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专题 11.4 双角平分线模型
1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，且
2 2
∠EBC= ∠ABC、∠ECB= ∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（ ）
5 5
A．5∠E−4∠D=180° B．5∠D−4∠E=180°
C．5∠E−4∠D=90° D．5∠D−4∠E=90°
【思路点拨】
本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得
1 2 2
∠D=90°+ ∠A．再由∠EBC= ∠ABC、∠ECB= ∠ACB及三角形内角和即可求得∠D与∠E
2 5 5
的数量关系．
【解题过程】
解：∵BD、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A)=90°− ∠A，
2 2 2
1
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=90°+ ∠A．
2
2 2
∵∠EBC= ∠ABC、∠ECB= ∠ACB
5 5
2 2
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A)，
5 5
∴∠E=180°−(∠EBC+∠ECB)
3 2
= ×180°+ ∠A；
5 51
∵∠D=90°+ ∠A，
2
∴∠A=2∠D−180°，
3 2 1 4
∴∠E= ×180°+ (2∠D−180°)= ×180°+ ∠D，
5 5 5 5
整理得：5∠E−4∠D=180°．
故选：D．
2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和
∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②
1
∠DFE=130°；③∠EFC= ∠G：④∠ADC=∠GCD；⑤△EGC是等腰直角三角形，其中正确的结
2
论是（ ）
A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【思路点拨】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定
义是解题的关键．
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，
∠GCD+∠BCD=90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，
即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．
【解题过程】
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故④正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
1 1
∴ ∠FBC= ∠ABC,∠FCB= ∠ACB，
2 2
1
∴ ∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°− (∠ACB+∠ABC)=135°，
2
∴∠EFC=180°−∠BFC=45°，
∵CG⊥EG
∴∠G=90°，
1
∴ ∠EFC= ∠G，故③正确；
2
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；
∵∠G=90°
∴△EGC是直角三角形，
根据现有条件，无法推出CG=CE，即无法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤错误；
∴正确的有①③④，
故选：D．
3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠ABC的平分
线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F，下列结论：①∠1=∠2；②∠F=∠1+∠3；③
CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4=2∠3．其中正确的结论有（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用以上知识解决问
题是关键；先证明∠2=∠FBC，∠1=∠FBC，可判断①，由∠ABC+∠BCD=180°，1
∠FBC+∠F+∠FCB=180°可判断②，由CE⊥BF可得∠ECB= ∠DCB，可判断③，再结合平行
2
线的性质证明∠4=∠ECB可判断④，从而可得答案．
【解题过程】
解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠FBC，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠1=∠FBC，
∴∠1=∠2，故①符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1+∠FBC+∠FCB+∠3=180°，
∵∠FBC+∠F+∠FCB=180°，
∴∠F=∠1+∠3，故②符合题意；
∵∠ABC+∠BCD=180°，
1 1
∴ ∠ABC+ ∠BCD=90°，
2 2
若CE⊥BF，
1
∴∠EBC+∠ECB=90°，而∠EBC= ∠ABC，
2
1
∴∠ECB= ∠DCB，与题干条件不符，故③不符合题意；
2
由③可得：当CE⊥BF，
1
∴∠ECB= ∠DCB=∠ECD，
2
∵CF平分∠DCE，
1
∴∠3=∠ECF= ∠DCE，
2
∴∠ECB=2∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠ECB，
∴∠4=2∠3，故④符合题意；
故选C4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，AB∥CD， EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、
∠EFD，有下列结论：①∠EMF=90°；②¿⊥ME；③FM∥GE；④∠EGF与∠BEM互余．其中，
结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由两直线平行，同旁内角互补，及角平分线的定义，可得∠MEF+∠EFM=90°，根据三角形内角和定
理，即可判断①正确，
由角平分线的定义，和平角的定义，即可判断②正确，
