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专题 07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的
思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三
角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应
试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
AB AB
如图1，当 // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线 // 。
图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S ∶S ＝BD∶DC。
△ABD △ADC
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S ∶S ＝BE∶CF。
△ABD △ADC
例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图， 是 边 的中线，点E在 上，
， 的面积是3，则 的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出
．
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【详解】解：∵ 是 边 的中线， 的面积是3，∴ ，
∵ ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分
成面积相等的两部分．
例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图， 是 的边 上的中线， 是
的边 上的中线， 是 的边 上的中线，若 的面积是32，则阴影部分的面积是（
）
A．9 B．12 C．18 D．20
【答案】B
【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，∴ ，
∵ 是 的边 上的中线，∴ ，
又∵ 是 的边 上的中线，则 是 的边 上的中线，
∴ ， ，
则 ，故选：B．
【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点 为 的重心， ， ， 分别为
， ， 的中点，具有性质： ．已知 的面积为2，则 的
面积为 ．
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【答案】12
【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
【详解】解： ， 的面积为2，
的面积为4， 的面积为 ，
点 为 的中点， 的面积 的面积，
的面积为 ，故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比
等于底之比是解题的关键．
例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图， 是 的一条中线，
E为 边上一点且 ， 相交于F，四边形 的面积为6，则 的面积是 ．
【答案】14.4
【分析】连接 , 设 则 根据 为 边上中线，可得
；根据 ，可得 进而， 的面积可表
示为 和 由此建立方程 解出a的值即可得到 的面积.
【详解】解：连接 ，如图所示：设 则
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∵ 为 边上中线，
∵ ，
，
，
即 解得: . ，故答案为: 14.4.
【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面
积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.
例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1， 是 边 上的中线，则 ．
理由：因为 是 边 上的中线，所以 ．
又因为 ， ，所以 ．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2至图4中， 的面积为a．
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(1)如图2，延长 的边 到点D，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则
（用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长 的边 到点D，延长边 到点E，使 ， ，连接 ．若 的
面积为 ，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长 到点F，使 ，连接 ， ，得到 （如图4）．若阴影部分的面
积为 ，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是 的边 上任意一点，点E，F分别是线段 ， 的中点，且 的面积为
，则 的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a，见解析
【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
（2）连接 ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出 ，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出 ，从而得解；
（4）点E是线段 的中点，可得 ， ． ．点F是线段 的中点，
可得 ．从而可得答案．
【详解】（1）解：如图2， 延长 的边 到点 ，使 ，
为 的中线， 即 ；
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（2）如图3，连接 ，
延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，
， ， ，即 ；
（3）由（2）得 ，
同理： ， ， ；
（4） ，理由如下：理由：∵点E是线段 的中点，
∴ ， ．∴ ．
∵点F是线段 的中点，∴ ．∴ ．
【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并
适当添加辅助线是解答此题的关键．
例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线 ，点 、 在直线 上，点 、 在直线 上，当点 在直线 上移动时，总有
______与 的面积相等．
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(2)解答下题．①如图2，在 中，已知 ，且 边上的高为5，若过 作 ，连接 、
，则 的面积为______．
②如图3， 、 、 三点在同一直线上， ，垂足为 ．若 ， ，
， ，求 的面积．
(3)如图4，在四边形 中， 与 不平行， ，且 ，过点 画一条直线平分四
边形 的面积（简单说明理由）．
【答案】(1) (2)①15；② (3)图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据 ，可得 和 同底等高，即可求解；
（2）①先求出 ，再由 ，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；
②先求出 = ，再由 ， ，可得AC∥BF，从而得到
，即可求解；（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线
AF，则直线AF即为所求，可得 ，从而得到 ，即
可求解．
【详解】（1）解：∵ ，∴ 和 同底等高，则 与 的面积相等；
（2）解：①∵ ，且 边上的高为5，∴ ，
∵ ，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴ ；
②∵ ， ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴ ；
（3）解： 如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线
AF即为所求，理由如下：
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∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴ ，∴ ，
∴ ，∵ ，
∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题
的关键．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则
四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：① 或 ；② 。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：① ；② ；③梯形 的对应份数为 。
例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分
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三角形BCO的面积为 ．
【答案】45
【详解】设阴影部分面积为x。
根据蝴蝶（风筝）定理：
即：20：x=16：36 解得：x=45
估阴影部分的面积为45.
