文档内容
七年级下学期【2023 年期中模拟测试预测题（1）】
（ 试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 初笔将答題卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（3分）（2023秋•诸暨市期末）下列各式正确的是（ ）
A．± ＝3 B． ＝±3 C．± ＝±3 D． ＝﹣3
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一计算可得．
【解答】解：A． ＝±3，此选项错误；
B． ＝3，此选项错误；
C． ＝±3，此选项正确；
D． 无意义，此选项错误；
故选：C．
2．（3分）（2023秋•靖边县期末）将点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位
长度，得到点A′，则点A′在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据平移的性质得出A′的坐标，再由各象限内点的坐标特点即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点A′
（﹣3﹣2，﹣1+4），即A′（﹣5，3），
∵﹣5＜0，3＞0，
∴点A′在第二象限．故选：B．
3．（3分）（2023春•嘉定区期末）如图，以下说法正确的是（ ）
A．∠GFB和∠HCD是同位角
B．∠GFB和∠FCH是同位角
C．∠AFC和∠HCD是内错角
D．∠GFC和∠FCD是同旁内角
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∠GFB和∠HCD不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意；
B、∠GEF和∠FCH是同位角，故B不符合题意；
C、∠AFC和∠FCD是内错角，故C不符合题意；
D、∠GFC和∠FCD是同旁内角，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）（2023秋•江北区期末）在下面四个命题中，真命题的个数有（ ）
（1）互相垂直的两条线段一定相交；
（2）有且只有一条直线垂直于已知直线；
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据相交的定义，垂线的性质，平行线的性质，点到直线的距离的定义对各小题分析判断即可
得解．
【解答】解：（1）互相垂直的两条线段不一定相交，故本小题错误；
（2）应为在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本小题错误；
（3）应为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题错误；
（4）应为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本小题错误；
综上所述，真命题的个数是0．
故选：D．5．（3分）（2023秋•邵阳期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则m的值（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1
【分析】根据2m﹣4与3m﹣1是同一个数两个不同的平方根，则2m﹣4与3m﹣1互为相反数，构建方
程求得m的值．
【解答】解：（2m﹣4）+（3m﹣1）＝0，
解得：m＝1．
故选：B．
6．（3分）（2023秋•诸暨市期末）下列各数： ， ，0.34， ，2.17171771…（自左向右每两个
“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整
数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：在实数 ， ，0.34， ，2.17171771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个
“7”），无理数有 ， ，2.17171771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”），共3个．
故选：C．
7．（3分）（2024•鄞州区校级一模）一副三角板ABC和CDE按如图方式摆放，其中∠BAC＝∠DCE＝
90°，∠D＝30°，∠B＝45°，点A恰好落在DE上，且BC∥DE，则∠ACE的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．60°
【分析】由直角三角形的性质求出∠ACB＝45°，∠E＝60°，由平行线的性质推出∠CAE＝∠ACB＝
45°，由三角形内角和定理得到∠ACE＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∵BC∥DE，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵∠D＝30°，∠DCE＝90°，∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：B．
8．（3分）（2023秋•莱州市期末）如图，在一次活动中，位于A处的小王准备前往相距10m的B处与小
李会合．请你用方向和距离描述小王相对于小李的位置，其中描述正确的是（ ）
A．小王在小李的北偏东50°，10m处
B．小王在小李的北偏东40°，10m处
C．小王在小李的南偏西40°，10m处
D．小王在小李的南偏西50°，10m处
【分析】根据方位角的概念，可得答案．
【解答】解：小王在小李的北偏东40°，距小李10m处．
故选：B．
9．（3分）（2023秋•高青县期末）如图，面积为 5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为
1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则E点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE＝ ，结合A点所表示的数及AE间距离可
得点E所表示的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE，
∴AD＝AE＝ ，∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为1+ ．
故选：B．
10．（3分）（2023秋•修水县期末）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点A′坐标为（ax+y，
x+ay）（其中a为常数，且a≠0），则称点A′是点A的“a属派生点”．例如，点P（4，3）的“2属
派生点”为P'（2×4+3，4+2×3），即P'（11，10）若点Q的“3属派生点’是点Q'（﹣7，﹣5），则点
Q的坐标为（ ）