由①②的结论，根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断③正确，
由②的结论，∠BEM+∠AEG=90°，根据两直线平行同位角相等，得到∠AEG=∠EGF，根据等角的
余角相等，即可判断④正确，
本题考查了，平行线的性质与判定，交平分线的定义，等角的余角相等，三角形内角和定理，解题的关键
是：熟练掌握相关性质定理．
【解题过程】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EM、FM分别平分∠BEF、∠EFD，
1 1
∴∠BEM=∠MEF= ∠BEF，∠EFM=∠DFM= ∠EFD，
2 2
1 1 1 1
∴∠MEF+∠EFM= ∠BEF+ ∠EFD= (∠BEF+∠EFD)= ×180°=90°，
2 2 2 2
∴∠M=180°−(∠MEF+∠EFM)=180°−90°=90°，故①正确，
∵EG平分∠AEF，
1
∴∠AEG=∠GEF= ∠AEF，
2
1 1 1 1
∴∠GEF+∠MEF= ∠AEF+ ∠BEF= (∠AEF+∠BEF)= ×180°=90°，
2 2 2 2
∴∠GEM=90°，∴¿⊥ME，故②正确，
∵∠GEM=∠M=90°，
∴∠GEM+∠M=180°，
∴FM∥GE,故③正确，
∵∠GEM=90°，
∴∠BEM+∠AEG=180°−∠GEM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠EGF，
∴∠BEM+∠EGF=90°，
∴∠EGF与∠BEM互余，故④正确，
综上所述，其中正确的个数是4个，
故选：D．
5．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，
∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：
①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有（
）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【思路点拨】
本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，求出∠B+∠C=180°，即可判
断①；求出∠AEB+∠ADC≠180°即可判断②；求出∠EDA=∠2，即可判断③；求出
1
∠EAF+∠EDF= (∠EAM+∠EDN)=135°，从而得出
2
∠F=360°−∠EAF−∠EDF−∠AED=135°，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此
题的关键．
【解题过程】
解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°=∠AEB+∠DEC，
∴∠1=∠DEC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠AEB≠∠EAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵AE平分∠BAD交BC于E，
1
∴∠EAD=∠1= ∠BAD，
2
∵∠EAD+∠EDA=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠EDA=∠2，
∴DE平分∠ADC，故③正确；
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
1 1
∴∠EAF=∠MAF= ∠EAM，∠EDF=∠NDF= ∠EDN，
2 2
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠EAM=180°，∠2+∠EDN=180°，
∴∠EAM+∠EDN=270°，
1
∴∠EAF+∠EDF= (∠EAM+∠EDN)=135°，
2
∴∠F=360°−∠EAF−∠EDF−∠AED=135°，为定值，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：A．
6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若
∠A>∠D,∠ACD−∠ABD=64°，∠P=18°，则∠A的度数为 ．【思路点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再
根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，根据∠ACD−∠ABD=64°，可推出
∠3−∠1=32°，又因为∠P=18°，即可求出∠A．
【解题过程】
解：如图，
∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由三角形的内角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3，
∵∠ACD−∠ABD=64°，
即∠3+∠4−∠1−∠2=64°，
∴∠3−∠1=32°，
∵∠P=18°，
∴∠A=∠P+∠3−∠1=18°+32°=50°，
故答案为：50°．
7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）已知△ABC，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
过点O作BC的平行线分别交AB，AC于点F，E．则∠EOB与∠COF的度数和为 ．【思路点拨】
本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，平行的性质，由∠A=80°可得
1 1
∠ABC+∠ACB=100°，，再根据角平分线的性质可得∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，进而
2 2
1
得∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=50°，
2
，由平行线的性质可得∠EOB=180°−∠OBC，∠COF=180°−∠OCB，两角相加即可求解，掌握三
角形角平分线的性质是解题的关键．
【解题过程】
解：∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−80°=100°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=50°，
2 2 2
∵EF∥BC，
∴∠EOB+∠OBC=180°，∠COF+∠OCB=180°，
∴∠EOB=180°−∠OBC，∠COF=180°−∠OCB，
