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专题 18.1 平行四边形性质的综合
◆ 典例分析
【典例1】如图，在 ▱ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，E为射线BA上一点，直线DE与直线AC交于
点G，CH⊥DE于H，CH的延长线与直线AB交于点F．
（1）当E在线段AB上时，
①若∠CDE=30°，CG=2，求 ▱ABCD的面积；
②求证：DG=CF+FG；
（2）若HG=HF，FG=❑√2，求DG的长．
【思路点拨】
（1）①过点G作GP⊥CD，垂足为P，证明△GCP是等腰直角三角形，求出GP=CP=❑√2，再根据含
30度角的直角三角形的特征，求出DG=2❑√2，利用勾股定理求出DP=❑√6，进而得到CD=❑√6+❑√2，利
用勾股定理即可求出AC=AD=1+❑√3，即可得到▱ABCD的面积；②如图，延长CF交DA的延长线于T
，连接FG，利用全等三角形的性质证明DG=CT,FG=FT即可；
（2）根据题意可求GH=HF=1，当点E在线段AB上时，根据AD⊥AC，CH⊥DE，HG=HF，
AD=AC，可得∠CFG=∠EGF=∠DCA=45°，进而得到∠DCA+∠ACF=∠CFG+∠ACF，即
∠DCT=∠AGF，同理（1）②可证∠ATC=∠AGF，DG=CF+GF=CF+FT，进而得到
∠ATC=∠DCT，推出△CDT是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到CH=HT=1+❑√2，即可
求出DG=CT=2+2❑√2；当点E在射线BA上时，同理证明△CDG是等腰三角形，即可解答．
【解题过程】
（1）①解：过点G作GP⊥CD，垂足为P，∵ AD⊥AC，AD=AC，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC=∠ACD=45°，
∵∠CPG=90°，
∴ △GCP是等腰直角三角形，
∴CP=PG，
∵ CG=2，
，
∴❑√CP2+PG2=CG
∴ GP=CP=❑√2，
∵ ∠CDE=30°，
∴DG=2PG=2❑√2，
，
∴DP=❑√DG2−GP2=❑√6
∴ CD=❑√6+❑√2，
，
∵❑√AC2+AD2=❑√2AD=CD=❑√2+❑√6
∴AC=AD=1+❑√3，
的面积为： ；
∴▱ABCD AC⋅AD=(1+❑√3) 2=4+2❑√3
②如图1中，延长CF交DA的延长线于T，连接FG，
∵CH⊥DE，
∴∠CHD=90°，
∵∠CHG=∠DAG=90°,∠CGH=∠AGD，
∴∠GCH=∠GDA，
∵∠DAG=∠CAT=90°,AD=AC，
∴△DAG≌△CAT（ASA），∴DG=CT,AG=AT，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD=90°，
∵AD=AC
∴AC=BC，
∴ ∠CAB=45°，
∵ ∠CAT=90°，
∴∠GAF=∠TAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△TAF（SAS），
∴GF=TF，
∴DG=CT=CF+TF=CF+FG；
（2）解：当点E在线段AB上时，
∵ HG=HF，FG=❑√2，CH⊥DE，
∴ GH=HF=1，
∵ AD⊥AC，AD=AC，
∴ ∠CFG=∠EGF=∠DCA=45°，
∴ ∠DCA+∠ACF=∠CFG+∠ACF，即∠DCT=∠AGF，
同理（1）②得∠ATC=∠AGF，FG=FT=❑√2，DG=CF+GF=CF+FT，
∴ ∠ATC=∠DCT，
∴ △CDT是等腰三角形，
∴ CH=HT=1+❑√2，
∴ DG=CT=2+2❑√2；
当点E在射线BA上时，同理得：△ACT≌△ADG，
∴∠ATC=∠AGE,AT=AG，
∵∠CAB=180°−∠ADC−∠DAC=45°，
∴∠CAE=45°，
∴∠DAE=45°，
∵AF=AF，
∴△ATF≌△AGF(SAS)，
∴∠AFT=∠AFG，
∵∠AED=∠GEF,∠DAE=∠HGF=45°，
∴∠AFG=∠ADE=∠AFT，
∵CD∥BF，
∴∠AFT=∠DCT，
∴∠ADE=∠DCT，
∴∠AGE=∠ATC=∠ADC+∠DCT=∠ADC+∠ADE=∠CDG，
∴ △CDG是等腰三角形，
∵CF⊥DG，
∴ DH=HG=1，
∴ DG=DH+HG=2；
综上，DG长为2或2+2❑√2．
◆ 学霸必刷1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=45°，
AB=4❑√2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ
的最小值为（ ）
A．2 B．2❑√2 C．4 D．4❑√2
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=4，E是边DC延
长线上一点，连接BE，△BEF是等边三角形，连接FC，则FC的最小值是（ ）
A．❑√3 B．2 C．❑√6 D．2❑√3
3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图， ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，∠BAC=30°
，∠CAD=15°，AC=2❑√3+2，则BD的长为（ ）
A．❑√6+❑√2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．3❑√2
4．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，在 ▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作
1
CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF给出下列结论：①∠DCF= ∠BCD；②EF=CD；③
2
S =2S ；④∠DFE=3∠AEF．其中正确结论的个数有（ ）
△BEC △CEF
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图， ▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交
BC于点E，且∠ADC=60°，AD=2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③
3
S = S ；④OE垂直平分AC；⑤∠COD=60°，其中成立的个数是（ ）
