文档内容
专题 07 等边三角形的性质与判定的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................1
类型一、利用等边三角形的性质求角度............................................................................................................1
类型二、利用等边三角形的性质求线段长........................................................................................................4
类型三、等边三角形中的动点问题...................................................................................................................6
类型四、等边三角形的性质与判定综合问题....................................................................................................9
类型五、等边三角形中旋转综合问题..............................................................................................................14
压轴能力测评（10题）....................................................................................................................................20
解题知识必备
1.等边三角形性质
等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
2.等边三角形的判定
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
压轴题型讲练
类型一、利用等边三角形的性质求角度
例题：（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图， 是等边三角形，在AC边的右侧作等腰 ，
，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】30°/30度
【知识点】等边三角形的性质、等边对等角
【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由 为等边三角形，可得
，再由 是等腰直角三角形， ，可得，从而得出 ，再根据等腰三角形的性质得
，最后求解即可．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练1】（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图， 为等边三角形， ，则
．
【答案】
【分析】本题考查等边对等角，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．等边三角形的性质结合角的和
差关系，求出 的度数，等边对等角，求出 的度数，三角形的三边关系求出 的度数即可．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【变式训练2】（23-24八年级上·北京西城·期末）在正三角形纸片 上按如图方式画一个正五边形
，其中点F、G在边 上，点E、H分别在边 、 上，则 的大小是 ．【答案】 / 度
【知识点】正多边形的内角问题、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解
题关键．由边三角形的性质得到 ，由多边形内角和得出 ，再利用三角形外角的性质，
即可求出 的大小．
【详解】解： 是正三角形，
，
正五边形 的内角和为 ，
，
是 的外角，
，
，
故答案为： ．
【变式训练3】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边 中，点 、 分别在边AB、 上，
把 沿直线DE翻折，使点 落在点 处， 分别交边 于点 、 ．如果测得
，那么 ．
【答案】 /84度
【知识点】折叠问题、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、邻补角的定义理解
【分析】由等边三角形的性质得 ，由邻补角得 ，再由翻
折的性质得： ， ，从而
， ，再利用三角形的内角和定理
即可得解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
由翻折的性质得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，邻补角性质，折叠的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握
折叠的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．
类型二、利用等边三角形的性质求线段长
例题：（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知 为等边三角形， 为 的高，延长 至E，使
，连接 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的三边上三线合一求解即可得到答案；
【详解】解：∵ 为等边三角形， 为 的高，
∴点D为 的中点， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边 中，边长为 ，点 为 的中点，将
按逆时针方向旋转 后得到 ，则 ．【答案】9
【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质．熟练掌握等边三角形“三线合一”的性质和旋转的性
质是解题的关键．
先根据等边三角形“三线合一”的性质求得 ，再根据诱因的性质得 ，
即可求解．
【详解】解：∵等边 ，点 为 的中点，
∴
由旋转可得 ．
故答案为：9．
【变式训练2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在边长为 的等边三角形 中， 于
点 ，点 在直线 上，且 ，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了等边三角形的性质和线段和差，由等腰三角形“三线合一”可得 ，
再通过线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质的应用．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练3】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，已知 ，点 ， ， ， ，在射
线 上，点 、 、 ， ，在射线 上， 、 、 、…均为等边三角形，若
，则 的边长是 ．
【答案】【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得
，进而得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，故得
的边长为 ，同理得 的边长为 ， 的边长为 ，以此规律可得， 的边长，
熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的边长为 ，
同理： 的边长为 ， 的边长为 ，以此规律可得， 的边长为 ，
故答案为： ．
类型三、等边三角形中的动点问题
例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在 中， 厘米，点
