专题 02 七个基本导角模型（举一反三专项训练）
【人教版2024】
【模型1 8字型】.......................................................................................................................................................3
【模型2 A字型】......................................................................................................................................................7
【模型3 风筝型】......................................................................................................................................................9
【模型4 燕尾型】....................................................................................................................................................14
【模型5 余角模型】................................................................................................................................................17
【模型6 补角模型】................................................................................................................................................23
【模型7 一线三等角模型】....................................................................................................................................28
模型1：8字形
结论：①∠A+∠B=∠C+∠D，
②∠A=∠C⇔∠B=∠D．
模型2：A字形
结论：①∠1+∠2=∠B+∠C，
②∠3+∠4=180°+∠A．
模型3：风筝行结论：∠1+∠2=∠A+∠D．
模型4：燕尾形
结论：∠A+∠B+∠C=∠D．
模型5：余角模型
结论：①∠1=∠B，
②∠2=∠A．
结论：①∠B=∠E，
②∠1=∠2=∠A．
模型6：补角模型
条件：∠A+∠C=180°．
结论：∠1=∠B．模型7：一线三角模型
类型一 一线三垂直
类型二 同侧一线三等角
类型三 异侧一线三等角
条件：∠1=∠2=∠3．
结论：①∠CBE=∠D，
②∠ABD=∠E．
【模型1 8字型】
【例1】如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则
∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）．
A．262° B．152° C．208° D．236°【答案】C
【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，
∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，
∵ ∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，
∵∠D=28°，
∴∠3=∠B+∠F−28°，
又∵∠2=∠A+∠C，
∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，
∵∠2+∠3=180°
∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，
∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角
的意义是解答此题的关键．
【变式1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【变式1-2】如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点
G，∠A=42°．
（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；
（2）若∠C=38°，求∠P的度数．
【答案】（1）72°；（2）40°．
1
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ∠ADC ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
2
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得
∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
1
∴∠ADP=∠PDF= ∠ADC，
2
∵∠ADC=60°，
∴∠ADP=30°，
∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
1
∴∠P= （38°+42°）=40°．
2
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字
形”的等式是解题的关键．
【变式1-3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．
为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”）
度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算
即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的
关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含
了数形结合的思想方法．
【模型2 A字型】
【例2】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=
（ ）．
A．180° B．215° C．235° D．245°
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：∵∠A=65°，
∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，
∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
