文档内容
专题 16.1 期中检测综合压轴题分类专题（精选精练 22 大考点）（考
点梳理与分类讲解）
第一部分【考点目录】
一、选择填空题（常考综合题）
【考点1】构成三角形条件或第三边取值范围.....................................2
【考点2】三角形三条重要线段.................................................2
【考点3】三角形的内角.......................................................4
【考点4】三角形的外角.......................................................7
【考点5】多边形内角和与外角和...............................................9
【考点6】全等三角形判定综合（添加条件使三角形全等）........................10
【考点7】全等三角形判定综合（灵活使用方法证明三角形全等）..................14
【考点8】全等三角形综合问题................................................16
【考点9】全等三角形常见几何模型............................................20
【考点10】全等三角形常见作辅助线方法.......................................23
【考点11】等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）...........................25
【考点12】等腰三角形性质与判定综合.........................................28
【考点13】等边三角形性质与判定综合.........................................35
【考点14】角平分线的性质与判定.............................................38
【考点15】线段垂直平分线性质与判定.........................................40
【考点16】最短路径问题.....................................................42
【考点17】由作图信息求值与证明.............................................46
二、综合压轴题
【考点18】与三角形有关的线段和角综合.......................................49
【考点19】全等三角形性质与判定综合.........................................54
【考点20】等腰（边）三角形的性质与判定综合.................................59
【考点21】轴对称综合.......................................................66第二部分【考点展示与方法点拨】
一、选择填空题
【考点1】构成三角形条件或第三边取值范围
【1-1】（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，11 D．2，3，6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可得出答案，熟练掌握
三角形三边关系是解此题的关键．
解：：A、 ，故4，6，10不能组成三角形，不符合题意；
B、 ，故3，6，7能组成三角形，符合题意；
C、 ，故5，6，11不能组成三角形，不符合题意；
D、 ，故2，3，6不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
【1-2】（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）若三角形三边分别为 ，则 的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】本题考查三角形的三边关系、解不等式组等知识，先有三角形的三边关系得到不等式组
，求不等式组的解集即可得到答案，熟记三角形的三边关系及不等式组的解法是解决问题的
关键．
解：：由三角形关系可得 ，
解①得 ；
解②得 ；
，
故答案为： ．
【考点2】三角形三条重要线段
【2-1】（22-23八年级上·重庆江津·期中）如图在 中，已知点D、E、F分别为边 、 、
的中点，且 的面积是8，则 的面积是（ ）A．2 B．4 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点 为 的中点得出 ，由点 为
的中点得出 ，最后再由点 为 的中点即可得出答案．
解：：∵点 为 的中点，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
故选：A．
【2-2】（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图， 中， ， 于E，
，点D在 上移动，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当 时， 有最小值，利用 即可解答．
解：：根据题意得：当 时， 有最小值，
中， ， 于E， ，
，
，
，
故答案为： ．
【2-3】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，在 中， ， 为 的平分线，
， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的定义，由角平分线的定义得出 ，再
由角平分线的性质定理即可得出 ，再证明 即可得出 ，即
可得解．
解：：∵ 为 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 ，
，∴
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【考点3】三角形的内角
【3-1】（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图， 为等腰直角三角形， ，将
按如图方式进行折叠，使点A与 边上的点F重合，折痕分别与 交于点D、点E．下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中一定正确的结论序号为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的
关键．由折叠性质可得 ， ， ，再由等腰直角三角形性质得
，即可得到 ；设 ， ，可得
， ， ，即
可推导出 ；∠1与∠2不一定相等， 与 不一定平行，即可确定答案．
