文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的
思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三
角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应
试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
AB AB
如图1，当 // ，则 ； 反之，如果 ，则可知直线 // 。
图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D是BC边上的动点时，则S ∶S ＝BD∶DC。
△ABD △ADC
如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S ∶S ＝BE∶CF。
△ABD △ADC
例1．（山东省临沂市2023-2024学年八年级月考）如图， 是 边 的中线，点E在 上，
， 的面积是3，则 的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例2．（河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考）如图， 是 的边 上的中线， 是
的边 上的中线， 是 的边 上的中线，若 的面积是32，则阴影部分的面积是（
）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．9 B．12 C．18 D．20
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考）如图，点 为 的重心， ， ， 分别为
， ， 的中点，具有性质： ．已知 的面积为2，则 的
面积为 ．
例4．（浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图， 是 的一条中线，
E为 边上一点且 ， 相交于F，四边形 的面积为6，则 的面积是 ．
例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1， 是 边 上的中线，则 ．
理由：因为 是 边 上的中线，所以 ．
又因为 ， ，所以 ．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：在如图2至图4中， 的面积为a．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图2，延长 的边 到点D，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则
（用含a的代数式表示）；
(2)如图3，延长 的边 到点D，延长边 到点E，使 ， ，连接 ．若 的
面积为 ，则 （用含a的代数式表示）；
(3)在图3的基础上延长 到点F，使 ，连接 ， ，得到 （如图4）．若阴影部分的面
积为 ，则 （用含a的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D是 的边 上任意一点，点E，F分别是线段 ， 的中点，且 的面积为
，则 的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线 ，点 、 在直线 上，点 、 在直线 上，当点 在直线 上移动时，总有
______与 的面积相等．
(2)解答下题．①如图2，在 中，已知 ，且 边上的高为5，若过 作 ，连接 、
，则 的面积为______．
②如图3， 、 、 三点在同一直线上， ，垂足为 ．若 ， ，
， ，求 的面积．
(3)如图4，在四边形 中， 与 不平行， ，且 ，过点 画一条直线平分四
边形 的面积（简单说明理由）．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则
四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：① 或 ；② 。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：① ；② ；③梯形 的对应份数为 。
例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分
三角形BCO的面积为 ．
例2、如图，S ＝24平方厘米，S ＝16平方厘米，S ＝25平方厘米，则S 为 平方厘米。
△ACB △ACD △ABD △COB
例3、如下图，梯形 的 平行于 ，对角线 ， 交于 ，已知 与 的面积分
别为 平方厘米与 平方厘米，那么梯形 的面积是________平方厘米．
A B
25
35
O
D C
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例4、如图，梯形 中， 、 的面积分别为 和 ，则梯形 的面积为 ．
A B
O
D C
例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三
角形DOC的面积是 平方厘米。
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为
。
模型3.燕尾（定理）模型
条件：如图，在 中，E分别是 上的点， 在 上一点，结论：S S S S S +S S +S
1 2 3 4 1 3 2 4
BE EC。
例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面
积为2，则四边形MCNO的面积为 。
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交
于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（ ）
A．22 B．22.5 C．23 D．23.5
例3．如下图，三角形 中， ，且三角形 的面积是 ，则三角形
的面积为 ．
例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知 的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若 是 的 边上的中线，则 的面积______ 的面积．（填“>”“<”“=”）
(2)如图2，若 、 分别是 的 、 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法，连
接 ，由 得： ，同理： ，设 ， ，则 ，
由题意得： ， ，可列方程组为： ，解得______，
则可得四边形 的面积为______．(3)如图3， ， ，则四边形 的面积
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
为______．(4)如图4，D，F是 的三等分点，E，G是 的三等分点， 与 交于O，且 ，
则四边形A 的面积为______．
模型4.鸟头定理（共角定理）模型
图1 图2
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在 中， 分别是 上的点(如图1)或 在 的延长线上， 在 上(如图2)，则
例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的
面积是16平方厘米，则ABC的面积为 。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等
于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上， ADE和 ABC是共角三角形，则
△ △
证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
又 即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若 则AE= ．
例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，
已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S ADE，S ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
△ △
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： 而根据相似三角
形面积之比等于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： ．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，
AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，
连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线
于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，
▱
ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型 沙漏模型
条件：① ；② 。
例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是 边上的点，且
，面积比为 ， 交 于点F．则 （ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图， 中， ， 与 相交于点 ．如果
，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交
于点O，则 的面积与 的面积的比为（ ）
A．1：2 B． C．1：4 D．
例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图， 是等边三角形，被一矩形所截， 被截成
三等分， ，若图中阴影部分的面积是6，则四边形 的面积为（ ）
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．8 B．9 C．10 D．11
例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图， 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 处与地面 的距离为
米，车头 可近似看成一个矩形，且满 ，盲区 的长度是6米，车宽 的长度为
米．
例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图， 中，点 分别在 上，且
， 于点M， 于点N， 于点D，交 于点E，且 ，连
接 ，若 的面积等于75，则 的最小值为 ．
例7．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于 （矩形各顶点在三角形边上），
E，F在 上，H，G分别在 ， 上，且 于点D，交 于点N．
(1)求证： (2)若 ， ，设 ，则当x取何值时，矩形 的面积最大？
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
最大面积是多少？
课后专项训练
1．（2023山西八年级期末）如图在 中， 、 分别是边 、 的中点． ，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形
面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为 平方厘米．
3．（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在 中， 分别是 的中点，且
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，则 ．