四边形OECD 2 △AOD
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，E是 ▱ABCD内一点，ED⊥CD，EB⊥BC，
∠AED=135°，连接EC，AC，BD，下列结论：①∠ADE=∠ABE；②△BCE为等腰直角三角形；
③DE+AB=❑√2BD；④AE2+AB2=AC2，其中正确的个数有 （ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AB=2，BC=4，∠ABC=60∘，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG，△DCF的周长等于6
，下列说法正确的个数为（ ）
1 6
① ∠EOD=90∘；② S =2S ；③ S +S = S ；④ AE= ．
△DFC △AEO △ABG △DGC 2 ▱ABCD 5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°,AE平分∠BAD交
BC于点E，若∠AED=80°，则∠ACE的度数是9．（23-24九年级下·重庆江北·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=8，
∠ABC=60°，F为BC中点，E为CD延长线上一点，若AF平分∠BAE，则DE= ．
10．（24-25九年级上·江西抚州·期中）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB
BE
所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′:AB:BC=1:3:7，过F作AB的垂线交于E，则 =
BF
．
11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形ABCD中，AB=3❑√2，AD=6，∠A=135°
，点E在AD上，BE=DE，将△ABD沿BD翻折到△FBD，连接EF．则BE的长为 ，EF的长为
．
12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，连接AC，DE交
于点F，DE平分∠ADC，FA=FD，若AB=7，DE=3❑√14，则线段BE的长为 ．13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 ▱ABCD中，点 E是边CD上一点， 且
CE=CB，CF⊥BE交AB于点F， P是EB延长线上一点，给出下面四个结论：
AD 2 1
①CF平分 ∠DCB；②BF=BE；③∠PFC=∠PCF；④当 = 时，S = S ，
AB 3 △BFC 3 ▱ABCD
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
14．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，
∠ABC=60°，点，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到
四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则DF的长度为 ．
15．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上动点．
将四边形MNCD沿直线MN折叠，点D的对应点D′恰好落在边AB上，C的对应点为C′，连接DN、DD′
，其中DD′交MN于点P．若AB=6，AD=10，∠ADC=2∠NDD′=60°，则MP的长度为 ．
16．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF=OF，∠CBD=45°，BD=6❑√2，
CE=2，则下列所有正确结论的序号是 ．
1
①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF:DF=1:2；④S = S ．
△CEF 16 ▱ABCD
17．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠B=60°，P为AB边
上一点，连接PD，将▱ABCD沿PD所在直线折叠，点B，C的对应点分别为B′，C′，过PD的中点E作
EF⊥PD交B′C′于点F，连接DF，若PB=4，则△≝¿的面积是 ．
18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格
点．四边形ABCD的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画
图结果用实线）．
（1）在图1中，先在CD上画点E，使∠ABE=45°，再在AB上画点F，使AF=CE；
（2）在图2中，先在AB上画点H，使BH=CH，再在CD上画点G，使CG=AD．19．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，∠ACB=45°，过点C作CF⊥AB于点F，交
AE于点M，且AM=CN，连接DN，使DG=NC，连接CG．
（1）求证：AB=CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
20．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在 ▱ABCD中，BC=BD，F是AB中点，CG⊥DB，垂
足为G，CG延长线交DF于点H，CH=DB，连接FG．
（1）若DH=1，求FH的值；
（2）求证：DB=❑√2FG+HG．
21．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知平行四边形ABCD,E为BC边上的中点，F为AB边上的一
点．（1）如图1，连接FE并延长交DC的延长线于点G，求证：FE=≥¿；
（2）如图2，若FB+AB=DF,∠EDC=36°，求∠AFD；
（3）如图3，若FE=DE,P为AF的中点，Q为FD的中点，AQ=4,DP=❑√34，求线段BE的长．
22．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，AC为 ▱ABCD ▱ABCD的对角线，∠BAC=90°，CE
平分∠ACB，点F为射线BC上一点．
（1）如图1，当点F在BC的延长线上，且CF=CA，连接AF与CD交于点G．
①求证：AG∥CE；