例2、如图，S ＝24平方厘米，S ＝16平方厘米，S ＝25平方厘米，则S 为 平方厘米。
△ACB △ACD △ABD △COB
【答案】9平方厘米
【解析】在四边形ABCD中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO＝S ：S ＝16：24＝2：3，
△ACD △ACB
则S ＝ S ＝ ×25＝15（平方厘米），则S ＝S —S ＝24—15＝9（平方厘米）
△AOB △ABD △COB △ACB △AOB
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例3、如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，已知 与 的面积分
别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是________平方厘米．
A B
25
35
O
D C
【答案】144平方厘米
【解析】根据梯形蝴蝶定理， ，可得 ，
再根据梯形蝴蝶定理， ，所以 (平方厘米)．
那么梯形 的面积为 (平方厘米)．
例4、如图，梯形 中， 、 的面积分别为 和 ，则梯形 的面积为 ．
A B
O
D C
【答案】7.5
【解析】根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ，
， ，
．
例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三
角形DOC的面积是 平方厘米。
【答案】24平方厘米
【解析】在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S ＝S
△DOC △AOB
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8
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所以S ＝S ＝6×8÷2＝24（平方厘米）
△DOC △AOB
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为
。
【答案】17
【解析】如下图，连接EF、GH和IJ
在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S ＝S ＝6，
△ABP △EPF
在平行四边形EFGH中，S ＝S ＝13—6＝7；
△EQF △GQH
在平行四边形IDCJ中，S ＝S ＝5，
△DCT △IJT
在平行四边形GIJH中，S ＝S ＝15—5＝10，
△GSH △ISJ
所以S ＝S ＋S ＝7＋10＝17
四边形GQHS △GQH △ISJ
模型3.燕尾（定理）模型
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条件：如图，在 中，E分别是 上的点， 在 上一点，结论：S S S S S +S S +S
1 2 3 4 1 3 2 4
BE EC。
例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面
积为2，则四边形MCNO的面积为 。
【答案】8
【解析】如图，连接OC
由“燕尾定理”可得： ,
所以可得
所以 ,所以四边形MCNO的面积为8.
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交
于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（ ）
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A．22 B．22.5 C．23 D．23.5
【答案】B
【分析】连接CO，根据△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，求出S =1.5，设S =x，
POQ OPC
△ △
S =y，仍然利用△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，列出关于x、y的方程组，解得x、y的
COQ
△
值，然后利用S =S +S -S 即可求出答案．
QPC OPC COQ POQ
△ △ △ △
【详解】连接CO，
∵△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，
∴ ， ，∴S =1.5，
POQ
△
设S =x，S =y，则 ，解得 ，
OPC COQ
△ △
S =S +S -S =15+9-1.5=22.5．故选B．
QPC OPC COQ POQ
△ △ △ △
【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.
例3．如下图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，则三角形
的面积为 ．
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【答案】19
【详解】连接BG， 份
根据燕尾定理， ，
得 (份)， (份)，则 (份)，因此 ,
同理连接AI、CH得 , ,所以
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知 的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若 是 的 边上的中线，则 的面积______ 的面积．（填“>”“<”“=”）
(2)如图2，若 、 分别是 的 、 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法，
连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， ，则 ，
由题意得： ， ，可列方程组为： ，解得
______，则可得四边形 的面积为______．(3)如图3， ， ，则四边形
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的面积为______．(4)如图4，D，F是 的三等分点，E，G是 的三等分点， 与 交于O，
且 ，则四边形A 的面积为______．
【答案】(1)= (2) ，20 (3)11 (4)
【分析】（1）过点A作 于点H，根据中线的定义得出 ，再根据三角形的面积公式得出
，即可得出结论；
（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据 ，即可求解；
（3）连接 ，根据题意得出 ， ，则
， ，设 ， ，则 ， ，列出方
程组求解， 最后根据 即可求解；
（4）连接 ，根据题意得出 ， ，用和（3）一样的方法即可求解．
【详解】（1）解：过点A作 于点H，
∵ 是 的 边上的中线，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为：=；
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（2）解： ， 得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为 ，∴ ，故答案为： ，20；
（3）解：连接 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 的面积是60，∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
，解得： ，∴ ；故答案为：11；
（4）解：连接 ，∵D，F是 的三等分点，E，G是 的三等分点，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ 的面积是60，∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
，解得： ，∴ ；故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比．
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模型4.鸟头定理（共角定理）模型
图1 图2
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在 中， 分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上， 在 上(如图2)，则
例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的
面积是16平方厘米，则ABC的面积为 。
【答案】70平方厘米
【解析】①观察：图中存在鸟头模型假设：设三角形ABC的面积为a
转化：由鸟头模型比例关系有：16：a=（4×2）：（5×7），得a=70。
即三角形ABC的面积是70平方厘米。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等
于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上， ADE和 ABC是共角三角形，则
△ △
证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
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又 即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若 则AE= ．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，可得∠EFA=∠CGA=90°，再由
∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，推出∠CAG=∠EAF，即可证明△CAG∽△EAF，得到 ，
再由 ， ，得到 ．
（2）根据 ， ，可得 ，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，
∴∠EFA=∠CGA=90°， ∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，
∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴ ，
∵ ， ，∴ ；
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（2）∵ ， ，∴ ，
∵ ∴ 故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形．