4．（浙江省杭州2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图， 是 的一条中线， 为
边上一点且 相交于 ，四边形 的面积为 ，则 的面积是 ．
5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023学年九年级上学期月考数学试题）如图， 的面积为 ，
，则四边形 的面积等于 ．
6. 如图，在 中，已知 、 分别在边 、 上， 与 相交于 ,若 、 和
的面积分别是3、2、1，则 的面积是 ．
A
M
O
C
B N
7. 如图， ， ，求梯形的面积．
S
1
S 2 S 4
S
3
8. 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示)。如果三角形 的面积等于三角形 的面积
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。
D
A
O
B C
9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC ＝12，则图中阴影
部分的面积是 ．
10．如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点
．则四边形 的面积等于 ．
11、如图所示，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC的面积是△GHI面积的几倍？
12、如图，S ＝48平方厘米，S ＝32平方厘米，S ＝45平方厘米，则S 为多少平方厘米？
△ACB △ACD △ABD △COB
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形 GQHS的面积是多
少？
14如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，
△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，
求人工湖的面积是多少平方千米？
C
B
O
A D
15．（2023春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1， 是 中 边上的中线，则
．
理由： ， ，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索：在如图2至图4中， 的面积为 ．
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图2，延长 的边 到点 ，使 ，连接 ．若 的面积为 ，则
___________（用含 的代数式表示）；
(2)如图3，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 ．若
的面积为 ，则 ___________（用含 的代数式表示），并写出理由；
(3)在图3的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图 ．若阴影部分的面
积为 ，则 ___________；（用含 的代数式表示）
拓展与应用：(4)如图5，已知四边形 的面积是 ， 、 、 、 分别是 、 、 、 的
中点，连接 交于点O，求图中阴影部分的面积？
16．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图 至图 中，已知 的面积为 ，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图 ，延长 的边 到点 ，使 ，连接 若 的面积为 ，则 ______ 用含
的代数式表示
(2)如图 ，延长 的边 到点 ，延长边 到点 ，使 ， ，连接 若 的
面积为 ，则 ______ 用含 的代数式表示
(3)在图 的基础上延长 到点 ，使 ，连接 ， ，得到 （如图）若阴影部分的面积
为 ，则 ______ 用含 的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到 如图 ，此时，我们
称 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的 的面积是原来 面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在 的空地上种
红花，然后将 向外扩展三次 图 已给出了前两次扩展的图案 在第一次扩展区域内种黄花，第二次
扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域 即 的面积是 平方米，请你运
用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关
系．
如图1， 中， 为 边的中线，可得 ，过点 作 于 ，则
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
(1)如图2，矩形 中，点 ， 分别为 ， 上的动点，且 ， 与 交于点 ．连
接 ．①判断 与 的面积关系；②若 ， ，当点 为 的中点时，求四边形
的面积；(2) 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，将 沿 折叠，点
的对应点为点 ，若 与 重合部分的面积为 面积的 ，直接写出 的面积．
18．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点
为线段 的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线 将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果 ，那么称直线 为
该图形的黄金分割线．
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）研究小组猜想：在 中，若点 为 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是 的黄金
分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点E，再过点 作直线 ，交AC
于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是 的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是 的边 的黄金分割点，过点E作 ，交 于点 ，显然直线
是 的黄金分割线．请你画一条 的黄金分割线，使它不经过 各边黄金分割点．
19．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重
要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1， 中， ，则 的三条高所在直线交于点 ；
②如图2， 中， ，已知两条高 、 ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两
点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】(2)如图3，在 中， ， 平分 ，过点 作 于点 ．
①若 ， ，则 ；②请写出 与 ， 之间的数量关系 ，并
说明理由．
【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积
比等于对应底边的比．如图4， 中， 是 上一点，则有 ．如图5，
中， 是 上一点，且 ， 是 的中点，若 的面积是 ，请直接写出四边形
的面积 ．（用含 的代数式表示）
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
20．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1， 是 的中线， 与 的面积有怎
样的数量关系？
小旭同学在图1中作 边上的高 ，根据中线的定义可知 ．又因为高 相同，所以
，于是 ．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】（1）如图2，点 在 的边 上，点 在 上．
①若 是 的中线，求证： ；②若 ，则 ______．
【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形 的各边，使得点 、 、 、 分别为 、 、 、
的中点，依次连结 、 、 、 得四边形 ．
①求证： ；②若 ，则 ______．
21．（2023秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料：
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至A 、
1
B 、C1，使得A B2AB，B C2BC，C1A2CA，顺次连接A 、B 、C ，得到△A B C ，记其面积为S ，求S 的
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A C、B A、C B，因为A B2AB，B C2BC，C A2CA，根
1 1 1 1 1 1
据等高两三角形的面积比等于底之比，所以 2S△ABC2a，由此继续推理，从
而解决了这个问题.（1）直接写出S （用含字母a的式子表示）.
1
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把
△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S 与S 的比值.
APE BPF
△ △
22．（2023·江苏盐城·统考二模）(1)如图1，△ABC中，D是BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同
的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为 = (△ABD、△ADC的面积分别用S ABD、
△
S ADC表示)．现有BD= BC，则S ABD：S ADC= ；
△ △ △
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)如图2，△ABC中，E、F分别是BC、AC边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE与BF相
交于点G、现作EH ∥BF交AC于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF的值；
(3)如图3，△ABC中，点P在边AB上，点M、N在边AC上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN与CP
分别相交于点R、Q，现已知△ABC的面积为1，求△BRQ的面积．
23．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分
别在边AB,AC上,AH⊥BC于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG的边长和面积．
24．（2023·广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是AB边的三等分点，EF∥MN∥BC．求： AEF
的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积． △
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
25．（2023·河南信阳·九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB与△DOC的面积之比．
25