【变式2-1】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A
．【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，
∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．
又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关
键．
【变式2-2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知
∠1+∠2=α，则∠A=（ ）
A．α−90° B．180°−α C．α−180° D．360°−α
【答案】C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得∠ADE+∠AED=360°−α，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠ADE=180°−∠1，∠AED=180°−∠2，
∴∠ADE+∠AED=360°−(∠1+∠2)=360°−α，
∵∠ADE+∠AED+∠A=180°，
∴∠A=180°−(∠ADE+∠AED)=180°−(360°−α)=α−180°，
故选：C．
【变式2-3】将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°，则∠2的度数
为 ．【答案】40°/40度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平
行线的性质可得∠FGH=∠1=130°，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：AD∥BC，
∴∠FGH=∠1=130°，
∵∠FGH是△EFG的一个外角，
∴∠FGH=∠2+∠E，
∵∠E=90°，
∴∠2=130°−90°=40°，
故答案为：40°．
【模型3 风筝型】
【例3】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的
外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E．下列结论中错误的
是：（ ）
1 1
A．∠BOC=90∘+ ∠A B．∠D= ∠A
2 21 2
C．∠E=90∘− ∠A D．∠A= ∠E
2 3
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的
定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。
1
由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，再由三角形的内角和定理可求解
2
1 1
∠BOC=90°+ ∠A；由角平分线的定义可得∠DCF= ∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定
2 2
1
∠D= ∠A；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN=180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角
2
1 1 2
形的内角和定理可判定∠E=90∘− ∠A；由∠E=90∘− ∠A的结果无法推出∠A= ∠E．
2 2 3
【详解】∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
1
∴∠ABD=∠OBC= ∠ABC，
2
1
∠OCB=∠ACO= ∠ACB，
2
1
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，
2
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
1 1
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°− ×(180°−∠A)=90°+ ∠A，
2 2
，故A正确，不符合题意；
∵CD平分∠ACF，
1
∴∠DCF= ∠ACF
2
∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，
1
∴∠D= ∠A，
2
故B正确，不符合题意；取AB的延长线与点M，AC的延长线与点N，如图：
∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC
∠ACB+∠A+∠ABC=180°
∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A
∵ BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠BCE
1
∴∠EBC+∠BCE=90°+ ∠A
2
∵∠E+∠EBC++BCE=180°
∴∠E=180°−(∠EBC++BCE)=180°− ( 90°+ 1) =90∘− 1 ∠A，
2 2
故C正确，不符合题意；
1
由选项C知∠E=90∘− ∠A，
2
2
∴ ∠A=180°−2∠E，无法得到∠A= ∠E，
3
故D项错误，符合题意．
故选：D．
【变式3-1】如图，△ABC的外角平分线BP，CP相交于点P，若∠A=90°，则∠P= ．
【答案】45°【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据直角三角形的性质得
到∠ABC+∠ACB=90°，进而得到∠DBC+∠ECB=270°，再根据角平分线的定义，三角形内角和定
理计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【详解】∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ECB=360°−90°=270°，
∵BP，CP分别为∠DBC，∠ECB的平分线，
1 1
∴∠CBP= ∠CBD，∠BCP= ∠EBC，
2 2
1
∴∠CBP+∠BCP= ×270∘=135∘ ，
2
∴∠P=180°−135°=45°，
故答案为：45°．
【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外
角平分线，
(1)若∠ABC=50°,∠ACB=60°，求∠D的度数为 ．
(2)若∠A=a时，求∠D的度数？
【答案】(1)55°
1
(2)90°− α
2
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，解题关键是运用三角形的内角和等于180度，
以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体
思想．
（1）先由邻补角求得∠FBC+∠BCE=250°，再根据角平分线以及三角形内角和求得
1 1 1
∠2+∠3= ∠FBC+ ∠BCE= (∠FBC+∠BCE)=125°，最后在△CDB中再次运用三角形内角和
2 2 2即可求解；
（2）求解方法同（1）．
【详解】（1）解：∵∠ABC=50°,∠ACB=60°，
∴∠FBC+∠BCE=180°−∠ABC+180°−∠ACB=250°，
∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线，
∴∠1=∠2,∠3=∠4，
1 1 1
∴∠2+∠3= ∠FBC+ ∠BCE= (∠FBC+∠BCE)=125°，
2 2 2
∴∠D=180°−(∠2+∠3)=55°，
故答案为：55°；
（2）解：∵∠A=a，
∴∠ABC+∠ACB=180°−α，
∴∠FBC+∠BCE=180°−∠ABC+180°−∠ACB=360°−(180°−α)=180°+α，
∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线，
∴∠1=∠2,∠3=∠4，
1 1 1 1
∴∠2+∠3= ∠FBC+ ∠BCE= (∠FBC+∠BCE)=90°+ α，
2 2 2 2
1
∴∠D=180°−(∠2+∠3)=90°− α．
2
【变式3-3】（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知△ABC，∠ABC的角平分线与∠ACB的
外角平分线交于点D，∠ABC的外角角平分线与∠ACB的外角角平分线交于点E，则∠A−∠D+∠E=
．
【答案】90°/90度
【分析】该题主要考查了∠ABC角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键
是理解题意．根据角平分线得出∠1=∠2，∠3=∠4=∠7=∠8，∠5=∠6，根据三角形外角的性质即可得
∠A=2∠4−2∠2,∠D=∠4−∠2，再根据内角和定理得出∠D+∠E=90°，即可求解．
【详解】解：∵∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC的外角角平分线与∠ACB
的外角角平分线交于点E，
∴∠1=∠2，∠3=∠4=∠7=∠8，∠5=∠6，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠A，∠4=∠D+∠2，
∴2∠4=2∠2+∠A
∴∠A=2∠4−2∠2,∠D=∠4−∠2，
∵∠1+∠2+∠5+∠6=180°，∠2+∠6+∠D+∠E=180°，
∴∠2+∠6=90°，
∴∠D+∠E=90°，
∴∠A−∠D+∠E=2∠4−2∠2−(∠4−∠2)+[90°−(∠4−∠2))=90°
故答案为：90°．
【模型4 燕尾型】
【例4】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度．
【答案】180
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接DE，记AE、CD的交点为F， 先证明
∴∠A+∠C=∠FDE+∠FED，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键．
【详解】解：如图，连接DE，记AE、CD的交点为F，
∵∠A+∠C=180°−∠AFC ∠FDE+∠FED=180°−∠DFE
， ，
∠AFC=∠DFE，
∴∠A+∠C=∠FDE+∠FED，
∴∠B+∠BDF+∠FDE+∠FED+∠BEF=180°，
∴∠B+∠BDF+∠A+∠C+∠BEF=180°，
故答案为：180．
【变式4-1】如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，
∠ACD=35°，∠ABE=20°．求∠BFD的度数．
【答案】63°
【分析】先由三角形外角的性质求得∠BDC，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠A=62°，∠ACD=35°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°
在△BDF中，∠ABE+∠BDC+∠BFD=180°
∵∠ABE=20°，
∴∠BFD=180°−∠ABE−∠BDC=180°−20°−97°=63°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键．
【变式4-2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°
，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（ ）．A．72° B．70° C．65° D．60°
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出∠BOC,再利用邻补角的性
质求出∠DEO，再根据四边形的内角和求出∠DFO，根据邻补角的性质即可求出∠DFC的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,
∴∠AOB=180°−∠B−∠OAB,
同理得∠AOC=180°−∠OAC−∠C,
∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,
∴∠BOC=360°−∠AOB−∠AOC
=360°−(180°−∠B−∠OAB)−(180°−∠OAC−∠C)
=∠B+∠C+∠BAC=107°,
∵∠BED=72°,
∴∠DEO=180°−∠BED=108°,
∴∠DFO=360°−∠D−∠DEO−∠EOF
=360°−35°−108°−107°=110°,
∴∠DFC=180°−∠DFO=180°−110°=70°,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180°(n−2)．
【变式4-3】如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
【答案】180°/180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ANB=∠A+∠D，
∠BMC=∠C+∠E，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，
∵∠ANB是△ADN的外角，∠BMC是△CEM的外角，
∴∠ANB=∠A+∠D，∠BMC=∠C+∠E，
又∵∠ANB+∠BMC+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案为：180°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
【模型5 余角模型】
【例5】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形△ABC中，点D，E分别在边AC，AB
上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC求证：∠AEF=∠ACG．【答案】证明见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
由AG⊥BC，AF⊥DE，则∠AFE=∠AGC=90°，再通过等角的余角相等得出∠AEF=∠ACG
，．
【详解】证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠GAC+∠ACG=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AEF=∠ACG.