例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，
已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S ADE，S ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
△ △
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
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DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： 而根据相似三角
形面积之比等于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： ．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，
AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，
连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线
于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，
▱
ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1） ;（2） ；结论应用：
【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；
探究二，过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
延伸探究：（1）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
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（2）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，可得 ,根据题意，进而得
出 ,根据AM=DM, ,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4， ，可得FN=2EF，进而可
得ED=5EF，即可得出 ．
【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴ ,∴ ，∴ ；
探究二：过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，
∵ ，∴ ,∴ ,
；
延伸探究：（1）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，
∵ ，∴ ,∴ ,
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；
（2）过D、B点分别作 ,垂足分别为M、N，
∵ ，∴ ,∴ ,
;
结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，
∴AM=DM， ，∵AE=2，AG=4，∴ ,
∵AM=DM, ,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4， ,∴ ,即：FN=2EF,
∴ED=5EF，∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性
质是解题的关键．
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型 沙漏模型
条件：① ；② 。
例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是 边上的点，且
，面积比为 ， 交 于点F．则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质可得 ， ，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似
比即可求解．
【详解】解：∵ ， 是公共角，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，面积比为 ∴相似比为 ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”，灵活运用是
关键．
例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， 与 相交于点 ．如果
，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 ， 得到 ， ，结合面积比等于相似比平
方即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，故选：A．
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【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等
于相似比的平方．
例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交
于点O，则 的面积与 的面积的比为（ ）
A．1：2 B． C．1：4 D．
【答案】C
【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的长，再根据
得到 ，然后利用相似三角形的性质来求解．
【详解】解：如下图，
设小方格的边长为1，∵ 、 分别是边长为1和2的等腰直角三角形，
∴ ， ， ．
∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
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例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图， 是等边三角形，被一矩形所截， 被截成
三等分， ，若图中阴影部分的面积是6，则四边形 的面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】由题意易得 ，则有 ，然后根据相似三角形的性质可进行求
解．
【详解】解：由题意可知： ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵阴影部分的面积是6，∴ ，
∴ ，∴ ；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图， 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 处与地面 的距离为
米，车头 可近似看成一个矩形，且满 ，盲区 的长度是6米，车宽 的长度为
米．
【答案】 /
【分析】过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，根据题意，设 米，由 得，
，证明 ，得出 ，根据 列出方程，解方程即可求解．
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【详解】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，则 ，
设 米，由 得， ，
∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得， ，
∴车宽 的长度为 米，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图， 中，点 分别在 上，且
， 于点M， 于点N， 于点D，交 于点E，且 ，连
接 ，若 的面积等于75，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证 ，利用对应高之比等于相似比，设 ，根据勾股定理表示出 ，通过配
方求最小值．
【详解】解： ， ， ，
， ， ， ，
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， ， ，
∴四边形 是矩形， ， ，
， ， ，
， ； 的面积等于75， ，
， ， ， ，
设 ，则 ， ，
，
∴当 时， 有最小值 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三
角形的判定和性质定理．
例7．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于 （矩形各顶点在三角形边上），
E，F在 上，H，G分别在 ， 上，且 于点D，交 于点N．
(1)求证： (2)若 ， ，设 ，则当x取何值时，矩形 的面积最大？
最大面积是多少？
【答案】(1)见解析；(2)当 取1.5时，矩形 的面积最大，，最大面积是6.75．
【分析】（1）由 ，可证 ；（2）由相似三角形的性质可得 ，表达出
与 的关系，进而求出矩形 的面积与 之间的函数关系式，进而解答．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，设矩形 的面积为 ，则 ．
∴当 取1.5时，矩形 的面积最大，最大面积是6.75．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
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课后专项训练
1．（2023山西八年级期末）如图在 中， 、 分别是边 、 的中点． ，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可求得 ， ， ，据此即可求得答案．
【详解】∵ 是边 的中点，∴ ．
∵ 是边 的中点，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，牢记三角形的中线的定义是解题的关键．
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形
面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为 平方厘米．
【答案】60
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【详解】分别作出黄色三角形和绿色三角形的高线，据矩形的性质和三角形的面积公式说明S +S = S
黄 绿 矩
，然后列式计算即可.
