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专题 16.6 期末复习之填空压轴题十五大题型总结
【人教版】
【题型1 由三角形的中线求面积】..........................................................................................................................1
【题型2 由三角形的内(外)角和求角度】...............................................................................................................2
【题型3 由全等三角形的判定与性质求线段长度】.............................................................................................3
【题型4 由全等三角形的判定与性质求角度】.....................................................................................................4
【题型5 与全等三角形有关的动点问题】..............................................................................................................5
【题型6 几何图形最值问题】..................................................................................................................................7
【题型7 构造等腰三角形求值】..............................................................................................................................8
【题型8 等腰三角形的存在性问题】......................................................................................................................9
【题型9 与整式乘除有关的化简求值】................................................................................................................10
【题型10 利用整式乘法解决图形面积问题】.......................................................................................................10
【题型11 利用因式分解解决最值问题】................................................................................................................11
【题型12 利用因式分解解决整除问题】................................................................................................................11
【题型13 分式的化简求值】....................................................................................................................................12
【题型14 由分式方程的解求字母的值】................................................................................................................12
【题型15 分式方程的实际应用】............................................................................................................................13
【题型1 由三角形的中线求面积】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形ABC，点D在BC上且CD=2BD，点E在AB
上且3AE=2BE，AD与CE交点F，点G为CF的中点，连接BG，BF，若△BFG和△AEF的面积的和为
19，则四边形BEFD的面积= ．
BD a
【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）如图1，点D在△ABC边BC上，我们知道若 = ，则
CD bS
△ABD =
a；反之亦然．如图2，
BE
是
△ABC
的中线，点F在边
AB
上，
BE、CF
相交于点O，若AF
=m
，
S b BF
△ACD
OE
则 = ．
OB
【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD的边DA和CB延长相交于E，H和
G分别是BD和AC的中点，已知四边形ABCD的面积为33，则△EHG的面积为
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，D是边AB的中点，E、F分别是边AC上
的三等分点，连接BE、BF分别交CD于G、H点，若△ABC的面积为90，则四边形EFHG的面积为
．
【题型2 由三角形的内(外)角和求角度】
1
【例2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，AB∥CD，∠BEH= ∠GEH，
n
1
∠DFK= ∠GFK，∠EGF=90°，∠FPQ−∠EQP=25°，则n的值为 ．
n【变式2-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）已知（如图）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．
点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．CE与AD，BP分
别相交于点F，Q．CG平分∠BCP，∠AFE=∠P+30°，∠D=3∠DCP．则∠BQC= ．
【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，在ΔABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB
与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E，则∠E= 度；分别作∠EAB与
∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，则∠AFC= 度．
【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，已知AB∥CD，∠BAC=120°，点M为射线AB上
一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使
1
∠ANC=2∠AMC，当∠PCN= ∠PNC时，∠PCM= ．
4【题型3 由全等三角形的判定与性质求线段长度】
【例3】（23-24八年级·山东淄博·期中）在钝角△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，这两
条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为 ．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，
1
E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF= ∠BAD，线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
2
【变式3-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为
射线CB上的动点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC所在的直线交于点P，若CD=3BD，则PC与AC
的比值为 ．
【变式3-3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD、BE相交
于P，AP=3PD，BD=3，则AE= ．【题型4 由全等三角形的判定与性质求角度】
【例4】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，
∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度数为
【变式4-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O为
△ABC内一点，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，则∠OAC= .
【变式4-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，BD
与CE交于点F，连接AF，则∠AFB的度数为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·河北邢台·期末）如图，在△ABC和△ADE中，
AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,AD与BC交于点P（不与点B,C重合），点B,E在AD异侧，
∠PAC和∠ACP的平分线相交于点I.（1）PD的最大值为 ；
（2）当∠APC=75∘时，∠CAE的度数为 ；
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为 .
【题型5 与全等三角形有关的动点问题】
【例5】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直线l
经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿
B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当
点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E；QF⊥l于点F，设运动时间为t
秒．
①当点P在AC上时，PC= （用含t秒代数式表示）；
②当t= 秒时，△PEC与△QFC全等．
【变式5-1】（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8cm,BC=12cm，
点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运
动，终点为A点．点P和点Q分别以1cm/s和3cm/s的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能
停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．当点P运动 秒时，△PEC与△QFC
全等．
【变式5-2】（23-24八年级·四川德阳·期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P
以每秒1个单位的速度按B−A−C的路径运动，点Q以每秒2个单位的速度按C−A−B的路径运动，在
运动过程中过点P作PF⊥l于点F，点Q作QG⊥l于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同
时停止运动．设运动t秒时△PFA≌△AGQ，则t的值是 ．【变式5-3】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有
两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出
发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作
DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，
以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【题型6 几何图形最值问题】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC
中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且
∠BAC=∠DAE=120°,AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过