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°．
(1)∠1与∠3是什么关系？为什么？
(2)当∠1与∠4满足什么关系时，∠2与∠4相等？为什么？
【答案】(1)∠1=∠3，理由见解析
(2)∠1+∠4=90°，理由见解析
【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于
180°，则这两个角互补．
（1）根据同角的余角相等解答；
（2）根据同角的余角相等解答即可．
【详解】（1）解：∠1=∠3，理由如下：
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=90°−∠2，∠3=90°−∠2，
∴∠1=∠3；（2）解：∠1+∠4=90°，理由如下：
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠2=∠4．
【变式5-2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，已知EF⊥BC于点F ，GD∥AC， ∠DAC 与
∠C互余，求证：∠1=∠2 ．
证明：∵ EF⊥BC （已知），
∴ ∠EFC=90°（____________），
∴ ∠2+∠C=90°（____________），
∵ ∠DAC 与 ∠C互余（已知），
∴ ∠DAC+∠C=90°，
∴ ∠2=∠DAC（____________），
∵ GD∥AC（____________），
∴ ∠1=∠DAC（____________），
∴ ∠1=∠2（____________）．
【答案】垂线的定义；直角三角形两个锐角互余；同角的余角相等；已知；两直线平行，内错角相等；等
量代换
【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，直角三角形的性质，根据已给推
理过程，结合垂线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形内角和定理进行证明即可．
【详解】证明：∵ EF⊥BC （已知），
∴ ∠EFC=90°（垂线的定义），
∴ ∠2+∠C=90°（直角三角形两个锐角互余），
∵ ∠DAC 与 ∠C互余（已知），
∴ ∠DAC+∠C=90°，
∴ ∠2=∠DAC（同角的余角相等），
∵ GD∥AC（已知），
∴ ∠1=∠DAC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠1=∠2（等量代换）．【变式5-3】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如
图1方式叠放在一起，其中∠A=30°，∠ABC=60°，∠D=∠E=45°，C，B，D三点共线，A，C，
E三点共线，将三角尺ABC固定不动，三角尺DCE绕点C顺时针旋转，旋转角度小于180°．
(1)如图2，求证：∠ACD=∠BCE；
(2)在三角尺DCE旋转的过程中，若∠ACE=3∠ACD，求∠ACD的度数；
(3)在三角尺DCE旋转的过程中，若三角尺DCE的一条边与三角尺ACB的一条边平行，求∠BCD的度
数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACD的度数为45°或22.5°
(3)30°，45°，75°，120°，135°
【分析】（1）根据余角的性质进行求解即可；
（2）分两种情况：当CD在CA的左侧时，当CD在CA的右侧时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分五种情况：当CE∥AB时，当CD∥AB时，当CD在AC左侧，DE∥AB时，当DE∥AC时，
当DE∥BC时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE；
（2）解：如图1，当CD在CA的左侧时，设∠ACD=α，
∵∠ACE=3∠ACD，
∴∠ACE=3α，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE=α+90°，
∴α+90°=3α，
∴α=45°，即∠ACD=45°；
如图2，当CD在CA的右侧时，设∠ACD=β，∵∠ACE=3∠ACD，
∴∠ACE=3β，
∵∠ACE+∠ACD=∠DCE=90°，
∴β+3β=90°，
∴β=22.5°，即∠ACD=22.5°．
综上所述，∠ACD的度数为45°或22.5°；
（3）解：∵旋转角度小于180°．
如图3，当CE∥AB时，
∵CE∥AB，
∴∠BCE=∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠DCE−∠BCE=90°−60°=30°；
如图4，当CD∥AB时，∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+30°=120°；
如图5，当CD在AC左侧，DE∥AB时，
设AB与CD交于点F，
∵DE∥AB，
∴∠BFC=∠D=45°，
在三角形BCF中，∵∠B=60°，∠B+∠BFC+∠BCF=180°，
∴60°+45°+∠BCF=180°，
∴∠BCF=75°，即∠BCD=75°；
如图6，当DE∥AC时，∵DE∥AC，
∴∠ACD=∠D=45°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−45°=45°；
如图7，当DE∥BC时，
∵DE∥BC，
∴∠BCE=∠E=45°，
∴∠BCD=∠BCE+∠DCE=45°+90°=135°．
综上所述，当三角尺DCE的一条边与三角尺ACB的一条边平行时，∠BCD的度数为30°，45°，75°，
120°，135°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，余角的性质，三角板中角的计算，解题的关键是数形结合，注意
进行分类讨论．
【模型6 补角模型】
【例6】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=x°，
∠C= y°(0<x<180,0<y<180)．(四边形内角和为360°)
(1)∠ABC+∠ADC=______度；（用含x，y的代数式表示）
