文档内容
八上数学期末复习压轴题 9 个必考点
【人教版】
【考点1 压轴小题·三角形中求线段与角的值】....................................................................................................1
【考点2 压轴小题·三角形中多结论问题】............................................................................................................3
【考点3 压轴小题·三角形中最值问题】................................................................................................................5
【考点4 压轴小题·三角形中的分类讨论思想】....................................................................................................7
【考点5 压轴小题·新定义及规律】........................................................................................................................8
【考点6 压轴小题·整式与分式求值】..................................................................................................................10
【考点7 压轴小题·分式方程解的情况】..............................................................................................................10
【考点8 压轴大题·三角形综合题】......................................................................................................................11
【考点9 压轴大题·坐标与三角形综合题】..........................................................................................................14
【考点1 压轴小题·三角形中求线段与角的值】
1．（2023秋•武昌区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D是△ABC外一点，△BCD是等边三角
AB
形，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，若CF＝3BE，则 的值为（ ）
AC
7 5 4 5
A． B． C． D．
5 4 3 3
2．（2023秋•咸安区期末）如图，等边△ABC的边长为3，点P是AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB
于点D，延长CB至点Q，使得BQ＝AP，连接PQ交AB于点E，则DE的长为（ ）3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
3．（2023秋•竹山县期末）如图，△ABC中，点D在BC上，∠ACB＝75°，∠BAC＝∠ADC＝60°，
AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE、CF相交于点G．DC＝m，AF＝n，则线段EG的长为（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A． n− m B． n+ m C． n− m D． n+ m
2 4 2 4 2 2 2 2
4．（2023秋•沙市区期末）如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD
上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023 秋•甘井子区校级期末）△ABC 在△ABC 中，边 AB，AC 的垂直平分线相交于 P 点，若
3 3
∠AEB= ∠EAC= α，则∠BAE是（ ）
2 2
1 1
A． α B． C．90°− α D．90°﹣
2 2
α α
6．（2023秋•老河口市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线
上，∠CAE＝75°，若CE＝BA+AC，则∠B的度数为 ．【考点2 压轴小题·三角形中多结论问题】
1．（2023秋•武汉期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，将直角三角形DEF的直角顶点D放在BC的中
点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于点E，G，连EG，有下列结论：①∠FGE
＝135°；②若AC＝5，BG＝8，则CE＝3；③EF＝2DG；④2S△BDG ＝S△ABC +2S△CDE ，其中正确的结
论有几个？（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024•罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一
点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角
CE−CP
形；③PD= ；④S四边形AECP ＝S△ABC ．其中正确的结论是（ ）
2
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
3．（2023秋•十堰期末）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为边BC边上的中线，CG⊥AD
于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于点E．有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝EF；
③F为EG的中点；④∠ADC＝∠BDF；⑤G为CF的中点．其中正确的结论有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023秋•荆门期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点G，DM∥BC交∠ABC的
外角平分线于点M，交AB、AC于点F、E，下列结论：
①S△ABG ：S△BCG ＝AB：BC；
②FD＝EC；
③EC＝EF+DG；
1
④CE= MD．
2
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
5．（2024秋•蕲春县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、
BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC ＝S△MAP +S△NCP ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋•丹江口市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD
的中点，则下列结论：①AC＝BE；②DM＝DN；③∠AMD＝45°；④NE＝3ME．其中正确的有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2023秋•和平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF交于点I，AE交BC于
点E，BF交AC于点F，连接IC．过点I作ID⊥BC于点D，若ID＝h，AB＝c，AC＝b，BC＝a，现给
出以下结论：
①∠ACI＝∠BCI；
②∠BIC＝90°+∠BAC；
s
③ℎ = △ABC ；
a+b+c
④当∠ACB＝60°时，AF+BE＝AB；
a+b−c
⑤当∠ACB＝90°时，
ℎ
= ；
2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点3 压轴小题·三角形中最值问题】
1．（2024•武威二模）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点．点D为射线
BC上的一个动点，以AD为直角边向右上方构造等腰直角△ADE，∠DAE＝90°，连接EM．在D点的
运动过程中，EM长度的最小值是 ．2．（2023秋•东西湖区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB
上的动点，且式BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，当线段BF最短
时，∠ABF＝ °．
3．（2023秋•十堰期末）如图，△ABD是边长为6的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若
∠ADC＝∠ABC＝90°，则△CEF周长的最小值为 ．
4．（2023秋•丹江口市期末）如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动
点，则EF+FC的最小值＝ ．
5．（2023秋•孝昌县期末）如图，将△ABC沿AD折叠使得C恰好落在AB边上的M点处，D在BC上，
点P在线段AD上运动，若AC＝4，CD＝2，BD＝5，则△PMB的周长最小值为 ．6．（2023秋•厦门期末）如图，等边三角形AOB中，B（﹣4，0），点D是OB上一点，且BD＝a．若点
E是y轴正半轴上一动点，F是线段AB上一动点．当DE+EF的值最小时，点F的横坐标为 ．（用
含a的式子表示）
7．（2023秋•湖里区期末）如图，AD是等边△ABC的高，点M是线段AD上一点，连接BM，以BM为边
向右下方作等边△BMN，当BN+DN的值最小时，∠BMD的大小为 ．
【考点4 压轴小题·三角形中的分类讨论思想】
1．（2023秋•武昌区期末）点O是△ABC所在平面内一点，满足OA＝OB＝OC，点I是∠ABC，∠ACB的
角平分线的交点，若∠BOC＝∠BIC，则∠BAC的度数为 ．
2．（2023秋•汉阳区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝140°，点D在BC上，△ABD和△AFD关于
直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当∠BAD＝ 时，△DFG为等腰三角
形．3．（2023秋•沙河口区期末）如图的△ABC纸片，∠A＝30°，点P是AC中点，点Q从点A出发沿AB向
点B运动，到达点B时停止运动，若将△APQ沿PQ进行对折，点A的对应点记为点A′，设∠A′PC
＝ ，∠A′QB＝ ，当 ＞ 时， 与 之间的数量关系为 ．
α β α β α β
4．（2023秋•庄河市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BC＝3，AC＝6，点E
从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动
s时，AB＝CF．
5．（2023秋•大连期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为8，点D在AB延长线上，且BD＝2，动点
E从点A出发，沿着射线AC运动，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接
1
AF．当CE= AC时，则线段AF的长为 ．
2【考点5 压轴小题·新定义及规律】
1．（2023秋•东西湖区期末）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（a+b）n（其中n为自
然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中（a+b）n展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第
（n+1）行的每一项，如图所示：
2
根据上述材料，则(x− ) 6的展开后含x2项的系数为（ ）
x
A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣60
2．（2023秋•海珠区期末）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释
了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，
计算（a+b）6的展开式中，含b5项的系数是（ ）
A．15 B．10 C．9 D．6
