文档内容
11.1 与三角形有关的线段
【考点1三角形的概念】
【考点2 三角形的分类】
【考点3 三角形的判断】
【考点4 三角形的三边关系】
【考点5 三角形的稳定性】
【考点6 三角形的高】
【考点7 利用三角形的中线巧算线段和周长】
【考点8 利用三角形的中线巧算面积】
考点 1 三角形的概念
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是
三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，
简称三角形的角．
【考点1三角形的概念】
【典例1】△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．故选：B．
【变式1-1】根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°
B．∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm
C．AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°
D．AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°
【答案】B
【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC的大小不能确定，故不符合
题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm，则利用“ASA”可判断△ABC是唯一的，故符合
题意；
C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意；
D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°，△ABC的形状和大小不能确定，故不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：选项C是三角形，
故选：C．
【变式1-3】在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图
所示．按照这种方式继续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 2 0 个
三角形．
【答案】20．
【解答】解：1个三角形需要火柴棍3根，2个三角形需要火柴棍5根，
3个三角形需要火柴棍7根，
…，
发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根，
∴2n+1＝41，
解得：n＝20．
故答案为：20．
考点2 三角形的分类
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰
的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
【考点2 三角形的分类】
【典例2】如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于 P、Q区域的说法正确的是
（ ）
A．P是等边三角形，Q是等腰三角形
B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形
D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【答案】B
【解答】解：A、应该是Q是等边三角形，P是等腰三角形，原说法不正确；
B、等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以P是等腰三角形，Q是等边三角形，原说法正确；
C、P、Q应该是根据边的不同进行分类，另外直角三角形与锐角三角形是并列关系，原
说法不正确；
D、P、Q应该是根据边的不同进行分类，钝角三角形与等腰三角形分类标准不同，原说
法不正确；
故选：B．
【变式2-1】三角形按角分类可以分为（ ）
A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C．直角三角形、等腰直角三角形
D．以上答案都不正确
【答案】A
【解答】解：三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
故选：A．
【变式2-2】用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图表示图形之间的关系正确，不符合题意；
B、图表示图形之间的关系正确，不符合题意；
C、图表示图形之间的关系正确，不符合题意；
D、图表示图形之间的关系错误，长方形包含正方形，符合题意；
故选：D．
【变式2-3】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，
BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（ ）A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等
边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选：C．
【考点3 三角形的判断】
【典例3】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】D
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一
个钝角或有一个直角．
故选：D．
【变式3-1】下列几何图形是钝角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解答】解：观察各选项，根据钝角三角形的定义可知，B为钝角三角形；
故选：B．
【变式3-2】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类
型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【变式3-3】如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．以上都有可能
【答案】D
【解答】解：已知一内角为36°的三角形，由于36°＜90°，所以该三角形的另一内角可
以为大于等于90°的角，也可以是小于90°的角，则该三角形既可以为钝角三角形、直角
三角形也可以为锐角三角形．
故选：D．
考点3 三角形的三边关系三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
【考点4 三角形的三边关系】
【典例4】若三角形两边长分别为7cm和10cm，则第三边长可能为（ ）
A．2cm B．10cm C．17cm D．20cm
【答案】B
【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，
得10﹣7＜x＜10+7，
即3＜x＜17，
10cm适合，
故选：B．
【变式4-1】以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
【答案】D
【解答】解：A、4+2＝6＜7，不能组成三角形；
B、3+3＝6，不能组成三角形；
C、5+2＝7＜8，不能组成三角形；
D、4+5＝9＞6，能组成三角形．
故选：D．
【变式4-2】如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得OA＝20米；OB＝15米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．36米 B．30米 C．25米 D．15米
【答案】A
【解答】解：∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
∴20﹣15＜AB＜20+15，
即5米＜AB＜35米，
∴AB不可能等于36米，
故选：A．
【变式4-3】已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三