∴∠EOB+∠COF=180°−∠OBC+180°−∠OCB=360°−(∠OBC+∠OCB)=360°−50°=310°，
故答案为：310°．
8．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，△ABC中，点P是BA延长线上的一点，PD⊥CB于点
D,∠BCA的平分线与∠BPD的平分线交于点F．当∠BAC=50°时，则∠PFC的度数为 ．【思路点拨】
如图所示，设PD交CF于点Q，根据PD⊥CB可求出∠BPD,∠PQF的关系，根据角平分线的性质可得
∠DPF,∠BCF的关系，由此可得∠PQF，根据三角形内角和定理即可求解．
【解题过程】
解：如图所示，设PD交CF于点Q，
∵PD⊥CB，
∴∠BPD=90°−∠B，∠PQF=∠CQD=90°−∠BCF，
∵PF平分∠BPD，
1 1
∴∠DPF= ∠BPD= (90°−∠B)，
2 2
∵CF平分∠BCA，
1
∴∠BCF= ∠BCA，
2
∵∠BCA=180°−∠BAC−∠B=180°−50°−∠B=130°−∠B，
1
∴∠BCF= (130°−∠B)，
2
1
∴∠PQF=90°−∠BCF=90°− (130°−∠B)，
2
∵∠PFC+∠PQF+∠DPF=180°，
[ 1 ) 1
∴∠PFC=180°−∠PQF−∠DPF=180°− 90°− (130°−∠B) − (90°−∠B)=110°，
2 2
故答案为：110°．9．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在
MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为 ．
【思路点拨】
先由平行线的性质得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【解题过程】
解：过点C作CH∥MN，
∵CH∥MN，
∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，
∵∠ACB=∠6+∠7，
∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，
∵∠D=52°，
∴∠1+∠5+∠3=180°−52°=128°，
由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，
∠4=180°−(∠5+∠3)=180°−(180°−∠1−∠D)=∠1+∠D=∠1+52°，
∴∠3=∠4=∠1+52°，
∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，
∴m°+52°=128°，
∴m=76．
故答案为：76．
10．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在△ABC中，AE，BF是角平分线，它们相交于点 O．（1）若∠C=72°，则∠AOB的度数为_______；
（2）猜想∠AOB的度数与∠C的度数存在的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
（1）先由三角形内角和为180度求出∠CBA+∠CAB=108°，再由角平分线的定义推出
∠OBA+∠OAB=54°，则由三角形内角和定理可得∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=126°．
1 1
（2）根据角平分线的定义得出∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠CAB，求出
2 2
1 1 1
∠OBA+∠OAB= ∠CAB+ ∠CBA=90°− ∠C，然后根据三角形内角和定理求出结果即可．
2 2 2
【解题过程】
（1）解：∵在△ABC中，∠C=72°，
∴∠CBA+∠CAB=180°−∠C=108°，
∵AE，BF是角平分线，它们相交于点O，
1 1
∴∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠CAB，
2 2
1 1
∴∠OBA+∠OAB= ∠CAB+ ∠CBA=54°，
2 2
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=126°；
（2）解：在△ABC中， ∠CBA+∠CAB=180°−∠C，
∵AE，BF是角平分线，它们相交于点O，
1 1
∴∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠CAB，
2 2
1 1
∴∠OBA+∠OAB= ∠CAB+ ∠CBA
2 2
1
= (∠CAB+∠CBA)
21
= (180°−∠C)
2
1
=90°− ∠C，
2
∴∠AOB=180°−(∠OAB+∠OBA)
( 1 )
=180°− 90°− ∠C
2
1
=90°+ ∠C．
2
11．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O
重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD（或其反向延长线）与BC交于点C．
（1）如图①，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；
（2）如图②，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否
改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
1 1
（1）由角平分线的定义得出∠NAD=∠BAD= ∠BAN，∠ABC=∠MBC= ∠ABM，求出
2 2
1
∠BAO+∠ABO=90°，再求出∠CAB+∠CBA= (∠BAN+∠ABM)=135°，即可得出答案；
2
1 1
（2）由角平分线的定义得出∠NAD=∠BAD= ∠BAN，∠ABC=∠MBC= ∠ABM，求出
2 2
1 1
∠BAO+∠ABO=180°−α，再求出∠CAB+∠CBA= (∠BAN+∠ABM)=90°+ α，即可得解．
2 2
【解题过程】
（1）解：∵ AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，1 1
∴∠NAD=∠BAD= ∠BAN，∠ABC=∠MBC= ∠ABM，
2 2
∵∠BAO+∠ABO=180°−∠AOB=90°，
1 1
∴∠CAB+∠CBA= (∠BAN+∠ABM)= (360°−90°)=135°，
2 2
∴∠ACB=180°−135°=45°．
（2）解：∠ACB的度数不改变．
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
1 1