3．（2023秋•黄冈期末）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称
这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个“智慧优数”，可以利用 m2﹣n2＝
（m+n）（m﹣n）进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第4个“智慧优数”是 ，第23个智慧优数是 ．
4．（2023秋•应城市期末）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
……
根据规律得到：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ ．
5．（2023秋•海沧区期末）在数学上，对于两个正数 p和q有三种平均数，算术平均数A、几何平均数
p+q
G、调和平均数H，其中A= ，G=❑√pq．调和平均数中的“调和”二字来自于音乐．毕达哥拉斯
2
1 1 1 1
学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度 p，H，q满足 − = − ，再把它们绷得一样紧，并用
p H H q
同样的力弹拨，它们将会分别发出很调和的乐声．我们称p，H，q为一组调和数，而把H称为p和q的
调和平均数．若A＝3，G＝2，则H的值为 ．
【考点6 压轴小题·整式与分式求值】
1．（2023秋•端州区期末）已知a＝2023x+2023，b＝2023x+2024，c＝2023x+2025，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac
﹣bc的值是 ．
2．（2023秋•夏津县期末）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，则a+b+c的值为 ．
3．（2023秋•合江县校级期末）已知（x﹣2025）2+（x﹣2027）2＝34，则（x﹣2026）2的值是 1 6 ．
4．（2023秋•通山县期末）已知：x2﹣x＝1，则x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是 0 ．
ab 1 bc 1 ca 1
5．（2023秋•定陶区校级月考）已知a，b，c是不为0的实数，且 = ， = ， = ，那
a+b 3 b+c 4 c+a 5
abc
么 的值是 ．
ab+bc+ca
1 1 2x+5xy−2y
6．（2023秋•滨州期末）已知 − =3，则分式 的值为 ．
x y x−3xy−y
1 1 2 3a−b−2ab
7．（2023秋•九龙坡区校级期末）已知 − = ，则 的值为 ．
3a b 3 b−3a+4ab【考点7 压轴小题·分式方程解的情况】
1 2
{x− (3a−5)≤ )
1．（2023秋•荣昌区校级期末）若关于x的一元一次不等式组 3 3 无解，且关于y的分式
4x+3
＞x+3
3
2y−a 2y−3
方程 − =2有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
y−1 1−y
A．7 B．8 C．14 D．15
{x−2
≥x+1) 5
2．（2024春•金寨县校级期末）关于x的不等式组 3 的解集为x≤− ，且关于y的分式方程
2
x+1＜m
2m y−4
+2= 的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
y−2 2−y
A．3 B．4 C．5 D．6
3m+1 m 2
3．（2023秋•龙岩期末）若m是整数，且关于x的方程 + = 有整数根，则m的值是（
x2−1 x+1 x−1
）
A．3或5 B．﹣3或5 C．﹣1或3 D．﹣3或﹣5
x+a x
4．（2023秋•城口县期末）若三角形三边长分别为3，4，|a|，且a满足关于x的分式方程 −4=
x−1 1−x
有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
{
3x+a≤2
)
5．（2023秋•綦江区期末）若关于x的不等式组 3 至少有两个整数解，且关于y的分式
2(x+ )＞x−2
2
4 y a+6
方程 + =2的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和是 ．
y−2 2−y
【考点8 压轴大题·三角形综合题】
1．（2023秋•曾都区期末）在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等边△ABP和等边△ACQ，连接
PC，BQ交于点O．
（1）如图1，易证△APC≌△ABQ，其依据是 ，从而得出结论：PC BQ与∠PBQ
∠PBA+∠APC（用“＝”、“＞”或“＜”填空）；
（2）如图2，若AC＝BC，请探究线段PC与BQ的数量关系及直线PB与BQ的位置关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若PC交于AB于点D，QE⊥PC于点E（如图2），试探究DE，PD，CE之间
存在的等量关系，并给予证明．
2．（2023秋•咸宁期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一
边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝ ，∠BCE＝ ．
①如图2，当点Dα在线段BC上β 移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，画图并探究α ，β 之间有怎样的数量关系？
α β
3．（2023秋•滨海新区校级期末）已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕
顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接
AE．
（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；
（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关
系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝ ．4．（2023秋•红桥区期末）在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 ，
∠BDC的度数为 ．
【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及
∠BDC的度数，并说明理由．