从点 开始以1厘米/秒的速度向点 运动，点 从点 开始以2厘米秒的速度向点 运动，两点同时运动，
当运动时间为 秒时， 是等边三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则 ，则
，根据等边三角形的性质得到 ，则 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得， ，则
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴当运动时间为2秒时， 是等边三角形．故答案为：2．
【变式训练1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边 中，E是 边的中点， 是 边
上的中线，P是 上的动点，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称求线段的最值问题，作点E关于 的对称点F，由加对称
的性质可知 就是 的最小值，由此可解．
【详解】解：作点E关于 的对称点F，连接 ，
∵ 是等边三角形， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∵点E关于 的对应点为点F，
∴ 就是 的最小值．
∵ 是等边三角形，E是 边的中点，
∴F是 的中点，
∴ 是 的中线，
∴ ，
即 的最小值为6，
故答案为：6．
【变式训练2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知 ，点P在 的内部，点 与
点P关于 对称，点 与点P关于 对称，连接 ，如 的周长是18，那么
．【答案】6
【分析】根据题意，得点 与点P关于 对称，点 与点P关于 对称，得到 ，
，结合 ，得到 ，得到 是等边
三角形，结合 的周长是18，解答即可．
本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得点 与点P关于 对称，点 与点P关于 对称，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ 的周长是18，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
【变式训练3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，等边 中， 于 ，
，点 、 分别为 、 上的两个定点且 ，在 上有一动点 使 最短，
则 的最小值为 ．
【答案】5【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题，属于中考常考题型．
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．最小值
．
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．
最小值 ，
是等边三角形，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
类型四、等边三角形的性质与判定综合问题
例题：（22-23八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形 中，点D，E分别在边 ， 上，
且 ，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求 的度数；(2)若 ，求DE的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质．
（1）根据平行线的性质得出 ，再根据 即可解答；
（2）通过证明 为等边三角形，得出 ，即可解答．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在 中， ， ，点 、
在 上，且 ．
(1)求 的度数；
(2)若点 为线段 的中点，求证： 是等边三角形．
【答案】(1)90
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定，熟
练掌握等腰三角形和等边三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由等腰三角形的性质可求 ， ，再由三角形外角的性质即可求解；
（2）三角形外角的性质可得 ，由题意及各角之间的等量代换得出 即可得到证明．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）证明：由（1）知， ，
，
，
，
点 为线段 的中点，
，
，
又 ，
，
，
，
是等边三角形．
【变式训练2】（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知在 中， ， ，点 是平
面内一点，连接 、 、 ， ．
(1)如图1，点 在 的内部．
①当 ，求 的度数；
②当 平分 ，判断 的形状，并说明理由；
(2)如果直线 与直线 相交于点 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数（直接
写出答案）．
【答案】(1)① ② 为等边三角形，理由见解析
(2) 的度数为 或 ，理由见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是
掌握等腰三角形的性质．
（1）①根据 ， 得 ，进而得 ，再根据题意得 ，进
而得 ；
②根据 平分 ，设 ，则 ，根据 得 ，根据
得 ，则 ， ，再根据三角形内角和定理得
，则 ，进而得 ，由此可判定 的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线 与线段 交于点 时，，设 ，则
， ，再根据 得 ，再根据三角形内角和定
理得 ，则 ，②当直线 与 的延长线交于点 时，设 ，则
，再求出 ，得 ，根据 得 ，再
根据三角形内角和定理得 ，则 ，综上所述即可得出 的度数．
【详解】（1）解：①在 中， ， ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
在 中， ， ，
；
② 为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，在 中， ，
，
在 中， ， ，
，
， ，
在 中， ，
，
，
， ， ，
为等边三角形；
（2） 的度数为 或 ，理由如下：
直线 与直线 相交于点 ，且 是以 为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线 与线段 交于点 时，如图所示：
设 ，
是以 为腰的等腰三角形，即 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
即 ；
②当直线 与 的延长线交于点 时，如图所示：设 ，
，
，
是以 为腰的等腰三角形，即 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
；
综上所述， 的度数为 或 ．
类型五、等边三角形中旋转综合问题
例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 中， ，点 是 内一点，将 旋
转后能与 重合
(1)旋转中心是点 ；
(2)若 ，旋转角是 度；
(3)若 ，请判断 的形状并说明理由．
【答案】(1)B
(2)40(3)等边三角形，见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的内角和得到
，根据旋转的性质即可得到结论；
（3）由已知条件得到 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 ，由旋转的性质得到
，根据等边三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）旋转中心是点 ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