∴∠NAD=∠BAD= ∠BAN，∠ABC=∠MBC= ∠ABM．
2 2
∵∠BAO+∠ABO=180°−∠AOB=180°−α，
1 1 1
∴∠CAB+∠CBA= (∠BAN+∠ABM)= [360°−(180°−α))=90°+ α，
2 2 2
1
∴∠ACB=180°−(∠CAB+∠CBA)=90°− α．
2
12．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）【感知】（1）如图①，线段AB,CD相交于点O，连接
AC,BD．求证：∠A+∠C=∠B+∠D；
【探究】（2）如图②，分别作图①中∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别
相交于点M、N．若∠B=70°,∠C=100°，求∠P的度数；
【应用】（3）如图③，分别作图①中∠CAB和∠BDC的内部作射线AP和DP相交于点P，与CD,AB分
1 1
别相交于点M、N，且使∠CAP= ∠BAC,∠CDP= ∠BDC．若∠B=70°,∠C=100°，则∠P的
3 3
大小为 度．
【思路点拨】
本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据“8字形”得到
∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C−∠P=∠P−∠B，1
即∠P= (∠B+∠C)，即可求解；
2
1 1 2 2
（3）根据∠CAP= ∠CAB,∠CDP= ∠CDB，可得∠BAP= ∠BAC，∠BDP= ∠BDC，再由
3 3 3 3
三角形内角和定理和对顶角相等，可得2(∠C−∠P)=∠P−∠B，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°−∠AOC，
在△BOD中，∠B+∠D=180°−∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P①，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②，
由①−②，得：∠C−∠P=∠P−∠B，
1
即∠P= (∠C+∠B)，
2
∵∠B=70°,∠C=100°，
1
∴∠P= (70°+100°)=85°；
2
1 1
（3）∵∠CAP= ∠CAB,∠CDP= ∠CDB，
3 3
2 2
∴∠BAP= ∠BAC，∠BDP= ∠BDC，
3 3
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
1 1 1
∴∠C−∠P= ∠BDC− ∠BAC= (∠BDC−∠BAC)，
3 3 3
2 2 2
∠P−∠B= ∠BDC− ∠BAC= (∠BDC−∠BAC)，
3 3 3
∴2(∠C−∠P)=∠P−∠B，
1
∴∠P= (∠B+2∠C)，
3
∵ ∠B=70°,∠C=100°，
1
∴ ∠P= (70°+2×100°)=90°．
313．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．
（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求∠BPC的度数；
（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P ,P ，求∠BP C,∠BP C的度数；
1 2 1 2
（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P ,P ,…P ，则∠BP C=________（结果用含n的
1 2 n−1 1
式子表示），∠BP C= ________（1≤k≤n−1，k为整数，结果用含n和k的式子表示）
k
【思路点拨】
（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出
∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出
∠P BC+∠P CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
2 2
（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出
∠P ❑ BC+∠P ❑ CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
n −1 n −1
【解题过程】
（1）解：∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB
2 2
1 1
∴∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB
2 2
1
= (∠ABC+∠ACB)
2
=60°，
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=120°，
故答案为：120°．
（2）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P ，P ，
1 2
1 1
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CB= ∠ACB
1 3 1 3
1 1
∴∠P BC+∠P CB= ∠ABC+ ∠ACB
1 1 3 3
1
= (∠ABC+∠ACB)
3
=40°，
∴ ∠BP C =180°−(∠P BC+∠P CB)=140°
1 1 1
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P ，P ，
1 2
2 2
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CB= ∠ACB
2 3 2 3
2 2
∴∠P BC+∠P CB= ∠ABC+ ∠ACB
2 2 3 3
2
= (∠ABC+∠ACB)
3
=80°，
∴ ∠BP C= 180°−(∠P BC+∠P CB)=100°
2 2 2
（3）∵在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°
∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点P ，P ，……，P
1 2 n−1
1 1
∴ ∠P BC= ∠ABC,∠P CB= ∠ACB
1 n 1 n
1 120°
∴ ∠BP C=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°−
1 n n
n−1 n−1
∴∠P BC= ∠ABC，∠P CB= ∠ACB