解：：由折叠的性质， ， ， ，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，故选项③正确；
设 ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故选项②正确；
∵ ，
∴ 与 不一定相等，故选项①不一定正确；
∵点 在 边上，不固定， 与 不一定平行，故选项④不一定正确；
综上分析可知：正确的结论有②③．
故选：C．
【3-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在 中， ， ， 平
分 ， 交 于点E，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及平行线的性质，由三角形内角和定理
可得出 ，由角平分线的定义可得出 ，最后根据平行线的性质可得出答
案．
解：：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【3-3】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图， 中 分别是 的
角平分线且相交于O点，则 的度数为 ．【答案】 /140度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题
的关键．利用三角形的内角和定理先求出 与 的和，再根据角平分线的性质求出
，最后再利用三角形的内角和求出 ．
解：： ，
．
， 分别是 和 的平分线，
．
，
．
故答案为：
【考点4】三角形的外角
【4-1】（24-25八年级上·天津河东·阶段练习）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 角的
三角板的一条直角边和含 角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，以及三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角相等，根
据三角板特点和三角形内角和定理，得到 、 、进而得到 ，再利用三角形外角性质求解，即可解
题．解：：如图：
由三角板特点可知， ，
，
，
，
故选：D．
【4-2】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图， 的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之
和，则 ， ，据此可得答案．
解：：由三角形外角的性质可得 ， ，
∴ ，
故选：B．
【4-3】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知 ，点C为射线BD上一动点， 平分
交 于点P，若 为直角三角形，则 ．【答案】 或
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和和外角的性质，先根据角平分线得到
，然后分 和 两种情况分别计算解题即可．
解：：∵ 平分 ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
故答案为： 或 ．
【考点5】多边形内角和与外角和
【5-1】（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即
可得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键．
解：：∵正多边形的一个外角为 ，
∴正多边形的边数为 ，
∴这个正多边形的内角和为 ，
故选：B．
【5-2】（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）若一个正多边形的每一个外角都是 ，则该正多边形的
内角和的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键．
根据任何多边形的外角和都是 ，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和．
解：：根据题意得：该多边形的边数为： ，
∴该正多边形的内角和为： ．
故选：A．
【5-3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示
的图形（正五边形和正六边形有1个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上），
若 ，则 的度数为 ．
【答案】22°/22度
【分析】本题考查了正多边形内角及三角形的内角和，先求出 ．再通过三角形内角和
求得 ，然后计算出正五边形的每个内角的度数 ，
正六边形的每个内角的度数是 ，然后根据周角的定义得到答案即可．
解：：如图，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，正五边形的每个内角的度数 ，正六边形的每个内角的度数是 ，
．
故答案为： ．
【考点6】全等三角形判定综合（添加条件使三角形全等）
【6-1】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ，
与 交于点 ，则从下列三个条件① ，② ，③ 中选一个能使
成立的是（ ）
A．① B．①或② C．②或③ D．①或②或③
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：：选①或②或③，
理由：当选①时：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
当选②时，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
当选③时，
过D、E分别作 、 的垂线交点G与点H．在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选：D．
【6-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在 和 中，已知 ，添加
一个条件，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：： ，
当添加 时，无法判断 ，故A选项符合题意；当添加 ，则可根据 判断 ，故B选项不符合题意；
当添加 ，则可根据 判断 ，故C选项不符合题意；
当添加 ，则 ，则可根据 判断 ，故D选项不符合题意；
故选：A．
【6-3】（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，已知 ，从下列条件中选择一个，则可以证明
全等于 ．① ，② ，③ ，④ ，那么这个条件可以
是 （写出所有符合条件的序号）．
【答案】①或②或③
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解．
解：添加①
在 和 中
∴
∴
即
在 和 中
添加②
在 和 中添加③
在△ABD和△ACE中，
即
在 和 中，
添加④
条件中只有角相等，没有边相等,所以不能证明全等.