A．（﹣26，﹣22） B．（﹣22，﹣26） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据点Q的“3属派生点’是点Q'（﹣7，﹣5），可得关于x、y的二元一次方程组，解方程
组可得答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得 ，
∴Q的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：C．
11．（3分）（2023春•威县校级期末）如图，三角形ABC的边BC长为4cm，将三角形ABC向上平移2cm
得到三角形A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
【分析】根据平移的性质得出阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积解答即可．
【解答】解：由平移可知，三角形A′B′C′的面积＝三角形ABC的面积，
∴阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2）．
故选：B．
12．（3分）（2023秋•深圳校级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC沿着射线BC方
向平移得到△A′B′C′（平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′），连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为（ ）
A．20° B．40° C．80° D．120°
【分析】根据△ABC的平移过程，分点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到
AB∥A′B′，根据平行线的性质得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解
即可．
【解答】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，AB∥A′B′，
∴CG∥A′B′，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，
∴2x+x＝60°，
解得：x＝20°，
∴∠ACA′＝2x＝40°，
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，
∴设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝ x，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACA′+∠A′CG，
∴x+ x＝60°，解得：x＝40°，
∴∠ACA′＝ x＝20°，
第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG∥AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB∥A′B′，
∵CG∥AB，AB∥A′B′，
∴CG∥A′B′，
①当∠ACA′＝2∠CA′B′时，
设∠CA′B′＝x，则∠ACA′＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠A′CG＝∠CA′B′＝x，
∵∠ACA′＝∠ACG+∠A′1CG，
∴2x＝x+60°，
解得：x＝60°，
∴∠ACA′＝2x＝120°，
②当∠CA′B′＝2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′＜∠ACA′，故不存在这种情况，
综上所述，∠ACA′＝20°或40°或120°，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）（2023秋•子洲县校级期末）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． ．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题．
【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相
等．
故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
14．（4分）（2023春•湘潭县期末）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则点B到直线AC的距离为 4. 8 ．
【分析】在直角三角形中，利用面积计算点B到直线AC的距离即可．
【解答】解：作BD⊥AC于点D，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，AB＝6，BC＝8，AC＝10，
∴S△ABC ＝ AB×BC＝ AC×BD，
∴BD＝ ＝ ＝4.8，
故答案为：4.8．
15．（4分）（2023秋•齐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，
向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A （0，1），A （1，1），A （1，0），A
1 2 3 4
（2，0），…那么点A 的坐标为 （ 101 0 ， 1 ） ．
2021
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 的坐标．
2021
【解答】解：∵2021÷4＝505……1，
则A 的坐标是（505×2，1）＝（1010，1）．
2021
故答案为：（1010，1）．
16．（4分）（2023秋•寻乌县期末）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，其中∠ACB
＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．若将三角板ADE绕点A按每秒3°
的速度顺时针旋转180°，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段DE与三角板ABC的一条边平行时，t＝ 1 0 秒或 3 0 秒或 4 0 秒 ．
【分析】由线段DE与三角板ABC的一条边平行可知有三种情况：（1）当DE∥BC时，点E落在线段
AC上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当DE∥AC时，则∠BAE＝90°，由此可求出旋转
角，进而可求出t的值；（3）当DE∥AB，则∠CAE＝90°，由此可求出旋转角，进而可求出t的值．
【解答】解：设旋转角为 ，则旋转的时间t＝ ÷3（秒），
∵在顺时针旋转180°的过程α 中，线段DE与三角α板ABC的一条边平行，
∴有以下三种情况：