形
详解：如图，分别作出4个三角形的高线.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,AB=CD.
∴S +S = AD·OM+ BC·ON= AD·AB= S ，∴S =21÷( -15％)=60平方厘米.故答案为60.
黄 绿 矩形 矩形
点睛：本题考查了矩形的性质和三角形的而面积公式，证明S +S = S 是解答本题的关键.
黄 绿 矩形
3．（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在 中， 分别是 的中点，且
，则 ．
【答案】
【分析】由点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点可得 是 的中线， 是 的中线，
是 的中线， 是 的中线，得 的面积，再由 是 的中线，得到 的面积．
【详解】解： 已知点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，
是 的中线， 是 的中线， 是 的中线， 是 的中线，
是 的中线， ，
点 是 的中点， ， ，
，
点 是 的中点， ，即 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的
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三角形”，这也是本题的突破点．
4．（浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图， 是 的一条中线， 为
边上一点且 相交于 ，四边形 的面积为 ，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】连接 ，设 ，则 ，根据 为 边上中线，可得 ，
；根据 ，可得 ， ，进而 的面积可表示
为 和 ，由此建立方程 ，解出 的值即可得到 的面积．
【详解】解：连接 ，如图所示：
设 ，则 ， 为 边上中线， ， ，
， ， ，
，
，即 ，解得： ，
，故答案为： ．
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【点睛】本题考查与中线有关的三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底
的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题．
5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图， 的面积为 ，
，则四边形 的面积等于 ．
【答案】
【分析】连接 ，求出 ， ，
,设 ，则 ，得到 ，解方程后即可
得到四边形 的面积．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 的面积为 ，∴ ，
∴ ， ,设 ，则 ，
，解得 ，∴四边形 的面积为 ．故答案是：
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【点睛】此题考查的是不同底等高的三角形面积，灵活分割三角形面积进行计算是解答此题的关键．
6. 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ,若 、 和
的面积分别是3、2、1，则 的面积是 ．
A
M
O
C
B N
【答案】22.5
【详解】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
根据蝴蝶定理得
设 ，根据共边定理我们可以得 ， ，解得 ．
7. 如图， ， ，求梯形的面积．
S
1
S 2 S 4
S
3
【答案】9
【详解】设 为 份， 为 份，根据梯形蝴蝶定理， ，所以 ；
又因为 ，所以 ；那么 ， ，
所以梯形面积 ，
或者根据梯形蝴蝶定理， ．
8. 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示)。如果三角形 的面积等于三角形 的面积
的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。
D D
A A
G
H
O O
B C B C
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【答案】
【详解】在本题中，四边形 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利
用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是
面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四
边形”，于是可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形
高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，
从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵ ，∴ ，∴ ．
解法二：作 于 ， 于 ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC ＝12，则图中阴影
部分的面积是 ．
【答案】4
【详解】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，
∴S△CGE ＝S△AGE ＝ S△ACF ，S△BGF ＝S△BGD ＝ S△BCF ，
∵S△ACF ＝S△BCF ＝ S△ABC ＝ ×12＝6，
∴S△CGE ＝ S△ACF ＝ ×6＝2，S△BGF ＝ S△BCF ＝ ×6＝2，
∴S阴影 ＝S△CGE +S△BGF ＝4．故答案为：4．
10．如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点
．则四边形 的面积等于 ．
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【答案】
【详解】方法一：连接 ，
根据燕尾定理， ， ,
设 份，则 份， 份， 份，
如图所标 所以
方法二：连接 ，
由题目条件可得到 ， ，所以 ，
，
而 ．所以则四边形 的面积等于 ．
11、如图所示，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC的面积是△GHI面积的几倍？
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【答案】7
解析：如下图，连接AI。
在三角形ABC中，根据燕尾模型得：AD：DB＝S ：S ＝1：2；
△ACI △BCI
同理：AF：FC＝S ：S ＝2：1，所以S ：S ：S ＝1：2：4
△ABI △BCI △ACI △BCI △ABI
S ＝ S ，同理：S ＝ S ，S ＝ S
△BCI △ABC △ACG △ABC △ABH △ABC
所以S ＝（1— ×3）S ＝ S ,即S 是S 的7倍