综上所述①或②或③可以证明
故答案为：①或②或③
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【考点7】全等三角形判定综合（灵活使用方法证明三角形全等）
【7-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列四个命题其中正确的有 （填序号）．
①全等三角形的对应角相等；
② ， ， ，则 ；
③ ， ， ，则 和 全等；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
【答案】 /
【分析】①本题④主④要①考查了判断命题真假，全等三角形的性质与判定，根据全等三角形的性质即可判断①；根据全等三角形的判定定理即可判断②③；先证明 ，得到 ，再证明
即可判断④．
解：：①全等三角形的对应角相等，原命题是真命题；
② ， ， ，不可以利用 证明 ，原命题是假命题；
③ ， ， ，则 和 不全等，原命题是假命题；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，原命题是真命题．
如图所示， 和 中， ， 分别是对应三角形的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：①④．
【7-2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）根据下列条件能画出唯一 的是（ ）
A． B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】根据全等的判定，进行判断即可．
解：：A、 ， 不能构成三角形，不符合题意；
B、 ， ， ，SSA，无法画出唯一 ，不符合题意；
C、 ， ， ，AAA，无法画出唯一 ，不符合题意；
D、 ， ， ，利用SAS的判定方法可知，能画出唯一 ，符合题意；
故选D．【点拨】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握全等三角形的判定方法和三角形的三边关系是解题
的关键．
【7-3】（22-23八年级上·四川遂宁·期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的
四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块
玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）
A．（1）和（3） B．（3）和（4）
C．（1）和（4） D．（1）和（2）
【答案】D
【分析】根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案．
解：：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状
完全相同的玻璃；
B．带第（3）和（4）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相
同的玻璃；
C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；
D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大
小和形状完全相同的玻璃；
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
【考点8】全等三角形综合问题
【8-1】（23-24八年级上·湖北·周测）已知 ， ， ，其中 ．点P
以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着
路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 t 秒．
①若 ，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时， ；
③若 ， ， 时， 与 垂直；
④若 与 全等，则 或 ．
以上说法正确的选项为（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的
时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出 ， ，
， ，然后得到 和 不全等，进而证明出
，即可判断③；根据题意分两种情况： 和 ，然后根据全等三
角形的性质列出方程求解即可．
解：：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为 ，
若 ，则点Q运动路程为 ，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时， 秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴ ，故②正确；
③如图所示，
当 ， 时，
点P运动的路程为 ，点Q运动的路程为 ，
∵ ，∴ ， ，
∵
∴
∴
∴ 和 不全等
∴
∵
∴
∴
∴ 与 不垂直，故③错误；
④当 时，
∴ ，即 ，
，即
解得 ， ，
当 时，
∴ ，即 ，
，即
解得 ， ．
∴若 与 全等，则 或 ，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
【点拨】此题考查了三角形动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符
合条件的点的位置．
【8-2】（23-24八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图， 、 是 的角平分线， ，
， ，垂足分别为 ， ， ．下列说法：① 平分 ；② ；③当时， ；④ 是 的中点；⑤ ．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可
解：： 是 的角平分线， ， ，
， ，
，
，即 平分 ，故①正确；
反例：如图，当 时，点 可以重合，此时 ，
也不能判断 是 的中点，故②④错误；
延长 交 于点 ，
， 是 的角平分线，
，
，， ，
同理可证
，
,
，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，故③正确；
反例：若
是 的角平分线， ，
，
，
，
，故⑤不正确，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线
是本题的关键．
【8-3】（21-22八年级上·河北邢台·期中）如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出
△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD．
（1）能直观看出△ABC与△ABD的形状与大小均不相同，说明这两个三角形不 ；
（2）这个实验说明 ．【答案】 全等 如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等
【分析】（1）根据全等三角形的定义得出即可；
（2）根据图形得出∠B=∠B，AB=AB，AC=AD，再根据全等三角形的判定得出即可．
解：：（1）∵△ABC与 ABD的形状与大小均不相同，
∴这两个三角形不全等，△
故答案为：全等；
（2）这个实验说明：如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等，
故答案为：如果两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不全等．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：①
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL，②具备条件SSA和AAA时，
两三角形不全等．
【考点9】全等三角形常见几何模型
【9-1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个
正方形放置在大长方形 中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直
角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
解：：如图延长 交 于M，其他字母标注如图示：根据题意， ， ， ，在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ，
∴ ．
空白部分的面积＝长方形面积 三个正方形的面积和 ．
故选：B．
