在互相平行的直线MN和PQ所在的平面内，请探究一下问题：（1）将三角板ABC如图1放置，BC交MN于点E，AC交PQ于点F，AB分别交MN、PQ于点D、G.
①写出∠NEC与∠QFC的数量关系 ；
②写出∠NEB与∠QGB的数量关系 ；
（2）如图2，K为AC上一点，连点EK，若∠NEC=∠KEC，试探究∠MEK与∠PFA之间的关系，并
说明理由.
1
（3）旋转三角板ABC至如图3所示位置，K为AC上一点，连DK，若∠ADM= ∠ADK，则
5
∠NDK
= .
∠QFC
17．（2023上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶
点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角
形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”．
理解概念：
（1）如图①，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“微妙三角形”；
概念应用：
（2）若△ABC为“微妙三角形”，且∠C=80°．试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如图②，在△ABC中，若∠A=40°，BD平分∠ABC，且BD是△ABC的“微妙分割线”，请直接
写出∠ABC的度数．
18．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的
问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：（1）【问题再现】
如图（1），若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平
分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D= °
（2）【问题推广】
①如图（2），若∠MON=α(0°<α<180°)，（1）中的其余条件不变，则∠D= °（用含α的代数式表
示）
②如图（2），∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E
1
是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D= α，则AE是
2
△OAB的角平分线吗？请说明理由；
（3）【拓展提升】
1 1
如图（3），若∠NBC= ∠ABN，∠DAO= ∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系（用含m的代数
m m
式表示），并说明理由．
19．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是50°、100°、30°，这个
三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个
三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 ．
（2）如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端
点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度
数．
（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且
∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．
20．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若
∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE
是“邻BC三分线”．（1）【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，若∠C的三分线CD交AB于点D，则
∠BDC=________．
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，
求∠A的度数．
（3）【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线
所在的直线交于点P．若∠A=m，∠B=n，并且m>n．直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式
表示）