△GHI △ABC △ABC △ABC △GHI
12、如图，S ＝48平方厘米，S ＝32平方厘米，S ＝45平方厘米，则S 为多少平方厘米？
△ACB △ACD △ABD △COB
【答案】21平方厘米
【解析】在四边形ABCD中，根据风筝模型得：DO：BO＝S ：S ＝32：48＝2：3，
△ACD △ACB
则S ＝ S ＝ ×45＝27（平方厘米），则S ＝S —S ＝48—27＝21（平方厘米）
△AOB △ABD △COB △ACB △AOB
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13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形 GQHS的面积是多
少？
【答案】17
【解析】如下图，连接EF、GH和IJ。
在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S ＝S ＝6，
△ABP △EPF
在平行四边形EFGH中，S ＝S ＝12—6＝6；在平行四边形IDCJ中，S ＝S ＝5，
△EQF △GQH △DCT △IJT
在平行四边形GIJH中，S ＝S ＝16—5＝11，所以S ＝S ＋S ＝6＋11＝17
△GSH △ISJ 四边形GQHS △GQH △ISJ
14如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，
△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，
求人工湖的面积是多少平方千米？
C
B
O
A D
【答案】0.58平方千米
【详解】根据蝴蝶定理求得 平方千米，
公园四边形 的面积是 平方千米，
所以人工湖的面积是 平方千米
15．（2023春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1， 是 中 边上的中线，则
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．
理由： ， ，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索：在如图2至图4中， 的面积为 ．
(1)如图2，延长 的边 到点 ，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则
___________（用含 的代数式表示）；
(2)如图3，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 ．若
的面积为 ，则 ___________（用含 的代数式表示），并写出理由；
(3)在图3的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图 ．若阴影部分的面
积为 ，则 ___________；（用含 的代数式表示）
拓展与应用：(4)如图5，已知四边形 的面积是 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的
中点，连接 交于点O，求图中阴影部分的面积？
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
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【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
（2）连接 ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出 ，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出 ，从而得解；
（4）连接 ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出 ，
，从而得解．
【详解】（1）解：如图2， 延长 的边 到点 ，使 ，
为 的中线， 即 ；故答案为： ；
（2）解：如图3，连接 ，
延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，
， ，
，即 ；故答案为： ；
（3）解：由（2）得 ，
同理： ， ， ；故答案为： ；
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（4）解：如图5所示，连接 ，
则 ，
，
；故阴影部分的面积为 ．
【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并
适当添加辅助线是解答此题的关键．
16．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图 至图 中，已知 的面积为 ，
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(1)如图 ，延长 的边 到点 ，使 ，连接 若 的面积为 ，则 ______ 用含
的代数式表示
(2)如图 ，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 若 的
面积为 ，则 ______ 用含 的代数式表示
(3)在图 的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图）若阴影部分的面积
为 ，则 ______ 用含 的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到 如图 ，此时，我们
称 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的 的面积是原来 面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在 的空地上种
红花，然后将 向外扩展三次 图 已给出了前两次扩展的图案 在第一次扩展区域内种黄花，第二次
扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域 即 的面积是 平方米，请你运
用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．
【答案】(1) (2) (3) (4) (5)①种紫花的区域的面积420平方米，②种蓝花的区域的面积2940平方米
【分析】（1）过点A作 于H，如图1，由于 与 底相等、高相同，因此它们的面积相
等，问题得以解决；（2）连接 ，如图2，同（1）可求出 的面积，就可解决问题；
（3）如图3，同（2）可求出 的面积，问题得以解决；（4）根据 即可得出结论
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（5）①利用探索与发现中的结论可得：种紫花的区域的面积等于△DEF面积的6倍， ，根
据条件 平方米，就可解决问题；②利用探索与发现中的结论可得：种蓝花的区域的面积等于
面积的6倍， ，只需把 代入，就可解决问题．
【详解】（1）解：探索：过点A作 于H，如图1，
∵ ， ，∴ .故答案为a.
