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专题 04 全等三角形之倍长中线模型与截长补短模
型的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例1．如图，在 中， 平分 ，E为 的中点， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长 至点 ，使
，证明 ，得到 ，再证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，则： ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1-1】老师在某节数学课上提出了如下问题：在 中， ， ，求边 上的中线
的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长中线 至点Q，使得 ；
②连接 ，把 集中在 中；
③利用三角形的三边关系，可得 ．
请根据该小组的方法思考，回答下列问题：
(1)直接写出 的取值范围是___________；
(2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把
分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
如图2， 是 的中线， ， ， ，用等式表示 和 的数量
关系并证明．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，
构造全等三角形．
（1）延长中线 至点Q，使 ；连接 ，得到 ，判定 ，推出
，由三角形三边关系定理得 ，即可得到 ，
（2）延长 到K，使 ，连接 ，得到 ，判定 ，即可解
决问题．
【详解】（1）解：如图1，延长中线 至点Q，使 ；连接 ，∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由三角形三边关系定理得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）如图2， ，理由如下：
延长 到K，使 ，连接 ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1-2】【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在 中， ， ． 是 的中
线，求 的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长 到E，使得 ；②连接
，通过三角形全等把 、 、 转化在 中；③利用三角形的三边关系可得 的取值范围
为 ，从而得到 的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线， ，下列四个选项中：直接写出
所有正确选项的序号是________．
① ；② ；③ ；④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 、 ，E是 的中点，试说明：
；
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点F， ， ，则 的
面积是________．【答案】（1） ；（2）②④；（3）见解析；（4）
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，
可得 ， ，即可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可
得 ，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得 ， ， ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长 至点 ，使 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，
是中线，，
又 ， ，
，
， ，
， ，
，
为中线，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长 至 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
与 互补，
，
，
又 ， ，，
，
；
（4） ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词
句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD方法：** 错误的表达式 **在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；** 错误的表达式 **在AD上
取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例2．如图， 交 于 ，交 于 平分 平分 ，直线 经过点 并与
分别交于点 ．
(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出 三条线段的数量
关系．
【答案】(1)见解析；
(2)（1）中结论不成立， ；
【分析】（1）在 上截取 ，连 ，根据题意证明 ，得到 ，
，再由 证明 ，由平角定义得到 ，则有
，再证明 ，得到 ，则 ；
（2）延长 交 于点H，根据题意证明 ，得到 ， ，再由 平分
，证明 ，得到 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图，在 上截取 ，连 ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）（1）中的结论不成立， ；
理由：延长 交 于点H，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题
意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2-1】阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在 中， 平分 ， ．求证：
”．
李老师给出了如下简要分析：要证 就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如
图2，在 上截取 ，连接 ，只要证 __________即可，这就将证明线段和差问题转化为证
明线段相等问题，只要证出 __________ __________，得出 及 __________，再证出
__________ __________，进而得出 ，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图， 和 是等腰三角形，且 ， ， ， ，
以A为顶点作一个 角，角的两边分别交边 延长线于点E、F，连接 ，则 之间
存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】 ； ； ； ； ； ；变式应用： ．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在 上截取 ，连接 ，求得 ，证明 ，得到
， ，得到 ，证明 ，得到 ，据此求解
即可．
【详解】解：如图2，在 上截取 ，连接 ，
只要证 即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出 ，得出
及 ，再证出 ，进而得出 ，则结论成立．
故答案为： ； ； ； ； ； ；
变式应用： ．理由如下：
在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式2-2】如图1，在四边形 中， ，点 ，点 分别在边 ， 上，已知
， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 ，点 分别在边 ， 的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不成立， ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键．
（1）延长 至点 ，使 ，构造 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，证明 ，得出 ，再利用线段的和差即可证
明；（2）在 上截取 ，构造 ，得出 ， ，再利用
，得出 ，证明 ，得出 ，再利用线段的和差即可证
明．
【详解】（1）证明：如图，延长 至点 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，在 上截取 ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ．一、单选题
1． 中， 是 边上的中线，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形三边关系的应用．延长 到 ，使 ，连接 ，
根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可证明 ，根据全等三角形的对应边相等
得出 ，根据三角形三边关系定理得出 ，代入求出即可求解．
【详解】解：延长 到 ，使 ，连接 ，如图：
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故选： A．2．如图，在四边形 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则四边
形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得
CD=CF，即可求得四边形 的周长．
【详解】解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是 的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵ ，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中∵ ,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CD=CF，
∴四边形 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD= ，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
3．如图，在长方形 中， 是 中点， 在边 上，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1.5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长 ， 交于点G，构造
，利用三角形中线的性质得出 ，进而求出 ，再由
求出答案．
【详解】解：延长 ， 交于点G，
∵在长方形 中， ， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题
4．如图，已知在 中， 平分 ， ，则 . （用含
的代数式表示）.