(2)若x= y=90，BF平分与∠ABC相邻的外角∠CBM，DG平分∠ADC交BC于点E，交BF于点G，判
断DG与BF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)(360−x−y)；
(2)DG⊥BF，理由见解析．
【分析】本题主要考查了四边形内角和问题，角平分线的定义，三角形外角的定义以及性质等知识．
（1）由四边形内角和为360°即可解题．（2）由平角的定义得出∠ABC+∠CBM=180°，由（1）可得出∠ABC+∠ADC=180°，可得出
∠CBM=∠ADC，由角平分线的定义可得出∠CBF=∠CDE，由三角形外角的定义以及性质可得出，
∠BED=∠CBF+∠BGE=∠CDE+∠C，即可得出∠BGE=∠C=90°，则DG⊥BF
【详解】（1）解：∵∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°，∠A=x°，∠C= y°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−x°−y°，
故答案为：(360−x−y)．
（2）DG⊥BF，理由如下：
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∠ABC+∠ADC=(360−x−y)°=(360−90−90)°=180°．
∴∠CBM=∠ADC．
∵BF平分∠CBM，DG平分∠ADC，
1 1
∴∠CBF= ∠CBM，∠CDE= ∠ADC．
2 2
∴∠CBF=∠CDE．
∵∠BED=∠CBF+∠BGE=∠CDE+∠C，
∴∠BGE=∠C=90°．
∴DG⊥BF．
【变式6-1】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A<90°，
∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC与∠ADC的平分线交四边形内部于点E．试猜想∠BED与∠A之间的
数量关系，并说明理由．
【答案】∠BED=90°+∠A，理由见解析
【分析】本题主要考查了四边形内角和，角平分线定义，熟练掌握四边形内角和为360°是解题的关键．根
1
据四边形内角和得出∠C=180°−∠A，根据角平分线定义得出∠EBC= ∠ABC，
2
1
∠EDC= ∠ADC，求出∠BED+∠C=360°−90°=270°，最后得出答案即可．
2【详解】解：∠BED=90°+∠A．
理由：∵∠ABC+∠ADC=180°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠A，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
1 1
∴∠EBC= ∠ABC，∠EDC= ∠ADC，
2 2
1 1 1
∴∠EBC+∠EDC= ∠ABC+ ∠ADC= (∠ABC+∠ADC)=90°，
2 2 2
∴∠BED+∠C=360°−90°=270°．
∴∠BED=270°−∠C=270°−(180°−∠A)=90°+∠A．
【变式6-2】（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，
∠A=∠DCG=115°，点E、F分别是边AD、BC上的两点，且EF∥AB．
(1)填空：∠B+∠D=__________；
(2)∠D与∠1相等吗？为什么？
【答案】(1)180°
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）先求出∠BCD，再根据四边形的内角和是360°求解即可；
（2）根据平行线的性质结合（1）的结论即可解答．
【详解】（1）解：∵∠A=∠DCG=115°,
∴∠BCD=180°−115°=65°，
∴∠B+∠D=360°−∠A−∠BCD=180°；
故答案为：180°；
（2）∠D=∠1，理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠B+∠1=180°，∵∠B+∠D=180°，
∴∠D=∠1．
【点睛】本题考查了平行线的性质和四边形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式6-3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中，∠C=90°，BE平分∠ABC，
BE，CD交于G点．
(1)如图1，若∠A=90°，
①求证：∠EDG=∠ABC；
②作DF平分∠ADC，如图2，求证：DF∥BG．
(2)如图3，作DF平分∠ADC，在锐角∠BAD内部作射线AN，交DF于N，若∠∧−∠GBC的大小为
45°，试说明：AN平分∠BAD．
【答案】(1)①见解析 ②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据多边形内角和可证得∠ABC+∠ADC=180°，结合∠EDG+∠ADC=180°，即
1 1
可得到结论．②根据角平分线的定义可求得∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ADC=90°，结合
2 2
∠DFC+∠4=90°，可证得∠2=∠DFC，即可得到结论．
（2）延长AB，DF交于点M，可先证得∠DAN=180°−∠∧−∠3=135°−∠2−∠3，结合
∠BFM=∠CFD=90°−∠4=90°−∠3，∠AMN=∠ABC−∠BFM=2∠2−90°+∠3，可求得
∠BAN=∠∧−∠AMN=135°−∠2−∠3．
【详解】（1）①∵∠C＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=360°−90°−90°=180°．
∵∠EDG+∠ADC=180°，
∴∠EDG=∠ABC．
②∵BE平分∠ABC，1
∴∠1=∠2= ∠ABC．
2
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠3=∠4= ∠ADC．
2
1 1 1
∴∠2+∠4= ∠ABC+ ∠ADC= (∠ABC+∠ADC)=90°．
2 2 2
∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠4=90°．