【9-2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习） 中， ， ， 边上的中线 取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能
力．延长 到 ，使 ，连接 ，证 ，推出 ，在 中，根据三
角形三边关系定理得出 ，代入求出即可．
解：：延长 到 ，使 ，连接 ，是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
【9-3】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在 中， ，点 在边 上， ， 分
别是射线 上的两点，且 ， ， ， ．则 的值是
；若 ， 的面积为 ，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；
依题意， ，进而得到 ．再证明 ，再由三角形内角和
定理可得 ，最后利用 证明 得出 ， ，即可求得 ，
进而根据 得出 ，根据全等三角形的性质得出 ，即可求解．解：： 且
由外角定理可得 ，
又 ，
∴∠CAF＝∠BCE，
在 和 中，
．
， ，
， ，
，
的面积为 ， ，
，
，
∴
的面积是
故答案为： ， ．
【9-4】（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中， 的顶点 ， 分别在坐标轴上，
且 ， ，若点 、 的坐标分别为 、(0,2)，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】过 作 轴于点 ，由 ， 可得 ，
从而证明 ，再根据全等三角形的性质即可求出 ， ，通过线段
和差与点 在第四象限即可求解．
解：如图，过 作 轴于点 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴点 坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形
的垂线模型．
【考点10】全等三角形常见作辅助线方法
【10-1】（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在
中， ， 是高， 是 外一点， ， ，若 ，
， ，求 的面积，同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助
线：在 上截取 ．（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得：
（1） ．
（2） 的面积为 ．
【答案】 64
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）在 上截取 ，连接 ，根据“ ”证明即可；
（2）由 ，求出 的长，再由面积公式求得即可．
解：：如图所示，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
，，
，
，
在 和 中
，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；64．
【10-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知在四边形 内， ，
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延
长 到点 ，使 ，连接 ，证明 ，即可得到 ，可得
为等边三角形，再得到 的角度，利用等腰三角形的性质得到 ，即可得到 ，作出正确
的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【10-3】（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可
得CD=CF，即可求得四边形 的周长．
解：：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是 的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵ ，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中∵ ,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CD=CF，
∴四边形 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD= ，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【考点11】等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）
【11-1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， ， 是边
上的高，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形
“三线合一”的性质逐项分析判定即可．
解：：∵ ， 是边 上的高，
∴ ， ，即 平分 ，
∴ ，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明 ，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
【11-2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 中， ， ，AD是中
线， ，则 是 度．【答案】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到
， ，根据三角形外角的性质，即可求解．
解： ， ，
，
，AD是 边上的中线，
，
，
，
，
故答案为： ．
【11-3】已知：如图，在 中， ，点C，D，E三
点在同一条直线上，连接 ．以下四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
①由 ，利用等式的性质得到夹角相等，利用 得出三角形 与三角形 全等，
由全等三角形的对应边相等得到 ，本选项正确；
②由三角形 与三角形 全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到
，等量代换得到 ，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到 垂直于 ，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．
解：：①∵ ，
∴ ，即 ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，本选项正确；
②∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，本选项正确；
③∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，本选项正确；
④∵ ，
∴ ，故此选项正确，
故选：D．
【考点12】等腰三角形性质与判定综合
【12-1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在 中， ， ，且
． 为 内部一点，且 ， ．点 为线段 上一点，且
．当 的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据相关知识点，分
别求出各选项中的角度，进行判断即可．
解：：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 的值不变；
故选B．
【12-2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图， 中， ， ， 的平分
线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，
则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、折叠的性质、全等三角形的判
定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线，构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．连
接 ， ，首先根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证明 ，结合等腰三角形
的性质和三角形内角和定理解得 ，进而可得 ，再证明 ，由全等三
角形的性质可得 ，进一步可得 ，然后由折叠的性质可得 ，易得
，进而根据三角形内角和定理求解即可．