【答案】a-b【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，
∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.
【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中， ，
∴△ADC≌△A′DC（SAS），
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，
∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴∠A′DB=∠B，
∴BA′=A′D=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD
∴AD=BC-AC=a-b，
故答案为：a-b.
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加
辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
5．如图， 中， 为 的中点， 是 上一点，连接 并延长交 于 ．若 ，
， ，那么 的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长 到 使 ，连接 ，通过 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换得到
，由等腰三角形的性质得到 ，推出 即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长 到 使 ，连接 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
，
，即 ，
，
故答案为： ．
6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN
周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ．【答案】120°
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN
的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形
内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
三、解答题
7．如图 ， 、 分别平分 、 ，交于E点．
(1)如图1，求 的度数．
(2)如图2，过点E的直线分别交 、 于B、C，猜想 、 、 之间的存在的数量关系：
_______．
(3)试证明（2）中的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到 ，
，利用三角形内角和定理整体计算即可；
（2）根据图形猜想即可；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 得到 ，进一步推出
，再证明 ，可得 ，进而证明 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴
；
（2）猜想： ；
（3）
证明：在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，，
．
，
，
又 ，
．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，
，
，
．即 ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，
构建对应全等三角形，使问题得以解决．
8．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线
段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材
料，解答下列问题：如图1，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 ，求证：
．
(1)为了证明结论“ ”，小亮在 上截取 ，使得 ，连接 ，解答了这个问题，
请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形 中，已知 ， ， ， ， 是
的高， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为14
【分析】（1）在 上截取 ，使得 ，连接 ，根据角平分线的定义得出 ，利用 证明 ，从而可得 ， ，再利用三角形外角的性质可得
，从而可得 ，推出 ，进而得出 ，即可得证；
（2）在 上截取 ，连接 ，由三角形内角和定理可得 ，证明
得出 ，再证明 得出 ，求出 ，即可得解．
【详解】（1）证明：在 上截取 ，使得 ，连接 ，
平分 ，
∴ ，
，
∴ ，
， ，
∵ ，
，
是 的一个外角，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在 上截取 ，连接 ，
， ，
∴ ，
，
，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义
及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
9．（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ，点D为 边的中点，求 边上的中线 的取值范围．解决
此问题可以用如下方法：延长 到点E使 ，再连接 ，可证 ，从而把
集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即
可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在 中，点D是 的中点， 于点D， 交 于点E， 交 于F，连接 ，
判断 与 的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F、点E是 的中点，若 是
的角平分线．试探究线段 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）由已知得出 ，即 ， 为 的一半，即可得出答
案；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ， ，可得 ，得出 ，由线段
垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）延长 ， 交于点 ，根据平行和角平分线可证 ，也可证得 ，从而可得
，即可得到结论．
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所
以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：（1）如图①，延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
故答案为： ；（2） ，理由如下：
延长 至点 ，使 ，连接 、 ，如图②所示．
同（1）得： ，
，
， ，
，
在 中，由三角形的三边关系得：
，
；
（3） ，理由如下：