（2）解：连接 ，如图2，
同理可得 ,∴ .故答案为2a.
（3）解：同（2）可得 ,∴ ,故答案为 ；
（4）解：如图3， ，故答案为7；
（5）解：①
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根据上述结论可得： （平方米），
∴种紫花的区域的面积 （平方米）；
②同理可得： （平方米），
种蓝花的区域的面积 （平方米）；
所以，种紫花的区域的面积420平方米，种蓝花的区域的面积2940平方米．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，另外还考查了归纳、探究的能力，运用已有经验解决问题的
能力，突出了对能力的考查．
17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关
系．
如图1， 中， 为 边的中线，可得 ，过点 作 于 ，则
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
(1)如图2，矩形 中，点 ， 分别为 ， 上的动点，且 ， 与 交于点 ．连
接 ．①判断 与 的面积关系；②若 ， ，当点 为 的中点时，求四边形
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的面积；(2) 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将 沿 折叠，点
的对应点为点 ，若 与 重合部分的面积为 面积的 ，直接写出 的面积．
【答案】(1)（1）① ，理由见解析；②6；(2) 或 ；
【分析】（1）①只需要证明△MDE≌△ANE得到ME=AE，即可推出 ；②先求出
， ，再证 ，即可得到结果；
（2）分如图2-1所示，当△ABC是锐角三角形时，如图3-2所示，当△ABC时钝角三角形时，两种情况讨
论求解即可．
【详解】（1）解：① ，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴ ，∴∠MDE=∠ANE，∠DME=∠NAE，
在△MDE和△ANE中， ，∴△MDE≌△ANE（ASA），
∴ME=AE，∴ ；
②∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAN=90°，AB=CD=4， ，
∵M是CD的中点，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2-1所示，当△ABC是锐角三角形时，重叠部分即为△CDQ，
∵D是AB的中点，∴ ， ，
∵重叠部分的面积为 面积的 ，∴ ，
∴Q为BD的中点，∴ ，由折叠的性质可得， ，
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过点D作DF⊥BC于F，∴ ，
∵点到直线的距离垂线段最短，过直线外一点有且只有一条线段与已知直线垂直，
∴Q与F点重合，即DQ⊥CE，在Rt△ACQ中， ，
∴ ，
如图3-2所示，当△ABC时钝角三角形时，重叠部分为△CDQ，
同理可证Q为BC的中点，Q为DE的中点，
又∵D为AB的中点，∴DQ是△ABC的中位线， ，
∴ ， ，∴ ，
过点C作CF⊥AB于F，∴ ，∴ ，
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质、三角形中线的性质、折叠的性质、含30
度角的直角三角形的性质、点到直线的距离、三角形面积、三角形中位线定理等等，熟知三角形中线的性
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质是解题的关键．
18．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点
为线段 的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线 将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果 ，那么称直线 为
该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在 中，若点 为 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是 的黄
金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点E，再过点 作直线 ，交AC
于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是 的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是 的边 的黄金分割点，过点E作 ，交 于点 ，显然直线
是 的黄金分割线．请你画一条 的黄金分割线，使它不经过 各边黄金分割点．
【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析
【分析】（1）由于 、 、 是同高，而点 为边 的黄金分割点，则 ，所以
，故直线 是 的黄金分割线；
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；
（3）根据平行线间的距离相等，则 ，设直线 与 交于点 ，则 ．通过图
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形面积的转化，直线 分三角形的图形面积有 ，故直线 也是 的黄金分割线；
（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可．
【详解】解：（1）直线 是 的黄金分割线．理由如下：
设 的边 上的高为 ．则 ， ， ，
∴ ， ．
又∵点 为边 的黄金分割点，∴ ．则 ．
∴直线 是 的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴ ，即 ，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵ ，∴ 和 的公共边 上的高也相等，∴ ．
设直线 与 交于点 ．则 ．
∴ ， ．
又∵ ，∴ ． ∴直线 也是 的黄金分割线．
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取 的中点 ，再过点 作一条直线分别交 ，DC于 ，N点，则直线MN就
是 的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作 交 于点 ，连接MN，则直
线MN就是 的黄金分割线．
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【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知