【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点
M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由．
5．（2023秋•西青区期末）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，点D是直线AM上的一个动点，
以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（Ⅰ）填空：如图①，当点D在线段AM上时，∠EBC＝ °；
（Ⅱ）如图②，当点D在线段AM的反向延长线上时，求∠EBC的度数；
（Ⅲ）当点D在直线AM上运动时，设直线BE与直线AM的交点为点F，若AD＝9，MF＝2，直接写
出EF的长．6．（2023秋•思明区校级期末）如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相
交于点F，AE＝CD．
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，当∠DAC＜30°时，延长CF至G，使得∠AGB＝120°，连接AG、BG，
①求证：CG平分∠AGB；
②若BE⊥CG，CF＝6，求CG的长度．
7．（2023秋•湖里区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为锐角，点D是BC的中点，直线l经过
点A且在AC右侧，点C关于直线l的对称点为点E，∠BAE＜180°，连接BE交线段AD于点F，连接
CF．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若∠CBE＝30°，探究线段AF，DF，EF的数量关系；
（3）在直线l绕点A旋转的过程中，是否存在CF⊥EF的情形？若存在，求此时∠CAE的度数；若不
存在，请说明理由．【考点9 压轴大题·坐标与三角形综合题】
1．（2023秋•大冶市期末）在平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点A（a，0）、B（0，
b）．
（1）如图①，若a、b满足a2+8a+16+|b﹣4|＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）如图②，若 a＝﹣4即点A不变，点 B在y轴正半轴上运动，以 AB为直角边，作等腰直角
△ABE，以OB为直角边，作等腰直角△OBF，连接EF交y轴与Q，当点B在y轴上运动时，试猜想
BQ的长是否为定值，若是，请求出来，若不是，说明理由；
（3）如图③，AB＝BC，∠ABC＝90°，若E点在x轴的正半轴上，且满足∠OBC﹣∠ABO＝2∠OBE，
CG⊥OB于点G，交BE于点H，探究：CH、BG、OE的数量关系，并说明理由．
2．（2024秋•和平区校级期末）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴
上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣6，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB
为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交y轴于点P，问当点B在y
轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度；
3．（2023秋•洪山区期末）在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且a2+b2+32＝8a+8b．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
6
（2）如图1，E点在线段AB上，且E点横坐标为 ，连接OE．在第四象限过O点作OG⊥OE，且OG
5
＝OE，连接AG，作OH⊥AG于H，交AB于点P，求△OPE的面积；
（3）如图2，∠MON＝40°，ON与x轴非负半轴重合，OM在第一象限，将∠MON以2.5°/秒的速度绕
点 O 在第一象限内逆时针旋转，OM，ON 分别与线段 AB 交于点 E，F，在第二象限过 O 点作
OH⊥OF，且OH＝OF，问经过多长时间，△AEH为等腰三角形？
4．（2023秋•东西湖区期末）已知点A（a，0），点B（0，b），C（﹣a，0），且a、b满足a2﹣2ab+b2
＝﹣（a﹣6）2．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）如图1，若点E的坐标为（0，﹣2），点F是第三象限内一点，且CE＝CF，∠ECF＝90°，连接
BF交x轴于G，求S 的值；
△BCG
S
△ABG
（3）如图2，点P为y轴上一动点（P在B点上方），在AB延长线上取一点Q，使∠PCQ＝45°，写出
PC与PQ的数量关系与位置关系，并说明理由．5．（2023秋•江汉区期末）已知：实数m，n，t满足m2+n2﹣12m﹣16n+100+|t﹣2|＝0．
（1）求m，n，t的值；
（2）如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D
在C右边），∠CBD＝45°，∠BCD+∠DAO＝180°．
①如图（1），若点A与B重合，CD＝m，求B点的坐标；
②如图（2），若点A与B不重合，AD＝n，BC＝t，直接写出△CBD的面积．
6．（2023秋•汉阳区期末）如图，点A（﹣4，0），B（0，3）在平面直角坐标系中的坐标轴上，点P（﹣
1，1）为△AOB内一点，AB＝5．
（1）求点P到AB的距离；
（2）如图1，射线BP交OA的垂直平分线于点C，试判断△PAC的形状，并说明理由；
（3）如图2，Q（m，0）为x轴正半轴上一点，将AQ沿PQ所在直线翻折，与y轴，线段AB分别交于
点F，G，试探究△BFG的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求△BFG的周长．7．（2023秋•十堰期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足 ，
(a+1) 2+❑√b−3=0
点C与点A关于y轴对称．
（1）请直接写出B，C两点的坐标；
（2）如图1，分别以AB，BC为直角边向右侧作等腰Rt△BAD和等腰Rt△BCE，连接DE交x轴于点
M，连接BM，求证：BM⊥DE；
（3）如图2，点F为y轴上一动点，点G（m，﹣3m+3）在直线BC上，若连接E，F，G三点（按逆时
针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的m的值为 ．