如图③，延长 ， 交于点 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的平分线，
，，
，
，
．
10．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝
试：如图1，在 中， 是 边上的中线，延长 到 ，使 ，连接 ．
（1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到 的理由是 ．
A． B． C． D．
（2）【初步应用】如图2，在 中，若 ， ，求得 的取值范围是________．
A． B． C． D．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已
知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（3）【问题解决】如图3，分别以 和 为边作等腰直角三角形，即在 中， ，
，在 中， ， ，连接 ，试探究 与 的数量关系，并说明理
由．
提示： ．延长 到 ，使 ，连接 ，根据 （ ， ，
）证明 ，得 ，又因为 ，所以 ．
【答案】（1）B；（2）C；（3） ，理由见解析
【分析】（1）由 是 边上的中线，得出 ，结合 ， ，可利用
证明 ，得出答案即可；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，得出 ，由（1）得 ，得出
，再根据三角形的三边关系得出答案即可；
（3）延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）得 ，得 ，，推出 ，得出 ，进一步推出 ，利用
证明 ，得出 ，结合 ，进一步推出 即可．
【详解】解：（1） 是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
由已知和作图能得到 的理由是 ，
故选：B；
（2）如图，延长 到 ，使 ，连接 ，
，
由（1）得 ，
，
在 中， ，
，
，
，
故选：C；
（3） ，理由如下：
如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）得 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、倍长中线模型、三角形的三边关系、平
行线的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
11．综合与探究[问题情境]
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（ ），在四边形 中， 平分 ，
于点 ，且 ．
求证：
小明是这样思考的：因为 平分 ，根据角平分线的性质，
所以过点 作 的延长线于点 ，先证明 ，再证明 ，即可证出
，
小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长 至 ，使 ，连接 ，先证明
，再证明 ，即可证出 ．请你帮助小明或小丽完成证明过程．
[实践探究]
（2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．
老师又出示了一个问题．如图（ ），在 中 ，点 为 的中点，
交 于 ．
①求证： ；
②求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解；
（2）①由 得 ，由 ， ，根据同角
的余角相等即可得解；②过 作 交 的延长线于点 ，则 ，进而得
，证明 ，得 ， ，再证明 得
，即可得证．
【详解】（1）证明∶小明∶过点 作 的延长线于点 ，∵ 平分 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ；
小丽∶延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）①∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②过 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练
掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
12．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
（1）如图1，在 中，若 ．求 边上的中线 的取值范围．以下两位同学是这样思
考的：
小聪：延长 至 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边
关系即可求出中线 的取值范围．
小明：过点 作 ，交 的延长线于点 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形
三边关系即可求出中线 的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线 的取值范围是_____．
【灵活运用】（2）如图2，在 中，点 是 的中点， ，其中
，连接 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在五边形 中， ， ， ， 为
边上的中线．
①求证： ；②若 ， ，则五边形 的面积为_____．
【答案】（1） ， ；（2） ，理由见解析；（3）①证明见解析；②
【分析】（1）延长 至 ，使 ， 连接 ，如图所示，证明 得出， 在 中， 由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长 至 ， 使 ， 连接 ， 如图所示，由（1）得： ， 由全等三角
形的性质得出 ， 得到 ， 证明 得出
， 则 ；延长 交 于 ， 证明 即可得出结论；
（3）①延长 ， 交于点 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，证明
，得到 ，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到
，求出 的面积，结合图形计算．
【详解】（1）解：延长 至 ，使 ， 连接 ，如图所示：
∵ 是 边上的中线， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
在 中，由三角形三边关系可得 ，
∴ ， 即 ，
，
故答案为： ； ；
（2）解： ， ，
理由如下：
延长 至 ， 使 ， 连接 ，如图所示：由（1）得： ，
， ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
延长 交 于 ，如图所示：，
，
，
，
，即 ；
（3）①证明：延长 ， 交于点 ，如图所示：
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，在 和 中，
，
，
，即
，
；
②解：由①可知， ，
，
，
，
，
，
五边形 的面积
，
故答案为： ．
【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边
关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解
题的关键．