识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用．
19．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重
要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1， 中， ，则 的三条高所在直线交于点 ；
②如图2， 中， ，已知两条高 、 ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两
点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】(2)如图3，在 中， ， 平分 ，过点 作 于点 ．
①若 ， ，则 ；②请写出 与 ， 之间的数量关系 ，并
说明理由．
【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积
比等于对应底边的比．如图4， 中， 是 上一点，则有 ．如图5，
中， 是 上一点，且 ， 是 的中点，若 的面积是 ，请直接写出四边形
的面积 ．（用含 的代数式表示）
【答案】(1)①A；②见解析(2)① ；② (3)
【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长 、 交于点 ，连接 ，延长
交 于点 ，则 为 的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得 ，再由直角三角形的性质得
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，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接 ，由中线的性质得 ，同理 ，设 ，则 ，
再求出 ， ，然后由面积关系求出 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：① 直角三角形三条高的交点为直角顶点， ，
的三条高所在直线交于点 ，故答案为： ；
②如图2，延长 、 交于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，则 为 的第三条高；
（2）解：① ， ， ，
平分 ， ，
， ， ，
，故答案为： ；
② 与 ， 之间的数量关系为： ，理由如下：
， ， ，
，
平分 ， ，
， ，
，
，故答案为： ；
（3）解：连接 ，如图5所示：
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是 的中点， ， ，同理： ，
设 ， 的面积是 ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ，
，即： ，解得： ，
，故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和
定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面
积关系．
20．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎
样的数量关系？
小旭同学在图1中作 边上的高 ，根据中线的定义可知 ．又因为高 相同，所以
，于是 ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
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【深入探究】（1）如图2，点 在 的边 上，点 在 上．
①若 是 的中线，求证： ；②若 ，则 ______．
【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形 的各边，使得点 、 、 、 分别为 、 、 、
的中点，依次连结 、 、 、 得四边形 ．
①求证： ；②若 ，则 ______．
【答案】（1）①证明见解析；② ；（2）①证明见解析；②
【分析】（1）①根据中线的性质可得 ，点 为 的中点，推得 是 的中线，
，即可证明 ；②设 边 上的高为 ，根据三角形的面积公式可得
， ，即可推得 ，同理推得 ，即可求得
，即可证明 ；（2）①连接 ， ， ，根据中线的判定和性质可得
， ， ， ，推得
， ，即可求得 ，即可证明
，②由①可得 ，同理可证得 ，
根据 ，即可推得 ，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵ 是 的中线，∴ ，点 为 的中点，
∴ 是 的中线，∴ ，∴ ，即 ；
② ，解：设 边 上的高为 ，
则 ， ，
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∵ ，∴ ，同理 ，
则 ，即 ，∴ ．
（2）①证明：连接 ， ， ，如图：
∵点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中位线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，即 ；
②15，解：由①可得 ，同理可证得 ，
，即 ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两
个等底同高的三角形是题的关键 ．
21．（2023秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A 、
1
B 、C1，使得A B2AB，B C2BC，C1A2CA，顺次连接A 、B 、C ，得到△A B C ，记其面积为S ，求S 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
值.
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小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A C、B A、C B，因为A B2AB，B C2BC，C A2CA，根
1 1 1 1 1 1
据等高两三角形的面积比等于底之比，所以 2S△ABC2a，由此继续推理，从
而解决了这个问题.（1）直接写出S （用含字母a的式子表示）.
1
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把
△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S 与S 的比值.
APE BPF
△ △
【答案】（1）19a；（2）315；（3） .