n−1 n n−1 n
n−1 n−1
∴∠P BC+∠P CB= ∠ABC+ ∠ACB
n−1 n−1 n n
n−1
= (∠ABC+∠ACB)
n
n−1
= ×120°
nk
∴∠P BC+∠P CB= (∠ABC+∠ACB)
k k n
k
∴ ∠BP C= 180°−(∠P BC+∠P CB)=180°− ×120°
k k k n
120° k
故答案为：180°− ，180°− ×120°
n n
14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠A=60°，则∠BPC的度数是 ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的
度数．
【思路点拨】
1 1
（1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A)，
2 2
1
则∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=90°+ ∠A，再根据∠A=60°可得∠BPC的度数；
2
（2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得∠MBC+∠NCB=180°+∠A，再由角平分线
1 1
定义得∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)=90°+ ∠A，由此得∠Q，∠A之间的数量关系；
2 2
1
（3）先求出∠EBQ=90°，根据∠Q=90°− ∠A得∠A=2∠E，然后分四种情况讨论即可；
2
此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，
三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键．
【解题过程】
（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点P，1 1
∴PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
2 2
1 1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A) ，
2 2
1 1
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°− (180°−∠A)=90°+ ∠A
2 2
∵∠A=60°，
1 1
∴∠BPC=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°，
2 2
故答案为：120°；
1
（2）∠Q，∠A之间的数量关系是∠Q=90°− ∠A，理由如下：
2
∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
1 1
∴∠QBC= ∠MBC,∠QCB= ∠NCB，
2 2
1 1 1
∴∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)= (180°+∠A)=90°+ ∠A，
2 2 2
( 1 ) 1
∴∠Q=180°−(∠QBC+∠QCB)=180°− 90°+ ∠A =90°− ∠A，
2 2
1
∴∠Q，∠A之间的数量关系是∠Q=90°− ∠A；
2
（3）∵PB平分∠ABC,BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC=180°，
1 1
∴∠PBC= ∠ABC，∠QBC= ∠MBC，
2 2
1 1
∴∠PBC+∠QBC= (∠ABC+∠MBC)= ×180°=90° ，
2 2
即∠EBQ=90°，
∴∠E+∠Q=90°，
1
由（2）可知: ∠Q=90°− ∠A，
2
1
∴∠E+90∘− ∠A=90°，
2
∴∠A=2∠E，如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当∠EBQ=3∠E时, 则3∠E=90°，
∴∠E=30°，
此时∠A=2∠E=60°，
②当∠EBQ=3∠Q时，则3∠Q=90°，
∴∠Q=30°，则∠E=60°，
此时∠A=2∠E=120°，
③当∠Q=3∠E时，则∠E+3∠E=90°，
∴∠E=22.5°，
此时∠A=2∠E=45°，
④当∠E=3∠Q时，则3∠Q+∠Q=90°，
∴∠Q=22.5°，
∴∠E=67.5°，
此时∠A=2∠E=135°，
综上所述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点A、B分别在∠MON的边OM、ON上运动（不与点O重
合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．
（1）如图（1）当∠MON=90°，∠OAB=60°时，∠D= °．
（2）如图（2）当∠D=60°时，∠MON= °．
（3）在解题过程中，你认为∠D与∠MON是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．
【思路点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）由（2）的思路可得结论．
【解题过程】
（1）解： ∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，
∴∠ABN=150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
1
∴∠OBD=∠CBN= ×150°=75°，
2
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB=30°，
∴∠D=180°−∠ABD−∠BAD−∠AOB=180°−75°−30°−30°=45°，
（2）设∠BAD=α，∠MON=β，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∴∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=β+2α，
∵BC平分∠ABN，
1
∴∠ABC= β+α，
2
∵∠ABC=180°−∠ABD=∠D+∠BAD，
1 1
∴∠D=∠ABC−∠BAD= β+α−α= β=60°，
2 2
∴β=120°．
1
（3）∠D= ∠MON，理由如下：
2
设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
设∠MON=β，
∴∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=β+2α，