解：：连接 ， ，如下图，
∵ ， 的平分线与 的中垂线交于点 ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点 沿 折叠后与点 重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选：A．
【12-3】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图 ， ， 交 于点F．若
， ，F为 中点，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段的和差，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，首先证得 ，
过点 作 ，垂足为 ，由等腰三角形的性质可得 ，即可求解，正确作出辅助线，
掌握相关知识是解题的关键．
解：：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为 ，如图：∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 中点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点13】等边三角形性质与判定综合
【13-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图， 点P在 的平分线上，
于D，点M在 上， 且 若C是 上的动点，则 的最小值是（ ）A．8 B．10 C．12 D．6
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，证明 为等边三角形，得到
根据角平分线的性质和垂线段最短，即可得出结果．
解：：∵ P是 角平分线上的一点， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵点C是 上一个动点，
∴ 的最小值为P到 距离，
∵点P在 的平分线上，
∴ 的最小值 ，
故选：D．
【13-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ，分别以 、
为边作等边三角形 和等边三角形 ，连接 、 、 ．若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，先证明
得到 ，再由三角形内角和定理得到 ，则
，据此求出 的度数即可得到答案．
解：：∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【13-3】（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点 、 、 分别在等边 的各边上，且
于点 ， 于点 ， 于点 ，若 ，则 的长为
．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直
角三角形的性质，得出 是本题的关键．根据等边三角形的性质得出 ，进而得出 ，再根据平角的意义
即可得出 ，即可证得 是等边三角形；根据全等三角形的性质得到
， ，从而求得 ，根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边的一半得出 ，即可求得 的长，进而得出MC的长．
解：： 是等边三角形，
，
， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
故答案为：4．
【考点14】角平分线的性质与判定
【14-1】（23-24八年级上·福建福州·期中） 中， 为角平分线， ，
则线段 的长为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．15
【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角
形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
在 上截取 ，连接 ，证明 ，再证明 即可求解．
解：在 上截取 ，连接 ，如图
∵ 为角平分线，
∴
∵
∴
∴ ， ， 即 ，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【14-2】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图， ，以点 为圆心，小于 长为半径作
圆弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点
，作射线 交 于点 ．若 ，则 的大小为 度．
【答案】
【分析】本题考查作图—基本作图（作已知角的平分线），利用基本作图得到 ，再利用
平行线的性质得 ，得 ，然后根据三角形内角和计算 的度数即可．解：：由作法知： 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的大小为 度．
故答案为： ．
【14-3】（2024·上海浦东新·一模）如图，在 中 为 中点， 为 的
角平分线， 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．
根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
解：：过点D作 ，
为 的角平分线，
∵ 为 中点，
∴设 ，则
则 ，
故答案为： ．
【考点15】线段垂直平分线性质与判定
【15-1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中，分别以点A和点C为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线 分别交 于点D、E．若 ，
的周长为26，则 的周长为（ ）
A．26 B．32 C．38 D．44
【答案】C
【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的
性质是解题的关键．
由题意可得： 垂直平分线段 ，可得 、 ；再根据题意可得 ，
最后求出 的周长即可．
解：：由题意可得： 垂直平分线段 ，
∴ ， ,
∵ 的周长为26，
∴ ,
∴ 的周长 ．
故答案为：38．
【15-2】．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图， 分别是 的垂直平分线，垂足分别为 ，且 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接 ，利用垂直平分线
性质得 ，再证明 ，继而得到 后计算即可．
解：：连接 ，
，
∵ 分别是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ．
【15-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ， ，点
为边 的垂直平分线 上一点，若 ，则 周长的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短， 角所对直角边是斜边的一半，连接 ，
由垂直平分线的性质得 ，当点 三点共线时， 最小，即 周长的最小，最小
值为 ，然后根据 角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，连接 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴当点 三点共线时， 最小，即 周长的最小，最小值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【考点16】几何变换（最短路径问题）
【16-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角 中， 的平
分线交 于点 分别是 和 上的动点，则 的最小值是（ ）A． B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】在 上截取 ，连接 ，作 ，交 于 ，由含 的直角三角形可得
，可证 ，可得 ，易知 ，易知当点
，点 ，点 三点共线，且 垂直 时， 的值最小，即 ，
进而求得答案．
解：：∵ 平分 ，
∴ ，
在 上截取 ，连接 ，作 ，交 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 ，点 ，点 三点共线，且 垂直 时， 的值最小，
即： ，∴ 的最小值为 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是最短路径问题，全等三角形的判定及性质，含 的直角三角形的性质，掌握
最短路径的确定方法是解题的关键．