（1）当DE∥BC时，
∵∠ACB＝∠AED＝90°
∴点E落在线段AC上时，
∴旋转角 ＝∠BAC＝30°，
∴t＝ ÷3＝α30÷3＝10（秒）；
（2）α当DE∥AB时，则∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AED＝90°，∴旋转角 ＝∠BAE＝90°，
∴t＝ ÷3＝α90÷3＝30（秒）；
（3）α当DE∥AC时，则∠CAE+∠AED＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AED＝90°
∴旋转角 ＝∠BAC+∠CAE＝120°，
∴t＝ ÷3＝α120÷3＝40（秒）；
综上所α述：t＝10秒或30秒或40秒．
故答案为：10秒或30秒或40秒．
三、解答题（本题共9个小题，共98分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）（2023秋•广陵区期末）（1）计算： ；
（2）解方程：2（x﹣1）3+128＝0．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣3
＝5﹣3
＝2；
（2）原方程整理得：（x﹣1）3＝﹣64，
则x﹣1＝﹣4，
解得：x＝﹣3．
18．（10分）（2023秋•新乡期末）已知a，b，c均为实数，且6a+34的立方根是4，正数b的平方根分别
是3x﹣7与x﹣9，c是 的整数部分．
（1）求正数b的值；（2）求2a+b+c的值．
【分析】（1）利用正数的平方根互为相反数先求出x，再求出b；
（2）利用立方根、二次根式的性质先确定a、c，再代入求值．
【解答】解：（1）∵正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，
∴3x﹣7+x﹣9＝0．
∴4x﹣16＝0．
∴x＝4．
∴b＝（3x﹣7）2＝25．
（2）∵6a+34的立方根是4，c是 的整数部分，
∴6a+34＝43，c＝ ＞ ．
∴a＝5，c＝6．
∴2a+b+c＝2×5+25+6
＝10+25+6
＝41．
19．（10分）（2023秋•仁寿县期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．
已知，如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝40°，∠2＝40°，则AC平行于BD吗？AE与BF平行吗？
请完成下列解答过程．
解：∵∠1＝40°，∠2＝40°（ 已知 ），
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∴AC∥ BD （ 同位角相等，两直线平行 ）．
又∵AC⊥AE（ 已知 ），
∴∠EAC＝90°，（ 垂直定义 ）．
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝ 130 ° （ 等式的性质 ）．
同理可得∠FBG＝∠FBD+∠2＝130°，
∴∠FBG＝ ∠ EAB （等量代换）．
∴AE∥ BF （同位角相等，两直线平行）．【分析】根据已知可得：∠1＝∠2＝40°，从而利用同位角相等，两直线平行可得AC∥BD，再利用垂
直定义可得∠EAC＝90°，从而看到的∠EAB＝130°，同理可得∠FBG＝130°，进而可得∠FBG＝
∠EAB，最后根据同位角相等，两直线平行可得AE∥BF，即可解答．
【解答】解：∵∠1＝40°，∠2＝40°（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
又∵AC⊥AE（已知），
∴∠EAC＝90°，（垂直定义）．
∴∠EAB＝∠EAC+∠1＝130°（等式的性质）．
同理可得∠FBG＝∠FBD+∠2＝130°，
∴∠FBG＝∠EAB（等量代换）．
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；等量代换；BD；同位角相等，两直线平行；已知；垂直定义；130°；等式的性质；
∠EAB；BF．
20．（10分）（2023秋•南浔区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，射线OF在
∠BOD内部．
（1）若∠AOC＝56°，求∠DOE的度数；
（2）若∠EOD：∠FOD：∠FOB＝7：3：1，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据对顶角得到性质得到∠BOD＝∠AOC＝56°，根据邻补角的性质得到∠AOD＝180°﹣
∠BOD＝124°，根据角平分线的定义得到∠DOE＝∠AOE＝ AOD＝62°，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠BOF＝∠DOF＝ ∠BOD，∠AOE＝∠DOE＝ AOD，根据余角的
性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝56°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝124°，∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE＝ AOD＝62°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵∠EOD：∠FOD：∠FOB＝7：3：1，
∴∠AOE：∠EOD：∠FOD：∠FOB＝7：7：3：1，
∴∠AOE＝ ×180°＝70°，∠BOD＝ ×180°＝40°，
∵∠AOC＝∠BOD＝40°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝40°+70°＝110°．
21．（10分）（2023春•通川区校级期末）如图，已知△ABC的面积为16，BC＝8．现将△ABC沿直线
BC向右平移a个单位到△DEF的位置．
（1）当△ABC所扫过的面积为32时，求a的值；
（2）连接AE、AD，当AB＝5，a＝5时，试判断△ADE的形状，并说明理由．
【分析】（1）作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为16，BC＝8，可先求出AH的长，△ABC所扫过
的面积为32，继而求出a的值；
（2）根据平移的性质可知AB＝DE＝5，又AD＝5，即可推出△ADE为等腰三角形．
【解答】解：（1）△ABC所扫过面积即梯形ABFD的面积，作AH⊥BC于H，
∵S△ABC ＝16，∴ BC•AH＝16，BC＝8，AH＝4，
∴S四边形ABFD ＝ ×（AD+BF）×AH＝ （a+a+8）×4＝32，
解得：a＝4．
（2）根据平移的性质可知DE＝AB＝5，
又∵AD＝a＝5，
∴△ADE为等腰三角形．
22．（12分）（2023春•宣化区期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位
置如图所示．
（1）分别写出点A，A′的坐标：A（ 1 ， 0 ），A′（ ﹣ 4 ， 4 ）．