∵BC平分∠ABN，
1
∴∠ABC= β+α，
2
∵∠ABC=180°−∠ABD=∠D+∠BAD，
1 1 1
∴∠D=∠ABC−∠BAD= β+α−α= β= ∠MON．
2 2 2
16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知ON⊥GM于点O，直线CD交ON于点B，点A在射线OM上．（1）如图1，若CD⊥AB于点B，AE平分∠OAB，交CD于点E，交ON于点F，求证：
∠BEF=∠BFE；
（2）如图2，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于点E，∠OAB=58°，则∠OEB的度数为
________．
（3）如图3，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于点E，BF平分∠OBA交OE反向延长线于点
F，在△BEF中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数．
【思路点拨】
（1）根据ON⊥GM，CD⊥AB，可得∠BEF+∠BAE=90°=∠OAE+∠AFO，再结合角平分线的
定义可得∠BEF=∠AFO，然后根据对顶角相等，即可求证；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO=32°，再由邻补角可得∠ABN=148°，从而得到
1
∠ABC= ∠ABN=74°，进而得到∠OBE=180°−∠ABO−∠ABC=74°，再求出
2
1
∠BOE= ∠BOG=45°，然后根据三角形内角和定理，即可求解；
2
1
（3）根据题意可得∠CBF=∠ABC+∠ABF= (∠ABN+∠ABO)=90°，从而得到
2
∠F+∠BEF=90°，再由三角形内角和定理，可得∠BOE=∠F+∠OBF=45°，从而得到∠F<45°，
∠BEF>45°，然后分两种情况：当∠EBF=3∠F时，当∠BEF=3∠F时，
即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵ON⊥GM，CD⊥AB，
∴∠ABE=∠AOF=90°，
∴∠BEF+∠BAE=90°=∠OAE+∠AFO，
∵AE平分∠OAB，
∴∠BAE=∠OAE，
∴∠BEF=∠AFO，∵∠BFE=∠AFO，
∴∠BEF=∠BFE；
（2）解：∵∠AOB=90°，∠OAB=58°，
∴∠ABO=32°，
∴∠ABN=180°−∠ABO=148°，
∵CD平分∠NBA，
1
∴∠ABC= ∠ABN=74°，
2
∴∠OBE=180°−∠ABO−∠ABC=74°，
∵∠BOG=90°，
∵OE平分∠BOG，
1
∴∠BOE= ∠BOG=45°，
2
∴∠BEO=180°−∠OBE−∠BOE=61°；
故答案为：61°
（3）解：∵CD平分∠NBA，BF平分∠OBA，
1 1
∴∠ABC= ∠ABN,∠ABF= ∠ABO，
2 2
1 1
∴∠CBF=∠ABC+∠ABF= (∠ABN+∠ABO)= ×180°=90°，
2 2
∴∠EBF=180°−∠CBF=90°，
∴∠F+∠BEF=90°，
∵OE平分∠BOG，
1
∴∠BOE= ∠BOG=45°，
2
∵∠BOE+∠BOF=180°，∠F+∠OBF+∠BOF=180°，
∴∠BOE=∠F+∠OBF=45°，
∴∠F<45°，
∴∠BEF>45°，
当∠EBF=3∠F时，∠F=30°，
∴∠BEF=60°，
∴∠OBE=180°−∠BOE−∠BEF=75°，
∴∠OBF=∠EBF−∠OBE=15°，∴∠ABO=2∠OBF=30°，
∴∠BAO=90°−∠ABOF=60°；
当∠BEF=3∠F时，
∵∠BEF+∠F=90°，
∴∠F=22.5°，
∴∠BEF=67.5°，
∴∠OBE=180°−∠BOE−∠BEF=67.5°，
∴∠OBF=∠EBF−∠OBE=22.5°，
∴∠ABO=2∠OBF=45°，
∴∠BAO=90°−∠ABOF=45°
17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与
点O重合）．
（1）如图1，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、B的运动，∠AEB__________．
（2）如图2，已知AB不平行于CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE、CE分别是
∠ADC和∠BCD的平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的度数将不发生变化，∠CED= ．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于E、F，
在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
【思路点拨】
1 1
（1）根据角平分线的定义，可得∠BAE= ∠BAO，∠ABE= ∠ABO，在△BEA中应用三角形内角
2 2
1
和定理，可得∠AEB=180°− (∠BAO+∠ABO)，在△BOA中应用三角形内角和定理，可得
2
∠BAO+∠ABO=180°−∠BOA， 将∠BOA=90°代入，即可求解，
1
（2）根据四边形内角和，角平分线定义，可得∠CED= (∠PAB+∠MBA)，在△AOB中应用三角形内
4角和定理，结合平角的定义，可得∠PAB+∠MBA=270°，代入，即可求解，
1 1
（3）由∠BAO的平分线与∠BOQ的角平分线，可得∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，结合三
2 2
1
角形外角定理，得出∠E= ∠ABO，由AE、AF分别是∠BAO、∠OAG的角平分线，可得
2
∠EAF=90°，在△AEF中，分情况讨论，即可求解，
本题考查了，与角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【解题过程】
（1）解：∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
1 1
∴∠BAE= ∠BAO，∠ABE= ∠ABO，
2 2
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，
1 1 1
∴ ∠BAO+ ∠ABO+∠AEB=180°，即：∠AEB=180°− (∠BAO+∠ABO)，
2 2 2
∵∠BAO+∠ABO+∠BOA=180°，即：∠BAO+∠ABO=180°−∠BOA，
1 1
∴∠AEB=180°− (180°−∠BOA)=90°+ ∠BOA，
2 2
∵∠BOA=90°，
1
∴∠AEB=90°+ ×90°=135°，