将 旋转后能与 重合，
，
，
∴旋转角是40度，
故答案为：40；
（3） 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
将 旋转后能与 重合，
，
，
是等边三角形．
【变式训练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ，以 为边向
右侧作等边 ，把 绕 点按顺时针方向旋转 后得到 ，若 ．
(1)求 的度数；
(2)求 的长．【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
（1）由旋转的性质即可得出答案；
（2）由旋转的性质可得： ，求出 在同一直
线上，结合等边三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解： 把 绕 点按顺时针方向旋转 后得到 ，
；
（2）解： 为等边三角形，
，
，
，
，
由旋转的性质可得： ，
， 为等边三角形，
在同一直线上，
，
．
【变式训练2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，点O是等边 内一点， ，
等于 ，将 绕点C按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求 的度数；
(3)若 ，请探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当 为 或 或 时， 是等腰三角形【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．
（1）只要证明 即可；
（2）想办法求出 即可解决问题；
（3）分三种情形讨论求解即可解决问题．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ，
∴ ， ，
，
是等边三角形，
，
，
∴ 是等边三角形；
（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3）解：当 为 或 或 时， 是等腰三角形，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
，
∴ ，
∵ ，
，
，
∵在 中， ，
，
∴ ，
∵ 是等腰三角形，
①当 时，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 为 或 或 时， 是等腰三角形．
【变式训练3】（22-23八年级上·云南西双版纳·阶段练习）你可以直接利用结论“有一个角是 的等腰三
角形是等边三角形”解决下列问题：
在 中， ．
(1)如图1，已知 ，则 共有 条对称轴， °， °；
(2)如图2，已知 ，点E是 内部一点，连接 、 ，将 绕点A逆时针方向旋转，
使边 与 重合，旋转后得到 ，连接 ，当 时，求 的长度．
(3)如图3，在 中，已知 ，点P是 内部一点， ，点M、N分别在边 、
上， 的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使 的周长最小，
要写出画图方法，并直接写出周长的最小值．
【答案】(1)3，60，60
(2)3
(3)2，绘图见解析
【分析】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，正确应用等边三角形的
判定与性质是解题关键．
（1）直接利用等边三角形的判定与性质得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应线段的关系，进而得出 是等边三角形，得出答案即可；
（3）利用轴对称的性质得出画点P关于边 的对称点G，画点P关于边 的对称点H，进而得出
是等边三角形，进而得出答案．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ 共有3条对称轴， ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是由 绕点A旋转而得到的，且边 与 重合
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：如图3，画图方法：
①画点P关于边 的对称点G，
②画点P关于边 的对称点H，
③连接 ，分别交 、 于点M、N，
连接 ，
根据折叠可知： ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即此时 周长最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 周长最小值为2．压轴能力测评（12题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是等边三角形 的中线，点E在 上，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质求出 ，
的度数，再根据等腰三角形的性质得 ，可求答案．
【详解】解∶∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边 中， ， 与 相交于点 ，则
的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．根据题意可证 ，从而得到 ，最后利用三角形外
角和定理得到 ，即可得到答案．
【详解】解： 是等边三角形
，
在 与 中
故选：C．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， 是边长为a的等边三角形， ，且 ，
以D为顶点作一个 角，使其两边分别交 于点M．交 于点N，连接 ，则 的周长是（
）
A．a B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键．延长 至F，使 ，连接 ，通过证明
及 ，从而得出 ， 的周长等于AB+AC的长．
【详解】解：∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∵ 是边长为a的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
延长 至F，使 ，连接 ，如图所示：
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ （SAS）
∴ ，
∴ 的周长是：
．
故选B．
二、填空题4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， 是 边上的中线，延长 至点
E，使得 ，连接 ．若 ．则 的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据等角对等边求边长、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明 是等边三角形，由
等腰三角形三线合一得到 ，进而求出 ，再根据等角对等边即可得出
结果．
【详解】解： ，
是等边三角形，
．
是 边上的中线，
．
是等腰三角形，
，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知点B是 边上的动点（不与A，C重合），在
的同侧作等边 和等边 ，连接 ， ，下列结论正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ 是等边三角形；⑤HB平分 ；⑥
；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩图中共有2对全等三角
形【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，
证明三角形全等是解决问题的关键．
根据等边三角形的性质得到 ， ， ，则可根据“SAS”判定
，可对①②进行判断；证明 为等边三角形得到 ，则 ，所