（2）请说明三角形A′B'C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2n﹣8，m﹣4），求
m和n的值．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）利用平移变换的性质，构建方程组求解．
【解答】解：（1）观察图象可知A（1，0），A′（﹣4，4）．
故答案为：1，0，﹣4，4；
（2）三角形A′B'C′是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．（3）由题意， ，
解得， ．
23．（12分）（2023秋•岱岳区期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上．求出点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即
可得出答案．
（2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得
出答案．
（3）根据点P到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴a+5＝0，
∴a＝﹣5，
∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣12，0）；
（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，
∴a+5＝5，
∴a＝0，
∴2a﹣2＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，5）；
（3）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴|2a﹣2|＝|a+5|，
∴a＝﹣1或7，
点P的坐标为（﹣4，4）或（12，12）．
24．（12分）（2023秋•二七区校级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣12，6．
（1）A、B两点间的距离为 1 8 ；
（2）如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA
自点B向点A以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．
Ⅰ．运动t秒时P对应的数为 t ﹣ 1 2 ，Q对应的数为 6 ﹣ 2 t ；（用含t的代数式表示）Ⅱ．当P、Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是 ﹣ 6 ；
Ⅲ．求P、Q相距3个单位长度时的t值；
（3）如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且DA＝DM＝DC＝2，∠MDC＝90°，现点M绕着
点D以每秒转30°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、
N两点相遇时，请直接写出点N的运动速度．
【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（2）Ⅰ用含有t的代数式表示点P、点Q的所表示的数即可；
Ⅱ当P、Q两点相遇时，根据线段之间的和差关系列方程求解即可；
Ⅲ分两种情况分别进行解答，即当点P在Q左侧，当点P在Q右侧时分别列方程求解即可；
（3）根据旋转的角度求出旋转的时间，再根据点N移动的路程即可求出速度．
【解答】解：（1）由数轴可知：A、B两点间的距离为：|﹣12﹣6|＝18，
故答案为：18；
（2）Ⅰ．由题意可知：点P表示的数为：t﹣12，点Q对应的数为：6﹣2t，
故答案为：t﹣12，6﹣2t；
Ⅱ．当P、Q两点相遇时，t﹣12＝6﹣2t，
t+2t＝12+6，
3t＝18，
t＝6，
∴点P在数轴上表示的数为：6﹣12＝﹣6，
故答案为：﹣6；
Ⅲ．由题意得：当点P在Q左侧时得：t+2t+3＝18，
3t＝15，
t＝5；
点P在点Q的右侧，t+2t﹣3＝18，
3t＝21，
t＝7，
∴P、Q相距3个单位长度时的t值为5或7；（3）由题意可知，点D所表示的数是﹣10，点C所表示的数是﹣8，
此时BC＝|﹣8﹣6|＝14，
点M绕着点D顺时针方向旋转到点C所用的时间为90÷30＝3（秒），
所以，此时点N的速度为14÷3＝ （单位长度/秒），
点M绕着点D顺时针方向旋转到点A所用的时间为270÷30＝9（秒），
所以，此时点N的速度为18÷9＝2（单位长度/秒），
答：点N的速度为 单位长度/秒或2单位长度/秒．
25．（14分）（2023秋•中原区期末）【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究．
【实验操作】
（1）如图1，边BA和边BE重合摆成图1的形状，则∠CBD＝ 10 5 度；
（2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板
BDE，请问：当∠ABE是多少度时，BD⊥BC？请说明理由；（∠ABE＜180°）
【拓展延伸】
（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三
角板BDE，使得∠ABD与∠ABE中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的∠ABE
的度数．（∠ABE＜180°）
【分析】（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°；
（2）画出图示，两种情况说明理由即可；
（3）分两种情况①ED在AB右侧存在两种②ED在AB左侧存在两种，逐项解答即可．
【解答】解：（1）根据图示∠CBD＝∠CBA+∠EBD＝45°+60°＝105°，
故答案为：105：（2）∠ABE＝15°或∠ABE＝165°，理由如下：
如图，∵BD⊥BC
∴∠CBD＝90°
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°
∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD
＝60°+45°﹣90°
＝15°；
如图，∵BD⊥BC
∴∠CBD＝90°
∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°
∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）
＝360°﹣（60°+45°+90°）
＝165°．
（3）
当边BE在边AB右侧时如图3，设∠ABE＝x，则有2x＝x+60，解得x＝60°，或者x＝2（x﹣60）解得x
＝120°，
当边BE在边AB左侧时如图2，设∠ABE＝x，则有x+2x＝60°，解得x＝20°，或者x＝2（60﹣x），解得x＝40°．
综上分析，∠ABE的度数为20°，40°，60°，120°．