角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【答案】D
【解答】解：设第三边长x，
∴5﹣2＜x＜5+2，
∴3＜x＜7，
∵△ABC的第三边长是偶数，
∴x＝4或6，
∴此三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13．
故选：D．
考点4 三角形的稳定性
①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有
稳定性，而四 边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
【考点5 三角形的稳定性】【典例5】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（
）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【答案】B
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定
性．
故选：B．
【变式5-1】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做
法的根据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角
D．三角形的稳定性
【答案】D
【解答】解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根
据是三角形的稳定性，
故选：D．
【变式5-2】空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理
是（ ）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：A．
【变式5-3】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有
稳定性来增加其稳定性，
故选：D
考点5 三角形的重要线段【考点6 三角形的高】
【典例6】如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
【变式6-1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B
符合条件，
故选：B．
【变式6-2】下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
【变式6-3】下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解答】解：A，C，D中线段BE不能表示△ABC任何边上的高；
B中线段BE能表示△ABC的高，且表示AC边上的高．
故选：B．
【考点7 利用三角形的中线巧算线段和周长】
【典例7】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是
25，则△ABE的周长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
【答案】B
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB＝7，AC＝10，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE，
∴CE+AE＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22，
故选：B．
【变式7-1】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大
2cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2，
∴8﹣AC＝2，
解得AC＝6（cm）．
故选：D．
【变式7-2】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【变式7-3】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与
△ADC的周长之差为（ ）
A．14 B．1 C．2 D．7
【答案】C
【解答】解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2．
故选：C．
【考点8 利用三角形的中线巧算面积】
【典例 8】如图，AD、CE 都是△ABC的中线，连接 ED，△ABC的面积是10cm2，则
△BDE的面积是（ ）A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2
【答案】C
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积× ＝5（cm2），
∵E是AB的中点，
∴△BDE的面积＝△ABD的面积× ＝2.5（cm2），
故选：C．
【变式8-1】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且
S△ABC ＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ＝ ×4＝2（cm2），
同理S△BDE ＝S△CDE ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2），
∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2）．
故答案为1．
【变式8-2】如图，BD是△ABC的中线，G是BD上的一点，且BG＝2GD，连接AG，若
△ABC的面积为6，则图中阴影部分的面积是 2 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，△ABC的面积为6，
∴ ，
∵BG＝2GD，
∴ ，
∴ ，
即图中阴影部分的面积是2．
故答案为：2．
【变式8-3】如图，点G为△ABC三边的重心，若S△ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是
4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点G为△ABC三边的重心，
∴AD是△ABC的中线，CF是△ABC的中线，AG＝2GD，∴S△ABD ＝ S△ABC ＝6，
∴S△ABG ＝2S△CBD ＝4，
∴S△BGF ＝2，
同理，S△CGE ＝2，
∴图中阴影部分的面积是4，
故答案为：4．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/27 10:44:27；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713一．选择题（共8小题）
1．（2024•韶关模拟）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不
计），则B、C两点之间的距离可能是（ ）
A．3m B．4.2m C．5m D．6m
【答案】A
【解答】解：∵AC＝AC＝2m，
∴2﹣2＜BC＜2+2，
即0m＜BC＜4m．
故选：A．
2．（2024春•虹口区期中）用以下各组线段为边能组成三角形的是（ ）
A．3cm、4cm、5cm B．2cm、3cm、5cm
C．6cm、3cm、2cm D．3cm、1cm、2cm
【答案】A
【解答】解：A、3+4＞5，能组成三角形，符合题意；
B、2+3＝5，不能组成三角形，不符合题意；
C、2+3＜6，不能组成三角形，不符合题意；
D、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
3．（2023秋•海珠区期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比
△ACM的周长大2cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】D
【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，
∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2，
∴8﹣AC＝2，
解得AC＝6（cm）．
故选：D．
4．（2023秋•思明区期末）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AF B．BE C．CE D．BD
【答案】C
【解答】解：△ABC中，过点C作边AB的垂线，与直线AB相交，点C与交点之间的
线段是边AB上的高，
由图可知：CE是边AB上的高，
故答案选：C．
5．（2024•郑州模拟）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C
在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是
（ ）
A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4
【答案】C
【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，由三角形三边关系定理得： ，
不等式①恒成立，
由不等式②得：x＞3，
由不等式③得：x＜5，
∴不等式组的解集是3＜x＜5，
故选：C．
6．（2024春•惠山区期中）如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不计
螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两根木条的夹角均可调整．
若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝之间距离的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：已知四根木条的长分别为2、3、4、6．
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，
∵6﹣5＜4＜6+5，
∴能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6，
∵6﹣2＜7＜6+2，
∴能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3，
∵2+3＜10，
∴不能构成三角形，此种情况不成立；
④选2+6、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4，
∵3+4＜8，
∴不能构成三角形，此种情况不成立．
综上所述，任两螺丝的距离值最大为7．
故选：C．7．（2024•柳州模拟）下列图形中具有稳定性的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵三角形具有稳定性，五边形，四边形，六边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是A选项中的图形，
故选：A．
8．（2024春•宝应县期中）如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两
个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①和②都正确 D．①和②都不正确
【答案】A
【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
9．（2024春•南岗区校级期中）自行车的车架做成三角形，利用的原理是 三角形具有
稳定性 ．
【答案】三角形具有稳定性．
【解答】解：根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．10．（2024春•沙坪坝区校级期中）已知三角形的三边长分别为2，x，3，且x为奇数，则
x＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵三角形三边长分别为2，3，x，x为奇数，
∴1＜x＜5，则x＝3．
故答案为：3．
11．（2024春•肇源县期中）若a，b，c为△ABC的三边长，化简：|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝
﹣ 2 b + 2 a ．
【答案】﹣2b+2a．
【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边的长，
∴a+c＞b，a＜b+c，
∴b﹣a﹣c＜0，a﹣b﹣c＜0，
∴|b﹣a﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝﹣b+a+c+a﹣b﹣c＝﹣2b+2a．
故答案为：﹣2b+2a．
12．（2024春•长清区期中）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB
＝5，△ABD的周长为15，则△BCD的周长为 1 8 ．
【答案】18．
【解答】解：∵BD为AC边上的中线，
∴AD＝DC，
∵△ABD的周长为15，
∴AB+BD+AD＝15，
∵AB＝5，
∴BD+AD＝10，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝8+10＝18，
故答案为：18．
13．（2022秋•射洪市期中）如图，设点G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝10，CG＝
8，则△ABC的面积为 7 2 ．【答案】72．
【解答】解：延长AG到G'，与BC相交于D，使DG＝DG′，则△BDG≌△CDG′，
∴CG′＝BG＝8，
∵DG＝ AG＝3，
∴DG＝DG′＝3，
∴GG′＝6，
∵BG＝10，
∴△BGG′是直角三角形，
∴S△GBC ＝S△BGG′ ＝ ×8×6＝24，
∴S△ABC ＝3S△GBC ＝72．
故答案为：72．
14．（2023秋•北仑区期末）我们把由三根长度为1的火柴棒围成的三角形称为单位三角
形（如图①），现按如图的方式拼搭图形，则第④张图中共有 1 6 个单位三角形；
若要拼出64个单位三角形，则需要 10 8 根火柴棒．
【答案】16；108．
【解答】解：第①个图中有1个单位三角形，即1＝12；第②个图中有4个单位三角形，即4＝22；
第③个图中有9个单位三角形，即9＝32，
…，以此类推，第n个图中有n2个单位三角形，
∴第④个图中共有42＝16个单位三角形；
第①个图中用了3根火柴棒，即3＝3×1；
第②个图中用了9根火柴棒，即9＝3×（1+2）；
第③个图中用了18根火柴棒，即18＝3×（1+2+3）；
…，以此类推，第n个图中用了3×（1+2+3+…+n）＝ 根火柴棒，
∵64＝82，
∴第8个图中有64个单位三角形，所用的火柴棒为 ＝108（根）．
故答案为：16；108．
三．解答题（共2小题）
15．（2023春•秦都区校级期中）如图，BD和CE是△ABC的中线，AE＝3cm，CD＝
2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．
【答案】5cm．
【解答】解：∵BD和CE是△ABC的中线，AE＝3cm，CD＝2cm，
∴AB＝2AE＝6cm，AC＝2CD＝4cm，
∵△ABC周长为15cm，
∴AB+AC+BC＝15cm，
∴BC＝15﹣6﹣4＝5（cm）．
16．（2023秋•新乡县月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比
△ADC的周长少2，且AB与AC的和为10．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BD的取值范围．【答案】（1）AB＝6，AC＝4；
（2）1＜BD＜5．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝10②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝8，
解得AC＝4，
∴AB＝6，AC＝4．
（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴6﹣4＜BC＜6+4，
∴2＜BC＜10，
∵AD是中线，
∴2＜2BD＜10，
∴1＜BD＜5．