【16-2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形 中， ， ，
M，N分别是 ， 上的点，当 的周长最小时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点C关于 的对称点E，关于 的对称点F，则 ， ，可得
，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时， 的最小值等于
线段 的长，根据四边形 中， ， 得 ，根据三角形内角和定理
得 ，根据等边对等角得 ， ，即可得 ，根
据三角形内角和定理即可得．
解：：如图所示，作点C关于 的对称点E，关于 的对称点F，
则 ， ，
∴ ，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时， 的最小值等于线段 的长，
∵四边形 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，
利用对称性构造最短路径．
【16-3】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，等腰 中，
，当 的值最小时， 的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得
，则 ，连接 交 于 ，在 中，由三角形三边关系可得
，则 、 、 三点共线时， 的值最小，即 的值最小，证明
，根据全等三角形的性质得 ，过点 作 于 ，根据含 角的直角三
角形的性质求出 ，利用三角形的面积公式即可求解．
解：：过点 作 ，使 ，连接 ，∵ ，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
连接 交 于 ，
在 中，由三角形三边关系可得 ，则 、 、 三点共线时， 的值最小，即
的值最小，
∵ ，
，
在 和 中，
，
，
，
过点 作 于 ，
，
，的面积为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关
系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全
等三角形解决问题．
【考点17】由作图信息求值与证明
【17-1】（23-24八年级上·云南普洱·期末）如图，在 ， ，按以下步骤作图：①以点 为
圆心，小于 的长为半径画弧，分别交AB， 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧相交于点 ；③作射线 交 边于点 ，若 ， 则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是过点 作 ，根据角平分线的性质，则
，再根据三角形的面积，即可．
解：过点 作 于点 ，
由题意得， 是 的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．【17-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，画
射线 ，交 于点 ．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，以及平行线的性质，根据题意得出 平分 是解题关
键．根据平行线的性质得到 ，由角平分线的定义，可得 ，再根据平行
线的性质即可解答．
解：：由题意得： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
故选：B．
【17-3】（2024·河北·模拟预测）如图，在 是 边上的高，以点B为圆心，
适当长为半径画弧，分别交 于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧，两
弧交于点P，作射线 交 于点E，交 于点F，下列说法不一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线定义判断A；根据 和 都是 的余角判断B；根据含 的直角三角
形性质判断C；根据 和 都是 的余角， 是 的外角， 是 的外角，
判断D．
解：A、由作图知， 平分 ，
∴ ，
∴A正确，不符合题意；
B、∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴B正确，不符合题意；
C、当 时，
，
，
∴C不一定正确，C符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴D正确，D不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含 的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键．
综合压轴题
【考点18】与三角形有关的线段和角综合
【18-1】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在 中， 于点D， 平分
交 于点E， ．
(1)求 的度数；
(2)探究：如果条件 改成 ，能不能求出 的度数？若能，请你写出
求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】(1) ； (2)能，求解见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角、角的和差、角平分线等知识点，掌握三角形
内角和是 和三角形外角性质成为解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得 ，然后根据角平分线定义得
；由于 ，则 ，根据三角形外角性质得 ，
所以 ，然后利用 进行计算即可；
（3）根据三角形内角和定理得 ，再根据角平分线定义得
，结合 ，则 ，然后利用角的和差得
，即 的度数等于 与 差的一半，据此即可解答．
解：（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：能，解答如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【18-2】（24-25八年级上·全国·期中）直线 与 相互垂直，垂足为点O，点A在射线 上运动，
点B在射线 上运动，点A、点B均不与点O重合
(1)如图①， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数(2)如图②， 平分 ， 平分 ， 的反向延长线交 于点D．
①若 ，则 度（直接写出结果，不需说理）
②点 ， 在运动过程中， 是否发生变化，若不变，试求 的度数；若变化，请说明变化规
律
【答案】(1) ；(2)① ；②不变，
【分析】（1）由垂线的定义得出 ，由三角形内角和定理求出 ，由角平分线的定
义得出 ， ，最后再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）①由垂线的定义得出 ，由三角形外角的定义及性质得出 ，由角平分线的
定义得出 ， ，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；
②由垂线的定义得出 ，由角平分线的定义得出 ， ，由三角
形外角的定义得出 ，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解．
解：（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ；
②不变，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
．
【点拨】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【18-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）探究：
如图①，在四边形 中，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
应用：
如图②，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点 ，若
，则 _______度；
拓展：
如图③， 平分 平分 ，若 ，则 度．
【答案】探究： ，理由见解析；应用： ；拓展：125
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义：探究：连接 并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案；
应用：根据探究的结论得到 ，据此代入数值计算即可；
拓展：根据探究的结论得到 ，再由角平分线的定义得到 ，据此
根据探究的结论可得答案.
