文档内容
11.1 与三角形有关的线段
三角形的定义
定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
注意：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次
相接”.
(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作
“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字
母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB
分别用b、c表示．
题型1：三角形相关概念
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）【变式1-1】已知△ABC的周长为18cm，AB边比AC边短2cm，BC边是AC边的一半，则
AB= cm，BC= cm，CA= cm．
【变式1-2】一个三角形有 条边， 个顶点， 个外角．
三角形的分类
(1)按角分类：
直角三角形
三角形 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
(2)按边分类：
注意：
①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做
腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
②等边三角形：三边都相等的三角形.
题型2：三角形的分类
2.用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（ ）
【变式2-1】下列说法正确的是（ ）
A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B．等边三角形不是等腰三角形
C．等腰三角形是等边三角形
D. 三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
【变式2-2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．以上都有可能
题型3：三角形的计数问题
3.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中
三角形的个数为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6
【变式3-1】图中三角形的个数是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【变式3-2】如图，图中三角形的个数为（ ）A.6 B.15 C.18 D.21
题型4：三角形三边关系的应用
4.已知三角形的两边长分别为2和7，则该三角形的第三边长可以为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式4-1】若一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则该三角形的周长可能是（
）
A．17 B．13 C．13或17 D．15
【变式4-2】设a，b，c是△ABC的三边的长，化简√(a-b-c) 2-|a﹣b+c|-√(c+a+b) 2
的结果是 ．
三角形的三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
注意：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于
最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角
形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系.
题型5：三角形三边关系的证明
5.已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜
AD－AB.
【变式5-1】已知：如图， P 是 △ABC 内一点．求证： AB+AC>PB+PC ．【变式5-2】如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．
题型6：三角形中的分类讨论
6.等腰三角形的两边长满足|a﹣5|+（b﹣9）2＝0.求这个等腰三角形的周长.
【变式6-1】已知等腰△ABC的周长为20，求腰长的取值范围．
【变式6-2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部
分，求这个等腰三角形的底边长.
三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形
的稳定性.
题型7：三角形的稳定性
7.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【变式7-1】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其
中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该
木架稳固所用的数学道理
三角形的高、中线与角平分线
1、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角
形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB
＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
1
2
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝ BC.
3、三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三
角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
题型8：三角形的角平分线、中线和高
8.如图， AD⊥BC 于点D， GC⊥BC 于点C， CF⊥AB 于点F，下列关
于高的说法错误的是（ ）
A．在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的高
B．在 △GBC 中， CF 是 BG 边上的高
C．在 △ABC 中， GC 是 BC 边上的高
D．在 △GBC 中， GC 是 BC 边上的高
【变式8-1】如图，在 △ABC 中， BC 边上的高为（ ）A．CG B．BF C．BE D．AD
【变式8-2】下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三
条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三
角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
题型9：三角形的中线与周长问题
9.如图，AD是 △ABC 的中线，已知 △ABD 的周长为25cm，AB比AC长
6cm，则 △ACD 的周长为（ ）
A．19cm B．22cm C．25cm D．
31cm
【变式9-1】如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是
4cm，求△ABC的边AC的长(AC < AB).
【变式9-2】如图:在 ΔABC 中（ AC>AB ）， AC=2BC ， BC 边上的中线AD 把 ΔABC 的周长分成 60cm 和 40cm 两部分，求边 AC 和 AB 的长.
题型10：三角形的中线与面积问题
10.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【变式10-1】如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为
6cm2，则△BDE的面积为 ．
【变式10-2】如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中
点，若△ABC的面积为4cm2，则阴影部分的面积为 cm2
一、单选题
1．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．4，5，
10
2．下列长度的每组三根小木棒，能组成三角形的一组是（ ）
A．3，3，6 B．4，5，10 C．3，4，5 D．2，5，
33．若一个三角形的两边长分别为2和8，则第三边长可能是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．12
4．下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．2cm 4cm 2cm B．5cm 8cm 3cm
C．8cm 2cm 8cm D．5cm 12cm 3cm
5．某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要装一个木棍，用它们围成一个三角形，
那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是 （ ）
A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，
5
6．如图，在 ΔABC 中， E 是边 BC 上点， EC=2BE ，点 D 是 AC 的中点。
连接 AE ， BD 交于 F ，已知 S =6 ，则 S -S = （ ）
ΔABC ΔADF ΔBEF
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4，5，9 B．6，7，14 C．4，6，10 D．8，8，
15
8．一个三角形的两边分别为5cm、11cm，那么第三边只能是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm
9．下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）.
A．2cm，5cm，5cm B．3cm，4cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm D．1cm， √2 cm， √3 cm
二、填空题
10．空调安装在墙上时，一般会用如图所示的三角形支架固定在墙上，这种方法应用
的数学知识是 .11．三角形的三边长分别为3，2x，5，则x的取值范围是 .
12．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，则点C到
边AB距离等于 cm．
三、解答题
13．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE=3cm，
S =12cm2，求DC的长.
△ABC
14．已知三角形三条边分别为a+4，a+5，a+6，求a的取值范围．
15．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