【分析】（1）首先根据题意，求得S =2S ，同理可求得S =2S ，依此得到S =19S ，则
A1BC ABC A1B1C A1BC A1B1C1 ABC
△ △ △ △ △ △
可求得面积S 的值；（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC
1
的面积；（3）设S =m，S =n，依题意，得S =S =m，S =S =m．得出 ，从而求解．
BPF APE APF APC BPC BPF
△ △ △ △ △ △
【详解】解：（1）连接A C，
1
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∵B C=2BC，A B=2AB，∴ , , ，
1 1
∴ ，∴ ，
同理可得出： ，∴S =6a+6a+6a+a=19a；故答案为19a；
1
（2）过点 作 于点 ，
设 ， ， ； ，
． ，即 ．
同理， ． ． ．①
， ， ．②
由①②，得 ， ．
（3）设 ， ，如图所示．
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依题意，得 ， ． ．
， ． ，
， ． ． ．
【点睛】此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等
底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．
22．（2023·江苏盐城·统考二模）(1)如图1，△ABC中，D是BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同
的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为 = (△ABD、△ADC的面积分别用S ABD、
△
S ADC表示)．现有BD= BC，则S ABD：S ADC= ；
△ △ △
(2)如图2，△ABC中，E、F分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE与BF相
交于点G、现作EH ∥BF交AC于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF的值；
(3)如图3，△ABC中，点P在边AB上，点M、N在边AC上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN与CP
分别相交于点R、Q，现已知△ABC的面积为1，求△BRQ的面积．
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【答案】（1）1：3；（2） 、 、 ；（3）
【分析】（1）有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比进行计算即可；
（2）由平行线分线段成比例定理即可得解；
（3）作辅助线，平行线分线段成比例定理即可得解．
【详解】解：（1） = ，故答案为：1：3；
（2）∵EH BF，∴FH：HC=BE：CE=1：2，∴AG：GE=AF：FH=CF：FH=BC：BE=3：1，
∵FG EH，∴ ∴GF：EH=AF：AH=3：4，EH：BF=CE：BC=2：3，
∴ ， ，∴BG=BF-GF= ，∴BG：GF=1：1；
（3）过M作ME PC交AB于E，过N作ND PC交AB于D，则ME ND PC，
∴AE:DE:DP=AM:MN:CN，
∵AM=MN=NC，∴AE=DE=DP，∵EM PR，∴
∴BR:RM=BP:PE=AP:PE=3:2，RP:EM=BP:BE=AP:BE=3:5，∴RP= EM，
∵PQ DN，∴ ∴BQ:QN=BP:PD=AP:PD=3:1，PQ:DN=BP:BD=AP:BD=3:4，
∴PQ= DN= EM，∴QR=PQ-RP= EM- EM= EM，
∵ME PC，∴ ∴PC:EM=AP:AE=3:1，
∴PC=3EM，∴CQ=PC-PQ=3EM- EM= EM，
∴CQ:QR:RP= EM： EM： EM=5：3：2，
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∵△ABC的面积为1．∴ ， ．
【点睛】此题考查的是三角形相似和三角形面积与线段的比例，难度中等，当两个三角形相似时，则相似
三角形的面积之比等于相似比的平方，当两个三角形同底时，面积比等于高之比，当两个三角形等高时，
面积之比等于底之比，在解决这个问题时，首先要注意两个三角形是属于哪种情况，然后在进行求面积的
比值。
23．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分
别在边AB,AC上,AH⊥BC于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG的边长和面积．
【答案】正方形DEFG的边长是6,面积为36．
【分析】设AH与DG交于点M,正方形DEFG的边长为x,根据题意可得到 ,由AH⊥BC可得到
,利用相似三角形对应边成比例,可列出关于x的等式,即可求解．
【详解】解:设AH与DG交于点M,正方形DEFG的边长为x,
∵AH⊥BC,正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,∴ ,
∵AH=10,∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,
又∵BC=15,DG=x,∴ ,解得: ,∴正方形DEFG的面积为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、
公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角
形;也考查了正方形的性质．
24．（2023·广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求： AEF
的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积． △
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【答案】1:3:5
【分析】由已知条件和平行线得出AM＝2AE，AB＝3AE， AEF∽△AMN， AEF∽△ABC，由相似三角形面积
的比等于相似比的平方得出 AEF的面积: AMN的面积＝△1:4， AEF的面△积: ABC的面积＝1:9，得出 AEF
的面积:四边形EMNF的面积△＝1:3， AEF△的面积:四边形EBCF的△面积＝1:8，即△可得出结果． △
【详解】∵EF∥MN∥BC，∴△AEF∽△△AMN∽△ABC，
∵E、M是AB边的三等分点，∴△AEF， AMN， ABC的相似比为1:2:3，
∴△AEF， AMN， ABC的面积比为1:4:△9， △
∴△AEF的△面积∶四△边形EMNF的面积∶四边形MBCN的面积=1:3:5.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解
决问题的关键．
25．（2023·河南信阳·九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB与△DOC的面积之比．
【答案】(1)见解析；(2)1：3
【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD；（2）设BC=a，则AB=a，BD=2a，
由勾股定理知：CD= a，得AB：CD=1： ，根据相似三角形性质可得面积比.
【详解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD
(2)设BC=a，则AB=a，BD=2a 由勾股定理知：CD= a
∴AB：CD=1： ∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形的判定和性质是关键.
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