以 ，从而可对③、④进行判断．利用 得到 和 边上的高相等，则根据角平分
线的性质定理逆定理可对⑤进行判断，在 上截取 ，连接 ，由“SAS”可证 ，
可得 ， ，可得 ，可判断⑥，同⑥可判断⑦；根据三角形外角的性
质可判断⑧⑨；证明 ， ，可判断⑩；即可求解．
【详解】解：∵ 、 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①②正确；
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，故④正确，
∴ ，
∴ ，故③正确，
∵ ，
∴ 和 边上的高相等，
即B点到 和 的距离相等，
∴ 平分 ，所以⑤正确；如图，在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，故⑥正确，
如图，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，故⑦正确，∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑧正确；
∴ ，
∴ ，故⑨正确；
⑩在 和 中，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∵ ，
∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误．
故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨．
6．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是等边三角形， 于点D，点 是点 关
于直线 的对称点，连接 ， ， 交 于点 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若点 在线段 上，连接 ， ，则 的最小值等于 的长度．（用图中的某一条
线段表示）
【答案】【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建线段和的最小值时点的
位置是解本题的关键；
（1）利用等边三角形的性质可得答案；
（2）如图，记 与 的交点为 ，连接 ， ， ，记 与 的交点为 ，由点 是点 关
于直线 的对称点，可得当 与点 关于直线 的对称时，此时 最短，且 ．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形， ，
∴ 为 的中点， ，
∵ ，
∴ ．
（2）如图，记 与 的交点为 ，连接 ， ， ，记 与 的交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 是点 关于直线 的对称点，
∴当 与点 关于直线 对称时， ， ，
∴ ，
此时 最短，且 ，
故答案为： ， ．
三、解答题
7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知等边 中，D是AC的中点，E是BC延长线上
的一点，且 ， ，垂足为M．
(1)求证：M是 的中点；(2)若 ，则 的长为__________．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【知识点】含30度角的直角三角形、根据三线合一证明、等边三角形的性质
【分析】（1）连接 ，根据等边三角形的性质可得 ，再利用三角形的外角性质推出
，从而得到 为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证,
（2）根据 角直角三角形的性质，即可求解，
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质， 角直角三角形的性质，解题的关键是：
熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵在等边 中，点 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
又∵ ，
∴点 是 的中点，
（2）解：∵ ， ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
8．（22-23八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，垂
足为 ，且 ， ，点 ， 在 ， 上．(1)求证： 是等边三角形；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、等边三角形的判定和
性质
【分析】本题考查全等三角形的判定和等边三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，能将所
给条件转化为两三角形全等的条件是解题的关键．
（1）根据 、 及 ，可求出 的度数，再由 即可解决问题．
（2）由等边三角形的性质得出 ， ．再证明 利用 判定
方法即可证明．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴CD平分 ．
又 ，
∴ ．
又 ，
∴ 是等边三角形．
（2）∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
又 ，且 ，
∴ ．
9．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图1，在等边 中，点P，Q分别是 ， 上的动点
（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接 ， 交于M．(1)当点P，Q在边 ， 上运动时，求 的度数；
(2)当点P，Q在射线 ， 上运动时，直线 ， 交于点M，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是
∶
（1）先判定 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ；
（2）先判定 ，根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ．
【详解】（1）解∶ 是等边三角形，
， ，
又 点 、 运动速度相同，
，
在 与 中，
，
；
，
是 的外角，
，
，
；
（2）解∶ 点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动时， 不变．
理由：同理可得， ，
，
是 的外角，，
，
即若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动， 的度数为 ．
10．（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知 ， 于点G， 于点F，且
．
(1)求证： ；
(2) 吗？请说明理由；
(3)若 ， 是什么三角形？
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
(3) 是等边三角形
【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定
【分析】（1）由 ， ， ， ，即可证明，
（2）由 ，即可证明，
（3）根据题意由余角的性质可得 ，即可得到 是等边三角形．
本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全
等是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形．
11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，点O是等边 内一点，D是 外的一点，
， ， ，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)探究：当 为多少度时， 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)当 或 或 时， 是等腰三角形