2
故答案为：135°，
（2）解：∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，
1 1 1 1
∴∠DAB= ∠PAB，∠CBA= ∠MBA，∠CDE= ∠CDA，∠DCE= ∠DCB，
2 2 2 2
∵∠DAB+∠CBA+∠CDA+∠DCB=360°，
1 1
∴ ∠PAB+ ∠MBA+2∠CDE+2∠DCE=360°，即：
2 2
1
∠CDE+∠DCE=180°− (∠PAB+∠MBA)，
4
∵∠CED=180°−(∠CDE+∠DCE)，
[ 1 ) 1
∴∠CED=180°− 180°− (∠PAB+∠MBA) = (∠PAB+∠MBA)，
4 4
∵∠PAB+∠MBA+∠BAO+∠ABO=360°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PAB+∠MBA+90°=360°，即：∠PAB+∠MBA=270°，
1 1
∴∠CED= (∠PAB+∠MBA)= ×270°=67.5°，
4 4
故答案为：67.5°，
（3）解：∵∠BAO的平分线与∠BOQ的角平分线相交于E，
1 1
∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，
2 2
1 1
∴∠E=∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO，
2 2
∵AE、AF分别是∠BAO、∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°，
1 1
当∠EAF=3∠E时，∠E= ∠EAF= ×90°=30°，∠ABO=2∠E=2×30°=60°，
3 3
当∠EAF=3∠F时，∠F=30°，∠E=60°，∠ABO=2∠E=2×60°=120°（舍），
1
当∠F=3∠E时， ∠E=90°× =22.5°，∠ABO=2∠E=2×22.5°=45°，
4
3
当∠E=3∠F时， ∠E=90°× =67.5°，∠ABO=2∠E=2×67.5°=135°（舍），
4
∴∠ABO=60°，或∠ABO=45°，
故答案为：60°或45°．
18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，连接BE、
CD，且∠EBA+∠ACD=∠BAC．
（1）证明：BE∥CD；
（2）若∠E=82°，∠A=44°，求∠D的度数；
（3）作∠BEC与∠BDC的角平分线交于点G，探究∠BAC、∠EGD的数量关系，并证明你的结论．
【思路点拨】
（1）如图，过点A作AP∥BE，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论；
（2）设∠CBD=α，∠BCE=β，根据三角形的内角和定理可得：∠BFE+∠E+∠EBF+∠D+∠CFD+∠DCF=360°，从而可得结论；
（3）如图2，设∠CDG=x，∠BEG= y，根据角平分线的定义可得∠BEG=∠CEG= y，
∠CDG=∠BDG=x，根据8字形可得∠ABD+∠ABE+ y=∠EGD+x①，
x+∠ACD+∠ACE=∠EGD+ y②，由①+②可得结论．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的
内角和定理解决问题．
【解题过程】
（1）证明：如图1，过点A作AP∥BE，
∴∠EBA=∠BAP
，
∵∠EBA+∠ACD=∠BAC=∠BAP+∠CAP，
∴∠ACD=∠CAP，
∴AP∥CD，
∴BE∥CD；
（2）解：设∠CBD=α，∠BCE=β，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠CBD=∠ABD=α，∠ACE=∠BCE=β，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=α+β，
∵∠BAC=44°，
∴∠ABC+∠ACB=2α+2β=180°−44°=136°，
∴α+β=68°，
在△BEF和△CFD中，∠BFE+∠E+∠EBF+∠D+∠CFD+∠DCF=360°，
∵∠E=82°，∠BAC=44°，
∴∠ABE+∠ACD=44°，
∴3α+3β+82°+44°+∠D=360°，
∴3×68°+126°+∠D=360°，
∴∠D=30°；1
（3）解：如图2，∠EGD= ∠BAC+45°，理由如下：
4
设∠CDG=x，∠BEG= y，
∵EG平分∠BEC，DG平分∠BDC，
∴∠BEG=∠CEG= y，∠CDG=∠BDG=x，
∵∠BME=∠DMG，
∴∠DBE+∠BEG=∠EGD+∠BDG，即∠ABD+∠ABE+ y=∠EGD+x①，
∵∠DNC=∠ENG，
∴∠EGD+∠¬=∠CDN+∠DCN，即x+∠ACD+∠ACE=∠EGD+ y②，
由（1）知：∠BAC=∠ABE+∠ACD，
1
由（2）知：∠ABD+∠ACE=90°− ∠BAC，
2
1
①+②得：x+ y+∠BAC+90°− ∠BAC=2∠EGD+x+ y，
2
1
∴∠EGD= ∠BAC+45°．
4
19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，BP平分
∠ABC，CP平分∠ACP．
（1）如图1，当∠A=100°时，则∠BPC的度数为__________．
1
（2）如图2，过C作CQ⊥CP，交BP延长线于点Q，求证：∠Q= ∠BAC．
2（3）如图3，在（2）的条件下，过C作CM⊥PQ，延长CM与BA延长线交于点N，若
5
∠ABP= ∠HCM，且∠AHQ−5∠PCB=∠ABC，求∠BNC的度数．
7
【思路点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，以及角
平分线的定义．
1
（1）根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB=80°，则∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=40°，
2
即可求解；
（2）由图可知∠CPQ=180°−∠BPC，推出∠Q=∠BPC−90°，根据角平分线的定义得出
1 1
∠BPC=180°− (∠ABC+∠ACB)，则∠Q=90°− (∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和可
2 2
1
得∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)，即可求证∠Q= ∠BAC；
2
（3）设∠ABP=5x,∠HCM=7x， 推出∠BCM=90°−5x，∠BCA=90°−12x，则
1
∠PCB= ∠BCA=45°−6x，根据∠AHQ−5∠PCB=∠ABC，得出