解：：探究： ，理由如下：
如图，连接 并延长至点 F，
由三角形外角的性质可得 ， ，
又∵ ，
∴ ；
应用：由探究的结论可知 ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
拓展：由探究可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点19】全等三角形性质与判定综合
【19-1】如图：在 中， 、CF分别是 、AB两边上的高，在 上截取 ，在CF的
延长线上截取 ，连接AD、 ．试猜想线段AD与 的关系，并证明你的猜想．【答案】猜想： ， ，证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用 可得
出 ，由全等三角形的对应边相等可得出 ，②利用全等得出 ，再
利用三角形的外角和定理得到 ，又 ，利用等量代换可得
出 ，即 与AD垂直．
解：：猜想： ， ，证明如下：
证明：① ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ (全等三角形的对应边相等)；
② ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述： ， ．
【19-2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景：如图1：在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 ， 上的
点且 ，探究图中线段 、 、 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长
到点 ，使 ，连接 ，先证 ，再证明 可得出结论，他的结论
应是______；
（2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法；
（3）探索延伸：如图2，若在四边形 中， ， ， 、 别是 、 上的
点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）结论 仍然成立，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由 推出 ，结合 ， ，即可的得到结论
（2）根据题意易证 ，推出 ， ，然后利用 ，
，以及角的和差关系得到 ，从而证明 ，推出 ，结
合 ，即可得到结论；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，根据 ，推出 ，易证
，推出 ， ，然后利用 ，以及角的和差关系
得到 ，从而证明 ，推出 ，结合 ，
即可得到结论．
解：：（1）又
故答案为： ．
（2）在 和 中
，
又 ，
在 和 中
（3）结论 仍然成立，
理由：如图所示，延长 到点 ，使 ，连接，
在 和 中
，
在 和 中
【19-3】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）探究：如图①，在 中， ，
于点 ，则 ______ （选填：“ ”“ ”或“ ”）
拓展：如图②， ，射线 在 的内部，点 ， 分别在 ， 上，分别过点 ，
作 ， ，垂足分别为 ， ．当 时，判断 与 的长度关系，并说明理由．
应用：如图③， ，点 ， 分别在 的边 ， 上，射线 在 的内部，点
， 在射线 上，连接 ， ．当 ， 时，直接写出 与 的
长度关系．
【答案】探究： ； 拓展： ，理由见解析； 应用： ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；
（2）利用同角的余角相等判断出 ，进而判断出 ，即可得出结论；
（3）先利用外角的性质和角的和差得出 ，再利用补角的性质得出 ，进而
判断出 ，即可得出结论．
解：探究： ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
拓展： ，理由如下：
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，，
即： ；
应用： ，理由如下：
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
即： ．
【考点20】等腰（边）三角形的性质与判定综合
【20-1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有
两个角相等的三角形是等腰三角形．
【问题提出】
（1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形．
小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明：
∵ 是 的外角，
∴ _______ ________，
又∵ ，∴ _______ ________，
∴ ________，
∴ 是等腰三角形．
【初步应用】
（2）如图2，等边 中，BD是中线，E在 延长线上，且 ，判断 的形状并说
明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， 于D， ，求证： ．
【拓展提升】
（4）如图4， 中， ，BD平分 ， 的周长为10， ，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2） 是等腰三角形，理由见解析 （3）见解析 （4）
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造
等腰三角形是解题的关键．
（1）根据三角形的外角即可得到 ，即可得到 ，进而得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到 ，然后根据中线得到 ，
，进而推导 ，得以判定 的形状；
（3）延长CB至 ，使得 ，连接 ，得到 ，然后根据三线合一解题即可；
（4）延长 到点 ，使得 ，连接 ，则有 ，然后证明 即可得到
，然后利用 的周长即可解题．
解：（1）证明：∵ 是 的外角，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解： 是等腰三角形，理由为：
∵等边 中，
∴
∵BD是中线，
∴ ， ，又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰三角形；
（3）解：如图，延长CB至 ，使得 ，连接 ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 于D，
∴ ；
（4）解：延长 到点 ，使得 ，连接 ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵BD平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，即 ，
又∵ 的周长为10， ，
∴ ，即 ，
∴ ．【20-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边 与等边 的顶点 ， ， 三
点在一条直线上，连接 交 于 点，连 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ；
(3)若 ，直接写出 和 之间满足的数量关系．
【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为 的性质可证得 ，根据全
等三角形对应边相等的性质即可求得 ；
（2）过点 作 于 ， 于 ，设 交 于 ．由全等三角形的性质得出 ，
则可得出结论；
（3）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，证明 是等边三角形，同理（1）可证，
，得出 ，由三角形面积关系可得出 ，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三
角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