程中，线段OE的最小值为 ．【变式6-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB
的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∠BCD=15°，点P为射线CD上的动点，当|PA−PB)为最大值时，∠PAC的度数为 °．
【题型7 构造等腰三角形求值】
【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，点P为△ABC内部一点，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，
∠APB=150°，∠CAP=22°，则∠APC的度数为 °．
【变式7-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAC=12°，
∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，则∠ACD= °．【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，AD平分∠BAC，
3∠ACB−∠ABC=360°，BE⊥AD交AD的延长线于点E，AB=16，BE=4.5，则AC= ．
【变式7-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一
点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，AE=2EF，AB=20，则
AF= ．
【题型8 等腰三角形的存在性问题】
【例8】（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分
割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在
△ABC中，∠BAC=20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，则满足条件
的∠B的度数为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC≌△A′B′C′，∠ABC=90°，∠A′=27°
（0°<∠ABA′≤54°），A′C′与AC交于点F，与AB交于点E，连接BF．当△BEF为等腰三角形时，
∠ABA′的度数为 ．
【变式8-2】（23-24八年级·河南鹤壁·期中）如图，在长方形ABCD的对角线AC上有一动点E，连接DE，
过点E作EF⊥DE交射线BC于点F，∠ACB=30°，当△EFC为等腰三角形时，∠EDC的度数是
．【变式8-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，点D在BC
边上，△ABD、△AFD关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．△DFG
为等腰三角形时，∠BAD= ．
【题型9 与整式乘除有关的化简求值】
(15) x (16) y (27) z
【例9】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）如果整数x，y，z满足 ⋅ ⋅ =16，则代数
8 9 10
2x+ y
式 的值为 ．
x−y
【变式9-1】（23-24八年级·四川成都·期中）若x2−5x+2=0，则2x3−7x2−11x+2020的值为
．
m+n
【变式9-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）若am=20，bn=20，ab=20，则 = ．
mn
【变式9-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）已知a，b，x，y满足关系式ax+by=7，ay−bx=5，则
的值为 ．
(a2+b2)(x2+ y2)
【题型10 利用整式乘法解决图形面积问题】
【例10】（23-24八年级·江苏连云港·期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片，
按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S ；按照图②放置，矩
1
形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S ；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面
2
积为S ，已知S −S =2， S −S =9，设AD−AB=m，则mb= ．
3 1 3 2 3【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形
AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S，长方形ABCD的面积记为S，已知：3S－
1 2 2
S=96，则长方形ABCD的周长为 ．
1
【变式10-2】（23-24八年级·贵州六盘水·期中）有6张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按
图②方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴
影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,b满足的数量
关系是 ．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江湖州·期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红
色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造
了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作
a
S ，每一个边长为b的小正方形面积记作S ，若S =6S ，则 的值是 ．
1 2 1 2 b【题型11 利用因式分解解决最值问题】
【例11】（23-24八年级·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足a+b+c=10，
S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ab)≥2019，则S的最小值是 ．
【变式11-1】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）已知等式(x+a)(x+b)+c(x−7)=(x−3)(x+1)对一切x
都成立，a、b、c为整数．且a+b>0．则|a−b)的最小值是 ．
【变式11-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）若2x2+7xy−15 y2+ax+by+3可以分解成两个一次
整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么a+b的最小值是 ．
【变式11-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且a+b+c=342，a−bc=331．
abc的最大值为M，最小值为N，则M+N= ．
【题型12 利用因式分解解决整除问题】
【例12】（23-24八年级·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个三位正整数n，如果n满足：百位数字、十位数
字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：n =843，8+4+3=15，∴843是“月圆
1
数”； n =133，…1+3+3=7≠15，∴133不是“月圆数”．若m，p都是“月圆数”，
2
m+p
m=300+10a+b，p=100a+60+c(a，b，c均为1−9的整数），规定F(m,p)= ，若s是m去掉
3
百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是p去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s与t的和
能被11整除，则F(m,p)的值为 ．
【变式12-1】（23-24八年级·四川成都·期末）已知312−1可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个
数为 ．
【变式12-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是
“交替数”，若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被
5整除，则满足条件的“交替数”m的最大值为 ．
【变式12-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成M×N(M≥N)，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如
意数”，并把数A分解成A=M×N的过程，称为“完美分解”．例如，因为525=21×25，21和25的十
位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即A=M×N，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若
P
能被11整除，则A的值为 ．
Q
【题型13 分式的化简求值】
x2−2x−8
【例13】（23-24八年级·江苏淮安·期中）当正整数x= 时，分式 的值也是正整数．
x−3
na+m2 nb+m2
【变式13-1】（23-24八年级·浙江台州·开学考试）已知a+b=m，a−b=n，则 − 的值为
b a
（用含m，n的式子表示）．
【变式13-2】（23-24八年级·浙江宁波·自主招生）记 (1−x2)(1−y2)．若 ，则
A = a+b+c=abc
xy xy
A=A +A +A = ．
ab bc ca
【变式13-3】（23-24八年级·浙江宁波·自主招生）已知x，y，z是大于1的正整数，且
( 1)( 1)( 1)
x+ y+ z+ 为整数，则x+ y+z= ．
y z x
【题型14 由分式方程的解求字母的值】
{3(x−2)−2≤x,)
【例14】（23-24·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组 有且仅有4个整数解，关于
7x−a>3
y−a 1−2y
y的分式方程 − =1的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ．
y−2 2−y
x−a 1
【变式14-1】（23-24八年级·福建福州·期末）若关于x的分式方程 = 无解，则a= ．
2x−4 3
1 1 1
【变式14-2】（23-24八年级·四川绵阳·自主招生）已知方程x+ =c+ （c是常数，c≠0）的解是c或 ，
x c c
1 a2+3a+1
那么方程x+ = （a是常数，且a≠0）的解是 ．
4x−6 2a
x−b x−a
【变式14-3】（23-24八年级·上海浦东新·阶段练习）若关于x的方程 =2− 有唯一解，则a,b应
a b满足的条件是 ．
【题型15 分式方程的实际应用】
【例15】（23-24八年级·重庆江北·期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是
一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预
算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵
和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山脆李树
的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%．结果发现购买
两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之
比为 ．
【变式15-1】（23-24八年级·安徽合肥·期末）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速
行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见
甲车在他窗口外经过的时间是 秒．
【变式15-2】（23-24八年级·山东济宁·期末）某中学假期后勤中的一项工作是请30名木工制作200把椅子
和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组
制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此
项工作的时间最短．
【变式15-3】（23-24八年级·重庆大足·期末）随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、
数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，
调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学
科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李
勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为
．