2
∠BHC=∠AHQ=225°−20x，在△BCH中，∠BHC+∠CBP+∠BCH=180°，列出方程求出x，即
可解答．
【解题过程】
（1）解：∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=80°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACP，
1 1 1
∴∠PBC+∠PCB= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=40°，
2 2 2
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=140°，
故答案为：140°；
（2）解：由图可知∠CPQ=180°−∠BPC，
∵CQ⊥CP，
∴∠Q=90°−∠CPQ=90°−(180°−∠BPC)=∠BPC−90°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACP，1 1
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB，
2 2
1
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°− (∠ABC+∠ACB)，
2
1 1
∴∠Q=180°− (∠ABC+∠ACB)−90°=90°− (∠ABC+∠ACB)，
2 2
∵∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)，
1
∴∠Q= ∠BAC；
2
5
（3）解：∵∠ABP= ∠HCM，
7
∴设∠ABP=5x,∠HCM=7x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP=∠ABP=5x，
∵CM⊥PQ，
∴∠BCM=90°−∠CBP=90°−5x，
∴∠BCA=∠BCM−∠HCM=90°−5x−7x=90°−12x，
∵CP平分∠ACP，
1
∴∠PCB= ∠BCA=45°−6x，
2
∵∠AHQ−5∠PCB=∠ABC，
∴∠AHQ=∠ABC+5∠PCB=10x+5(45°−6x)=225°−20x，
∴∠BHC=∠AHQ=225°−20x，
在△BCH中，∠BHC+∠CBP+∠BCH=180°，
即(225°−20x)+5x+(90°−12x)=180°，
解得：x=5°，
∴∠ABC=10x=50°，∠BCM=90°−5x=65°，
∴∠BNC=180°−∠ABC−∠BCM=65°．
20．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，点M在CB延长线上，点N在线段
AC上，连接MN交AB于点D，∠BAN和∠CMN的平分线交于点P．①若∠C=60°，∠BDN=140°，请你测量∠P的度数为______；猜想出∠C、∠BDN和∠P之间的数
量关系为______；
②请写出求∠P度数的过程．
（2）如图2，在△ABC中，点M在线段CB上，点N在CA延长线上，连接MN交AB于点D，∠BAN和
∠BMN的平分线交于点P，求∠C、∠BDN和∠P之间的数量关系．
【思路点拨】
本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义：
（1）①直接∠P的度数，即可；②连接AM，根据三角形内角和定理可得
∠CMN+∠CAB=∠CAM+∠AMB−(∠AMD+∠DAM)=80°，再由角平分线的定义，可得
1
∠DAP+∠DMP= (∠CMN+∠CAB)=40°，从而得到
2
∠PAM+∠AMP=(∠AMD+∠DAM)+(∠DAP+∠DMP)=80°，然后根据三角形内角和定理，即可
求解；
（2）连接AM，根据三角形内角和定理可得∠BMN+∠BAN=∠BDN+∠C，再由角平分线的定义，
1 1
可得∠PAM+∠AMP=(∠AMD+∠DAM)+(∠DAP+∠DMP)=180°− ∠BDN+ ∠C，然后根
2 2
据三角形内角和定理，即可求解．
【解题过程】
解：（1）①∠P=100°；
1 1
猜想：∠P= ∠BDN+ ∠C；
2 2
连接AM，在△AMC，△AMD中，
∠AMB+∠CAM=180°−∠C,∠AMD+∠DAM=180°−∠ADM=180°−∠BDN，
∴
∠CMN+∠CAB=∠CAM+∠AMB−(∠AMD+∠DAM)=180°−∠C−(180°−∠BDN)=∠BDN−，∠C
∵∠BAN和∠CMN的平分线交于点P，
1 1
∴∠DAP= ∠BAC,∠DMP= ∠CMN，
2 2
1 1
∴∠DAP+∠DMP= (∠CMN+∠CAB)= (∠BDN−∠C)，
2 2
∴
1 1 1
∠PAM+∠AMP=(∠AMD+∠DAM)+(∠DAP+∠DMP)=180°−∠BDN+ (∠BDN−∠C)=180，°− ∠BDN− ∠C
2 2 2
( 1 1 ) 1 1
∴∠P=180°−(∠MAP+∠AMP)=180°− 180°− ∠BDN− ∠C = ∠BDN+ ∠C；
2 2 2 2
1 1
故答案为：100°；∠P= ∠BDN+ ∠C
2 2
②如图，连接AM，
∵∠C=60°，∠BDN=140°，
∴∠AMB+∠CAM=180°−∠C=120°,∠AMD+∠DAM=180°−∠ADM=180°−∠BDN=40°，
∴∠CMN+∠CAB=∠CAM+∠AMB−(∠AMD+∠DAM)=80°，
∵∠BAN和∠CMN的平分线交于点P，
1 1
∴∠DAP= ∠BAC,∠DMP= ∠CMN，
2 21
∴∠DAP+∠DMP= (∠CMN+∠CAB)=40°，
2
∴∠PAM+∠AMP=(∠AMD+∠DAM)+(∠DAP+∠DMP)=80°，
∴∠P=180°−(∠MAP+∠AMP)=100°；
（2）如图，连接AM，
在△ADM中，∠AMD+∠DAM=180°−∠ADM=180°−∠BDN，
在△ACM中，∠AMC+∠CAM=180°−∠C，
∴∠CMN+∠CAB=(∠CAM+∠AMB)+(∠AMD+∠DAM)=360°−∠BDN−∠C，
∵∠CMN+∠BMN=180°,∠CAB+∠BAN=180°，
∴∠BMN+∠BAN=360°−(∠CMN+∠CAB)=∠BDN+∠C，
∵∠BAN和∠BMN的平分线交于点P，
1 1
∴∠DAP= ∠BAN,∠DMP= ∠BMN，
2 2
1 1
∴∠DAP+∠DMP= (∠BMN+∠BAN)= (∠BDN+∠C)，
2 2
∴
1 1 1
∠PAM+∠AMP=(∠AMD+∠DAM)+(∠DAP+∠DMP)=180°−∠BDN+ (∠BDN+∠C)=180°− ∠BDN+ ∠C
2 2 2
( 1 1 ) 1 1
∴∠P=180°−(∠MAP+∠AMP)=180°− 180°− ∠BDN+ ∠C = ∠BDN− ∠C．
2 2 2 2
