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专题 02 三角形中的倒角模型之 A 字、8 字、燕尾
模型三类综合题型
目录
典例详解
类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
压轴专练
类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模
型。
条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．如图，从 纸片中剪去 ，得到四边形 ．如果 ，那么 度数为
（ ）A． B． C． D．
【变式1-1】如图，在 中，按图中虚线把角度为 的 剪去，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图1，直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， （都不与点 重合）.
(1)若 ，①求 的度数；②如图2，直线 与边 ， 相交得到 和 ，直接写出
的度数.(2)如图3， ， 分别平分 和 ，写出 和 的数量关系，并说明
理由；
(3)如图4，在四边形 中，点 ， 分别是线段 、线段 上的点， ， 分别平分
和 ，直接写出 与 ， 的关系.
【变式1-3】【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，
与 分别为 的两个外角，则 ．
【推理证明】∵ 与 分别为 的两个外角，
∴ ______， ______，
∴ ______．
∵ ，∴ ．
【初步应用】
（1）如图②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ，若 ，则 的大小为
______度．
（2）如图③，在 中， 、 分别为外角 、 的平分线，则 与 的数量关系，
并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形 中， 、 分别为外角 、 的平分线，若 ，
求 的度数．
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
图1 图2
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；
在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ 。2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则 ，即2∠P=∠B+∠D
例2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式2-1】如图，已知直线 、 相交于点 ， ， ， ，
．
【变式2-2】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，
则 、 、 、 之间的数量关系 ．
（2）在图2中 和 的平分线 和 相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若
， ，那么 的度数是 ．
【变式2-3】如图，已知线段 相交于点O，连接 ，我们把形如这样的图形称为“八字图
形”．(1)求证： ；
(2)如图②，若 和 的平分线 和 相交于点P，与 分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________；
②若 ， ，求 的度数；
③根据②的结果直接写出 ， ， 之间的关系（不需要证明）．
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
图1 图2
基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：① ；②
。
证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；
又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。
延长BC交AD于点P；在△ABQ中， ；在△CDQ中， 。
即： ，故 。
拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O= （∠A+∠C）。
证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO= ∠ABC；∠ADO= ∠ADC；
根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A= ∠ABC+ ∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O= （∠A+∠C）。
例3．如图是一个“燕尾形”，已知 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如下图． 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知： ，点B、C在 的两边上，点P为平面内一点，且
，则 ．
【变式3-3】【探究】如图①，试说明 ；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示， ， ， ， ，求椅面
和椅背的夹角 的度数；（2）如图③， ， ，求 的度数．
一、单选题
1．如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点E，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在由线段 组成的平面图形中， ，则 的度数为
（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张 ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将 ABC沿着DE
折叠压平，A与A′重合，若∠A=60°，则∠1△+∠2=（ ） △A．75° B．120° C．105° D．210°
4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果 ，
，那么 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，将 按由小到大的顺序可以排列为 ．
6．如图， ．
7．如图，四边形 两组对边的延长线分别交于点E，F， ， ，若 与 互补，则 的度数为 ．
8．如图， 于点 ， 于点 ，点 在线段 上，且 ． 、 分别平分
和 ，则 的度数是 ．
三、解答题
9．如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证 ．
10．如图， 平分 ，交 于点F， 平分 交 于点E， 与 相交于点G，
．
（1）若 ，求 的度数；（2）若 ，求 的度数．
11．（1）如图①，在凹四边形 中，请直接写出 与 ， ， 之间的数量关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算 的度数．
（3）如图③，在 中，设 ， 和 的平分线 ， 交于点O，过B作 的平行
线 交 的延长线于点 ，试用含 的代数式表示 ．
12．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明： ．
（2）如图（2）， 分别平分 ，若 ．求 的度数．
（3）如图（3），直线 平分 平分 的外角 ，猜想 与 的数量关系是
______；
（4）如图（4），直线 平分 的外角 平分 的外角 ，猜想 与
的数量关系是______．
13．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥
你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究 与 之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 恰好经过点B、C，若
，直接写出 的结果；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ，求 的度数；
③如图4， 的10等分线相交于点 ，若 ，求 的
度数．
14．模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四边形
形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角
形”．模型应用
（1）直接应用：
①如图2， ，则 __________ ；
②如图3， __________ ；
（2）拓展应用：
①如图4， 、 的2等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ，
，则 __________ ；
②如图5， 、 分别为 、 的10等分线 ．它们的交点从上到下依次为 、
、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ；
③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则
__________ ；
④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之间的数量关系为__________．