∴∠2=∠DFC．
∴DF∥BG．
（2）延长AB，DF交于点M，如图所示：
∵∠∧−∠GBC=45°，
∴∠∧=∠2+45°．
∴∠DAN=180°−∠∧−∠3=180°−∠2−45°−∠3=135°−∠2−∠3．
∵BE平分∠ABC，
1
∴∠1=∠2= ∠ABC．
2
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠3=∠4= ∠ADC．
2
∵∠BFM=∠CFD=90°−∠4=90°−∠3，
∴∠AMN=∠ABC−∠BFM=2∠2−90°+∠3．
∴∠BAN=∠∧−∠AMN=∠2+45°−2∠2+90°−∠3=135°−∠2−∠3．
∴∠DAN=∠BAN．
∴AN平分∠BAD．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角的性质、多边形内角和、平行线的判定，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
【模型7 一线三等角模型】
【例7】（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，P是∠BAC内一点，∠ABP=37°，∠ACP=25°，
过点P作直线EF，交AB，AC分别于E，F．若∠BEP=∠BPC=∠PFC，则∠BAC= °．
【答案】56
【分析】如图，连接BC，由题意知，∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=180°，则
∠PBC+∠PCB=118°−∠BAC，由∠BEP=∠BPC=∠PFC，可知
180°−∠BAC ∠BAC
∠AEF=∠AFE= ，则∠BPC=∠PFC=180°−∠AFE=90°+ ，根据
2 2
∠BAC
∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，即90°+ +118°−∠BAC=180°，计算求解即可．
2
【详解】解：如图，连接BC，
由题意知，∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=180°，
∴∠PBC+∠PCB=118°−∠BAC，
∵∠BEP=∠BPC=∠PFC，
180°−∠BAC ∠BAC
∴∠AEF=∠AFE= ，∠BPC=∠PFC=180°−∠AFE=90°+ ，
2 2
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∠BAC
∴90°+ +118°−∠BAC=180°，
2解得∠BAC=56°，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【变式7-1】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点.且∠ADE=60°．
求证：∠BAD=∠EDC
【分析】(1)利用等边三角形的性质可得AB=BC，∠B=∠C=60°，从而利用三角形内角和定理可得
∠BAD+∠ADB=120°，再利用平角定义可得∠ADB+∠EDC=120°，从而可得∠BAD=∠EDC
【详解】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=180°−∠B=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=180°−∠ADE=120°，
∴∠BAD=∠EDC
【变式7-2】如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线l上，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D
、E.求证：∠ABD=∠CAE．
【分析】根据已知易得：∠BAD+∠CAE=90°，再利用垂直定义可得∠CEA=∠BDA=90°，从而可
得∠ABD+∠BAD=90°，然后利用同角的余角相等可得∠ABD=∠CAE．
【详解】证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥l，BD⊥l，
∴∠CEA=∠BDA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE
【变式7-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC
上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：
三角形内角和等于180°）
【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
1 1 1
（2）过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM= ∠CDE+ ∠EAB= （∠CDE+∠EAB）即可解决问
2 2 2
题；
（3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.
【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED．
（2）解：答案为45°；
过点F作FM∥AB，如图，∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAE+∠CDE＝90°，
∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，
1 1
∴∠CDF＝ ∠CDE，∠BAF＝ ∠BAE，
2 2
1
∴∠CDF+∠BAF＝ （∠BAE+∠CDE）＝45°，
2
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．
（3）∵EH平分∠CED，
1
∴∠CEH＝ ∠CED，
2
1
∴∠BEG＝ ∠CED，
2
∵AF平分∠BAE，
1
∴∠BAG＝ ∠BAE，
2
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AF．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