【知识点】等边三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等边对等角、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识．
（1）根据全等三角形的性质得到 ， ，再证明 ，即可证明 是等
边三角形；
（2）先求出 ，根据全等的性质得到 ，即可求出 ，从而得到
是直角三角形；
（3）分别表示出 ， ， ，分①
，② ，③ 三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形．理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ．
①当 时，则 ，即 ，
∴ ；
②当 时，则 ，即 ，
∴ ；
③当 时，则 ，即 ，
∴ ．
综上所述：当 或 或 时， 是等腰三角形．
12．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，已知 和 都是等边三角形，且点E在线段 上．
(1)求证： ；
(2)过点E作 交 于点G，试判断 的形状并说明理由；
(3)如图2，若点D在射线 上，且 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和
SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握等边三
角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明 ，得到 ，从而可证得 ，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）根据等边三角形的性质得 ，再根据 得
， ，从而得 即可得出结论；
（3）过E作 交 于M，先证明 ，得到 ，从而得出
，再由（1）得 ，得出 ，则 ，从而有
，根据 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中,
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
如图1，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）证明：如图2，过E作 交 于M，由（2）可得 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴
∴ ．
13．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）【问题情境】如图 ， 与 都是等边三角形，连接
，CD，点 ， 分别是 ，CD的中点，连接 ， ， ．【猜想证明】请证明：
（1）求证： ；
（2）求证： 是等边三角形．
【类比探究】如图 ， 与 都是等腰直角三角形，连接 ，CD，点 ， 分别是 ，CD
的中点，连接 ， 请探究：
（3）若点 恰好也是 的中点，且 ，求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的面积为
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）由等边三角形的的性质得 ，可推导出 ，进而
证明 ，得出 ；
（2）由 ，且 ，证明 ，而 ， ，可证明
，得 ，可推导出 ，则 是等边三角
形．
（3）由等腰直角三角形的性质得 ，可推导出 ，进
而证明 ，得 ，而 ，所以 ，可
证明 ，得 ，推导出 ，因为 ，点N
是 的中点，所以 ，则 ，所以
．
【详解】解：（1） 与 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，，
≌ ，
．
（2）证明： 点 ， 分别是 ，CD的中点，
， ，
，
，
≌ ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
是等边三角形．
（3） 与 都是等腰直角三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
点 ， 分别是 ，CD的中点，
， ，
，
在 和 中，，
≌ ，
， ，
，
，且点 也是 的中点，
，
，
， ，
，
，
的面积为 ．
14．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图， 是边长为9的等边三角形，P是 边上的动点，由
点A向点C运动（与A，C不重合），Q是 延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向 延
长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作 于点E，连接 交AB于D．
(1)当 时，求 的长；
(2)过P作 交AB于M．
①求证： 是等边三角形；
②求线段 的长．
【答案】(1) 的长为3；
(2)①见详解②
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）、两直线平行同位角相等
【分析】（1）设 ，则 ， ，证 ，则 ，即，解方程即可；
（2）①因为 ，且 是边长为9的等边三角形，则证 是等边三角形，
②因为 是等边三角形得 ，再由等边三角形的性质得 ，然后证
，得 ，即可解决问题．
本题考查了等边三角形的性判定与质、全等三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质以及平行
线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
， ，
设 ，则 ， ，
，
，
，
即
解得： ，
即 的长为3；
（2）①如图，
∵ ，
， ，
是等边三角形，
② 是等边三角形，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
．
15．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在 中， ，D为 延长线上一点，点E为线段
的垂直平分线的交点，连接 ．
(1)如图1，当 时，则 ______°；
(2)当 时，
①如图2，连接 ，判断 的形状，并证明；
②如图3，直线 与 交于点F，满足 ， ．P为直线CF上一动点．当
的值最大时，请探究表示 与 之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)
(2)①等边三角形，证明见解析；② ，证明见解析
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、多边形内角和问题、等边三角形的判定和性质、全等的性
质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①证明 即可推出 为等边三角形；②作点D关于直线 的对称点 ，
连接 ．当点P在 的延长线上时， 的值最大，此时 ，再利用全等
三角形的性质证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：∵点E为线段 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（2）解：①证明：∵点E为线段 的垂直平分线的交点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
② ．
证明：∵ 为等边三角形,
∴ , ,
如图，作点D关于直线 的对称点 ，连接 ．
∴ ,
∴ ，则点P在 的延长线上时， 的值最大，此时 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ．
∴ ，
∴ ．
∵ , ,
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的
性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考
题型．