解：（1）证明：如图1中， 与 都是等边三角形，
， ， ，
，
， ，
即 ．
在 和 中，，
．
．
（2）证明：过点 作 于 ， 于 ，设 交 于 ．
，
，
， ，
， ，
，，
，
平分 ；
（3）解： ，理由如下：
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
是等边三角形，同理（1）可证 ，
，
设 ， ， ，
，
同法可证 ，
，
，
，
，
【20-3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在 和 中， ， ，
，点D是直线 上的一动点（点D不与B，C重合），连接 ．
(1)在图1中，当点D在边 上时，求证： ；
(2)在图2中，当点D在边 的延长线上时，结论 是否还成立？若不成立，请猜想 ，
， 之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点D在边 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出 ， ， 之间存在
的数量关系及直线 与直线 的位置关系．
【答案】(1)见解析； (2)不成立，存在的数量关系为 ，理由见解析；(3) ，
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质；
（1）求出 ，证明 ，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）求出 ，证明 ，根据全等三角形的性质可得结论；（3）如图3，求出 ，证明 ，根据全等三角形的性质可得
，然后由 是等腰直角三角形可得 ，
，进而求出 即可得出结论．
解：（1）解：如图1，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）不成立，存在的数量关系为 ．
理由：如图2，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（3）存在的数量关系为 ；
如图3，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【考点21】轴对称综合
【21-1】（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线 于点B， ，点D为 中点，
一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点F，连接 交 于点H， ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是 边上的动点，连接 ， ， ， ，求的最小值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)8
【分析】（1）由 可证 ，可得 ；
（2）由 可证 ，可得 ，由余角的性质可得结论；
（3）由 可证 ，可得 ，则当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，
即 有最小值为 的长，由面积法可以求解．
解：（1）证明：如图1，过点D作 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解∶ 在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，即 有最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关
键．
【21-2】（23-24八年级上·重庆南川·期末）在 中，点D是边 上一点，连接AD．(1)如图1，若AD平分 ， ， ， 的面积为3，求 的面积；
(2)如图2，若 ，点E在AD上，满足 ，过点C作 于点C，交AD的延长线
于点F，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，已知 ，点P，Q分别是线段 上的动点，连接 ，当
的最小值是n时，直接写出线段 的长．（用含m，n的代数式表示）
【答案】(1)8；(2)见解析；(3)
【分析】（1）过点D作 于点G， 于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解
即可；
（2）过点D作 ，交 于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可；
（3）延长 交 于点K，则 ，再倍长 至点 ，过点 作 于点Q，交 于
点P，利用轴对称的性质及图形求解即可．
解：（1）解：过点D作 于点G， 于点H，如图所示：
∵ ，
∴ ，即
∴
∵ 平分
∴∴
∴ ；
（2）过点D作 ，交 于点N，如图所示：
∴ ，
∵ ，即
∴
在 和 中
∴
∴
∵ ，
∴
即
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
在 和 中∴
∴
∴
又∵ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
由（2）可知
延长 交 于点K，则
再倍长 至点 ，过点 作 于点Q，交 于点P
由轴对称性得
∴ 最小，即
在 中，
∴
又在 中，
∴ ．
【点拨】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，作出
相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键．
【21-3】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）综合与实践
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系 中，点(2,3)关于 轴的对称点的坐标
为_________；
【实践探究】
（2）小容受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系 中，点 的坐标
为 ，求点 关于直线 的对称点 的坐标（用含 ， 的式子表示）；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系
中，点 的坐标为 ，直接写出点A(a,0)关于直线 的对称点 的坐标（用含 的式子表示）．
小博经过探究得出直线 上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是 ，点 的纵坐标为 ，请帮助小博
完成问题．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）由关于 轴对称的点的特征求出对称点的坐标；
（2）过点 作 轴，交直线 于点 ，连接 ，证明 ，求出 的长度，从而
得到点 的坐标；
（3）过点 作 轴，交直线 于点 ，证明 ，通过直线 上任意一点的横坐标
与纵坐标的比都是 ，求出点 的坐标，进而得到点 的坐标．
解：：（1）由关于 轴对称的点的特征可知，点(2,3)关于 轴的对称点的坐标为(−2,3)，
故答案为：(−2,3)；（2）过点 作 轴，交直线 于点 ，连接 ，
∵点 ，点 关于直线 对称，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点 坐标为 ，
∴点 ，
∴ ，
∵ ， 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴点 的坐标为 ；（3）过点 作 轴，交直线 于点 ，
∴ ，
∵点 ，点 关于直线 对称，A(a,0)，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，点 的纵坐标为 ，
∴点 的纵坐标为 ，
∵直线 上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是 ，
∴点 横坐标为 ，
∵ ，
∴点 横坐标为 ，
∴点 的坐标为 ．【点拨】本题考查关于 轴对称的点的特征，平面直角坐标系中的点的坐标，全等三角形的性质与判定，
平行线的性质等知识点，解题关键在于构造全等三角形，求出相应线段的长度从而得到点的坐标．