②若AC=8，CD=6，求CG的长；
（2）如图2，当点F在线段BC上，连接AF与CE交于点H，若∠D=3∠ACE，FA=FC，试探究
AD，AC，AH三条线段之间的数量关系．
23．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，∠ADC的平分线与BC相交于E，与AB延长线相交于F，过点E分别作AD，CD的垂线，垂足为M，N．
（1）求证：△ADF为等腰三角形；
（2）如图1，连接AE，且AE=CE．
①求证：AM=CN；
②若AB=9，BC=15，求DN的长．
（3）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG，请判断△AGC
的形状，并说明理由．
24．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】
如图1，在 ▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ADF≌△CBE；
【问题探究】
如图2，在四边形ABCD中，AD ∥BC，G是BC的中点，P是AG上的一点，连接CP，DP．若
DP=DA，∠DPC=∠B．求证：BC=2AD；
【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AD ∥BC，P是边AB上的一点，连接BD，CP．若DP=DA，
∠ABD=∠CPB，AP=6，PB=5，PC=10，直接写出PD的长为 ．25．（23-24八年级下·四川成都·期末）在 ▱ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分∠BAD，点M为射线
CB上一点，连接AM，将△ABM沿直线AM翻折得到△AEM，连接CE．
（1）如图1，点M在边BC上，∠BAM=10°，求∠BCE的度数；
（2）射线AM与射线CE交于点F，在射线AB上取一点G，使BG=BM，连接MG，EG交AM于点H．
①如图2，点M在线段BC上，求证：AH=CF；
②点M在线段CB延长线上，CE和AH，FH之间有何数量关系？写出你的结论并证明．26．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在 ▱ABCD中，
∠BAC=90°，E为AD边上一点，连接CE， ∠ACE=∠ACB，求证：AE=DE．
①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明．
②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明．
（1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程．
【问题探究】
（2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 EF⊥AD，交AC于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写
出了线段AB，CF，AF之间的数量关系：AB2+CF2=AF2，请你判断这一结论是否成立，如果成
立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明．
【类比拓展】
（3）小怡同学突发奇想，过点E作EF⊥EC，交AC于点 F，如图4，若 ▱ABCD的面积为12，AB=3
，请你直接写出线段EF的长．27．（23-24八年级下·河南南阳·期中） ▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时
针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）若∠ABC=45°，
①如图①，当点E在线段BC上时，易证△AED≌△BEF，结合图形，请直接写出线段BF，AE，EC的
数量关系是 ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段BC的延长线上时，请写出线段BF，AE，EC的数量关系，并证明；
（2）如图③，若∠ABC=135°，当点E在线段CB延长线上时，猜想并直接写出线段BF，AE，EC的数
量关系是 ．（不需说明理由）
（3）在（1）、（2）的情况下，若BE=3，DE=5，则CE=_______．（不需说明理由）28．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）【问题背景】
某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．
在▱ABCD中，∠B=45°，AB=4，AD=5❑√2，点E是BC边上任意一点，连接AE，将四边形AECD
沿AE翻折得到四边形AEGH，射线CB与AH相交于点F．
【操作发现】
（1）如图1，无论点E在什么位置，图中都会有一条线段与EF相等，请猜想与EF相等的线段，并说明理
由．
【问题延伸】
（2）当点E的位置发生变化时，线段EF存在最小值，请求出线段EF的最小值．
【问题拓展】
（3）如图2，连接GF，当△EGF是以EG为一条直角边的直角三角形时，求线段CE的长．29．（23-24八年级下·山东青岛·期末）综合实践课上，同学们展开了以“轴对称”为主题的探究活动．
实践操作：
四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AD，∠D=45°，在边BC上取一点P，如图①，连接AP，点B关于
AP的对称点为点B′，连接B′P，B′ A．
问题解决：
（1）当B′ A与AC重合时，连接BB′，AP与BB′有何位置和数量关系，请说明理由；
（2）如图②，当∠BAP=30°时，连接B′C，AP与BB′位置关系为______，数量关系为______；
（3）若AB=3❑√2，∠B′ AC=15°时，求线段BP的长．30．（23-24九年级上·重庆北碚·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，
点F是线段BE上一点，连接AF，点G是线段AB上一点，连接EG，交AF于点N．
（1）如图1，若∠B=45°，AB=2❑√2，求△ABE的面积；
（2）如图2，点H是线段AF的中点，连接EH，若∠B=∠BEH=∠AEG，求证：CD=BF+BG；
（3）如图3，若∠B=60°，AG=BF，BE=2EC=4，∠ANG=4∠EAF，将△ANG绕着点A旋转，
得到△AN′G′．连接N′D．点O是线段N′D的中点，连接CO．请直接写出线段CO长度的最小值．
